2018年 高三選修物理-99課綱版本 中華民國 Republic of china 高中物理教材

1. 阿 Samn 的物理課本 http://mysecretpark.blogspot.tw/
2 波
動
波動 WAVE
MAY 05, 2018
相關版權說明：
 笑話集中的圖片來自彎彎的部落
格，Mr. Pig 漫畫集來自
http://godpig.com/blog/
 內頁部分圖片來自各版本教科書
或網路，版權仍屬原創者所有
 講義內容採用創用授權，不得商
業化(印給學生工本費除外)
本章的目的
這個世界充滿各式各樣的波動，如水波、繩波、聲波等等。因
此，物理學家會由一些基本的模型來描述波動，其中水波是最
熟悉的例子。時至今日，波在現代世界已經相當重要。但無論
波動如何擾動，波動最主要的作用就是傳遞能量。
本章重點在於了解波的基本性質及人類如何應用波在日常生
活，比方說解釋地震的相關資訊。

2. 2-2 波動 Wave
REVIEW AND SUMMARY

3. 2-3波動
2.1 波的基本性質
學習目標
閱讀完這節，你應該能夠…
1. 知道波能夠傳遞能量，但無法傳遞介質
2. 依據介質振動方式區分橫波與縱波
3. 知道力學波傳遞，需要介質。
4. 知道電磁波傳遞時，不需要介質。
波動(波)(Wave)
1. 波動傳遞 能量
 波可以是集體行為造成的，如水波，也可以是個另粒子的
行為，如物質波。
 空間中某點可同時容下數個波。兩波相遇會互相有加疊的
效果，其加疊方式類似向量加法。
波的種類
1. 依是否需要介質來傳遞：
 力學波(mechanical waves)：需要物質才能傳遞的波動，此
物質稱為 介質 。
傳播模式：當介質被擾動後能恢復原狀，也能牽動鄰近介
質的振動，使擾動能持續傳遞下去。而 介質彈性力的大小
和 介質的密度 直接影響波動傳遞的快慢。
 電磁波(Electromagnetic waves)：不依靠 介質 ，而能傳遞
能量。真空中的電磁波，其波速皆為 3×108
m/s 。
2. 依振動方向區分
 橫波(Transverse wave)：介質質點振動的方向與波前進的方
向互相 垂直 者，稱為橫波
圖 2-2 橫波的示意圖
 縱波(longitudinal wave)：介質質點振動的方向與波前進的
方向互相 平行 者，稱為縱波
圖 2-3 縱波之示意圖
圖 2-1 力學波傳遞時候，介質不隨波移
動。在同一介質中傳播時， 波速 保持
不變與質點振動速度及振幅無關
物質波(matter waves)：
屬「近代物理」範疇，電子、
質子及其他基本粒子，會有如
同「波」的特徵的特殊表徵。

4. 2-4 波動 Wave
「介質」如何傳遞波動
1.模型假設：將介質區分數個體積元素(簡稱體積元)。
 如果介質為固體：固體具有強大原子間聯結力同時具有
正向力 (垂直接觸面)及 切向力 (平行接觸面)
 如果介質為理想流體(液體、氣體)：理想流體之間可視為無
切向力，僅具有 正向力 (垂直接觸面)
2.如果介質為固體時候：
 假設介質受到垂直方向的擾動：A 與 B 之間具有切向力，C
與 B 之間具有切向力，A、C 因為與 B 之間切向力帶動，就
會出現垂直方向的擾動形成 橫波
 假設介質受到水平方向的擾動：A 與 B，C 與 B 之間具有正
向力A、C 就會出現水平方向的擾動形成 縱波
3.如果介質為理想流體：
 假設介質受到垂直方向的擾動：理想流體之間可視為無切向
力，A 與 B，C 與 B 之間並無切向力B 無法帶動 A、C 一
起擾動無法傳遞橫波
 假設介質受到水平方向的擾動可產生縱波不管介質為固體
或 A 與 B，C 與 B 之間具有正向力A、C 就會出現水平方
向的擾動形成 縱波
4.結論
 固體介質：可傳遞 橫波 與 縱波
 理想流體介質：只能傳遞 縱波
A B C
A B C

5. 2-5波動
2.2 振動與週期波
學習目標
閱讀完這節，你應該能夠…
1. 知道最簡單的週期波是正弦波。
2. 依據介質振動方式區分橫波與縱波
3. 解釋如何讓導體藉由靜電感應帶電
4. 理解在任何獨立物理過程中，電荷總量不會
當波源對介質作連續且有規律的振動時，便會形成週期波。
週期波 periodic wave
1.定義：若波源(振動端)做連續且有規律的振動，則所產生的波
稱為連續週期波
 時間的重複性：每隔一個週期時間，波形就會重複出現
 空間的重複性：每隔一個波長的距離，波形就會重複出現
圖 2-4 鋼琴發出的聲音也是週期波的一種，只是較為複雜。
2.正弦波為最簡單的週期波：
 波峰(crest)：波形的最高點
 波谷(trough)：波形的最低點
 振幅(amplitude)：介質偏離平衡位置的最大距離。
 波長(wave length)：波傳播過程，沿行進方向固定重複出現的
波形的最小長度。
例如：相鄰兩波峰或波谷之距離
 頻率(frequency)：波源在單位時間內完整振動的次數。單位
是赫，即 1／秒，頻率與週期互為倒數
 週期 period：波源完成一次完整振動所需的時間為週期，單
位是秒
3.波速 v：波傳遞的速率或波行進的速率
正弦波方程式
sin( )y A kx t 

6. 2-6 波動 Wave
 定義： v f
T

  當經過的時間為一週期時，
波會前進一個波長的距離
 波速也與介質的 彈性 與 慣性 有關：
相同的波動在不同介質中傳遞時候，波速不同。
行進波 traveling wave
1.以正弦波說明此波為各類型波動的基礎
假設定此正弦波向 + x 方向移動，觀察介質的震動。

7. 2-7波動
圖 2-5 正弦波在行進時，其波形會因時間、位置而不同。
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y

8. 2-8 波動 Wave
例題1.：基本題-與 SHM 結合
若下圖中彈簧質量可以忽略，其力常數為 200N／m，下端所掛物
體的質量為 0.5kg，振幅為 5cm，測得波長為 23cm，則波速為多
少？
解：
類題：石投於水，以形成連續的水波，相鄰兩波峰間的距離為 4 公
分，經 5 秒後此波的最外緣抵達岸邊。若石落水處與岸相距 10 公
尺，則此水波的頻率為多少赫茲？答：50m
例題2.：行進波的基礎題
有一正弦波向 + x 方向傳播，在 t =0 秒時，其 y-x 圖如下圖所
示。假設此波週期為 T，請畫出(1) T/4 (2) 5T/4 的圖形
範例 演練
x
y
t=0
x
y
x
y

9. 2-9波動
例題3.：行進波的應用【81 年日大】
圖中實線為一列向右方行進的橫波在 t =0 時的波形，而虛線則為
此列橫波在 t=0.5 秒時的波形，若此列橫波的週期為 T，且 0.3 秒
< T <0.5 秒，則
(1)此列橫波的週期為若干秒？
(2)此列橫波的波速為若干 m/s？
解：
答： (1)0.4 s (2)10 m/s
類題：圖中實線位置的波形，經 0.1 秒向右傳播至虛線位置，已
知週期 T 的大小，
35
1
秒＜T＜
25
1
秒，波速為多少？。
答案：130 cm/s
1. 脈動傳播速度為20公分/秒，在圖
示的瞬間A、B、C三質點的振動速
度分別為若干?
2. 右圖為繩索上橫波之位移-位置
圖，實線表
t=0.0 秒的瞬
時，虛線則為
t=0.6 秒後的
瞬時，(1)這個
波的振幅與波
長各若干? (2)
設波的週期大
於 0.6s，則波向+X 方向與向-X 方向運動時，週期各若干?
(3)若已知波速為 20m/s，則波之進行方向為何? (4)承(3)若繩
之線密度為 0.08kg/m，則繩之張力為若干?
課後 練習題
公尺
y
x
0 1 2 3 4 5 6 7 8

10. 2-10 波動 Wave
3. 圖中S為上下振動的波源，振動
頻率為f＝100赫，所產生的橫
波分向左右傳播，波速v＝
80m/s，在波源左右兩方有P，
Q兩點，與S之距離分別為SP＝
8.4m，SQ＝9.6m，當S恰通過
平衡位置且向上振動時，P、Q兩質點 (A)P在波峰，Q在波谷
(B)Q在波峰，P在波谷 (C)PQ皆在波峰 (D)P通過平衡點向上
振動，Q通過平衡點向下振動 (E)P通過平衡點向下振動，Q通
過平衡點向上振動。
4. 一正弦波在繩上傳播，已知繩上P點到達最高點時，再經過1
秒後，水平距離為1/4 波長的另一點Q始到達最高點處，則此
波的頻率為若干赫？
5. 波列很
長的四
個橫
波，都
沿正x軸
方向傳
播，若x
軸上O與
P兩點間
距離為
L，在時間 0t t 看到此四個波的部份波形分別如右圖的甲、
乙、丙及丁所示，其波速分別為4v、3v、2v及v。則下列敘述
中哪些正確？ (A)頻率大小依序為丁>丙>乙>甲 (B)甲與丁
的周期相同，乙與丙的頻率相同 (C)甲的波長是乙的兩倍，
乙的波長則是丁的兩倍 (D)在時間 0t t 後，O點最早出現下
一個波峰的是乙 (E)在時間 0t t 後，O點最早出現下一個波
谷的是丙。 [96.指定科考]
練習題答案
1. VA=-20 3 cm/s，VB=0，VC=
3
320
cm/s 2.(1)振福 0.4 波
長 9.6 m (2)2.4s，0.8s (3) +X 方向 (4)32 N 3.E 4.1/4
5.BCDE
x
3v
O P
乙
丙
4v
甲
O
P
x
xP
2v
O xO
P
v
丁

11. 2-11波動
2.3 繩波
學習目標
閱讀完這節，你應該能夠…
1. 應用繩波波速公式
2. 正電，並能夠找出額外電荷數量。
3. 區分導體、絕緣體、半導體、超導體
4. 解釋如何讓導體藉由靜電感應帶電
5. 理解在任何獨立物理過程中，電荷總量不會發生改
變
繩波之波速
1. 弦上橫波的波速：將弦兩端拉緊，輕彈一端將產生弦波振動，
波速為 v
T
v

 v：弦波速率 T：弦上張力 μ：弦之線密度
說明：假設觀察者隨波進行，則看見繩之運動如圖所示。
細繩頂端的極小段可視為一圓弧(等速率圓週運動)
此小段對應的圓心角為 2 ，細繩質量為 2R
2 2 2
0
2 sin 2 2 2c
v v v
F m T R T R
R R R
T
v

     


       
 

 結論：繩波波速只和 弦之材料 和 粗細 有關，而與波
長，或頻率、振幅等無關。
繩波的入射波傳至固定端(理想狀態)
1.繩的入射波入射至牆壁固定端之後，反射波的特性：
 波速 不變 、波長 不變
 波形 上下相反 、左右 顛倒
圖 2-6 固定端反射的情形
繩波的入射波傳至自由端
1.繩的入射波入射至自由端之後，反射波的特性
 波速 不變 、波長 不變
 波形 上下相反 、左右 顛倒

12. 2-12 波動 Wave
圖 2-7 自由端反射的情形
繩波反射與透射
1. 繩波在重量不相同並串聯一起的繩子中傳播時，因傳播速率不
同，可視為在不同介質中傳遞，會有反射與透射的狀況產生，
但頻率不變。
2. 輕繩(線密度較小)傳至重繩(線密度較小)交界處可視為 固定端
 細繩的反射波：下顛倒，左右對稱相反，波幅減小
 粗繩的透射波：
波形不顛倒，波速減小，振幅也減小，波長變短，波速變小
3. 重繩傳至輕繩交界處視為 自由端
 細繩的反射波：
 粗繩的透射波：
左右對稱相反，
例題4.：繩波的波速【88 日大】
一遵守虎克定律之均勻彈性繩，其長度為 L，將此彈性繩均勻拉
長至 1.2L 之長 度，並將其兩端固定，測得繩上橫波之波速為
V，今將此彈性繩再均勻拉長至 1.6L，並將其兩端固定，則繩
上橫波之波速應為 V 之多少倍？
解題觀念：弦繩的波速公式：
T
v


解：
答：2V
範例 演練

13. 2-13波動
類題：有一彈簧其力常數為 k，原長為 L，當其總長度為 3L/2 及
2L 時之波動的傳播速率之比為（在彈性限度內）答： 3 : 2 2
例題5.：不同介質中的波
長均為 10 公分的輕重不同的兩彈簧相連接，有頻率為 4Hz 的波
自輕彈簧經 5 秒後傳至重彈簧的另一端，已知輕重兩彈簧內的波
速比為 4：1 (1)脈動在各彈簧中行進的時間是多少？ (2)脈動
在各彈簧中行進的速率是多少？(3)波在各彈簧中的波長是多少？
解題觀念：行進波在傳遞過程中，其頻率維持不變(既使穿過在不
同介質)
解：
答：1. 1s ,4s 2. 10 cm/s ,2.5 cm/s 3. 2.5cm,0.625 cm
類題：二長度相同的彈性弦，聯結成一條，兩線密度 1：16 而線
張力相同，如弦上有一脈波在前進，透射波與反射波分別到達兩
端點之時間比為 答：1:4
1.在繩上振動波的反射與透
射問題上，下列何者正
確?(A)若繩的一端繫於牆
上，則自牆反射的波與入
射波振動方向相反 (B)若
繩的一端繫於一質量可忽
略的小環，小環套於光滑
棒上，則自環反射的波與
入射波振動方向相同。(C)
若甲繩一端連接線密度較小的乙繩，則在交接處甲繩上的入射
波與反射波振動方向相反。 (D)若甲繩一端連接線密度較大的
乙繩，則在交接處甲繩上的入射波與反射波振動方向相同。
(E)不論相接的兩繩線密度大小如何，在交接處的入射波與透射
波振動方向恆相反。
課後 練習題

14. 2-14 波動 Wave
2.一絃左端固定在牆上，右端可自由上下滑動。在t=0時，一波向
右行進，如圖(甲)所示。則t>0以後，由於波陸續在兩端點遭反
射，則(乙)、(丙)及(丁)各波形首次出現的先後順序為何? 【80
日大】
3.一線密度較小的輕繩上，有一向右傳遞，向上振動之入射脈波
(如圖所示)。在輕繩與線密度較大之重繩之交接處(P點)，脈波
產生第一次反射與透射。第一次透射波傳遞至牆壁上O點反射而
回，至P點時再產生第二次之反射與透射，則下列有關脈波在P
點之透射波與反射波之敘述，
何者為正確? (A)第一次透射
波為向上振動的脈波 (B)第
二次透射波為向上振動的脈波
(C)第一次反射波與第二次反射
波均為向下振動的脈波 (D)第二次透射波的振幅較入射波
為小 (E)第一次透射波與第二次透射波的波速相同
4.當波由重繩傳至輕繩時，反射脈動和透射脈動與入射脈動比
較：(甲)波形兩者皆不顛倒(乙)透射脈動波速不變(丙)反射脈動
振幅變小(丁)反射脈動的波形左右不變。上列四個敘述哪些正
確？(A)(乙)(丙) (B)(甲)(丙)(丁) (C)(乙)(丁) (D)(甲)(丙) 。
5.一弦長10.0m，質量為1.20kg，兩端施以48.0N的拉力，並使之
連續振動產生週期波，每秒振動10.0次，求：(1)弦上波速；(2)
波長。
6. 有一細繩長度為10公尺，質量為0.1公斤，當有一波動由該繩
的一端傳至另一端時，費時為0.5秒，則此細繩上的張力為若
干牛頓？ 答：4N
7. 一彈簧質量為1.0㎏，長為5.0m，將其一端固定，另一端施力
10N拉撐，彈簧長度成為10m，同時在施力端以每秒四次振動
產生波動，求波速和波長。
8. 彈簧彈力常數為k，原長為L，將其伸長至總長為2L與3L時，
波動在其傳播速率比為何? .
9. 三段粗細不同之繩連結成一條，單位長度質量比1：9：4，今
以手搖動所成脈動在此三段速率比為何?
練習題答案
1. AB 2.丙乙丁 3.ACD 4.D 5. (1)20 m/s (2)2 m 6.4N
7. 10 m/s ,2.5 m 8. 1： 3 9. 6：2：3
入射波
P O

15. 2-15波動
2.4 波的疊加原理
學習目標
閱讀完這節，你應該能夠…
1. 區分物質的電中性、負電、正電，並能夠找出額外
電荷數量。
2. 區分導體、絕緣體、半導體、超導體
3. 解釋如何讓導體藉由靜電感應帶電
4. 理解在任何獨立物理過程中，電荷總量不會發生改
變
波的重疊與波的干涉
1.波的獨立性：兩脈動彼此交錯通過之前後，每個脈動仍保留其
原來之波形與波速；此種不因交會後而改變脈動本質的特性，
稱為波的獨立性。
2.波的疊加原理(principle of superposition for waves)：當幾個獨立
之波在同一介質中相遇時，介質中任何一點的瞬時位移即是這
幾個波在此點之瞬時位移的向量和，此種加法稱為波的重疊原
理。
3.兩個波(或以上)重疊組合成新合成波的現象，稱為 干涉
(Interference)
 相長性干涉 Constructive interference
說明：合成波的振福比原先任一波振幅大，亦稱為建設性干涉
合成波的波形與原來波形不相同
 完全相長性干涉(完全建設性干涉)：兩波之波峰或波谷同時
抵同一位置，稱為同相
說明：合成波的振福恰為兩個波的振福的和合成波得到最
大振福
圖 2-8 相長性干涉之示意圖

16. 2-16 波動 Wave
圖 2-9 完全相長性干涉
 相消性干涉 Destructive interference
說明：合成波的振福比原先任一波振幅小，亦稱為破壞性干涉
合成波的波形與原來波形不相同
 完全相消性干涉(完全破壞性干涉)
說明：當兩波重疊時，若一波的波峰與另一波的波谷同時抵達
同一位置時，稱為反相
合成波的振福恰為兩個波的振福的差合成波得到最小振福
圖 2-10 破壞性干涉之示意圖

17. 2-17波動
例題6.：波的干涉【83 中女中、82 中聯】
如下圖所示，兩自身對稱，形狀相同之脈動 A、B 相向傳播，傳
播速率為 10 ㎝/s，X 為兩脈動間的中央點，Y 在 X 的右邊 5 ㎝，
Z 在 Y 的右邊 5 ㎝
1.如圖所示瞬間，再經 2.5 秒，Y 的位移為_____㎝，Z 的位移為
_____㎝，Z 的振動速度為_____㎝/s。
2.再經 0.5 秒，Y 的位移為_____㎝，Y 的振動速度為_____㎝/s，
X 的振動速度為_____㎝/s。
解：
課外補充：降噪(抗噪)耳機的原理
抗噪耳機，亦稱為主動式抗噪耳機，為藉
由主動噪音控制機制（ANC）可消除周遭
令人不快之聲音（亦即噪音）的耳機。
原理為使用一個以上靠近耳朵之麥克風接
收外界噪音，並以電子電路產生和噪音音
波相位相反之訊號。當此反相訊號產生
時，破壞性干涉消除了配戴耳機者本來所
能聽到之外界噪音。相對於主動式抗噪耳
機，強調隔音機制之耳機稱之為被動式抗
噪耳機或隔噪耳機，然而機制和主動式完
全不同，主要目的為隔絕防止噪音進入耳
道。
真正要完全消除高頻噪音，感應器和麥克
風必須置放於聽者鼓膜旁，故技術上來說
不可行。
範例 演練
6
20 ㎝20 ㎝20 ㎝
A
B
6 20 ㎝X Y Z
v
v

18. 2-18 波動 Wave
答：1. -6,-3,6 2. 0,12,0
類題：兩正弦波在同一繩上相向行進，振幅分別為 4cm 和 3cm，
兩波交會期間繩上質點的振動位移最大和最小各多少？ 答：Max
7 cm, Min 1 cm
1.兩脈動波相向進行而完全交會時，下列何者不真？ (A)若波形
完全抵消時，質點振動速度最大 (B)若波形完全抵消時，波速為
零 (C)若波形最大時，質點振動速度為零 (D)波動速度與合成
波形無關 (E)質點振動速度與合成波形無關
課後 練習題

19. 2-19波動
2.5 駐波
學習目標
閱讀完這節，你應該能夠…
5. 區分物質的電中性、負電、正電，並能夠找出額外
電荷數量。
6. 區分導體、絕緣體、半導體、超導體
7. 解釋如何讓導體藉由靜電感應帶電
8. 理解在任何獨立物理過程中，電荷總量不會發生改
變
駐波 Standing wave
1. 成因：同時有兩個 振幅 、 波長 、 頻率 皆相同的連
續週期性(正弦)波動，此兩個波動以 相反的方向 前進，當
兩波交會時即可形成駐波。
2.駐波的特性
 在節點與節點之間波幅作週期性漲落，而波形 不前進
 有一定的波節與波腹
 除節點外，各質點處都在進行相同頻率、不同振福的簡諧運
動。其動能與位能互換。
 能量在波腹中並不向外傳遞能量只個別地存在於各波腹間，
圖 2-11 駐波形成的示意圖 From Wiki

20. 2-20 波動 Wave
動能與位能互換而不傳遞
3.形成駐波的介質中位移恆為零之點 節點(node) ，又稱波
節
 節點無振幅，故節點處無振動動能及重力位能
 相鄰兩節點的距離為
2

4. 相鄰波節的中點，振動幅度最大的點 腹點(antinode) ，又
稱波腹
 腹點振幅最大，在腹點的力學能最大
 相鄰兩節點的距離為
2

駐波的應用：長為 L，兩端固定的弦駐波
現象：將一彈性弦(如樂器的弦線)兩端固定，撥弄弦上任一
點，則弦上各點均作來回的運動。弦線的振動情形如右圖。
振動頻率： 1 2 3
2
n
n
v nv
f n
L
   ， ， ， ，
說明：n = 1 稱為 基音 或第一諧音。
n = 2 稱為 第一泛音 或第二諧音。其餘，依此類推。
1 1
1
2
2
L L   
2 2
2
2
L
L L    
2
1 2 3 ... 1 2 3
2
n n
n
L v nv
n f n
n L


      ， ， ， ， ， ， ，
例題7.：弦上駐波-基礎題
兩端固定的一條網琴線長 50 公分，質量為 5 公克，若線上之張
力為 400 牛頓，則其基音（第一諧音）的頻率為多少？ (A)100
赫 (B)200 赫 (C)400 赫 (D)800 赫。
解：
答：B
範例 演練

21. 2-21波動
類題：長度 30cm 的鋼線質量為 3g，使之振動形成駐波，欲產生
300Hz 的第三諧音，則鋼線上的張力應為多少？
溫馨集：媽媽的帳單
小明家是經營餐廳生意，有時放學後他會到餐廳幫忙，招呼客人
入座點菜收拾碗筷、算帳結帳。他漸漸覺得自己似乎也成了一位
生意人。
有一次，他忽然突發奇想，也開了一張帳單寄給媽媽，索取他在
餐廳幫忙作事的酬勞。 幾天後，媽媽收到這份帳單，上面寫
著：
１．洗碗盤費 500 元
２．掃地拖地費 200 元
３．送外食到顧客家 300 元
４．至郵局寄發信件帳單 100 元
５．小明一直是勤奮聽話的好孩子 100 元
共計 1,200 元
小明的媽仔細看過這份帳單後，什麼話也沒有說。 晚上小明在
他的枕頭旁看到了他所索取的 1,200 元報酬。 正當他得意如願以
償，要把 1200 元收到自己的口袋時，突然發現枕頭旁邊還放著
一份給他的帳單。 小明欠他母親如下款項：
１．在母親家裡過十年平安無憂的生活費用 0 元
２．十年中，食、衣、住、行的費用 0 元
３．上學的學費、書籍費 0 元
４．生病時的醫藥、照顧費 0 元
５．有一個慈愛的母親 0 元
小明讀著讀著，感到羞愧萬分！過了一會兒，他懷著一顆忐忑不
安的心;躡手躡腳地走近母親，將小臉藏進母親的懷中，小心翼翼
地把那 1,200 元塞進了她的圍裙口袋裡
1.一長 2 公尺的弦線兩端固定，如在一端產生一脈波，發現此脈波
需時 0.1 秒，才能由此端至他端反射來回一次，問此振動的可能
頻率為何?
2.把長 1 公尺的弦兩端固定，若一脈波從一端進行另一端需 0.05
秒，則此弦產生的振動的基音頻率為何?
3.1m 長之弦其質量為 10g，所受之張力為 100N，當兩端固定使其
產生振動，求(1)弦上之波速? (2)使弦上產生二個波腹時之波長?
課後 練習題

22. 2-22 波動 Wave
(3)此時之頻率是多少?
4.一弦兩端固定，弦之線密度為 4g/m，弦的張力為 8.1 牛頓。當弦
線振動產生 n 及 n+1 個波節的駐波時，所量得的波節間距分別為
18 公分及 15 公分。(1)求弦線的長度? (2)求基音的頻率?
5.如圖所示，將線密度 2.0×10-4
公斤/公尺的
弦一端固定，保持水平 1 公尺後跨過定滑
輪，在另一端懸吊質量 2.5 公斤的重錘，
彈此弦時，在其上產生四個波腹的駐波，
則此時之弦其振動頻率為若干赫
(Hz)?(g=9.8m/s2
)
6.圖為鋼琴鍵盤的一部分，第四個 C 音稱為中央 C，記為 C4，其基
頻為 262Hz，圖中的 A 音的基音頻率為 440Hz。(1)求中央 C 音
的前三個諧音頻率。(2)A 音和 C 音使用的弦線密度相同，但是 A
音的弦長是 C 音弦長的 64%，則兩弦的張力比值是多少?
7.線密度為 μ1、μ2 的理想性繩連在一起，兩端固定。此系統讓它振
盪超來並形成駐波，如下圖。如果 μ1：μ2 = 4：5，求 L1/L2 之值。
(課本習題)
8.一弦長 0.8 公尺，質量為 210-4
公斤，一端固定，另一端接一物
體，圖同第 17 題(不計弦受力之伸長)。欲在弦上形成 4 個波腹且
發出頻率 250 赫的聲音，則物體的質量需為多少公斤?(設重力加
速度 g=10 公尺/秒 2
)
9.長度 30 公分兩端固定的鋼線質量為 3 克，則(1)線上的張力需為
多少，才可產生第三諧音的頻率為 300 赫? (2)基音的波長是多少?
頻率是多少?
10. 當我們使用正確的頻率來回撥動浴缸裡的水，可以產生駐波，
而使靠浴缸兩邊的水交替起伏(即一邊高時，另一邊低)。若水的
波速為 1.0m/s，浴缸寬 75cm，則下列何者為正確的頻率？(A)0.67
(B)1.48 (C)2.65 (D)3.78 (E)4.23 Hz (91.指考)
QP
1 m

23. 2-23波動
11. 長度為 L 的張緊弦線兩端固
定，設弦線作橫向振動時，弦波
的波速為 v。試問下列何種弦線
振動時，最有可能讓人看到如下
圖所示，弦線在兩最大位移間振動的視覺暫留影像？假設視覺
暫留時間為 1∕20 秒。 (A) L 0.20m ； v 2.0m / s (B)
L 0.30m ； v 4.0m / s (C) L 0.40m ； v 8.0m / s (D)
L0.50m ； v 8.0m / s (E)L 0.60m ； v 8.0m / s
[94.指定科考]
12. 一條長度為 5.0m、兩端固定的
繩上所形成的駐波，其示意圖如
圖。此駐波是由波形相同，但行
進方向相反的二波重疊而成，此
二波的波長為何？ (A) 1.0m (B) 1.5m (C) 2.0m (D) 2.5m
(E) 3.0m。 [100.指定科考]
答案
1. 10n Hz (n=1，2，3…) 2. 10Hz 3.(1)100m/s
(2)1m (3)100Hz 4.(1)90cm (2)25Hz 5. 700Hz
6.(1)786Hz (2)1.16 7. 3 ：4 8. 0.25kg
9.(1)36N (2)0.6m，100Hz 10.A 11.C 12.C
L

24. 2-24 波動 Wave
2.6 海更斯原理
學習目標
閱讀完這節，你應該能夠…
1. 區分物質的電中性、負電、正電，並能夠找出額外
電荷數量。
2. 區分導體、絕緣體、半導體、超導體
3. 解釋如何讓導體藉由靜電感應
4. 理解在任何獨立物理過程中，電
變
海更斯原理
1. 內容：波前上任一點皆可視滿新的點波源，由此無數個新點波
源所發出之球面子波的包絡面乃為下一時刻的新波前。
2. 應用：由海更斯原理，我們可以不知道波源所在的位置，只從
瞬時波前的位置，即可求得之前或之後的任何時刻波前的位置
和形狀，可用來解釋波之反射，折射，干涉及繞射，尤其是干
涉及繞射，乃為物理光學之基礎。
3. 目的：海更斯提出光的波動說，即認為光是一種波動；而海更
斯原理的提出就是為了解釋當時已發現的光的反射、折射等現
象。
誰比較慘。
螢幕 說：我好慘阿， 每天給人看。
鍵盤 說：我更慘呢， 每天給人打。
滑鼠 說：我才慘呢， 每天給人摸。
主機 說：我更慘嘛？我每天給人按肚臍眼。
笑話集

25. 2-25波動
光碟機 說：我好慘，每天給人插。
軟碟機 說：我更慘，現在都沒人插我了。
ＵＳＢ隨身碟 ：誰有我慘？這邊插完就去那邊插，一不小心還
要被感染。
主機板 ：不要以為我被很多東西插會很爽，其實我最慘，他們
插進來後就都不動了，那才是難受啊～
音效卡 說： 還說呢，明明是插你，為什麼都是我在叫 ???!!!

26. 2-26 波動 Wave
2.7 水波的現象
學習目標
閱讀完這節，你應該能夠…
5. 區分物質的電中性、負電、正電，並能夠找出額外
電荷數量。
6. 區分導體、絕緣體、半導體、超導體
7. 解釋如何讓導體藉由靜電感應
8. 理解在任何獨立物理過程中，電
變
水波的基本概念
1. 水波槽：將透明水槽架高，在其下方至一白幕，其上用光線照
射，當水形成波紋時，在白幕上及形成明暗之條紋。
2. 波峰：似凸透鏡，可會聚光線，在白幕上形成明紋。
3. 波谷：似凹透鏡，可發散光線，在白幕上形成暗紋。
圖 2-12 左圖：水波-亮紋與暗紋的成因。 右圖：肉眼看到的投射結果。
4. 不論亮紋、暗紋，統稱為 波前 wave front ，而水波的行進方
向永遠垂直波前。
水波的反射
平行光線
水槽
白紙幕
明 暗 明 暗 明 暗 明

27. 2-27波動
1. 水波遇到障礙物，或於兩介質的交界處，一部份水波會有折返
原介質的現象
 入射波與反射波在同一介質中，故波速、波
長、頻率都不變，但行進方向改變。
 入射波因反射面喪失能量，故反射波振福小
於入射波
2. 遵守反射定律：
 入射線，法線和反射線三者在同一平面上。
入射角等於反射角
3. 反射面決定反射後的水波波形
 圓形波紋遇到平面反射面反射波依然為圓
形波
 直線波紋遇到平面反射面反射波依然為直
線波
水波的透射：水波進入不同深度的水中
1. 較深區域，水波傳遞速率較快
2. 較淺區域，水波傳遞速率較慢
3. 同一水波槽中，水波波形不論是直線或圓形，都有相同的頻率
水波的折射現象
1.水波遇到障礙物，或於兩介質的交界處，一部份水波會透射，
而產生行進方向改變的現象
 原因：波動在不同介質中，波速不相同
 入射波頻率與折射波的頻率相同
 折射波振福小於入射波振福
度的波長
反
射
脈
動
入射脈動
法線




a
b
c
abc
障
礙
物
圖 2-13 水波反射的示意圖

28. 2-28 波動 Wave
圖 2-15 水波折射的示意圖
說明：設水波由深水區 1（波速 v1，波長 λ1）進入淺水區 2
（波速 v2，波長 λ2）
遵守折射定律入射角之正弦值與折射角之正弦值比值為一定
值
1 1
2 2
sin
sin
vi
r v


 定值=
例題8.：水波的折射-基本題
於水波槽中，波自深水區傳至淺水區，其入射角為 45°，於深淺兩
區之波長分別為 1.4 cm 及 1.0 cm，則(1)於淺水區之折射角為
__(1)__；(2)在深水中之波速為 28 cm∕s，則在淺水中之波速為
__(2)__cm∕s
解：

 '
 '

2
1
深水區
淺水區
法線
（與境界面垂直）入射波的傳播
方向
折射波的傳播
方向
2
範例 演練

29. 2-29波動
類題：在水波槽中，水波在深水中波長1＝2cm，在淺水中，波
長為 1.2cm，起波器之頻率為 12 次/秒，則：(A)水波在深水中之
速率為 24cm/s (B)水波在淺水中之速率為 14.4cm/s (C)深水對
淺水中的折射率為
3
5
(D)如水波從深水區以入射角 30∘傳到交界
線，則折射角為
sin
－1
10
3
(E)水波在兩水區之速率比等於其波長之比
答：DE
類題：如圖為水波槽實驗中的一部分，水波由Ⅱ區傳向水深不同
的Ⅰ區，則下列敘述何者正確？ (A)在第Ⅰ區的頻率比第Ⅱ區大
(B)在第Ⅰ區的波速比第Ⅱ區大 (C)第Ⅰ區水深比第Ⅱ區深 (D)入
射角大於折射角 (E)若入射角為 i，折射角為 r，則
rsin
isin
=常數
1.利用水波槽觀察直線波的反射時，必須具備哪些實驗器材？
(A)水波槽、起波器、光源、海綿條、電源供應器、可變電阻
(B)水波槽、起波器、白紙、光源、電源供應器、可變電阻 (C)
水波槽、起波器、白紙、光源、海綿條、可變電阻 (D)水波
槽、起波器、白紙、光源、海綿條、電源供應器 (E)水波槽、
起波器、白紙、光源、海綿條、電源供應器、可變電阻。
2.當直線波由深水區傳向淺水區時，如下圖所
示，則水波的前進方向可能為 (A)A (B)B
(C)C (D)D (E)E。
3.用一起波器在深水區振動，若深水區的水波
波長為 λ1、頻率為 f1，淺水區的波長為 λ2、
頻率為 f2，則下面的關係何者正確？ (A)λ1＝λ2，f1＝f2 (B)λ1＜
λ2，f1＝f2 (C)λ1＜λ2，f1＜f2 (D)λ1＝λ2，f1＞f2 (E)λ1＞λ2，f1
＝f2。
課後 練習題

30. 2-30 波動 Wave
4.水波槽中如右圖一長 10cm 之直線脈
動 AB，由波速 v1 之深水區傳入 v2 之
淺水區，變成脈動 CD，則 CD 和界
面之夾角為
(A)30° (B)sin
－1 2
1
v
v
(C)sin
－1 1
2
v
v
(D)sin
－1 2
1
2v
v
(E)sin
－1 2
12
v
v
。
5.在「水波槽實驗」中，水波的速率 v 可視為和水深 h 的平方根
成正比，即v h 。設一水波槽中，有水深比為 2：1 的深淺兩
區域（境界為直線），並以一定頻率的起波器由淺區向深區送入
直線波，則 (A)深淺兩區域內的水波波速比為 2 ：1 (B)深
淺兩區域內的水波波長比為 1： 2 (C)淺區對深區的水波折
射率為 2 (D)淺區相當於光學的「疏」介質，深區相當於
「密」介質 (E)當入射角（在淺區內）為 o
30 時，折射角（在
深區內）為 o
45 。 [73.夜大]
答案
1.E 2.C 3.E 4.E 5.ACE

31. 2-31波動
2.8 水波的干涉與繞射
水波的干涉
1.現象：兩個點波源距離 d，兩方的圓形波同步傳遞，形成干涉
圖 2-16 水波槽投影而成的水波干涉 From http://www.flickr.com/photos/aetae/
2.兩波源 同頻率 、 同振幅 及 同相位差 兩波源成為
同調源(Coherent Source)
3.利用重疊原理作圖
 腹點：不同波源之波峰與波峰的重疊處(或波谷與波谷)，該
處介質的振動位移最大。
 腹線：腹點的連線。
 節點：波峰與波谷的重疊處，該處介質的振動位移最小。
 節線：節點的連線。

32. 2-32 波動 Wave
4. 形成節點、節線的原因及數學推論：
 節點：兩水波傳到此位置 N 時，呈現完全相消干涉，故兩水
波波程差為
1
( )
2
n  灰點
 節線：將具有相同波程差的節點連線即為節線
1 2
1
- ( - )
2
NS NS n n N 
說明：
節線均以兩波源為焦點的 雙曲線 ，n=1，稱為第一節
線，其餘類推。
N 點與 S1、S2 兩點相距甚遠 1 2- sinPS PS d  
1
sin ( )
2
nd n   
 單側的節線數
1
2
d
n

 
說明：
5. 形成腹點、腹線的原因及數學推論：
 腹點：兩水波傳到此位置 N 時，呈現完全相長干涉，故兩水
波波程差為 λ亮點區
 腹線：將具有相同波程差的腹點連線即為節線
1 2-PS PS n n N  
說明：
腹線均以兩波源為焦點的 雙曲線 ，n=1，稱為第一節
線，其餘類推。
N 點與 S1、S2 兩點相距甚遠 1 2- sinPS PS d  
sin nd n   

33. 2-33波動
波之繞射 diffraction
1.波行進時，遇到障礙物的阻擋或穿越有開口的障礙物，其行進
方向的角度會擴展繞到障礙物後方，此現象稱為波的繞射。
 同樣障礙物，波長較長繞射較明顯。
 同樣開口，波長較長繞射較明顯
 同樣波長，開口較小，繞射較明顯
總結：繞射的難易：由細縫的寬度(或小孔的大小)W 與波長 λ
的比決定。

34. 2-34 波動 Wave
例題9.：水波干涉-基礎題
如圖是水波槽中 S1 與 S2 兩個點波源發出水面波產生干涉的現象，
圖中的實線表示腹腺，即質點振動位移最大；兩實線間的虛線表節
線，即質點的振動位移為零，則
(1)S1 與 S2 的相位差為______。
(2)若水波的波長為 λ，則 PS1 與 PS2 的波程差為______λ。
(3)若 S1 與 S2 間的距離是 d，則 d/λ 的範圍是______。
解：
答：
類題：兩同相點水波源干涉，設兩點波源之間的距離為 d，波長為
λ，d＝3λ，問：(a) 共有幾條節線？(b) 兩波源連線上有幾個節點？
連線的中點為腹點，中點和左右側第一個節點的距離為波長的幾
倍？相鄰兩個節點之間的距離是波長的幾倍？ 答：
類題：水波槽內有兩個振源，相距為 d，同時發出同相的水面波，
其波長為 λ；當 d＝
2
3
λ 時，則介於此兩振源之間，可以見到的節
線（即水波振動位移最小處）為________條。答：2 條
例題10.：【日大】聲波的干涉
A、B 二揚聲器相距 20 米，同相播出波長為 10 米的聲波，則在 AB
連線間距 A 若干米處可測得之聲音極弱？ (A)16 米 (B)14 米
(C)12.5 米 (D)11 米 (E)8.5 米
解題概念 ：聲波干涉與水波干涉是相同，可直接運用水波干涉
推論後的相關公式
解：
答：
範例 演練

35. 2-35波動
類題：在不同位置上可聽到音量有大小起伏的變化，當觀測者與
S1 相距為 60 公尺，與 S2 相距為 64 公尺時音量最小，則下列何者
不能是喇叭之波長？ (A)0.89 公尺 (B)1.14 公尺 (C)2.67 公尺
(D)5.12 公尺 (E)8 公尺 答：D
1.水波槽中有 S1，S2 兩同相點波源
其振幅及頻率相同，皆為 0.5cm
及 12.5Hz，已知 S1 ，S2 相距
d=12.0cm，它們所產生之水波的
波速度為 2.0m/s，某點 P 與 S1 的
距離為 13cm，且 1PS 與 21SS 垂
直，如圖所示，則：(1)水波之波
長若干? (2)P 點的干涉性質為何? (3)波從 S1 達 P 的時間為何? (4)
同時自 S1 與 S2 出發的波抵達 P 點的時間相差若干? (5)若振動頻
率增倍，則 P 點之振幅為何?
2.水波槽中，兩同相點波源S1與S2相距55cm，發出波長為20cm之
波，則兩波源間有多少個節點?
3.S1、S2兩個喇叭，分別置於
y=12m，x=2.5m處(如圖所示)，
由同一電源驅動發出相同的單頻
聲音。一觀測者在x軸的不同位置
上可聽到音量有大小起伏的變
化。已知音量在原點時最大，往
右移則音量漸小，當移至x=2.5m
處時，音量最小。若聲速為
344m/s，則喇叭之音頻為若干?
[85.日大]
4.在水波干涉的實驗中，若點波源間的距離為d，則水面上任一點
與兩波源間的距離差，不可能為何值？ (A)
10
d
(B)
5
d
(C)
3
d
(D)d (E)3d。
5.兩個相角差為0°的點波源發生干涉時，若波源距離 d 與波長λ
的關係為 d＝
7
2
λ，則水波槽中可見到幾條節線？ (A)3 (B)5
(C)8 (D)10 (E)12。
6.在兩點波源干涉的實驗中，若垂直於兩波圓連線的中分線，在
課後 練習題
-2.5 0 2.5 x(公尺)
12 公尺
y

36. 2-36 波動 Wave
白紙上的投影恰為灰色條紋時，這表示兩波源的相角差為
(A)0° (B)30° (C)60° (D)90° (E)180°。
7.水波槽中，兩同相位點波源相距 d，水波
波長 λ ，在水波槽中產生兩條節線如右
圖，則 d 與 λ 之關係為何？
8.在水波槽中有兩同相點波源，相距 12cm，
其所產生波動的波長為 4.0cm，試求第二節
線之節線角為若干度？
9.水波槽中，兩同相點波源相距 d，欲產生 6 條節線，則波長 λ
限制條件的範圍為何？
10. 在水波槽中，波自深水區傳至淺水區，其入射角為 53°，於
深淺區之波長分別為 1.6 公分及 1.2 公分，問在深水中之波速為
28 公分／秒，則在淺水中之波速為何？
答案
1(1)16cm (2)破壞性干涉位置的節點 (3)0.065s (4)0.04s
(5)1cm 2. 6 3. 172Hz 4.E 5.C 6.E 7.  d＜ λ
8. 30 9.  λ＞ 10. 21 cm/s