Integral Lipat Dua/ Integral Rangkap

1. INTEGRAL DALAM
RUANG DIMENSI - n
Kalkulus Jilid 2 Dale Varberg dan Edwin J
Purcell
10/18/2015
1

2. Integral Ganda Pada Daerah
Segi Empat
 Dalam bab ini kita menggunakan integral lipat
untuk mencari volume benda umum, luas
permukaan umum dan pusat massa tipis dan
benda pejal yang kerapatannya telah berubah-
ubah.
 Ingat bahwa jika 𝑓 𝑥 ≥
0 𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 menyatakan luas daerah dibawah
kurva 𝒚 = 𝒇 𝒙 antara a dan b. dalam cara
serupa jika 𝒇 𝒙, 𝒚 ≥
𝟎, 𝒎𝒂𝒌𝒂 𝑹
𝒇 𝒙, 𝒚 𝒅𝑨 menyatakan volume
benda pejal di bawah permukaan 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) dan
diatas segi empat R 10/18/2015
2

3. Sifat Sifat Integral Ganda
 Integral Ganda mempunyai sifat - sifat tunggal
1. Integral Ganda bersifat linear, yaitu :
a.
𝑹
𝒌𝒇 𝒙, 𝒚 𝒅𝑨 = 𝒌 𝑹
𝒇 𝒙, 𝒚 𝒅𝑨
b. 𝒇 𝒙, 𝒚 + 𝒈 (𝒙, 𝒚) 𝒅𝑨 = 𝑹
𝒇 𝒙, 𝒚 𝒅𝑨 + 𝑹
𝒈 𝒙, 𝒚 𝒅𝑨
2. Integral ganda bersifat penjumlahan pada segi empat
pada gb.
𝑅1 𝑅2
R
10/18/2015
3

4. Sifat- Sifat Integral Ganda
(Lanjutan)
2.
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 = 𝑅
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 + 𝑅
𝑔 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴
3. Sifat Pembandingan Berlaku,

𝑅
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 ≤ 𝑅
𝑔 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴
10/18/2015
4

5. Penghitungan Integral Ganda
 Jika 𝑓 𝑥, 𝑦 = 1 pada R, maka integral ganda
merupakan luas R dan dari ini maka :

𝑅
𝑘𝑑𝐴 = 𝑘 𝑅
1 𝑑𝐴 = 𝑘 𝐴 (𝑅)
10/18/2015
5

6. Tugas : Hitunglah Luas Permukaan dengan
menggunakan Integral Lipat Dua dengan sifat
ke (3)
Colorado adalah negara bagian berbentuk
segiempat f(x,y) adalah banyaknya curah hujan
dalam inchi selama tahun 1980 dititik (x,y)
Apakah yang dinyatakan 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑟𝑎𝑑𝑜
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴
Apakah yang dinyatakan oleh bilangan ini dibagi
dengan luas colorado?
10/18/2015
6

7. INTEGRAL BERULANG
 Penghitungan integral berulang
 Contoh 1 : Hitung 0
3
1
2
2𝑥 + 3𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦
 Contoh 2 : Hitung 1
2
0
3
2𝑥 + 3𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥
 Kita mengharapkan jawaban yang sama
 TUGAS DI HALAMAN 481:
 Dalam soal soal no 1 – 12
hitung masing masing integral berulang
10/18/2015
7

8. Tugas
 Latihan soal soal 16.3 halaman 490
(Kalkulus Jilid 2 soal soal no 1 sampai
dengan 12)
10/18/2015
8

9. Hitung Integral Berulang berikut
(Tugas)

− 4−𝑦
4−𝑦
2𝑥𝑦2
dydx
 Hitung Integral −1
1
𝑥 1 − 𝑥2dx
 Perhitungan Luas
Luas 𝑥2
𝑥
𝑑𝑦𝑑𝑥
10/18/2015
9

10. Catatan : Prosedur Tiga Langkah (Penggambaran
Grafik)
10/18/2015
10
Langkah 1 :
Dapatkan koordinat-koordinat beberapa titik
yang memenuhi persamaan
Langkah 2 :
Plotlah titik-titiktersebut padabidang
Langkah 3 :
Hubungkan titik-titik tersebut dengan sebuah
kurva mulus. Gambarkan grafik Persamaan
tersebut

11. Plot titik dalam persamaan 𝑦 =
𝑥2
 Perhitungan titik –titik untuk di plot untuk
persamaan 𝑦 = 𝑥2
dan 𝑦 = 𝑥

0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 1 2 3 4 5
y = x^2
y = squareroot x
10/18/2015
11

12. Soal Perhitungan Luas Permukaan
dengan menggunakan Integral Lipat
Dua
Colorado adalah negara bagian berbentuk
segiempat f(x,y) adalah banyaknya curah hujan
dalam inchi selama tahun 1980 dititik (x,y)
Apakah yang dinyatakan 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑟𝑎𝑑𝑜
𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴
Apakah yang dinyatakan oleh bilangan ini dibagi
dengan luas colorado?
10/18/2015
12

13. Aplikasi Integral Lipat Dua
 Luas
 Volume
 Massa
 Titik Berat.
10/18/2015
13

14. Perhitungan Luas
Luas
Penjelasan tentang luas (dalam aplikasi integral
lipat dua) dapat dilihat di contoh 1. Buku Diktat
Matematika Rekayasa hal 30
Formula yang dipakai
L = 𝒚
𝒚
𝒅𝒚𝒅𝒙
Bila menentukan luas dalam aplikasi integral lipat
dua, sama halnya di matematika 2. Kita harus
menentukan sketsa grafik masing-masing
persamaan. Dalam hal ini f(x) dan g (x)
10/18/2015
14

15. Perhitungan Volume Dengan Menggunakan
Aplikasi Integral Berulang
Contoh
Dapatkan volume dengan persamaan y = x2 dan y =
√𝒙
Jawab:
Langkah pertama, sketsa grafik terlebih dahulu.
Langkah kedua tentukan titik titik potong diantara
kedua kurva.
Sehingga kita diharapkan nantinya bisa menentukan
batas atas dan batas bawah dalam pengerjaan
integral lipat ganda.
10/18/2015
15

16. Volume
(tugas no 5b.hal 55Buku Matematika Rekayasa
ITS )
 Penentuan titik-titik potong
x y
0 0
1 1
2 4
3 9
4 16
x y
0 0
1 1
2 1.414214
3 1.732051
4 2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
0 1 2 3 4 5
y = x^2
y = squareroot x
10/18/2015
16

17. PENERAPAN INTEGRAL
GANDA
Penerapan integral ganda yang paling jelas adalah dalam
penghitungan volume benda pejal. Penggunaan integral ganda yang
demikian telah diilustrasikan secara luas sehingga sekarang kita
berpaling pada penerapan lain. Massa ; Pusat massa ; Momen inersia
dan Jari-jari kitaran
Andaikan suatu lamina mencakup daerah S dibidang xy dan kerapatan
(massa per satuan luas) di (x,y) dinyatakan oleh 𝛿(𝑥, 𝑦). Partisikan S
kedalam segi empat kecil R1
, R2, …, Rk seperti diperlihatkan pada
gambar 2
10/18/2015
17

18. Perhitungan Massa dengan
Integral Berulang
Massa sebenarnya m diperoleh dengan
mengambil limit menurut ekspresi diatas sebagai
norma partisi mendekati nol, yang tentu saja
berupa integral ganda.
𝒎 =
𝑺
𝜹 𝒙, 𝒚 𝒅𝑨
10/18/2015
18

19. Contoh Perhitungan Massa
dengan menggunakan Integral
berulang
Contoh 1. sebuah lamina dengan kerapatan 𝛿 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦 dibatasi oleh
sumbu 𝑥, garis 𝑥 = 8, dan kurva 𝑦 = 𝑥⅔ (Gambar 3). Carilah massa
totalnya.
Penyelesaian:
𝑚 = 𝑆
𝑥𝑦 𝑑𝐴 = 0
𝑥⅔
𝑥𝑦𝑑𝑦𝑑𝑥
10/18/2015
19

20. PUSAT MASSA, MOMEN INERSIA, JARI JARI KITARAN
(GIRASI)
Penjelasan selengkapnya dapat dilihat pada Kalkulus Jilid 2 Purcell,
dibaca dihalaman 500-504 Pusat Massa di halaman 501, Momen
Inersia dihalaman 503-504
Jari jari kitaran (girasi).
energi kinetik dari sistem yang berputar
mengelilingi L dengan kecepatan sudut 𝜔
adalah
𝐸𝐾 =
1
2
m𝑟2 𝜔2
10/18/2015
20

21. Luas Permukaan (16.6) pp 507
Pelajari contoh 2 
Kalkulus Jild 2 dihalaman 509
Happy Learning 
NEXT LESSON
INTEGRAL LIPAT TIGA
10/18/2015
21

22. Sekian dan Semoga bermanfaat….
10/18/2015
22