Materi Aljabar Fungsi Kuadrat

1. ALJABAR FUNGSI KUADRAT
Fungsi Kuadrat
- 1 -
ALJABAR
FUNGSI KUADRAT
Dosen Pembimbing:
DRA. CECIL HILTRIMARTIN, M.SI.
DRA. NYIMAS AISYAH, M.PD
Disusun oleh:
Siti Anisa Putri Utami (06081381419053)
Oriza zativa (06081381419054)
I Putu Satya Yoga (06081381419055)
UNIVERSITAS SRIWIJAYA
FKIP MATEMATIKA
2014/2015

2. ALJABAR FUNGSI KUADRAT
Fungsi Kuadrat
- 2 -
Fungsi Kuadrat
A.Fungsi Kuadrat
1. Definisi
Dalam kehidupan sehari-hari sering kali kita melihat dua besaran yang
saling bergantung. Misalkan posisi benda bergantung pada waktu, harga barang
bergantung pada jumlah barang yang tersedia dan lain sebagainya. Hubungan
antara dua besaran dengan sifat khusus disebut sebagai fungsi.
Fungsi kuadrat merupakan suatu fungsi yang pangkat terbesar variabelnya
adalah 2. Mirip dengan persamaan kuadrat, namun berbentuk suatu fungsi. Fungsi
kuadrat dalam x mempunyai bentuk umum: cbxaxxf  2
)( , dengan cba ,,
suatu bilangan real dan 0a . Contoh : 672 2
 xx .
2. Membuat Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat
Untuk membuat sketsa grafik fungsi kuadrat cbxaxxf  2
)( maka
langkah langkah yang ditempuh adalah
 Tentukan titik potong grafik dengan sumbu x
Grafik akan memotong sumbu x jika 0)( xf , maka :
02
 cbxax , dengan akar akarnya 1x dan 2x , dan acbcD 42

adalah diskriminan bentuk kuadratnya.
Jika 0D maka grafik memotong sumbu x di dua titik yang
berlainan, yaitu )0,( 1x dan )0,( 2x .
Jika 0D maka grafik memotong sumbu x di suaatu titik atau
menyinggung sumbu x di titik )0,(x .
Jika 0D maka grafik tidak memotong sumbu x

3. ALJABAR FUNGSI KUADRAT
Fungsi Kuadrat
- 3 -
 Tentukan titik potong grafik di sumbu y .
Grafik akan memotong sumbu y jika 0x , maka
ccbafy  0.0.)0( 2
.
Titik potong grafik fungsi kuadrat cbxaxxf  2
)( dengan sumbu
y adalah ),0( c .
 Tentukan persamaan sumbu simetri grafik
Persamaan sumbu simetri fungsi kuadrat cbxaxxf  2
)( adalah
a
b
x
2

 Tentukan titik puncak atau titik balik grafik fungsi kuadrat.











 





 
a
b
f
a
b
atau
a
D
a
b
2
,
24
,
2
.
Jika 0a , jenis titik baliknya adalah titik balik minimum dan
parabola terbuka keatas.
Jika 0a , jenis titik baliknya adalah titik balik maksimum dan
parabola terbuka kebawah.
 Pilihlah beberapa titik pada parabola yang perlu, agar grafik lebih
mulus. Tetapkan beberapa titik yang perlu kemudian dicerminkan
(direfleksikan) terhadap sumbu simetrinya. Misalkan titik (0,c)
dicerminkan terhadap sumbu simetri
a
b
x
2
 di peroleh bayngan titik
.,,0
2
2 




 













 
c
a
b
c
ab
 Menggambarkan sketsa grafik fungsi kuadrat.
Setelah titik digambarkan dalam sisitem koordinat cartesius, kemudian
hubungkan titik tadi sehingga diperoleh kurva atau grafik fungsi
kuadrat yang mulus dengan persamaan cbxaxy  2
.

4. ALJABAR FUNGSI KUADRAT
Fungsi Kuadrat
- 4 -
Contoh Soal :
1. Gambarlah grafik dari fungsi kuadrat berikut
𝑎. 𝑦 = 2𝑥2
; 𝑏. 𝑦 =
1
2
𝑥2
Penyelesaian
a. 𝑦 = 2𝑥2
𝑎𝑚𝑏𝑖𝑙 𝑏𝑒𝑏𝑒𝑟𝑎𝑝𝑎 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘
X -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
y 50 32 18 8 2 0 2 8 18 3 50
Gambarka titik titik tersebut pada bidang cartesius kemudian hubungkan dengan
garis lengkung

5. ALJABAR FUNGSI KUADRAT
Fungsi Kuadrat
- 5 -

6. ALJABAR FUNGSI KUADRAT
Fungsi Kuadrat
- 6 -
b. 𝑦 =
1
2
𝑥2
𝑎𝑚𝑏𝑖𝑙 𝑏𝑒𝑏𝑒𝑟𝑎𝑝𝑎 𝑡𝑖𝑡𝑖𝑘
X -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
y 12,5 8 4,5 2 0,5 0 0,5 2 4,5 8 12,5
Gambarkan titik titik tersebut pada bidang cartesius kemudian
hubungkan dengan garis lengkung

7. ALJABAR FUNGSI KUADRAT
Fungsi Kuadrat
- 7 -
Beberapa sifat grafik fungsi kuadrat
1. 2
xy 
 Kurva diatas memiliki simetri. Nilai nilai x yang positif dan negatif
menghasilkan nilai y yang sama. Oleh karena itu, jika kurva tersebut
dilipat pada sumbu y, kedua bagian kurva tersebut, titik demi titik akan
berhimpitan.
Oleh karena itu, kurva dikatakan simetris di sumbu y, sumbu y disebut
sumbu simetris
 Nilai maksimum kurva tersebut adalah 0 di titik asal. Kurva tersebut
dikatakan memiliki titik balik di titik asal.
 Kemiringan kurva tidak tetap, seperti yang terjadi pada garis lurus,
melainkan meningkat dari titik ketitik berswama dengan semakin
besarnya nilai x.
 Kurva tersebut dapat digunakan untuk menghitung kuadrat setiap
bilangan dalam kisaran nilai yang diplotkan, dan juga sebaliknya,
untuk menghitung akar kuadrat. Misalkan untuk menghitung 3 ,
carilah titik pada kurva yang sepadan dengan 3 pada sumbu y .
Kemudian tampak bahwa terdapat dua titik pada sumbu x yang
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

8. ALJABAR FUNGSI KUADRAT
Fungsi Kuadrat
- 8 -
sepadan dengan 3, nilai nilai x (yaitu, 3 ) menjadi =1,73 dan -1,73,
karena 3 positif , nilainya kira kira 1,73
2. Grafik 2
xy 
 semua nilai y untuk kurva ini secara numeris sama dengan nilai y
dalam 2
xy  , tetapi negatif, bentuk kurva ini akan sama, akan tetapi
posisinya terbalik. Perhatikan gambar berikut
3. Rumus Sumbu Simetri dan Titik Balik
Kali ini kita akan menentukan sumbu simetri dan titik balik pada fungsi
dengan bentuk cbxaxxf  2
)( . Kita dapat mengubah bentuk fungsi menjadi
bentuk kuadrat sempurna, yaitu
a
acb
a
b
xaxf
a
b
c
a
b
xaxf
cx
a
b
xaxf
cbxaxxf
4
4
2
)(
42
)(
)(
)()(
2
22
2
2
























-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

9. ALJABAR FUNGSI KUADRAT
Fungsi Kuadrat
- 9 -
Seperti pada persamaan kuadrat, kita menuliskan acbD 42
 , maka fungsi
kuadrat tersebut dapat ditulis sebagai
a
D
a
b
xaxf
42
)(
2








Berdasarkan hasil ini kita tahu bahwa sumbu simetri parabola
a
b
x
2
 dan
koordinat titik balik adalah 







a
D
a
b
4
,
2
.
4. Titik ekstrim fungsi kuadrat
 Jika 0a maka suku pertama dari y tak negatif, sehingga y mencapai
nilai minimum sebesar
a
D
4

, yang terjadi apabila
a
b
x
2

 . Pada kasus
ini diperoleh titik minimum (titik balik minimum atau titik puncak) dan
fungsi kuadrat adalah 




 
a
D
a
b
4
,
2
.
 Jika 0a , maka suku pertama dari y tak negatif, sehingga y mencapai
nilai maksimum sebesar
a
D
4

, yang terjadi apabila
a
b
x
2

 . Pada
kasus ini diperoleh titik maksimum ( titik balik atau titik puncak) dan
fungsi kuadrat adalah 




 
a
D
a
b
4
,
2
.
Metode diferensial
Untuk menentukan nilai ekstrim fungsi kuadrat dapat digunakan metode
diferensial. baxxfcbxaxxf  2)(')( 2
Nilai stasioner dicapai jika 0)(' xf maka
a
b
xbax
2
02

 , yaitu
axf 2)('' 

10. ALJABAR FUNGSI KUADRAT
Fungsi Kuadrat
- 10 -
 Jika 0
2
'' 




 
a
b
f maka fungsi f memiliki nilai minimum untuk
a
b
x
2

 ,
yaitu
a
D
a
b
fy
42
min






 
 .
 Jika 0
2
'' 




 
a
b
f maka fungsi f memiliki nilai minimum untuk
a
b
x
2

 ,
yaitu
a
D
a
b
fy
42
min






 

Contoh :
1. Cari persamaan sumbu simetri dan nilai ekstrim fungsi kuadrat
583)( 2
 xxxf .
Penyelesaian
583)( 2
 xxxf
3a , 8b , dan 5c
Persamaan sumbu simetri :
3
4
3.2
)8(
2





x
a
b
x
Karena 03a maka nilai ekstrimnya adalah minimum.

3
1
3.4
)6064(5.3.4)8(
4
)4(
4
2
min
2
minmin









y
a
acb
y
a
D
y

11. ALJABAR FUNGSI KUADRAT
Fungsi Kuadrat
- 11 -
Jadi, persamaan sumbu simetri :
3
4
dan nilai ekstrimnya adalah minimum
3
1
min y .
5. Menyusun Persamaan Grafik Fungsi Kuadrat
 Jika grafik fungsi kuadrat memotong sumbu x dititik )0,( 1xA dan )0,( 2xB
dan melalui titik ),( mm yxM maka persamaan fungsi kuadratnya adalah
))((
)())(()(
21
21
xxxx
y
xfyxxxxaxfy
mm
m

 .
 Jika grafik fungsi kuadrat memotong sumbu x dititik )0,( 1xA dan )0,(OB
dan melalui titik ),( mm yxM maka persamaan fungsi kuadratnya adalah
)(
)(
)( 21
1
xxx
xxx
y
xfy
mm
m



 Jika grafik fungsi kuadrat memotong sumbu x dititik )0,( 1xA dan )0,( 2xB
dan melalui titik ),( myOM maka persamaan fungsi kuadratnya adalah
))(()( 21
21
xxxx
xx
y
xfy m

Contoh :
1. Tentukanlah persamaan garis garis singgung pada parabola 𝑦 = 2𝑥2
−
16𝑥 + 24, yang melalui titik parabola itu dengan sumbu koordinat.
Penyelesaian
Titik potong parabola
𝑦 = 2𝑥2
− 16𝑥 + 24
𝑦 = 𝑥2
− 8𝑥 + 12
( 𝑥 − 6)( 𝑥 − 2)
𝑥 = 6 𝑑𝑎𝑛 𝑥 = 2

12. ALJABAR FUNGSI KUADRAT
Fungsi Kuadrat
- 12 -
Untuk 𝒙 = 𝟔
𝑦 = 2𝑥2
− 16𝑥 + 24
𝑦 = 2(6)2
− 16(6) + 24
𝑦 = 2(36)− (96) + 24
𝑦 = 72 − 96 + 24
𝑦 = 0
𝑚 = 𝑦′
= 4𝑥 − 16
𝑚 = 4(6)− 16
𝑚 = 24 − 16
𝑚 = 8
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚( 𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 0 = 8( 𝑥 − 6)
𝑦 = 8𝑥 − 48
Untuk 𝒙 = 𝟐
𝑦 = 2𝑥2
− 16𝑥 + 24
𝑦 = 2(2)2
− 16(2) + 24
𝑦 = 2(4) − (32) + 24
𝑦 = 8 − 32 + 24
𝑦 = 0
𝑚 = 𝑦′
= 4𝑥 − 16
𝑚 = 4(2)− 16
𝑚 = 8 − 16
𝑚 = −8
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚( 𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 0 = −8( 𝑥 − 2)

13. ALJABAR FUNGSI KUADRAT
Fungsi Kuadrat
- 13 -
𝑦 = −8𝑥 + 16
Jadi persamaan garis garis singgungnya adalah 𝑦 = 8𝑥 − 48 𝑑𝑎𝑛
𝑦 = −8𝑥 + 16
2. Bentuklah persamaan garis singgung pada parabola 𝑦 = 3𝑥2
− 5𝑥, yang
membentuk sudut 45 𝑜
dengan sumbu x. Tentukan pulalah garis singgung
pada parabola yang melalui titik O (0,0)
Penyelesian
a. Garis singgung parabola yang membuat sudut 𝟒𝟓 𝒐
dengan sumbu x
𝑦 = 3𝑥2
− 5𝑥
𝑚 = tan45 𝑜
𝑚 = 1
𝑦 = 3𝑥2
− 5𝑥
𝑦′
= 𝑚
𝑦′
= 6𝑥 − 5
1 = 6𝑥 − 5
6𝑥 = 6
𝑥 = 1
Substitusikan nilai x =1
𝑦 = 3𝑥2
− 5𝑥
𝑦 = 3(1)2
− 5(1)
𝑦 = 3 − 5
𝑦 = −2
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚( 𝑥 − 𝑥1)

14. ALJABAR FUNGSI KUADRAT
Fungsi Kuadrat
- 14 -
𝑦 − (−2) = 1(𝑥 − 1)
𝑦 + 2 = 𝑥 − 1
𝑦 = 𝑥 − 3
Jadi persamaan garis singgung parabola 𝑦 = 3𝑥2
− 5𝑥 yang membuat sudut
45 𝑜
dengan sumbu x adalah 𝑦 = 𝑥 − 3
b. Garis singgung pada parabola yang melalui titik O (0,0)
𝑦 = 3𝑥2
− 5𝑥
𝑦,
= 𝑚 = 6𝑥 − 5
Masukkan nilai y = 0
𝑚 = 6(0)− 5
𝑚 = −5
Persamaan garis yang melalui titik (0,0)
𝑦 = 𝑚𝑥
𝑦 = −5𝑥
Jadi persamaan garis singgung parabola 𝑦 = 3𝑥2
− 5𝑥 yang melalui titik
(0,0) adalah 𝑦 = −5𝑥

15. ALJABAR FUNGSI KUADRAT
Fungsi Kuadrat
- 15 -
B.Hubungan Grafik dengan Pemecahan Persamaan
Kuadrat dan Ketidaksamaan
 Apabila 𝐷 < 0 maka persamaan...
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 Mempunyai akar akar immaginer
Sedangkan pertidaksamaan
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0
Tidak akan dipenuhi harga manapun yang diberikan x jika 𝑎 > 0
Akan dipenuhi oleh tiap tiap harga x jika 𝑎 < 0
𝐷 < 0, 𝑎 > 0

16. ALJABAR FUNGSI KUADRAT
Fungsi Kuadrat
- 16 -
𝐷 < 0, 𝑎 < 0
Dalam grafik pertama, parabola seluruhnya terletak diatas sumbu x, dan pada
grafik kedua parabola seluruhnya terletak dibawah sumbu x
 Apabila 𝐷 = 0 maka persaamaan
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 mempunyai dua akar real yang sama dan grafiknya
menyinggung sumbu x
Sedangkan pertidaksamaan
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0
Tidak akan memenuhi harga apapun yang diberikan x, jika 𝑎 > 0.
Sebaliknya ketidaksamaan tersebut akan dipenuhi oleh tiap tiap harga x kecuali
oleh 𝑥 = −
𝑏
2𝑎
, jika 𝑎 < 0.

17. ALJABAR FUNGSI KUADRAT
Fungsi Kuadrat
- 17 -
𝐷 = 0, 𝑎 > 0

18. ALJABAR FUNGSI KUADRAT
Fungsi Kuadrat
- 18 -
𝐷 = 0, 𝑎 < 0
Dari ketua grafik diatas dapat kita lihat kedua grafik menyinggung sumbu x
 Apabila 𝐷 > 0 maka persamaan
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 mempunyai dua akar real yang berbeda 𝑥1 𝑑𝑎𝑛 𝑥2 (𝑥1 <
𝑥2) .
Untuk ketidaksamaannya
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 < 0
Akan dipenuhi oleh 𝑥1 < 𝑥 < 𝑥2 jika 𝑎 > 0
Dan ketidaksamaan akan terpenuhi oleh 𝑥 < 𝑥1 atau oleh 𝑥2 < 𝑥 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑎 < 0

19. ALJABAR FUNGSI KUADRAT
Fungsi Kuadrat
- 19 -
𝑥2
+ 5𝑥 + 6 𝐷 > 0, 𝑎 > 0

20. ALJABAR FUNGSI KUADRAT
Fungsi Kuadrat
- 20 -
−𝑥2
− 5𝑥 − 6 𝐷 > 0, 𝑎 < 0
Kedua grafik memotong sumbu x

21. ALJABAR FUNGSI KUADRAT
Fungsi Kuadrat
- 21 -
C.Latihan Soal
Soal
1. Persamaan garis singgung pada parabola 𝑦 = 0,5𝑥2
− 7𝑥 + 2 yang
membentuk sudut 45 𝑜
dengan sumbu x, akan memotong garis y=9-2x pada
koordinat ...
2. Jika Parabola 7)( 2
 bxxxf puncaknya memiliki absis 4 maka
ordinatnya adalah ...
3. Tentukanlah nilai maksimum, nilai minimum, dan daerah nilainya dari
fungsi kuadrat 342
 xxy , dengan daerah asal  13  xx !
4. Jika fungsi 6)1()( 2
 xppxxf mencapai nilai tertinggi 1x maka
nilai p adalah ...
5. Tentukan nilai b agar grafik 𝑦 = 2𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 2 menyinggung sumbu x
6. Apabila sebuah fungsi kuadrat mempunyai nilai maksimum 3 untuk
2x , sedangkan untuk 2x fungsi berharga -11 maka fungsi tersebut
adalah
7. Tentukan fungsi kuadrat yang memiliki pucak )14,1(  dan melalui )12,0( !
8. Tentukan harga m agar garis lurus 𝑦 = 𝑚𝑥 − 1 menyinggung parabola 𝑦 =
2𝑥2
− 3𝑥 + 7
9. Parabola yang melalui titik )2,2(),6,0(),11,1( dan serta mempunyai sumbu
simetri sejajar dengan sumbu y mempunyai titik puncak ...
10. Tentukan persamaan Parabola yang memiliki puncak )4,3(  dan melalui
titik O (0,0) !

22. ALJABAR FUNGSI KUADRAT
Fungsi Kuadrat
- 22 -
Kunci Jawaban
1. (13,-17)
2. -9
3. nilai maksimum 2 , nilai minimum 7 dan daerah hasilnya
 27  yy
4.
3
1

5. b=4
6. 52
2
1
)( 2
 xxxf
7. 1242)( 2
 xxxf
8. 𝑚 = −3
9. (-2,2)
10. xxy
3
8
3
4 2


23. ALJABAR FUNGSI KUADRAT
Fungsi Kuadrat
- 23 -
Daftar Pustaka
Budhi, Wono Setya. 2010. Matematika 1. Jakarta: CV Zamrud Kemala
K, Evi Janu. 2010. Swadidik ALJABAR. Bandung: Pakar Raya
Tampomas, Husein. 2003. Sukses Ulangan dan Ujian Himpunan dan Fungsi
Kuadrat. Jakarta: PT Gramedia Widiasarana Indonesia
Umar, Teuku. 1963. Aldjabar Rendah Djilid II. Jakarta: Pradnjaparamita