中華民國高中物理教材 108課綱-選修物理3 Ch1 波動

1. 阿 Samn 的物理課本 http://mysecretpark.blogspot.tw/
1 波動
CHAPTER 1 波動 WAVE
相關版權說明：
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或網路，版權仍屬原創者所有
◼ 講義內容採用創用授權，不得商
業化(印給學生工本費除外)
本章的目的
這個世界充滿各式各樣的波動，如水波、繩波、聲波等等。因
此，物理學家會由一些基本的模型來描述波動，其中水波是最
熟悉的例子。時至今日，波在現代世界已經相當重要，但無論
波動如何擾動，波動最主要的作用就是傳遞能量。
本章重點在於了解波的基本性質及人類如何將波應用在日常生
活，比方說解釋地震的相關資訊。

2. 1-2 波動 Wave
REVIEW AND SUMMARY

3. 1-3
1.1 波的基本性質
1.1 波的基本性質
學習目標
閱讀完這節，你應該能夠…
1. 瞭解波能傳遞能量，無法傳遞介質。
2. 區分橫波與縱波的差異
3. 區分力學波與電磁波的差異
❑波動(波)(Wave)
1. 波動是以波源為中心，將 能量 由近而遠向外傳遞的物理
現象。
◼ 波可以是集體行為造成的，如水波；也可以是個別粒子
的行為，如物質波；質量極大的物體擾動時空而產生的
波，如重力波。
◼ 空間中某點可同時容下數個波，並且相遇會互相有加疊
的效果，其加疊方式類似向量加法。
❑波的分類
1. 依是否需要介質來傳遞：
◼ 力學波(mechanical waves)：需要 介質振動 才能傳遞的
波。
說明：在同一介質中傳播時，波速為定值，與質點振動速
度及振幅無關。
◼ 電磁波(Electromagnetic waves)：電場與磁場的交互變化，
不依靠介質就能傳遞的波動，如真空中的電磁波，其波
速皆為 3×108
m/s 。
2. 依振動方向區分
◼ 橫波(Transverse wave)：介質質點振動的方向與波前進的
方向互相 垂直 者
◼ 縱波(longitudinal wave)：介質質點振動的方向與波前進
的方向互相 平行 者
圖 1-3 縱波與橫波，https://reurl.cc/jkNln1
圖 1-1 力學波傳遞時候，介質不隨
波移動。
物質波(matter waves)：
屬「近代物理」範疇，電
子、質子及其他基本粒
子，會有如同「波」的特
殊表徵。
圖 1-2 電磁波是同相振盪且互相垂
直的電場與磁場的波動。

4. 1-4 波動 Wave
❑介質如何傳遞波動(補充資料)
1.模型假設：將介質區分數個體積元素(簡稱體積元)。
◼ 如果介質為固體：固體具有強大原子間聯結力→同時具
有 正向力 (垂直接觸面)及 切向力 (平行接觸
面)
◼ 如果介質為理想流體(液體、氣體)：理想流體之間可視為
無切向力，僅具有 正向力 (垂直接觸面)
2.如果介質為理想流體：
◼ 假設介質受到垂直方向的擾動：理想流體之間可視為無
切向力，A 與 B，C 與 B 之間並無切向力→B 無法帶動
A、C 一起擾動→無法傳遞橫波
◼ 假設介質受到水平方向的擾動➔可產生縱波不管介質為
固體或 A 與 B，C 與 B 之間具有正向力➔A、C 就會出
現水平方向的擾動→形成 縱波
3.如果介質為固體時候：
◼ 假設介質受到水平方向的擾動：A 與 B，C 與 B 之間具
有正向力➔A、C 就會出現水平方向的擾動→形成 縱波
◼ 假設介質受到垂直方向的擾動：A 與 B 之間具有切向
力，C 與 B 之間具有切向力，A、C 因為與 B 之間切向力
帶動，就會出現垂直方向的擾動→形成 橫波
4.結論
◼ 固體介質：可傳遞 橫波 與 縱波
◼ 理想流體介質：只能傳遞 縱波
A B C
A B C
圖 1-4 以體積元模式呈現縱波及橫
波

5. 1-5
1.1 波的基本性質
❑繩弦上橫波波速
1.將弦兩端拉緊，輕彈一端將產生弦波振動，波速為𝑣 ( 𝑇：
弦上張力 𝜇：弦之線密度)
𝑣 = √
𝑇
𝜇
(1.1)
說明：假設觀察者隨波進行，則看見繩之運動如圖所示。
細繩頂端的極小段可視為一圓弧(等速率圓週運動)
此小段對應的圓心角為2𝜃，細繩質量為 2𝑅𝜃
𝐹
𝑐 = 𝑚
𝑣2
𝑅
2𝑇 sin 𝜃 = 2𝜇𝑅𝜃
𝑣2
𝑅
𝜃→0
→ 2𝑇𝜃 ≐ 2𝜇𝑅𝜃
𝑣2
𝑅
∴ 𝑣 = √
𝑇
𝜇
結論：
線密度：彈性繩每單位長度的質量
𝜇 =
𝑚
𝐿
繩波波速只和 弦上張力 和 線密度 有關，而與波長，
或頻率、振幅等無關。
類題：有一彈簧其力常數為𝑘，原長為𝐿，當其總長度為3𝐿/2
及2𝐿時之波動的傳播速率之比為（在彈性限度內）答：
√3: 2√2
一遵守虎克定律之均勻彈性繩，其長度為 𝐿，將此彈性繩均勻
拉長至 1.2𝐿 之長度，並將其兩端固定，測得繩上橫波之波速
為𝑉，今將此彈性繩再均勻拉長至 1.6𝐿 ，並將其兩端固定，
則繩上橫波之波速應為𝑉之多少倍？
繩波波速
例題
圖 1-5 繩波波速示意圖。From
opentax

6. 1-6 波動 Wave
1.2 振動與週期波
學習目標
閱讀完這節，應該能夠…
1. 區分脈衝波與週期波的差異。
2. 理解週期波的定義。
3.知道最簡單的週期波是正弦波。
❑週期波 periodic wave
1.定義：若波源(振動端)做連續且有規律的振動，則所產生的
波稱為連續週期波。
◼ 時間的重複性：每隔一個週期時間，波形就會重複出現
◼ 空間的重複性：每隔一個波長的距離，波形就會重複出現
圖 1-6 鋼琴發出的聲音也是週期波的一種，只是較為複雜。
2.某一質點以平衡位置為中心，進行上下簡諧振盪，質點位置
與時間的關係圖恰為正弦波-最簡單的週期波。
◼ 頻率(frequency)：波源在 1 秒內完整振動的次數。單位是
赫(Hz)，即 1/秒，頻率與週期互為倒數
◼ 週期 period：波源完成一次完整振動所需的時間為週期，
單位是秒(s)
◼ 振幅(amplitude)：介質偏離平衡位置的最大距離。
波長(wave length)：波傳播過程，沿行進方向固定重複出
現的波形的最小長度，例如：相鄰兩波峰或波谷之距離。
◼ 相位(phase)：用來表述 波形變化 的物理概念，並對應質
點震盪時的位置，也稱相位角。以[度]或[弧度]作為單位，
波形循環一週期即為 360°或 2𝜋 弧度。
波峰(crest)
波谷(trough)
振幅(amplitude)
波長
波長
平衡
位置
正弦波方程式(補充資料)
𝑦 = 𝐴 sin( 𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)
角速度
時間
位置
波數
相位角
振幅

7. 1-7
1.2 振動與週期波
❑週期波的移動
1.假設此正弦波向 +𝑥方向移動，波形將有如下變化
圖 1-7 正弦波在行進時，其波形會因時間、位置而不同。
𝑥
𝑦
𝒕 = 𝟎
𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
經過
𝟏
𝟒
𝑻，波向右前進
𝟏
𝟒
𝝀的距離
經過
⬚
𝟒
𝑻，波向右前進
⬚
𝟒
𝝀的距離
波形相同
相位差= 0
兩點之間的水平間距
𝝀的 整數倍
同相
相位差= 180
兩點之間的水平間距
𝝀/𝟐的 奇數倍
反相

8. 1-8 波動 Wave
2.波速𝑣：波的傳遞速率或波的行進速率
◼ 當經過的時間為一週期時，波會前進一個波長的距離
𝑣 =
𝜆
𝑇
= 𝑓𝜆 (1.2)
◼ 相同的波動在不同介質中傳遞時候，波速不同。
例如：相同頻率的聲波在固體、液體、氣體中的傳播速
率完全不同。
答：9：26：10
類題：地震時會同時產生 P 波與 S 波，P 波是縱波其波速約為
9000 m/s，S 波是橫波其波速約為 5000 m/s。一觀測站在某次大
地震中測得 P 波抵達後的 12 s，S 波也抵達，若這兩種波沿著
同一直線路徑由震源傳到觀測站，則震源與觀測站的距離約為
多少 km？(A) 8 (B) 60 (C) 90 (D) 135 (E) 255。
〈105 指考〉
答：D
假設某地區發生地震時，P 波的傳遞速度為 6 km/s，S 波的傳
遞速度為 4 km/s，則當該地區發生地震時，這兩種地震波到達
甲測站的時間差為 10 s，到達乙測站的時間差為 30 s，如果甲
測站在上午 9：25：30（9 點 25 分 30 秒）測到初達 P 波，則
乙測站應在何時測到初達 P 波？
103 學測
例題

9. 1-9
1.2 振動與週期波
答： (1)0.4 s (2)10 m/s
類題：圖中實線位置的波形，經 0.1 秒向右傳播至虛線位置，
已知週期 T 的大小，
35
1
秒＜T＜
25
1
秒，波速為多少？。
答案：130 cm/s
圖中實線為一列向右方行進的橫波在 𝑡 = 0 時的波形，而虛
線則為此列橫波在 𝑡 = 0.5 秒時的波形，若此列橫波的週期為
𝑇，且0.3 s < 𝑇 < 0.5 s，則
(1)此列橫波的週期為若干秒？ (2)此列橫波的波速為若干
m/s？
行進波的應用【81 年日大】
例題
𝑦
𝑥
0 1 2 3 4 5 6 7 8 公尺

10. 1-10 波動 Wave
1. 以下有關波動現象的一般特性，哪一項是錯誤? (A)可傳
遞能量和動量 (B)有干涉及繞射的現象 (C)遇不同介質，有
反射及折射現象 (D)傳遞波動的介質，會隨著波傳播出
去。
2. 力學波在實際的傳播過程中不會逐漸改變的性質是什麼？
(A)頻率 (B)波長 (C)振幅 (D)能量
3. 長度比為1：2的A、B兩弦，聯結成一線，其線密度的比為
1：4，如A弦上有一脈波在前進，則A、B弦上波速比為：
(A)2：1 (B)2√2: 1 (C)4：1 (D)1：2 (E)1: 2√2
4. 一個半徑25公分的臉盆盛水半滿，在圓心的正上方處有一
滴水的水龍頭，已知所產生的圓形波到達臉盆邊緣歷時0.5
秒，相鄰兩圓形波的距離為5公分，則水龍頭滴水的頻率為
若干？ (A)5滴/秒 (B)10滴/秒 (C)15滴/秒 (D)20滴/秒
5. 如圖表示一彈性繩上瞬間的正弦波形，則圖中哪一點的速
率最大？ (A)A (B)B (C)C (D)D
6. 一正弦波在繩上傳播，已知繩上P點到達最高點時，再經過
1秒後，水平距離為1/4 波長的另一點Q始到達最高點處，
則此波的頻率為若干赫？
7. 一弦長10.0m，質量為1.20kg，兩端施以48.0N的拉力，並使
之連續振動產生週期波，每秒振動10.0次，求：(1)弦上波
速；(2)波長。
8. 有一細繩長度為10公尺，質量為0.1公斤，當有一波動由該
繩的一端傳至另一端時，費時為0.5秒，則此細繩上的張力
為若干牛頓？ 答：4N
9. 一彈簧質量為1.0㎏，長為5.0m，將其一端固定，另一端施
力10N拉撐，彈簧長度成為10m，同時在施力端以每秒四次
振動產生波動，求波速和波長。
10. 彈簧彈力常數為𝑘，原長為𝐿，將其伸長至總長為2𝐿與3𝐿
時，波動在其傳播速率比為何?
11. 三段粗細不同之繩連結成一條，單位長度質量比1：9：4，
今以手搖動所成脈動在此三段速率比為何?
課後 練習題
A
B
C
D

11. 1-11
1.2 振動與週期波
大考試題觀摩
12. 李同學每隔相同的時距，以鉛筆筆尖輕點水波槽水面，水
面產生圓形波向外傳播，經投射在屏幕上可看到明、暗相
間的水波影像。若筆尖以每秒3次輕觸水面，量測到經過5.0
s的時距，水波影像沿半徑向外的位移為30 cm，而投射裝
置的放大率經實測約為2倍，則鉛筆筆尖所產生週期圓形波
在水波槽中的實際波長為若干cm？(A) 1.0 (B) 2.0 (C) 6.0
(D) 9.0 (E) 12。
〈107學測〉
13. 波列很長的四個橫波，都沿正𝑥軸方向傳播，若𝑥軸上O與P
兩點間距離為𝐿，在時間𝑡 = 𝑡0看到此四個
波的部份波形分別如右圖的甲、乙、丙及
丁所示，其波速分別為4𝑣、3𝑣、2𝑣及𝑣。則
下列敘述中哪些正確？
(A)頻率大小依序為丁>丙>乙>甲 (B)甲與
丁的周期相同，乙與丙的頻率相同 (C)甲
的波長是乙的兩倍，乙的波長則是丁的兩
倍 (D)在時間𝑡 = 𝑡0後，O點最早出現下一
個波峰的是乙 (E)在時間𝑡 = 𝑡0後，O點
最早出現下一個波谷的是丙。[96.指定科考]
14. 一列週期性繩波以5.0 m/s之速度，沿−𝑥方向傳播時，以致
質輕細繩沿著 y 方向振動。若以 y 代表細繩偏離平衡位置的
位移，則在𝑡 = 0.20 s時，繩上各點的位移，如圖7所示，則
在𝑥 = 2.0 m處之P點的位移𝑦隨時間𝑡的變化關係，以下列何
圖所示較為正確？【104.指定科考】
(A) (B) (C)
(D) (E)
15. 如下圖所示，是由左向右行進的一週期波，其長波列的一
部分波形。設此時𝑡 = 0 ，P點的位移為 𝑦0，下列哪一項是
在 𝑡 = 0以後的時間中，P點位移隨時間變化的圖？
𝑥
3𝑣
O P
乙
丙
4𝑣
甲
O
P
𝑥
𝑥
P
2𝑣
O 𝑥
O
P
𝑣
丁
0
y（m）
t（s）
1.0 2.0 0
y（m）
t（s）
1.0 2.0 0
y（m）
0.2 0.4
t（s）
0
y（m）
0.2 0.4
t（s） 0
y（m）
0.2 0.4
t（s）
0
y（m）
x（m）
1.0
P
圖 7
2.0
𝑡 = 0.20 s

12. 1-12 波動 Wave
(A) (B)
(C) (D)
(E)
+
16. 14.2021年2月7日發生芮氏規模6.1的地震，許多民眾手機收
到多次國家級警報。該地震震源在臺灣東部外海，深度約
為112 km。宜蘭市地震監測站（距震源直線距離約為141
km）測得地動加速度對時間的關係，如下圖所示，圖中第0
秒為地震起始時間。
【110年指考】
若宜蘭市預警系統可在P波抵達後的7秒內就完成判斷並發
出預警至各縣市，則對於距震源直線距離約215 km之苗栗
市，可提供的應變時間約為幾秒？（假設P波與S波的波速
固定，且都由震源直線傳播到地表上的各地點。）
(A) 7 (B) 14 (C) 26 (D) 33 (E) 37
練習題答案
1. D 2. A 3. A 4. B 5. C 6. 1/4 7. (1)20 m/s (2)2
m 8. 4 N 9. 10 m/s ,2.5 m 10. 1：√3 11. 6：2：3
12. A 13. BCDE 14. C 15. C 16. C
𝑥
P
𝑦
𝑦0
𝑦
t
𝑦0
0
𝑡
𝑦
y0
0
𝑡
𝑦
y0
0
𝑡
y0
0
𝑦
𝑡
𝑦
y0
0
P 波
S 波
cm/s
2

13. 1-13
1.3 繩波
1.3 繩波
學習目標
閱讀完這節，應該能夠…
1. 解釋繩波在不同反射面的反射情況 2. 解釋繩波在在不同介質的傳遞狀況。
❑繩波的入射波傳至固定端
1.一繩弦右端固定在牆壁上，既可理想化為 固定端 。
2.繩的入射波入射至牆壁固定端之後，因接觸點固定不動，接
觸點給予反向震動的力產生的反射波：
◼ 波速 不變 、波長 不變
◼ 波形 上下相反 、左右 顛倒
❑繩波的入射波傳至自由端
1. 一繩弦右端與小環連接，小環套在一無摩擦的金屬棒，既可
理想化為【自由端】
。
2. 繩的入射波入射至自由端，由於慣性，小環因而繼續攀升，
並將緊鄰的繩子也向上拉起產生反射波
◼ 波速 不變 、波長 不變
◼ 波形 上下相反 、左右 顛倒
❑繩波在不同介質的反射與透射
1. 繩波在線密度不相同並串聯一起的繩子中傳播。
◼ 可視為在不同介質中傳遞，致使傳播速率 不同
◼ 繩波的頻率維持 不變 。
◼ 經過交界處，會產生反射波與透射波。
2. 繩波由輕繩(線密度較小)傳至重繩(線密度較小)時，其交界
處可視為 固定端
圖 1-10 繩波在輕繩傳遞到重繩的情況，From OpenStax。
入射波
反射波
透射波
反射前
反射後 𝑣
റ𝑇
𝑣
റi
𝑣
റR
入射波
𝑣
റ𝑅
𝑣
റ𝑖
反射波
圖 1-9 自由端反射的情形，From
Openstax
入射波
𝑣
റ𝑅
反射波
𝑣
റ𝑖
圖 1-8 固定端反射的情形，From
Openstax。
反
射
波
波形 上下、左右
相反(反相)
振幅 變小
波長 不變
波速 不變
頻率 不變
透
射
波
波形 不變(同相)
振幅 變小
波長 變短
波速 變慢
頻率 不變
表格 1-1 輕繩傳至重繩的反射波與
透射波性質表

14. 1-14 波動 Wave
3. 繩波由重繩傳至輕繩時，其交界處視為 自由端
圖 1-11 繩波在重繩傳遞到輕繩的情況，From OpenStax。
解題觀念：行進波在傳遞過程中，其頻率維持不變，既使穿過
在不同介質)
答：1. 1s ,4s 2. 10 cm/s ,2.5 cm/s 3. 2.5cm,0.625 cm
類題：二長度相同的彈性弦，聯結成一條，兩線密度 1：16 而
線張力相同，如弦上有一脈波在前進，透射波與反射波分別到
達兩端點之時間比為 答：1:4
入射波
反射波 透射波
反射前
反射後 𝑣
റ𝑇
𝑣
റi
𝑣
റR
長均為 10 公分的輕重不同的兩彈簧相連接，有頻率為 4Hz
的波自輕彈簧經 5 秒後傳至重彈簧的另一端，已知輕重兩彈
簧內的波速比為 4：1
(1)脈動在各彈簧中行進的時間是多少？
(2)脈動在各彈簧中行進的速率是多少？
(3)波在各彈簧中的波長是多少？
不同介質中的繩波
例題
反
射
波
波形 僅左右相反
振幅 變小
波長 不變
波速 不變
頻率 不變
透
射
波
波形 不變(同相)
振幅 變大
波長 變長
波速 變慢
頻率 不變
表格 1-2 重繩傳至輕繩的反射波與
透射波性質

15. 1-15
1.3 繩波
1.當波由重繩傳至輕繩時，反射脈動和透射脈動與入射脈動比
較：(甲)波形兩者皆不顛倒(乙)透射脈動波速不變(丙)反射脈
動振幅變小(丁)反射脈動的波形左右不變。上列四個敘述哪
些正確？(A)(乙)(丙) (B)(甲)(丙)(丁) (C)(乙)(丁)
(D)(甲)(丙) 。
2.在繩上振動波的反射與透射問題上，下列何者正確?(A)若繩
的一端繫於牆上，則自牆反射的波與入射波振動方向相反
(B)若繩的一端繫於一質量可忽略的小環，小環套於光滑棒
上，則自環反射的波與入射波振動方向相同。(C)若甲繩一端
連接線密度較小的乙繩，則在交接處甲繩上的入射波與反射
波振動方向相反。 (D)若甲繩一端連接線密度較大的乙繩，
則在交接處甲繩上的入射波與反射波振動方向相同。 (E)
不論相接的兩繩線密度大小如何，在交接處的入射波與透射
波振動方向恆相反。
3.一線密度較小的輕繩上，有一向右傳遞，向上振動之入射脈
波(如圖所示)。在輕繩與線密度較大之重繩之交接處(P點)，
脈波產生第一次反射與透射。第一次透射波傳遞至牆壁上O
點反射而回，至P點時再產生第二次之反射與透射，則下列
有關脈波在P點之透射波與反射波之敘述，何者為正確?
(A)第一次透射波為向上振動的脈波 (B)第二次透射波為
向上振動的脈波 (C)第一次反射波與第二次反射波均為向下
振動的脈波 (D)第二次透射波的振幅較入射波為小
(E)第一次透射波與第二次透射波的波速相同
4.下列有關波的反射與透射之敘述，何者正確？ (A)聲波遇牆
壁反射，屬於自由端反射 (B)波動遇到自由端反射，反射波
之波形顛倒、振幅不變 (C)波動由輕繩傳至重繩，透過波之
波形不顛倒、振幅變小 (D)波動由輕繩傳至重繩，反射波波
形顛倒、振幅變小 (E)波動由重繩傳至輕繩，透過波之波速
小於反射波之波速
練習題答案
1. D 2.AB 3. ACD 4. CD
課後 練習題
入射波
P O

16. 1-16 波動 Wave
1.4 波的疊加原理
學習目標
閱讀完這節，應該能夠…
1. 應用波的疊加原理、波的獨立性解釋波的重疊情
況
2. 區分建設性干涉、破壞性干涉的差異。
❑波的重疊與波的干涉
1.波的獨立性：兩脈動彼此交錯通過之前後，每個脈動仍保留
其原來之波形與波速；此種不因交會後而改變脈動本質的特
性，稱為波的獨立性。
2.波的疊加原理(principle of superposition for waves)：當幾個獨
立之波在同一介質中相遇時，介質中任何一點的瞬時位移即
是這幾個波在此點之瞬時位移的向量和。
𝑦 = 𝑦1 + 𝑦2 + ⋯ (1.3)
3.兩個波(或以上)重疊組合成新合成波的現象，稱為 干涉
(Interference)
◼ 相長性干涉 Constructive interference
合成波的振幅比原先任一波振幅 大
合成波的波形與原來波形不相同
◼ 同相重疊：兩同頻率的波之波峰或波谷同時抵同一位置的
重疊情況。
說明：合成波的振幅恰為兩個波的振幅的和(最大振幅)
圖 1-14 完全相長性干涉
圖 1-13 相長性干涉之示意圖
圖 1-12 波的重疊

17. 1-17
1.4 波的疊加原理
◼ 相消性干涉 Destructive interference
說明：合成波的振幅比原先任一波振幅 小
◼ 反相重疊：當兩波重疊時，若一波的波峰與另一波的波谷
同時抵達同一位置時，稱為反相
◼ 說明：合成波的振幅恰為兩個波的振幅的差(最小振幅)
❑波的重疊與干涉的應用
1. 在電機工程學：電磁波或交流電訊號的疊加
2. 在機械工程：疊加用來解組合荷重的梁與結構的形變
圖 1-15 破壞性干涉之示意圖
圖 1-16 降噪(抗噪)耳機的原理。原
理為使用一個以上靠近耳朵之麥克
風接收外界噪音，並以電子電路產
生和噪音音波相位相反之訊號。當
此反相訊號產生時，破壞性干涉消
除了配戴耳機者本來所能聽到之外
界噪音。

18. 1-18 波動 Wave
解：
答：1. -6,-3,6 2. 0,12,0
如下圖所示，兩自身對稱，形狀相同之脈動 A、B 相向傳
播，傳播速率為 10 cm/s，X 為兩脈動間的中央點，Y 在 X 的
右邊 5 ㎝，Z 在 Y 的右邊 5 cm
1.如圖所示瞬間，再經 2.5 秒，Y 的位移為_____cm，Z 的位
移為_____cm，Z 的振動速度為_____cm/s。
2.再經 0.5 秒，Y 的位移為_____cm，Y 的振動速度為
_____cm/s，X 的振動速度為_____cm/s。
波的干涉
例題
6
20 cm
20 cm
20 cm
A
B
6 20 cm
X Y Z
𝑣
𝑣

19. 1-19
1.5 駐波
1.5 駐波
學習目標
閱讀完這節，應該能夠…
1. 解釋駐波的形成原因。 2. 處理弦波駐波相關應用。
❑駐波 Standing wave
1. 成因：同時有兩個 振幅 、 波長 、 頻率 皆相同的
連續週期性(正弦)波動，此兩個波動以 相反的方向 前
進，當兩波交會時即可形成駐波。
圖 1-17 駐波形成的示意圖 From Wiki
2.介質位移(振幅)恆為零之點稱為 節點(node) ，又稱波節
◼ 相鄰兩節點的距離為 𝜆/2
3. 相鄰波節的中點，振動幅度最大的點稱為 腹點(antinode) ，
又稱波腹。
◼ 相鄰兩腹點的距離為 𝜆/2
4.駐波的特性
◼ 在節點與節點之間波幅作週期性漲落，而波形 不前進
有振盪及波的型態，沒
有看到「波的前進」
質點均在原處作 SHM.，
振幅則隨各質點之位置
而異
能量不向外傳遞，僅質
點之間的動能與位能互
換
圖 1-18 駐波示意圖

20. 1-20 波動 Wave
◼ 除節點外，各質點處都在進行相同頻率、不同振幅的簡諧
運動，其動能與位能互換。
❑駐波的應用
1.長為𝑳，兩端固定的弦駐波
現象：將一彈性弦(如樂器的弦線)兩端固定，撥弄弦上任一
點，則弦上各點均作來回的運動。弦線的振動情形如右圖。
振動頻率：
𝑓𝑛 =
𝑣
𝜆𝑛
=
𝑛𝑣
2𝐿
(1.4)
說明：
𝑛 = 1 稱為 基音 或第一諧音。
𝑛 = 2 稱為 第一泛音 或第二諧音。其餘，依此類推。
𝐿 =
1
2
𝜆1 ⇒ 𝜆1 = 2𝐿
𝐿 = 𝜆2 ⇒ 𝜆2 = 𝐿 =
2𝐿
2
𝜆𝑛 =
2𝐿
𝑛
⇒ 𝑓
𝑛 =
𝑣
𝜆𝑛
=
𝑛𝑣
2𝐿
2.兩端固定的弦駐波的應用：弦樂器。
圖 1-19 弦樂器，如吉他，就弦波駐波的應用。From Cutnell Physics

21. 1-21
1.5 駐波
3.一端固定、一端為自由端之弦的弦駐波
振動頻率：
𝑓𝑚 =
𝑣
𝜆𝑚
= 𝑚
𝑣
4𝐿
(1.5)
說明：
𝑚 = 1 稱為 基音 或第一諧音。
𝑚 = 3 稱為 第一泛音 或第三諧音。其餘，依此類推。
𝐿 =
1
4
𝜆1 ⇒ 𝜆1 = 2𝐿
𝐿 =
3𝜆3
4
⇒ 𝜆3 =
4𝐿
3
𝜆𝑚 =
4𝐿
𝑚
⇒ 𝑓
𝑚 =
𝑣
𝜆𝑚
=
𝑚𝑣
4𝐿
皆為基頻的奇數倍
答：B
類題：長度 30cm 的鋼線質量為 3g，使之振動形成駐波，欲產
生 300Hz 的第三諧音，則鋼線上的張力應為多少？
類題：兩端固定的一條網琴線長 50 公分，質量為 5 公克，若線
上之張力為 400 牛頓，則其基音（第一諧音）的頻率為多少？
(A)100 赫 (B)200 赫 (C)400 赫 (D)800 赫。答：B
將 一 均 勻 的 細 繩 拉 緊 ， 兩 端 固 定 於 相 距 為 𝐿的 兩 點 。
當 細 繩 上 形 成 的 駐 波 有 三 個 腹 點 時 ， 駐 波 的 波 長 為
何 ？ (A) 𝐿/3 (B) 2𝐿/3 (C) 𝐿 (D) 3𝐿/2 (E)
3𝐿
弦上駐波-【105 年指考】
例題

22. 1-22 波動 Wave
答：
7𝑣
4𝐿
如 圖 ， 長 度 為 𝐿的 彈 性 弦 ， 其 弦 上 波 速 為 𝑣。 今 將 其
一 端 固 定 ， 另 一 端 套 一 小 環 成 自 由 端 ， 並 適 度 振 動
使 之 產 生 駐 波 。 若 包 含 固 定 端 共 4 個 節 點 ， 則 其 振
動 頻 率 為
弦上駐波-自由端
例題

23. 1-23
1.5 駐波
1.一弦線的一端固定
，
另一端則以一很輕的小環套在一細長且光
滑的棒上。環的質量可以不計；弦在靜止時與細棒垂直。若弦
的長度為 0.5 公尺，線密度為 0.01 公斤/公尺，弦振動的基頻
為 100 赫，則弦的張力為： (A) 400 牛頓 (B) 200 牛頓 (C)
100 牛頓 (D) 50 牛頓 (E) 25 牛頓
2.兩波相遇，而互相重疊時 (A)合成波振幅可能會較原來的波
為小 (B)其質點振動速度必為零 (C)當兩波交會後，其振幅
必變小 (D)當兩波交會後其波速不變 (E)當兩波交會後，其
波形不變
3.關於駐波，下列何者正確？ (A)等頻率、等振幅，在同介質
中傳播之兩波，其合成波一定為駐波 (B)駐波中相鄰兩波節
間距離，為兩行進波波長之半 (C)駐波中，節點保持靜止，不
作振動 (D)駐波之波形，可由兩行進波，按重疊原理求出 (E)
波為傳播能量工具，駐波傳播能量最為理想
4.兩進行波在繩上形成駐波時，若相鄰兩波節間的距離為 𝐿 ，
則下列敘述何者正確？ (A)兩進行波的傳播方向必反向 (B)
兩進行波的振幅大小必相等 (C)兩進行波的頻率大小必相等
(D)兩進行波的波長為 2𝐿 (E)兩進行波相遇時，介質的振動
位移必須滿足重疊原理
5.一長 2 公尺的弦線兩端固定，如在一端產生一脈波，發現此脈
波需時 0.1 秒，才能由此端至他端反射來回一次，問此振動的
可能頻率為何?
6.把長 1 公尺的弦兩端固定
，
若一脈波從一端進行另一端需 0.05
秒，則此弦產生的振動的基音頻率為何?
7.1 m 長之弦其質量為 10 g，所受之張力為 100 N，當兩端固定
使其產生振動，求(1)弦上之波速? (2)使弦上產生二個波腹時
之波長? (3)此時之頻率是多少?
8.一弦兩端固定，弦之線密度為 4 g/m，弦的張力為 8.1 牛頓。
當弦線振動產生𝑛及𝑛 + 1個波節的駐波時，所量得的波節間距
分別為 18 公分及 15 公分。(1)求弦線的長度? (2)求基音的頻
率?
9.如圖所示，將線密度 2.0×10-4
公斤/公尺的弦一端固定，保持
水平 1 公尺後跨過定滑輪，在另一端懸吊質量 2.5 公斤的重
錘，彈此弦時，在其上產生四個波腹的駐波，則此時之弦其
振動頻率為若干赫?(g=9.8 m/s2
)
10. 圖為鋼琴鍵盤的一部分
，
第四個 C 音稱為中央 C，記為 C4
，
其基頻為 262Hz，圖中的 A 音的基音頻率為 440Hz。(1)求中
課後 練習題
Q
P
1 m

24. 1-24 波動 Wave
央 C 音的前三個諧音頻率。(2)A 音和 C 音使用的弦線密度相
同，但是 A 音的弦長是 C 音弦長的 64%，則兩弦的張力比值
是多少?
11. 長度 30 公分兩端固定的鋼線質量為 3 克，則(1)線上的張力
需為多少，才可產生第三諧音的頻率為 300 赫? (2)基音的波長
是多少?頻率是多少?
大考試題觀摩
12. 當我們使用正確的頻率來回撥動浴缸裡的水，可以產生駐
波，而使靠浴缸兩邊的水交替起伏(即一邊高時，另一邊低)。
若水的波速為 1.0m/s，浴缸寬 75cm，則下列何者為正確的頻
率 ？ (A)0.67 (B)1.48 (C)2.65 (D)3.78 (E)4.23 Hz
(91.指考)
13. 長度為 𝐿 的張緊弦線兩端固定，設弦線作橫向振動時，
弦波的波速為𝑣。試問下列何種弦線振動時，最有可能讓人
看到如下圖所示，弦線在兩最大位移間振動的視覺暫留影
像？假設視覺暫留時間為 1/20 s。 (A)𝐿 = 0.20 m；𝑣 =
2.0 m/s (B)𝐿 = 0.30 m；𝑣 = 4.0 m/s (C)𝐿 = 0.40 m；𝑣 =
8.0 m/s (D)𝐿 = 0.50 m；𝑣 = 8.0 m/s (E)𝐿 = 0.60 m；𝑣 =
8.0 m/s [94.指定科考]
14. 一條長度為 5.0 m、兩端固定的繩上所形成的駐波，其示
意圖如圖。此駐波是由波形相同，但行進方向相反的二波重
疊而成，此二波的波長為何？ (A) 1.0 m (B) 1.5m (C)
2.0 m (D) 2.5 m (E) 3.0 m。[100.指定科考]
練習題答案
1. A 2. ADE 3. BCD 4. 全 5. 10𝑛 Hz (𝑛 = 1,2,3 …) 6.
10 Hz 7. (1)100 m/s (2)1 m (3)100 Hz 8. (1)90 cm
(2)25 Hz 9. 700 Hz 10. (1)786 Hz (2)1.16 11. (1)36 N
(2)0.6m，100 Hz 12. A 13. C 14. C
L

25. 1-25
1.6 海更斯原理
1.6 海更斯原理
學習目標
閱讀完這節，應該能夠…
1. 理解波前的定義 2. 根據海更斯原理解釋波的傳遞：前進、反射..等。
❑波前(wave front)
1.在同一時刻，將作 同相位 的點連接起來所得到的線或
面，稱為波前
◼ 相鄰波峰所連成的波前，稱為波峰波前
◼ 相鄰波谷所連成的波前，稱為波谷波前
◼ 兩相鄰波峰波前的距離即為水波的波長𝝀
◼ 波的傳播方向恆與波前 垂直
圖 1-21 (a)波峰波前、波谷波前的示意圖。不同形式的波源，有不同形態
的波前。
❑海更斯原理 Huygens’s principle
1. 波前上任一點皆可視滿新的點波源，由此無數個新點波源
所發出之球面子波的包絡面乃為下一時刻的新波前。
新波前
𝑣
𝑠 = 𝑣t
舊波前
(a) (b)
圖 1-22 克里斯蒂安·惠更斯
（Christiaan Huygens，
1629∼1695，荷蘭人）一生研究成
果豐富，在多個領域都有所建樹，
許多重要著作是在他逝世後才發表
的，
《惠更斯全集》共有 22 卷，由
荷蘭科學院編輯出版。

26. 1-26 波動 Wave
2. 應用：由海更斯原理，即便不知道波源所在的位置，只從
瞬時波前的位置，即可求得之前或之後的任何時刻波前的
位置和形狀，可用來解釋波之反射，折射，干涉及繞射，
尤其是干涉及繞射，乃為物理光學之基礎。
圖 1-24 波的反射 波的折射 波的繞射

27. 1-27
1.7 水波的現象
1.7 水波的現象
學習目標
閱讀完這節，應該能夠…
1. 解釋駐波的形成原因。 2. 處理弦波駐波相關應用。
❑水波的基本概念
1. 水波槽：將透明水槽架高，在其下方至一白幕，其上用光
線照射，當水形成波紋時，在白幕上及形成明暗之條紋。
水波波峰似凸透鏡，可會聚光線，在白幕上形成明紋。
水波波谷似凹透鏡，可發散光線，在白幕上形成暗紋。
2. 不論亮紋、暗紋，統稱為 波前 wave front ，而水波的行進
方向永遠垂直波前。
圖 1-25 (a) 水波槽實驗儀器示意圖(網路) (b) 水波-亮紋與暗紋的成因
❑水波的反射
1. 水波遇到障礙物，或於兩介質的交界處，一部份水波會有
折返原介質的現象
◼ 入射波與反射波在同一介質中，故波速、波長、頻率都
不變，但行進方向改變。
◼ 入射波因反射面喪失能量，故反射波振幅小於入射波
2. 遵守反射定律：
◼ 入射線、法線和反射線三者在同一平面上。
◼ 入射角等於反射角
燈源
振動器
水表面
白紙
水波
圖樣
平行光線
水槽
白紙
明 暗 明 暗 明 暗 明
圖 1-26 水波反射

28. 1-28 波動 Wave
❑水波的透射：水波進入不同深度的水中
1. 水波在不同深度中傳遞，頻率 相同
2. 較深區域，水波傳遞速率較快
3. 較淺區域，水波傳遞速率較慢
4. 同一水波槽中，水波波形不論是直線或圓形，都有相同的
頻率
❑水波的折射現象
1.水波遇到障礙物，或於兩介質的交界處，一部份水波會透
射，而產生行進方向改變的現象
◼ 原因：波動在不同介質中，波速不相同
◼ 入射波頻率與折射波的頻率相同
◼ 折射波振幅小於入射波振幅
圖 1-28 水波折射的示意圖
說明：設水波由深水區 1（波速𝑣1，波長𝜆1）進入淺水區 2
（波速𝑣2，波長𝜆2）
遵守折射定律➔入射角之正弦值與折射角之正弦值比值為一
定值
sin 𝑖
sin 𝑟
=
𝑣1
𝑣2
=
𝜆1
𝜆2

 '
'

2
1
深水區
淺水區
法線
（與境界面垂直）
入射波的傳
播方向
折射波的傳播方向
圖 1-27 在水波槽中，不同深度
時，水波波長不同。

29. 1-29
1.7 水波的現象
類題：在水波槽中，水波在深水中波長1＝2cm，在淺水中，
波長為 1.2 cm，起波器之頻率為 12 次/秒，則：(A)水波在深水
中之速率為 24 cm/s (B)水波在淺水中之速率為 14.4cm/s (C)
深水對淺水中的折射率為
5
3
(D)如水波從深水區以入射角 30
∘傳到交界線，則折射角為 sin−1
(
3
10
) (E)水波在兩水區之速
率比等於其波長之比 答：DE
某生以水波槽觀察水波的傳播，將厚玻璃板平置於水波槽
底，形成淺水區與深水區，並以直線起波器產生直線波。以
下各圖中，𝑣與𝑣′分別為深水區與淺水區的波速，箭頭所示為
波傳播的方向。下列關於連續波前與波傳播方向的關係示意
圖，何者正確？
水波的折射-基本題 【103 指考】
例題
(E)
v
v'
波前
淺水區
深水區
界面
波前
v
v'
波前
淺水區
深水區
(D)
界面
波前
v
v'
波前
淺水區
深水區
(B)
界面
波前
v
v'
波前
淺水區
深水區
(C)
界面
波前
v
v'
淺水區
深水區
(A)
界面
波前
波前

30. 1-30 波動 Wave
1.利用水波槽觀察直線波的反射時，必須具備哪些實驗器材？
(A)水波槽、起波器、光源、海綿條、電源供應器、可變電阻
(B)水波槽、起波器、白紙、光源、電源供應器、可變電阻
(C)水波槽、起波器、白紙、光源、海綿條、可變電阻 (D)水
波槽、起波器、白紙、光源、海綿條、電源供應器 (E)水波
槽、起波器、白紙、光源、海綿條、電源供應器、可變電
阻。
大考試題觀摩
2.水深愈深，波浪的行進速度愈快，然而受海底地形起伏影響，
當波浪向海岸傳播時，往往會因速度變慢而產生偏折的現象。
圖中虛線為等深線，愈靠近海岸水深愈淺。灰色實線為海浪的
波前，箭頭代表波浪的行進方向，假設海底地形變化皆相同，
則下列選項何者為最可能的波浪傳播路徑？〈108 學測〉
(A) (B) (C)
(D) (E)
3.在一項水波槽實驗中，當水波由深 1 公分的淺水區入射至深
2 公分的深水區時，在淺水區與深水區的交界處發生折射現
象。假設水深與水波的振幅都比波長小得多，以致水波的波
速平方與水深成正比，則下列敘述何者正確？(A) 若入射角
為30°，則折射角為45°(B) 若入射角為30°，則折射角為53°
(C) 若入射角為45°，則折射角為60° (D) 若入射角為53°，
則折射角為30° (E) 若入射角為60°，則折射角為45°【106
年指考】
練習題答案
1. E 2. B 3. A
課後 練習題

31. 1-31
1.8 水波的干涉與繞射
1.8 水波的干涉與繞射
❑水波的干涉
1.兩個點波源距離 d，兩方的圓形波同步傳遞，形成干涉
2.兩波源 同頻率 、 同振幅 及 同相位差 ➔兩波源成
為同調源(Coherent Source)
圖 1-29 水波槽投影而成的水波干涉 From:https://reurl.cc/QjMY4M
◼ 腹點：S1、S2 波源之波峰與波峰(或波谷與波谷)的重疊
處，該處介質的振幅最大。
◼ 腹線：相同波程差的腹點連線。
◼ 節點：波峰與波谷的重疊處，該處介質的振幅最小。
◼ 節線：相同波程差的節點連線。
3. 形成腹點、腹線的原因及數學推論
◼ 腹點：兩水波傳到位置 P 時，呈現完全相長干涉，故兩水
波波程差為 𝑛𝜆 , 𝑛 = 1,2,3 ….
◼ 腹線：將具有相同波程差的腹點連成一線
|PS1 − PS2| = 𝑛𝜆, 𝑛 ∈ 𝑁 (1.6)
說明：腹線均以兩波源為焦點的 雙曲線
𝑛 = 1，稱為第一節線，其餘類推。
N 點與 S1、S2 兩點相距甚遠→
|PS1 − PS2| ≐ 𝑑 sin 𝜃
𝑑 sin 𝜃𝑛 = 𝑛𝜆
相位差= 0
兩點之間的水平間距
𝝀的 整數倍
同相
波前
水波行進方向
S1 S2
P
N
腹線在白紙上的投影並不
是一條亮線，而是亮、暗
相間、交替動態變化且遠
離波源的雙曲線

32. 1-32 波動 Wave
4. 形成節點、節線的原因及數學推論
◼ 節點：兩水波傳到此位置 N 時，呈現完全相消干涉，故
兩水波波程差為 (𝑛 −
1
2
) 𝜆
◼ 節線：將具有相同波程差的節點連成一線
|NS1 − NS2| = (𝑛 −
1
2
) 𝜆, 𝑛 ∈ 𝑁 (1.7)
說明：節線均以兩波源為焦點的 雙曲線
|NS1 − NS2| ≐ 𝑑 sin 𝜃→𝑑 sin 𝜃𝑛 = (𝑛 −
1
2
)𝜆
𝑛 = 1，稱為第一節線，其餘類推。
sin 𝜃𝑛 ≤ 1
(𝑛 −
1
2
)𝜆 ≤ 𝑑
◼ 節線數的計算
在兩點波源間的連線上，滿足形成 駐波 的條件
相鄰的節點和腹點間相距= 𝜆/4
相鄰的兩節點間相距= 𝜆/2
相位差= 180
兩點之間的水平間距
𝝀/𝟐的 奇數倍
反相
節線在白紙上的投影並不
是一條沒有明暗變化且遠
離波源的雙曲線
S1 S2

33. 1-33
1.8 水波的干涉與繞射
❑波之繞射 diffraction
1.波行進時，遇到障礙物的阻擋或穿越有開口的障礙物，其行
進方向的角度會擴展繞到障礙物後方，此現象稱為波的繞
射。
◼ 同樣障礙物，波長較長繞射較明顯。
◼ 同樣開口，波長較長繞射較明顯
◼ 同樣波長，開口較小，繞射較明顯
2.總結：繞射的難易由細縫的寬度(或小孔的大小)𝑊與波長𝜆的
比決定。

34. 1-34 波動 Wave
答：
2𝑑
5
 𝜆＞
2𝑑
7
類題：兩同相點水波源干涉，設兩點波源之間的距離為𝑑，波長
為𝜆，𝑑＝3𝜆，問：(a) 共有幾條節線？(b) 兩波源連線上有幾個
節點？連線的中點為腹點，中點和左右側第一個節點的距離為
波長的幾倍？相鄰兩個節點之間的距離是波長的幾倍？ 答：
解題概念 ：聲波干涉與水波干涉是相同，可直接運用水波干
涉推論後的相關公式
答：D
類題：在不同位置上可聽到音量有大小起伏的變化，當觀測者
與 S1 相距為 60 公尺，與 S2 相距為 64 公尺時音量最小，則下
列何者不能是喇叭之波長？ (A)0.89 公尺 (B)1.14 公尺
(C)2.67 公尺 (D)5.12 公尺 (E)8 公尺 答：D
如圖，水波槽中 S1 與 S2 兩同相點波源相距𝑑，水波波長𝜆，
在水波槽中產生 6 條節線，則𝑑與𝜆之關係為何？
(圖中的實線表示腹腺；兩實線間的虛線表節線)
水波干涉-基礎題
例題
兩個互相面對的喇叭相距 8 公尺。兩喇叭同時放出同相位、同頻率
的聲波。如圖 a 所示。一偵測器 D 於兩喇叭之間偵測到聲音的強
度 I 如圖 b。若 x 為偵測器與左喇叭的距離，則此聲波之波長最接
近下列何者？ (A)
1
4
m (B)
1
2
m (C) 1 m (D) 2 m (E) 4 m
聲波干涉-【99 指考】
例題
圖 a
圖 b

35. 1-35
1.8 水波的干涉與繞射
1.在水波干涉的實驗中，若點波源間的距離為d，則水面上任一
點與兩波源間的距離差，不可能為何值？ (A)
𝑑
10
(B)
𝑑
5
(C)
𝑑
3
(D)𝑑 (E) 3𝑑。
2.兩個同相點波源發生干涉時，若波源距離 𝑑 與波長λ的關係
為 𝑑＝
7𝜆
2
，則水波槽中可見到幾條節線？ (A)3 (B)5 (C)8
(D)10 (E)12。
3.在水波干涉現象中，S1與S2為二同相點波源，S1S2＝3 cm，波
源頻率為5 次/秒，若水波波長為2 cm，則下列敘述何者正
確？ (A)二波源連線之外側為節線 (B)若P為S1側之第二節
線上的某點，且PS1＝10 cm，則PS2＝11 cm (C)節線數共有
2條 (D)若波源振動頻率改為2次/秒，則無節線產生 (E)節
線上各點之振動位移及振動速度均為零
4.水波槽中有 S1，S2 兩同相點波源其振幅及頻率相同，皆為 0.5
cm 及 12.5 Hz，已知 S1，S2 相距 d=12.0 cm，它們所產生之水
波的波速度為 2.0 m/s，某點 P 與 S1 的距離為 13 cm，且PS1與
S1S2垂直，如圖所示，則：(1)水波之波長若干? (2)P 點的干涉
性質為何? (3)波從 S1 達 P 的時間為何? (4)同時自 S1 與 S2 出發
的波抵達 P 點的時間相差若干? (5)若振動頻率增倍，則 P 點之
振幅為何?
5.水波槽中，兩同相點波源S1與S2相距 55 cm，發出波長為 20
cm之波，則兩波源間有多少個節點?
6.水波槽中，兩同相位點波源相距 𝑑 ，水波波長 𝜆 ，在水波
槽中產生兩條節線如右圖，則 𝑑 與 𝜆 之關係為何？
7.在水波槽中有兩同相點波源，相距 12 cm，其所產生波動的
波長為 4.0 cm，試求第二節線之節線角為若干度？
8.在水波槽中，波自深水區傳至淺水區，其入射角為 53°，於
深淺區之波長分別為 1.6 cm 及 1.2 cm，問在深水中之波速
為 28 cm/s，則在淺水中之波速為何？
課後 練習題

36. 1-36 波動 Wave
大考試題觀摩
9.S1、S2 兩個喇叭，分別置於𝑦 = 12 m，𝑥 = 2.5 m處(如圖所
示)，由同一電源驅動發出相同的單頻聲音。一觀測者在x軸
的不同位置上可聽到音量有大小起伏的變化。已知音量在原
點時最大，往右移則音量漸小，當移至 𝑥 = 2.5 𝑚 處時，音
量最小。若聲速為 344 m/s，則喇叭之音頻為若干? [85.日大]
練習題答案
1. E 2. C 3. ADE 4. (1)16cm (2)破壞性干涉位置的節
點 (3) 0.065 s (4) 0.04 s (5) 1 cm 5. 6 6.
𝜆
2
≤ 𝑑 ≤
3𝜆
2
7. 30
8. 21 cm/s 9. 172 Hz
溫馨集：媽媽的帳單
小明家是經營餐廳生意，有時放學後他會到餐廳幫忙，招呼客
人入座點菜收拾碗筷、算帳結帳。他漸漸覺得自己似乎也成了
一位生意人。
有一次，他忽然突發奇想，也開了一張帳單寄給媽媽，索取他
在餐廳幫忙作事的酬勞。 幾天後，媽媽收到這份帳單，上面
寫著：
１．洗碗盤費 500 元
２．掃地拖地費 200 元
３．送外食到顧客家 300 元
４．至郵局寄發信件帳單 100 元
５．小明一直是勤奮聽話的好孩子 100 元 共計 1,200 元
小明的媽仔細看過這份帳單後，什麼話也沒有說。 晚上小明
在他的枕頭旁看到了他所索取的 1,200 元報酬。 正當他得意
如願以償，要把 1200 元收到自己的口袋時，突然發現枕頭旁
邊還放著一份給他的帳單。
小明欠他母親如下款項：
１．在母親家裡過十年平安無憂的生活費用 0 元
２．十年中，食、衣、住、行的費用 0 元
３．上學的學費、書籍費 0 元
４．生病時的醫藥、照顧費 0 元
５．有一個慈愛的母親 0 元
小明讀著讀著，過了一會兒，他懷著一顆忐忑不安的心;躡手
躡腳地走近母親，將小臉藏進母親的懷中，小心翼翼地把那
1,200 元塞進了她的圍裙口袋裡
-2.5 0 2.5 x(公尺)
12 公尺
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