Disusun sebagai bahan dan sumber belajar selama siswa kelas 11 Prakrind .

1. Modul Matemaika Kelas 11 | 1

2. Modul Matemaika Kelas 11 | 2
INFORMASI DAN PETUNJUK PENGGUNAAN
1. Pelajari materi terlebih dahulu
2. Kerjakan setiap latihan soal yang ada di setiap KD
3. Kumpulkan setiap latihan soal setelah selesai dikerjakan
4. Pengumpulan hasil latihan soal dapat dilakukan setiap akhir bulan dan atau
pada saat berangkat ke sekolah.
5. Tidak mengumpulkan tugas sama dengan tidak memiliki nilai untuk KD
tersebut.
Pertanyaan dan pengumpulan tugas dapat dikirim via
WA, E_mail dan atau link sekolah
Alamat E_mail: ic_diq@yahoo.com

3. Modul Matemaika Kelas 11 | 3
KOMPETENSI DASAR
3.19 Menentukan nilai variabel pada persamaan dan fungsi kuadrat
3.20 Menganalisis operasi komposisi dan operasi invers pada fungsi
3.21 Menentukan persamaan lingkaran

4. Modul Matemaika Kelas 11 | 4
KD.3.20
KOMPOSISI FUNGSI DAN FUNGSI INVERS
A. Fungsi Komposisi
Perhatikan contoh berikut:
Ada 3 himpunan yaitu, A = {2, 3, 4, 5}, B = {5, 7, 9, 11} dan C = {27, 51, 66, 83}.
f: A B ditentukan dengan rumus 12)(  xxf dengan CBg : ditentukan oleh rumus 2)( 2
 xxg .
Ditunjukkan oleh diagram panah sbb:
Jika h fungsi dari A ke C sehinnga:
peta dari 2 adalah 27
peta dari 3 adalah 51
peta dari 4 adalah 66
peta dari 5 adalah 83
dan diagaram panahnya menjadi,
fungsi dari h dari A ke C disebut fungsi komposisi dari g dan f ditulis fgh  atau ).)(()( xfgxh 
Secara umum:
Definisi:
Misalkan fungsi
BAf : ditentukan dengan rumus )(xfy 
CBg : ditentukan dengan rumus )(xgy 
Fungsi komposisi g dan f ditentukan dengan aturan:
))(())(()( xfgxfgxh  
o dibaca komposisi atau “bundaran”
Perhatikan bahwa dalam fungsi komposisi ))(())(( xfgxfg  ditentukan dengan pengerjaan )(xf terlebih
dahulu kemudian dilanjutkan dengan pengerjaan oleh ).(xg Perhatikan contoh berikut.

5. Modul Matemaika Kelas 11 | 5
Contoh:
1. Diketahui f(x) = x2
+ 1 dan g(x) = 2x – 3. Tentukan:
a. (f o g)(x)
b. (g o f)(x)
Jawab:
a. (f o g)(x) = f (g(x))
= f(2x – 3)
= (2x – 3)2
+ 1
= 4x2
– 12x + 9 + 1
= 4x2
– 12x + 10
b. (g o f)(x) = g (f(x))
= g(x2
+ 1)
= 2(x2
+ 1) – 3
= 2x2
- 1
Ternyata, ).)(())(( xfgxgf   Jadi pada komposisi fungsi tidak berlaku sifat komutatif.
2. Diketahui RRf : dan RRg : ditentukan oleh f(x) = x + 3 dan (f o g)(x) = x2
+ 6x + 7, maka
tentukan g(x) !
Jawab :
f(x) = x + 3
(f o g)(x) = x2
+ 6x + 7
f(g(x)) = x2
+ 6x + 7
g(x) + 3 = x2
+ 6x + 7
g(x) = x2
+ 6x + 4
3. Diketahui RRf : dan RRg : ditentukan oleh f(x) = 2x + 4 dan (g o f)(x) = 4x2
+ 12x + 6, maka
tentukan g(x) .
Jawab : (g o f)(x) = 4x2
+ 12x + 6
g(f(x)) = 4x2
+ 12x + 6
g(2x + 4) = 4x2
+ 12x + 6
Misal: 2x + 4 = p, maka
2
4

p
x
g(p) =
2
4
2
4 




 p
+ 12 




 
2
4p
) + 6
g(p) = p2
– 8p + 16 + 6p – 24 + 6
g(p) = p2
– 2p – 2
Maka: g (x) = x2
– 2x – 2
Cara lain:
6124)42())(())(( 2
 xxxgxfgxfg  = 2)42(2)42( 2
 xx
Jadi, 22)( 2
 xxxg

6. Modul Matemaika Kelas 11 | 6
B. Fungsi Invers
1. Pengertian Invers
Misalkan f fungsi dari himpunan A ke B yang dinyatakan dengan diagram panah sbb:
sehingga diperoleh himpunan pasangan berurutan:
Aabaf |),{(: dan }Bb
Kalau diadakan pengubahan domain menjadi kodomain dan kodomaian menjadi domaian, maka diagram panahnya
menjadi
dan himpunan pasangan berurutannya menjadi
Bbab |),{( dan }Aa
Relasi yang diperoleh dengan cara seperti di atas disebut invers fungsi f dan dilambangkan dengan
1
f
Definisi:
Jika fungsi BAf : dinyatakan dengan pasangan berurutan Aabaf |),{(: dan }Bb maka invers
fungsi f adalah ABf 
:1
ditentukan oleh Bbabf |),{( dan }Aa
Apakah invers suatu fungsi juga merupakan fungsi ? Untuk jelasnya perhatikan diagram panah berikut.
(1) (2)

7. Modul Matemaika Kelas 11 | 7
(3)
Tampak bahwa yang inversnya juga merupakan fungsi hanya pada gambar (3). Jika invers suatu fungsi merupakan
fungsi, maka invers fungsi itu disebut fungsi invers.
2. Menentukan Rumus Fungsi Invers
Perhatikan diagram panah berikut.
y adalah peta dari x oleh fungsi f, sehingga pemetaan oleh fungsi f dapat dinayatakan dengan persamaan:
)(xfy 
Kalau f-1
adalah invers dari fungsi f maka x adalah peta dari y oleh fungsi f-1
sehingga diperoleh persamaan:
)(1
yfx 

Selanjutnya peubah x diganti dengan y dan peubah y diganti dengan x.
Contoh.1:
Tentukan rumus fungsi invers dari fungsi 62)(  xxf !
Jawab:
62)(  xxfy
62  yx
3
2
1
 yx
Dengan demikian 3
2
1
)(1

yyf atau 3
2
1
)(1

xxf

8. Modul Matemaika Kelas 11 | 8
Contoh.2
Tentukan rumus fungsi invers dari fungsi
3
1
,
13
52
)( 


 x
x
x
xf
Jawab:
13
52
)(



x
x
xfy
52)13(  xxy
523  xyyx
523  yxyx
5)23(  yxy
23
5



y
y
x
y
y
x
32
5



y
y
yf
32
5
)(1


 
x
x
xf
32
5
)(1


 
Jadi fungsi invers dari fungsi
3
1
,
13
52
)( 


 x
x
x
xf adalah
x
x
xf
32
5
)(1



3. Fungsi Invers dan Fungsi Komposisi
Misalkan h(x) adalah fungsi komposisi yang dapat dibentuk dari fungsi f(x) dan fungsi g(x). Fungsi h(x)
kemungkinannya adalah ....
i) h(x) = (fog)(x)
ii) h(x) = (gof)(x)
Diagram panahnya sbb:
Jadi ))(()()( 111
xgfxfg 
 

9. Modul Matemaika Kelas 11 | 9
Jadi ))(()()( 111
xfgxgf 
 
Contoh:
Misalkan RRf : dan RRg : ditentukan dengan rumus 3)(  xxf dan .25)(  xxg Tentukan
)()( 1
xgf 

Jawab:
Cara 1:
Dicari ))(( xgf  terlebih dahulu selanjutnya dicari )()( 1
xgf 

153)25())(())((  xxxgfxgf 
15  xy
15  yx
5
1
5
1
 yx
Jadi
5
1
5
1
)()( 1

xxgf 
Cara 2:
Dicari )(1
xf 
dan )(1
xg 
selanjutnya menggunakan rumus ))(()()( 111
xfgxgf 
 
3)(  xxf
3 xy
3 yx
3)(1
 
xxf
25)(  xxg
25  xy
5
2
5
1
 yx

10. Modul Matemaika Kelas 11 | 10
5
2
5
1
)(1
 
xxg
))(()()( 111
xfgxgf 
 
))(( 11
xfg 

5
2
)3(
5
1
 x
5
1
5
1
 x
Contoh:
Fungsi-fungsi f dan g ditentukan dengan rumus:
12)(  xxf dan
4
53
)(



x
x
xg
Carilah )!()( 1
xfg 

Jawab;
))(())(( xfgxfg 
412
5)12(3



x
x
32
86



x
x
32
86



x
x
y
8632  xyyx
8362  yxyx
83)62(  yxy
62
83



y
y
x
Jadi
62
83
)()( 1



x
x
xfg 

11. Modul Matemaika Kelas 11 | 11
Selamat Selajar dan Selamat Mengerjakan…..