Ringkasan membahas integral tak tentu dan integral tertentu. Integral tak tentu adalah proses pencarian fungsi F(x) dimana turunannya sama dengan fungsi integrand f(x). Sedangkan integral tertentu adalah batas dari jumlahan Riemann ketika norma partisi mendekati nol. Metode pengintegralan meliputi subtitusi, integral parsial, dan integrasi fungsi pecah rasional dan irasional menggunakan teknik subtitusi trigonometri. Teorema fundamental kalkulus menyatakan hubun

1. Ringkasan Kalkulus II
Integral Tak Tentu dan Integral Tertentu
1 Integral Tak Tentu
dF(x)
dx
= f(x) ⇔ f(x)dx = F(x) + C
Dari hasil studi tentang derivatif, beberapa fungsi integrand mudah diten-
tukan primitifnya, yaitu:
1. dx = x + C
2. xn
dx =
1
n+1
xn+1
+ C, jika n = −1
ln |x| + C, jika n = −1
3. sin xdx = − cos x + C
4. cos xdx = sin x + C
5. sec2
xdx = tan x + C
6. csc2
xdx = − cot x + C
7. sec x tan xdx = sec x + C
8. csc x cot xdx = − csc x + C
9. ax
dx = ax
ln a
+ C, dengan a > 0 dan a = 1
ex
dx = ex
+ C
10. dx
1+x2 =
arctan x + C
−arc cot x + C
11. dx√
1−x2 =
arcsin x + C
− arccos x + C
12. dx
x
√
x2−1
=
arc sec x + C
arc csc x + C
Teknik Pengintegralan
1. METODE SUBTITUSI
Diberikan fungsi f terdefirensial pada [a, b] dan fungsi g : [α, β] → [a, b]
1

2. Ringkasan Kalkulus II
mempunyai invers g−1
. Jika g dan g−1
keduanya mempunyai derivatif
dan kontinu masing-masig pada interval [α, β] dan [a, b] maka
f(x)dx = f(g(t))g (t)dt
.
2. METODE INTEGRAL PARTIAL
Jika U dan V adalah dua fungsi yang terdefinisikan pada selang yang
sama dan mempunyai derivatif yang kontinu, maka
UdV = UV − V dU
3. Integral Fungsi Pecah Rasional
Untuk n ∈ N, fungsi P(x) = anxn
+ an−1xn−1
+ ... + a1x + a0 dengan
an = 0 disebut fungsi suku banyak (polinomial) berderajat n. Selan-
jutnya fungsi pecah rasiolnal yang dimaksud sebagai fungsi berbentuk
P(x)
Q(x)
, dengan P(x) dan Q(x) masing-masing fungsi suku banyak dan
keduanya tidak mempunyai faktor berserikat(faktor yang sama).
(a) Akar-akar Q(x) = 0 semua real
Misal Q(x) = (a1x + b1)r
(ar−1x + br+1)...(anx + bn), dengan ∀i =
j, berlaku (aix+bi)
(ajx+bj)
= C (konstanta).Selanjutnya, fungsi rasional
dapat dinyatakan
P(x)
Q(x)
=
A1
a1x + b1
+
A2
(a1x + b1)2 + ...+
Ar
(a1x + b1)r +
Ar+1
ar+1x + br+1
+
An
anx + bn
(b) Akar-akar Q(x) = 0 ada yang imajiner atau tidak real
Misal Q(x) = (a1x2
+ b1x + c1)r
(ar−1x + br+1)...(anx + bn), den-
gan ∀i = j (selain 1), berlaku (aix+bi)
(ajx+bj)
= C (konstanta) dan a1x2
+
b1x+c1 = 0 mempunyai akar tidak real (D = b2
−4ac < 0).Selanjutnya,
fungsi rasional dapat dinyatakan
P(x)
Q(x)
=
A1x + B1
a1x2 + b1x + c1
+
A2x + B2
(a1x2 + b1x + c1)2 + ...
+
Arx + Br
(a1x2 + b1x + c1)r +
Ar+1
ar+1x + br+1
+
An
anx + bn
2

3. Ringkasan Kalkulus II
(c) Kasus Derajat P(x)> derajat Q(x)
Diubah dengan
P(x)
Q(x)
= H(x) +
S(x)
Q(x)
dengan S(x)=0 atau derajat S(x)<derajat Q(x).
4. Integral Fungsi Irasional
(a) Satu-satunya bentuk irasional
√
ax2 + bx + c
Dalam hal ini diambil subtitusi:
√
ax2 + bx + c = x
√
a + y jika a > 0
atau
√
ax2 + bx + c = xy +
√
c jika c ≥ 0
(b) Satu-satunya bentuk irasional x+a
x+b
Subtitusi dengan
y =
x + a
x + b
(c) Integrand hanya memuat bentuk irasional satu suku a
√
x, b
√
x, c
√
x, d
√
x
Subtitusi y = n
√
x dengan n = KPK(a, b, c, d)
5. Integral Trigonometri Perlu diingat sifat-sifat Trigonometri
cos a cos b = 1
2
{cos(a + b) + cos(a − b)}
sin a sin b = −1
2
{cos(a + b) − cos(a − b)}
sin a cos b = 1
2
{sin(a + b) + sin(a − b)}
cos a sin b = 1
2
{sin(a + b) − sin(a − b)}
sin2
a = 1
2
{1 − cos 2a}
cos2
a = 1
2
{1 + cos 2a}
sin2
a + cos2
a = 1
tan2
a + 1 = sec2
a
1 + cot2
a = csc2
a
(a) Bentuk f(cosx)sinxdx atau f(sinx)cosxdx dengan f pecah
rasional
Dalam hal ini subtitusi t = cosx atau t = sinx. Dalam kasus
lain bisa juga subtitusi t = tanx atau fungsi trigonometri lainnya
mengingat METODE SUBTITUSI f(x)dx = f(g(t))g (t)dt
3

4. Ringkasan Kalkulus II
(b) Subtitusi y = tan1
2
x, y = tanx atau lainnya
Fungsi trigonometri dapat dibawa kebentuk rasional pecahan den-
gan mensubtitusi y = tan1
2
x, y = tanx atau lainnya.
Jika y=tan1
2
x maka x=2arctan y dan
dx = 2
1+y2 dy
sin x = 2y
1+y2
cos x = 1−y2
1+y2
tan x = 2y
1−y2
Jika y=tan x maka x=arctan y dan
dx = 1
1+y2 dy
sin x = y√
1+y2
cos x = 1√
1+y2
(c) Bentuk Irasional Subtitusi dengan trigonometri
i. Jika bentuk irasional
√
a2 − x2 maka subtitusi x=a sin y atau
x= a cos y.
ii. Jika bentuk irasional
√
a2 + x2 maka subtitusi x=a tan y atau
x= a cot y.
iii. Jika bentuk irasional
√
x2 − a2 maka subtitusi x=a sec y atau
x= a csc y.
2 Integral Tertentu
Diketahui f : [a, b] → R. Himpunan bagian P = {x0, x1, ..., xn} di dalam
selang [a,b] dengan sifat x0 = a < x1 < x2 < ... < xn = b disebut partisi
pada [a,b]. Selanjutnya, untuk setiap i ∈ {1, 2, ...n} diambil sebarang x∗
i ∈
[xi−1, xi] kemudian dibentuk jumlahan
S(P, f) =
n
i=1
f(x∗
i )∆ix
dengan ∆ix = xi −xi−1. Jumlahan ini disebut jumlahan Riemann (Riemann
sum). Norma P, ditulis |P|, didefinisikan sebagai |P| = maks{∆ix : i =
1, 2...n}
Jika lim
|p|→0
S(P, f) ada maka dikatakan bahwa f terintegral pada selang [a,b],
4

5. Ringkasan Kalkulus II
dan dinotasikan
b
a
f(x)dx = dan disebut integral f pada selang [a,b]. Jadi
b
a
f(x)dx = lim
|p|→0
S(P, f) = lim
|p|→0
n
i=1
f(x∗
i )∆ix
Contoh: Hitunglah integral tertentu
2
1
(x + 1)dx
Diambil partisi P = {x0, x1, ..., xn} pada selan [1,2], dengan
∆ix =
2 − 1
n
=
1
n
dan x∗
i = xi = 1 +
i
n
Selanjutnya diperoleh
S(P, f) =
n
i
f(x∗
i )∆ix
=
n
i=1
1 +
i
n
+ 1
1
n
=
1
n
n
i=1
2 +
1
n2
n
i=1
i
=
1
n
2n +
1
n2
n(n + 1)
2
=
5
2
+
1
2n
Jadi,
2
1
(x + 1)dx = lim
|p|→0
S(P, f) = lim
n→∞
5
2
+
1
2n
=
5
2
PERLU DIINGAT
n
i=1
i = 1 + 2 + ... + n = n(n+1)
2
n
i=1
i2
= 12
+ 22
+ ... + n2
= n(n+1)(2n+1)
6
n
i=1
i3
= 13
+ 23
+ ... + n3
= n(n+1)
2
2
5

6. Ringkasan Kalkulus II
TEOREMA FUNDAMENTAL KALKULUS
Jika fungsi f : [a, b] → R terintegral (tertentu/Reimaan) pada [a,b] dan
F : [a, b] → R suatu anti derivatif fungsi f pada selang [a,b], maka
b
a
f(x)dx = [F(x)]b
a = F(b) − F(a)
Sehingga dalam menentukan integral tertentu dapat dilakukan terlebih
dahulu mencari integral tak tentu yaitu f(x)dx = F(x) kemudian mencari
integral tertentu dengan menggunakan teorema fundamental kalkulus di atas.
6