Fungsi rasional membahas:
1. Definisi dan contoh fungsi pecah
2. Langkah-langkah menggambar grafik fungsi rasional linier dan berbentuk kuadrat
3. Menentukan titik potong, asimtot, titik ekstrim, dan membuat tabel titik bantu
2. PENGERTIAN FUNGSI RASIONAL
• Disebut juga dengan fungsi Pecah
• Didefinisikan :
dengan P(x) dan Q(x) merupakan suku banyak
dalam x
Contoh
Q(x)
f (x)
P(x)
,Q(x) 0
4x 1
, g(x)
3x 1
x2
2x 5 2x 3
f (x)
4. SKETSA GRAFIK FUNGSI PECAH
• Menentukan titik potong dengan sb. x (y=0) dan y (x=0)
• Menentukan asymtot
i. Datar, jika x tak hingga
ii. Tegak, jika y tak hingga (penyebut bernilai nol)
iii.Miring, untuk jenis fungsi rasional yang pembilangnya
berderajat lebih tinggi satu daripada penyebutnya
• Menentukan nilai ekstrim fungsi (titik puncak)
• Membuat tabel titik-titik bantu
• Skestsa kurva
5. MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI
RASIONAL LINIER
Langkah-langkahnya:
1.Menentukan koordinat titik potong dengan sumbu
x, y = 0
y = 0
Koordinat titik potong adalah (-b/a, 0)
6. 2. Menentukan koordinat titik potong
dengan sumbu y, x = 0
x=0
koordinat titik potong adalah (0, b/d)
7. 3. Menentukan asimtot, ada 2 yaitu asimtot datar dan
tegak
❖Asimtot datar diperoleh apabila x→~, maka y = a/c
❖Asimtot tegak diperoleh apabila y→~, maka x = -d/c
4. Menentukan daerah grafik fungsi adalah dengan
mancari nilai positif dan negative dari fungsi dengan
batas-batas harga nol pembilang atau penyebut
5. Menentukan beberapa titik bantu
8. CONTOH SOAL
1. Gambarlah grafik fungsi
penyelesaian:
# Titik potong dengan sumbu x dicapai untuk y =
0
0 = 2x – 4 , maka x = 2
Jadi koordinat titik potong dengan sumbu x yaitu (2 , 0)
2
4
2
a
b
x
9. # TITIK POTONG DENGAN SUMBU Y
, UNTUK X = 0
Jadi koordinat titik potong dengan sumbu y yaitu (0 , 4)
# – Asimtot datar
#- Asimtot tegak
4
1
4
d
x
b
11. B. FUNGSI RASIONAL BERBENTUK
1. Menentukan titik potong dengan sumbu x, y = 0
Jadi ax + b = 0 → maka
12. 2. MENENTUKAN TITIK POTONG DENGAN SUMBU Y
, X = 0
3. Menentukan Asimtot
a. Asimtot datar, x → ~
b. Asimtot tegak, y → ~
berarti y = 0
berarti px2 + qx + r = 0
13. 4. Menentukan Nilai Ekstrim
Nilai ekstrem y diperoleh jika x riil maka
D ≥ 0
5. Menentukan titik bantu
ypx2
yqx yr ax b
ypx2
(yqa)x(yr b) 0
D 0
Karena syarat maka
(yqa)2
4.yp(yr b) 0
14. CONTOH SOAL...
penyelesaian:
➢ Titik potong pada sumbu x
2x2
x 1
1. Lukislah grafik fungsi y =
x 1
2x2
x 1
0
x 1
0 x 1
1
y
1
1
2(0)2
(0) 1
(0) 1
y
(0,1)
x 1 (1,0)
➢ Titik potong pada sumbu y
1
b (1)
a 1
x
y
b
1
1
r 1
15. ➢Asimtot datar
x ~ maka y =
0
➢Asimtot Tegak
y ~ maka,
x= ½ atau x= -1
Jadi, asimtot tegaknya x = ½ dan x = -1
px2
q x r 0
2 x 2
x 1 0
(2x 1)(x 1) 0
16. ➢Nilai
ekstrim
y = 1/9 atau y = 1
2x2
x 1
x 1
y
4ac 0
b2
( y 1)2
4(2 y)( y 1) 0
9 y2
10 y 1 0
(9 y 1)( y 1) 0
2 yx2
yx y x 1
2 yx2
yx x y 1 0
D 0
17. Untuk y = 1
(0,1)
Untuk y = 1/ 9
(2, 1/9)
1
2x2
x1
X1
9 2 x 2
x 1
1
x 1
2x2
x1x1
2x2
0
x0
2 x 2
x 1 9 x 9
9
1
(2 x 2
x 1) x 1
4 x 4 0
x2
( x 2)(x 2) 0
x 2
19. tidak mempunyai
Langkah-langkahnya sama, hanya
asimtot datar tetapi mempunyai
Sedangkan cara mancari asimtot
asimtot
miring
miring.
dibagi
penyebut px + q,
pembilang ax2 + bx + c dengan
sehingga didapat bentuk
untuk persamaan asimtot miring adalah y = mx + n
C. FUNGSI RASIONAL
BERBENTUK
21. MENENTUKAN TITIK POTONG GRAFIK TERHADAP
SUMBU-SUMBU KOORDINAT
v
0 =
2x 2- x - 6 = 0
( 2 x + 3 ) ( x – 2 ) = 0
a) Titik potong dengan sumbu x, y = 0
2x 2- x - 6
x + 3
2x 2- x - 6
x + 3
y =
2 x + 3 = 0
2 x = - 3
x = - 3
2
x – 2 = 0
x = 2
Titik-titik potong dengan sumbu x adalah
2
3 , 0 dan ( 2 , 0 )
22. b) Titik potong dengan sumbu y, x = 0
2X 2- X - 6
y =
x + 3
2 ( 0 )2- x - 6
0 + 3
y =
y = - 6
3
= - 2
Titik potong dengan sumbu y adalah ( 0 , - 2 )
23. MENENTUKAN ASIMTOT TEGAK DAN
ASIMTOT MIRING
a ) Asimtot tegak : p x + q = 0
x + 3 = 0
x = - 3
b) Asimtot miring :
2x 2- x - 6
y =
x + 3
2x 2- x - 21 + 15
x + 3
=
( 2x – 7 ) ( x + 3 )
x + 3
=
15
x + 3
+
x + 3
= ( 2x – 7 ) +
15
Jadi asimtot miringnya y = 2x – 7
24. MENENTUKAN TITIK
BALIK
2x 2- x - 6
x + 3
y =
x y + 3 y = 2x - x - 6
2
2x 2- ( 1 + y ) x – 6 – 3 y = 0
agar persamaan kuadrat mempunyai
akar syaratnya adalah D positif atau nol.
+
=
-26 -
480
2
=
-26 +
-
=
y1
= = -2,05 = -2,1
-26 + 21,9 -4,1
2 2 , =
y2
= -23,95 = -24
=
-26 - 21,9 -47,9
2 2
D > 0 b 2
- 4 a c > 0
2
- ( 1 + y ) 2- 4 ( 2 ) ( - 6 – 3 y ) > 0
1 + 2 y + y 2+ 48 + 24 y > 0
y 2+ 26 y + 49 > 0
y
b 2- 4 a c
2 a
676 - 196
2
=
- b +
-
1,2
Pembuat nol : y 2+ 26 y + 49 = 0
25. Jadi titik-titik baliknya ( -0,3 ; -2,1 ) dan ( -5,8 ; -24 )
UNTUK Y = -2,1
2x 2- ( 1 + y ) x – 6 – 3 y = 0
2x 2- ( 1 - 2,1 ) x – 6 – 3 ( -2,1 ) = 0
2x 2- 1,1 x – 0,3 = 0
Mencari nilai x, dengan D = 0 maka x1 = x2
X1 + X2 = - b
a
1
2X = - b
a
1
X = - b
2a 4
= - 1,1
= - 0,275 = -
0,3
Untuk y = -24
2x 2- ( 1 + y ) x – 6 – 3 y = 0
2x 2- ( 1 -24 ) x – 6 – 3 ( -24 ) = 0
2x 2+ 23 x + 66 = 0
X1 + X2 = - b
a
1
2X = - b
a
1
X = -
b
2a 4
= - 23
= - 5,75 = - 5,8
26. D. FUNGSI RASIONAL DENGAN BENTUK
;
px2
qxr
ax2
bxc
y f(x)
dimana a, p, dan px2
qx r 0
27. Untuk menggambar grafik ini diperlukan langkah-
langkah sbb ;
1. Titik potong dengan sumbu x, y = 0
ax2 + bx + c = 0. Akar-akar dari persamaan tsb
merupakan absis titik potong dengan sumbu x
2. Titik potong dengan sumbu y, x = 0. Didapat y = c/r
3. Asimtot datar diperoleh apabila x → ~
dan didapat y = a/p
4.Asimtot tegak diperoleh apabila y → ~
dan didapat dari akar-akar persamaan
px2+ qx + r = 0
29. CONTOH SOAL.....
(y=0)
1. Gambar grafik fungsi
Penyelesaian:
a. Titik potong dengan sumbu x
x2- 5x + 6 = 0
(x - 2) (x - 3) = 0
x = 2 atau x = 3 (2 , 0) dan (3 , 0)
b. Titik potong sumbu y (x = 0)
(0, 3/2)
30. c. Asimtot Datar
x ~ maka:
d. Asimtot tegak
y ~ maka:
x2 - 5x + 4 = 0
(x - 4) (x - 1) = 0
x = 4 atau x = 1
31. x2
5x4
X2
5X6
• yx 2
y5x y4 x2
5x 6
• yx 2
x 2
5 yx 5 x 4 y 6 0
• ( y 1) x 2
( 5 y 5 ) x ( 4 y 6 ) 0
• D 0
y
e. Nilai ekstrim
4ac 0
b2
(5y 5)2
4(y 1)(4y 6) 0
25y2
50y 25 16y2
40y 24 0
9y2
10y 1 0
(y 1)(9y 1) 0
y = 1 atau y = 1/ 9
