salah satu tugas mahasiswa pendidikan matematika universitas sriwijaya 2014

1. Nama : M. Dammiri Saputra
NIM : 06081281419028
Program studi : Pend. Matematika 2014 Kampus Palembang
Matakuliah : Geometri
Tugas Geometri !
A. Halaman 71-72
1. Diketahui Kubus ABCD.EFGH. Tentukan jarak titik D ke bidang ACH!
Penyelesaian :
Misalkan :
rusuk pada kubus ABCD.EFGH = 𝑥
M adalah titik tengah diagonal DB
Maka, diagonal DB = 𝑥√2
Sehingga nilai dari DM =
𝑥√2
2
𝐻𝑀2
= √𝐷𝑀2 + 𝐷𝐻2
𝐻𝑀2
= √(
𝑥
2
√2)
2
+ 𝑥2
𝐻𝑀2
= √
𝑥
2
2
+ 𝑥2
E
A B
C
D
D
F
GH
M
H
N
A C
D
H
M
H

2. 𝐻𝑀2
= √
3𝑥2
2
𝐻𝑀2
=
𝑥
2
√6
Lihat Δ DHM
sin 𝑀 =
𝐷𝐻
𝐻𝑀
sin 𝑀 =
𝑥
𝑥√6
2
sin 𝑀 =
2
√6
×
√6
√6
sin 𝑀 =
√6
3
Lihat Δ DMN
sin 𝑀 =
𝐷𝑁
𝐷𝑀
√6
3
=
𝐷𝑁
𝑥√2
2
𝐷𝑁 =
√6
3
×
𝑥√2
2
𝐷𝑁 =
𝑥√2
3
M
H
D
H
H
H
M
H
D
H
H
H
N
H

3. 2. Diketahui Kubus ABCD.EFGH. dengan rusuk 𝒂 cm. Jika 𝒔 merupakan proyeksi
titik 𝑪 pada bidang AFH. Maka jarak titik A ke titik 𝒔!
Penyelesaian :
𝑂𝐴 = √𝐴𝐹2 − 𝑂𝐹2
= √(𝑎√2)
2
− (
𝑎
2
√2 )
2
= √2𝑎2 −
𝑎
2
2
= √3𝑎
2
2
= √
6𝑎2
4
=
𝑎
2
√6
Lihat ΔAOC
E
A B
C
D
D
F
GH
A
H F
O
𝑎√2 cmA
𝑎
2
√2 cmA
O
C’
O
A C
C’
𝑎√2 cmA

4. 𝐶𝐶′
=
𝐴𝑂2
+𝐴𝐶2
−𝑂𝐶2
2×𝐴𝑂
𝐶𝐶′
=
(
𝑎
2
√6)
2
+𝑎√2
2
−(
𝑎
2
√6)
2
2×
𝑎
2
√6
𝐶𝐶′
=
2 𝑎2
𝑎√6
𝐶𝐶′
=
2𝑎
√6
×
√6
√6
𝐶𝐶′
=
𝑎√6
3
Jadi, Jarak titik C ke bidang AFH adalah
𝑎√6
3
3. Jika panjang rusuk kubus adalah adalah 𝟗 cm. Maka hitunglah jarak 𝑪 ke
diagonal FD adalah ...
Penyelesaian :
𝐴𝐵 = 9 𝑐𝑚
𝐶𝐹 = 9√2 𝑐𝑚
𝐷𝐹 = 9√3 𝑐𝑚
𝐶𝑋 =
𝐷𝐶2
+𝐷𝐹2
−𝐶𝐹2
2 ×𝐷𝐹.
𝐶𝑋 =
92
+(9√3)
2
−(9√2)
2
2×9√3
E
A B
C
D
D
F
GH
X
9 𝑐𝑚
D
F
C
D
X

5. 𝐶𝑋 =
81+243−162
18√3
𝐶𝑋 =
162
18√3
𝐶𝑋 =
9
√3
𝐶𝑋 =
9
√3
×
√3
√3
𝐶𝑋 =
9√3
3
𝐶𝑋 = 3√3
Jadi, Panjang titik C terhadap garis diagonal DF adalah 3√3
B. Halaman 73-74
1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm. Hitunglah jarak AF ke
CDHG!
Penyelesaian :
Panjang AF ke bidang CDHG
Misalkan :
Titik tengah diagonal AF adalah O
Proyeksi titik O ke bidang CDHG adalah O’
Panjang dari 𝑂𝑂′
= 𝐹𝐺 = 𝐴𝐷
Karena garis 𝑂𝑂′
//𝐹𝐺//𝐴𝐷
Maka, Panjang dari AF ke bidang CDHG adalah OO’ = 6 cm
2. T.ABC adalah bidang empat beraturan, dengan 𝑨𝑩 = 𝟏𝟔. Jika P dan Q
masing-masing pertengahan TA dan BC. Maka tentukan PQ!
Penyelesaian :
E
A B
C
D
D
F
GH
T

6. 𝐵𝐶 = 16 𝑐𝑚
𝐵𝑄 =
𝐵𝐶
2
𝐵𝑄 =
16
2
𝐵𝑄 = 8
𝐴𝑄 = √𝐴𝐵2 − 𝐵𝑄2
𝐴𝑄 = √162 − 82
𝐴𝑄 = √156 − 64
𝐴𝑄 = √92
𝑃𝑄 =
𝑇𝐴2
+𝐴𝑄2
−𝑇𝑄2
2×𝑇𝐴
𝑃𝑄 =
162
+(√92)
2
−(√92)
2
2×16
𝑃𝑄 =
156
32
𝑃𝑄 = 8 𝑐𝑚
16 𝑐𝑚
A
B
C
P
Q
A
Q
C
B
A Q
T
P

7. 3. Diketahui bidang empat D.ABC beraturan dengan 𝑨𝑩 = 𝟏𝟎cm. Dengan titik P
dan Q masing-masing merupakan titik tengah dari AB dan DC. Hitunglah
jarak AB dan CD!
Penyelesaian :
𝐴𝐵 = 10 𝑐𝑚
𝐴𝑃 =
𝐴𝐵
2
𝐴𝑃 =
10
2
𝐴𝑃 = 5
𝐶𝑃 = √𝐴𝐶2 − 𝐴𝑃2
𝐶𝑃 = √102 − 52
𝐶𝑃 = √100− 25
𝐶𝑃 = √75
10 𝑐𝑚
A
B
C
D
P
Q
A B
C
P
D P
C
Q

8. 𝑃𝑄 =
𝐷𝐶2
+𝑃𝐶2
−𝑃𝐷2
2×𝐷𝐶
𝑃𝑄 =
102
+(√75)
2
−(√75)
2
2×10
𝑃𝑄 =
100
20
𝑃𝑄 = 5 𝑐𝑚
C. Halaman 77-78
2. Diketahui kubus PQRS.TUVW dengan rusuk PQ = 6cm.
a. Carilah jarak antara PU dan bidang RSWV
b. Carilah jarak antara UW dan bidang PQRS
Penyelesaian :
a. Panjang PU pada bidang PSWV
Misalkan :
Titik tengah diagonal PU adalah O
Proyeksi titik O ke bidang RSVW adalah O’
Panjang dari 𝑂𝑂′
= 𝑈𝑉 = 𝑃𝑆
Karena garis 𝑂𝑂′
//𝑈𝑉//𝑃𝑆
T
P Q
R
D
S
U
VW
W
T
P Q
R
D
S
U
VW
W

9. Maka, Panjang dari PU ke bidang RSVW adalah OO’ = 6 cm
b. Panjang UW pada bidang PQRS
Misalkan :
Titik tengah diagonal UW adalah X
Proyeksi titik X ke bidang PQRS adalah X’
Panjang dari 𝑋𝑋′
= 𝑈𝑄 = 𝑆𝑊
Karena garis 𝑋𝑋′
//𝑈𝑄//𝑆𝑊
Maka, Panjang dari UW ke bidang PQRS adalah XX’ = 6 cm
3. Kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 10 cm. Titik P dan Q berturut-turut adalah
titik tengah FG dan HG. Hitunglah jarak garis PQ ke bidang BDHF!
Penyelesaian :
T
P Q
R
D
S
U
VW
W
P Q
R
D
S
U
W
W
L
W
L’
W
R V
W
D
S
U
P
W
M
W
M’
W

10. 2𝑋 = 10√2 − 5√2
2𝑋 = 5√2
𝑋 =
5√2
2
𝑃𝑃′
= √52 − (
5√2
2
)
2
𝑃𝑃′
= √25 −
25
2
𝑃𝑃′
= √
25
2
𝑃𝑃′
= √
50
4
𝑃𝑃′
=
5
2
√2
4. Sebuah kubus dengan rusuk 𝒂 cm. Bidang alasnya ABCD, rusuk-rusuk
tegaknya AE, BF, CG, dan DH.
a. Carilah jarak antara bidang ACH dan bidang BEC
b. Carilah jarak antara bidang BDE dan bidang CFH
Penyelesaian :
E
A B
C
D
D
F
GH Q
P
H F
Q P
P’
XX
5√2
5√2
10√2
P
FP’

11. a. Jarak bidang ACH terhadap bidang BEC
𝑃𝑃′
= ⋯ ?
Lihat Persegi panjang DBFH
𝐿. 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑒𝑔𝑖𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 = 𝐷𝐻 × 𝐵𝐷
𝐿. 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑒𝑔𝑖𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 = 𝑎 × 𝑎√2
𝐿. 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑒𝑔𝑖𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 = 𝑎2
√2
Lihat kedua ΔDPH dan ΔBFO
𝐿∆= 2 × (
1
2
×
𝑎√2
2
× 𝑎)
𝐿∆= 2 × (
𝑎2
√2
4
)
𝐿∆=
𝑎2
√2
2
E
A B
C
D
D
F
GH
E
A B
C
D
D
F
GH
D B
FH O
H
P
H
P’

12. Lihat Jajargenjang PBOH
𝐿 = 𝐿. 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑒𝑔𝑖𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 − 𝐿∆
𝐿 = 𝑎2
√2 −
𝑎2
√2
2
𝐿 =
𝑎2
√2
2
Lihat ΔDPH
𝑃𝐻 = √𝐷𝐻2 + 𝐷𝑃2
𝑃𝐻 = √ 𝑎2 + (
𝑎√2
2
)2
𝑃𝐻 = √
3𝑎2
2
𝑃𝐻 =
𝑎2
2
√6
Tinggi jajargenjang atau 𝑃𝑃′
𝑃𝑃′
=
𝐿
𝑃𝐻
𝑃𝑃′
=
𝑎2√2
2
𝑎2
2
√6
𝑃𝑃′
=
√2
√6
𝑃𝑃′
=
1
3
Jadi Jarak antara bidang ACH terhadap bidang BEC adalah
1
3
b. Jarak bidang BDE terhadap bidang CFH
E
A B
C
D
D
F
GH

13. 𝑂𝑂′
= ⋯?
Lihat Persegi panjang ACGE
𝐿. 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑒𝑔𝑖𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 = 𝐴𝐸 × 𝐴𝐶
𝐿. 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑒𝑔𝑖𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 = 𝑎 × 𝑎√2
𝐿. 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑒𝑔𝑖𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 = 𝑎2
√2
Lihat kedua ΔAOE dan ΔCGP
𝐿∆= 2 × (
1
2
×
𝑎√2
2
× 𝑎)
𝐿∆= 2 × (
𝑎2
√2
4
)
𝐿∆=
𝑎2
√2
2
Lihat Jajargenjang EOCP
𝐿 = 𝐿. 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑒𝑔𝑖𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 − 𝐿∆
𝐿 = 𝑎2
√2 −
𝑎2
√2
2
𝐿 =
𝑎2
√2
2
Lihat ΔAOE
𝐸𝑂 = √𝐴𝐸2 + 𝐴𝑂2
𝐸𝑂 = √ 𝑎2 + (
𝑎√2
2
)2
𝐸𝑂 = √
3𝑎2
2
𝐸𝑂 =
𝑎2
2
√6
A C
GE P
H
O
H
O’

14. Tinggi jajargenjang atau 𝑃𝑃′
𝑂𝑂′
=
𝐿
𝐸𝑂
𝑂𝑂′
=
𝑎2√2
2
𝑎2
2
√6
𝑂𝑂′
=
√2
√6
𝑂𝑂′
=
1
3
Jadi Jarak antara bidang BDE terhadap bidang CFH adalah
1
3
5. Sebuah kubus yang bidang alasnya PQRS dan rusuk-rusuk tegaknya PT, QU,
RV dan SW. Panjang rusuk kubus tersebut adalah 12 cm. Hitunglah jarak
antara rusuk VW dengan bidang diagonal RSTU!
Penyelesaian :
Misalkan :
titik tengah dari garis VW adalah 𝑥
titik tengah dari garis RS adalah 𝑚
𝑥′
adalah proyeksi titik 𝑥 di bidang RSTU
Maka, 𝑥𝑥′
= 𝑉𝑚
Karena garis 𝑥𝑥′//𝑉𝑚 sama panjang
Maka,
𝑥𝑥′
= √122 − (6√2)
2
𝑥𝑥′
= √144 − 72
𝑥𝑥′
= √72
𝑥𝑥′
= 6√2
Maka, panjang 𝑥𝑥′
adalah 6√2
T
P Q
R
D
S
U
VW

15. 6. Perhatikan gambar di samping!
AT, AB, dan AC saling tegak lurus di A. Hitunglah jarak titik A ke bidang TBC!
Penyelesaian :
Lihat ΔABC
𝐵𝐶 = √𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2
𝐵𝐶 = √(5)2 + (5)2
𝐵𝐶 = √50
𝐵𝐶 = 5√2 𝑐𝑚
Misalkan O adalah titik tengah dari garis BC
Maka 𝐵𝑂 =
𝐵𝐶
2
=
5√2
2
𝐴𝑂 = √𝐴𝐵2 − 𝐵𝑂2
A
B
P
C
T
5𝑐𝑚
5𝑐𝑚
5𝑐𝑚A B
P
C
5𝑐𝑚
5𝑐𝑚A B
P
C
O

16. 𝐴𝑂 = √(5)2 − (
5√2
2
)2
𝐴𝑂 = √25 −
25
2
𝐴𝑂 =
5√2
2
𝑐𝑚
Perhatikan ΔAOT
𝑇𝑂 = √𝑇𝐴2 + 𝐴𝑂2
𝑇𝑂 = √(5)2 + (
5√2
2
)2
𝑇𝑂 = √25 +
25
2
𝑇𝑂 =
5√6
2
𝑐𝑚
Maka,
𝐴𝐴′ =
𝑇𝑂2
+𝐴𝑂2
−𝑇𝐴2
2×𝑇𝑂
𝐴𝐴′ =
(
5√6
2
)
2
+(
5√2
2
)
2
−(5)2
2×
5√6
2
𝐴𝐴′ =
75
2
+
25
2
−25
2×
75
2
𝐴𝐴′
=
50
75
𝑐𝑚
𝐴𝐴′
=
2
3
𝑐𝑚
5𝑐𝑚
5√2
2
𝑐𝑚
A O
P
T
A’