Fungsi kuadrat

Aljabar Elementer © 2014
Swaditya Rizki, M.Sc.
f (x)
-3 .
-2 .
-1 .
.-1
. 0
. 3
FUNGSI KUADRAT
1. Fungsi Kuadrat
Fungsi Kuadrat adalah pemetaan dari daerah asal (domain) ∈ 𝑅 ke tepat
satu daerah hasil (range) yang dinyatakan dengan rumus
𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
dimana a, b, dan c adalah konstanta bilangan riil, 𝑎 ≠ 0. Dengan 𝑓(𝑥) atau 𝑦
disebut dengan fungsi. Bila 𝑥1dan 𝑥2 adalah absis titik potong pada sumbu x
maka fungsi kuadrat dapat ditulis sbb:
𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)
Contoh 1:
Akan ditunjukkan fungsi kuadrat 𝑓 𝑥 = 𝑦 = 𝑥2
+ 4𝑥 + 3 bahwa untuk
setiap nilai 𝑥 memetakan ke satu nilai 𝑦.
Penyelesaian:
untuk 𝑥 = −3 → 𝑓 𝑥 = (−3)2
+ 4 −3 + 3 = 0
untuk 𝑥 = −2 → 𝑓 𝑥 = −2 2
+ 4 −2 + 3 = −1
untuk 𝑥 = −1 → 𝑓 𝑥 = (−1)2
+ 4 −1 + 3 = 0
untuk 𝑥 = 0 → 𝑓 𝑥 = (0)2
+ 4 0 + 3 = 3
untuk 𝑥 = 1 → 𝑓 𝑥 = (1)2
+ 4 1 + 3 = 8
untuk 𝑥 = 2 → 𝑓 𝑥 = (2)2
+ 4 2 + 3 = 15
x

Pada fungsi kuadrat ini akan diselidiki mengenai:
a. Pembuat nol 𝑓(𝑥) atau harga nol 𝑓(𝑥).
b. Nilai-nilai ekstrim dari 𝑓(𝑥).
a. Pembuat nol dari 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
Maksud pembuat nol disini adalah nilai 𝑥 yang menyebabkan 𝑓 𝑥 = 0.
Untuk mencari nilai 𝑥 dapat menggunakan rumus persamaan kuadrat
sebagai berikut:
𝑥1,2 =
−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 Jika 𝐷 > 0, maka akan didapat dua nilai pembuat nol yaitu 𝑥1dan 𝑥2,
𝑥1 ≠ 𝑥2.
 Jika 𝐷 = 0, maka akan didapat sebuah nilai pembuat nol yaitu 𝑥1 = 𝑥2 =
−
𝑏
2𝑎
.
x2x1 x2x1
x1=x2

 Jika 𝐷 < 0, maka tidak ada nilai pembuat nol.
Fungsi seperti ini (D < 0) mempunyai 2 harga definit yaitu :
1. Definit Positif
Fungsi akan selalu berharga positif untuk setiap harga x atau grafik
fungsi seluruhnya berada diatas sumbu x. Syaratnya a > 0, D < 0
2. Definit Negatif
Fungsi akan selalu berharga negatif untuk setiap harga x atau grafik
fungsi seluruhnya berada dibawah sumbu x. Syaratnya a < 0, D < 0
b. Nilai Ekstrim
Nilai Ekstrim ada dua kategori yaitu ekstrim maksimum (𝑦 𝑚𝑎𝑥 ) dan ekstrim
minimum (𝑦 𝑚𝑖𝑛 ).
𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
Dapat diubah menjadi:
x1=x2

a
D
a
b
xa
a
acb
a
b
xa
a
bac
a
b
xa
a
b
c
a
b
xa
a
b
a
c
a
a
b
x
a
b
xa
a
b
a
c
a
b
x
a
b
xa
a
c
x
a
b
xa
cbxaxxf
42
4
4
2
4
4
2
42
42
22
)(
2
22
22
22
2
22
2
22
2
2
2




























 







































































Karena 𝑥 +
𝑏
2𝑎
2
selalu positif atau nol, maka tanda 𝑎 𝑥 +
𝑏
2𝑎
2
selalu
tergantung pada tanda a , sedangkan
𝐷
−4𝑎
merupakan konstanta.
 Jika a > 0, maka
2
2







a
b
xa selalu positif atau nol sehingga
f(x) mencapai minimum =
a
D
4
apabila
a
b
x
2

 Jika a < 0, maka
2
2







a
b
xa selalu negatif atau nol sehingga f(x)
mencapai maksimum =
a
D
4
apabila
a
b
x
2

Dari turunan fungsi di atas, jika titik puncaknya (𝑝, 𝑞) maka persamaan
fungsi kuadrat di atas dapat ditulis sbb:
𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 − 𝑝 2
+ 𝑞

8
1.8
8
4
2




b
b
ab
a
b
x
9
74.84
78)(
2
2


 xxxfy
Ciri-ciri fungsi kuadrat dan grafiknya:
1. Memiliki sumbu simetri 𝑥 =
−𝑏
2𝑎
.
2. Koordinat titik puncak (−
𝑏
2𝑎
,
𝐷
−4𝑎
)
3. 𝑎 > 0 grafik terbuka ke atas.
𝑎 < 0 grafik terbuka ke bawah.
4. Jika tanda b sama dengan tanda a, puncak berada disebelah kiri
sumbu y.
Jika tanda b berbeda dengan tanda a, puncak berada disebelah kanan
sumbu y.
5. 𝑐 > 0 grafik memotong sumbu y positif.
𝑐 < 0 grafik memotong sumbu y negatif.
𝑐 = 0 grafik melalui titik (0,0).
6. 𝐷 > 0 grafik memotong sumbu x di dua titik yang berbeda.
𝐷 = 0 grafik menyinggung sumbu x.
𝐷 < 0 grafik tidak memotong sumbu x.
Contoh 2:
Jika 𝑓 𝑥 = 𝑥2
− 𝑏𝑥 + 7 puncaknya berabsis 4, maka ordinatnya adalah…
Penyelesaian:
Ordinatnya =
Contoh 3:
Tentukan fungsi kuadrat yang melalui titik potong pada sumbu x yaitu -2
dan 5, serta memotong sumbu y pada (0,10).
Penyelesaian:
Titik potong pada sumbu x: (-2,0) dan (5,0) dan titik potong pada sumbu y:
(0,10)
Fungsi kuadratnya yaitu:

14
0)1)(4(
043
016124
41612
.4
..44
3
4
4
2
2
2
2
2
max











aataua
aa
aa
aa
aa
a
aa
a
acb
y
1
3
2
0)1)(23(
0223
016824
24168
)2(4
)3)(2(4)4(
1
4
4
2
2
2
2
2
max











aataua
aa
aa
aa
aa
a
aa
a
acb
y
103
)103(1
)5)(2(1
2
2



xx
xx
xxy
adalahtersebutkuadratfungsijadi
1
)50)(20(10
)10,0(
)5)(2(
))(( 21




a
a
melalui
xxay
xxxxay
Contoh 4:
Nilai tertinggi fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2
+ 4𝑥 + 𝑎 ialah 3, sumbu simetrinya adalah…
Penyelesaian:
Karena titik puncaknya adalah maksimum, maka pilih 𝑎 < 0, yaitu a = -1.
Sehingga sumbu simetrinya adalah
2
)1(2
4
2



a
b
x
∴ Sumbu simetrinya adalah 2.
Contoh 5:
Jika fungsi kuadrat 𝑓 𝑥 = 2𝑎𝑥2
− 4𝑥 + 3𝑎 mempunya nilai maksimum 1,
maka 27𝑎2
− 9𝑎 = ⋯
Penyelesaian:
Jadi, 27𝑎2
− 9𝑎 =
27(−
2
3
)2
− 9 −
2
3
= 18.

15164)(
15164
1)2(4
)(
,
4
)1())2(1(3
)(
2
2
2
2
2
2









xxxfyadalahtersebutkuadratfungsi
xxy
xy
qpxay
maka
a
a
qpxay
yaitu1)2,(baliktitikkoordinatmempunyai
dan1,3)(titikmelaluiyangkuadratfungsi
)1,2(,
1
1.4
3.1.44
4
2
)1(2
4
2
2








yaitubaliknyatitikkoordinatjadi
a
D
y
a
b
x
Contoh 6:
Fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik (-1,3) dan titik terendahnya sama
dengan puncak grafik 𝑓 𝑥 = 𝑥2
+ 4𝑥 + 3 adalah…
Penyelesaian:
Contoh 7:
Tentukan a agar fungsi f(x) = x2
+4x + (a – 3) harganya selalu positif untuk
setiap harga x ?
Penyelesaian :
Definit positif  syaratnya 𝑎 > 0 sudah dipenuhi
D < 0  16 – 4 (1) (a – 3) < 0
16 – 4a + 12 < 0
-4a < 0
a > 7

2. Grafik Fungsi Kuadrat
Himpunan titik-titik (x,y) yang memenuhi 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐, a  0
adalah parabola. Sedangkan 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 disebut persamaan
parabola.
Untuk melukis grafik fungsi :
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
Diperlukan syarat-syarat sebagai berikut :
1. Titik potong dengan sumbu x
Syarat f(x) = 0  ax2
+ bx + c = 0
(x – x1) (x – x2)  (x1, 0) dan (x2, 0)
2. Titik potong dengan sumbu y
Syarat x = 0  f(0) = a(0)2
+ b (0) + c
f(x) = c  (0,c)
3. Sumbu Simetri
Sumbu simetrinya adalah :
a
b
x
2

4. Titik balik / Titik puncak
Titik balik atau titik puncak adalah:
a
D
y
4

 Sehingga koordinat titik puncak adalah
P(x,y)
P(
a
b
2
 ,
a
D
4
)
Parabola mencapai titik balik minimum jika a >0 dan parabola mencapai
titik balik maksimum jika a <0.

Contoh 8:
Gambarlah grafik fungsi 86)( 2
 xxxf
Penyelesaian:
 Titik potong dengan sumbu x, syarat f(x) = 0
x2
– 6x + 8 = 0  (x – 2)(x – 4) = 0
 (2,0) dan (4,0)
 Titik potong dengan sumbu y, syarat x = 0
f(0) = 02
+ 6 ( 0) + 8
= 8
f(x) = 8  (0,8)
 Koordinat titik puncak adalah (x,y)
x = -b/2a = 6/2 =3
y = D/-4a = b2
– 4ac / -4a = 36 – 4 (1) (8)/-4
= 36 – 32 / -4
= 4/-4
= -1
Jadi puncaknya adalah p (x,y)  p (3,-1). Untuk mendapatkan gambar
grafik yang baik kita menggunakan tabel fungsi sebagai berikut:
x 0 1 2 3 4 5 6
y 8 3 0 -1 0 3 8
Gambar grafik:
(3,-1)
y
x
-1
42
8

Latihan:
1. Nilai minimum fungsi yang ditentukan oleh rumus 𝑓 𝑥 = 2𝑥2
− 8𝑥 + 𝑝
adalah 20. Nilai 𝑓 2 = ⋯
Penyelesaian:
2. Jika fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑝𝑥2
− 𝑝 − 1 𝑥 − 6 mencapai nilai tertinggi untuk
𝑥 = −1, maka nilai 𝑝 = …
Penyelesaian:
3. Jika fungsi kuadrat 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2
+ 4𝑥 + 3𝑎 mempunyai nilai minimum -11,
maka 𝑎2
− 𝑎 = ⋯
Penyelesaian:

4. Fungsi kuadrat yang mempunyai nilai minimum 2 untuk 𝑥 = 1 dan
mempunyai nilai 3 untuk 𝑥 = 2 adalah…
Penyelesaian:
5. Fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) yang grafiknya melalui titik (2,5) dan (7,40) serta
mempunyai sumbu simetri 𝑥 = 1, mempunyai nilai ekstrim… (minimum atau
maksimum?)
Penyelesaian:

6. Gambarlah grafik fungsi berikut ini dan tulislah perbedaannya
a. 23)( 2
 xxxf
b. 82)( 2
 xxxf

c. 34)( 2
 xxxf
d. 43)( 2
 xxxf

e. 2)( 2
 xxxf
f. 23)( 2
 xxxf

7. Gambarlah grafik fungsi berikut ini dan tulislah perbedaannya:
a. 32)( 2
 xxxf
b. 12)( 2
 xxxf

c. 42)( 2
 xxxf

Catatan:

Fungsi kuadrat

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Fungsi kuadrat

Similar to Fungsi kuadrat (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Fungsi kuadrat