1. Tugas Aljabar Matriks II
( Pembuktian Sifat – Sifat Operasi Matriks)
Dosen Pengampu : Dra. Hj. Ade Rohayati, M.Pd
Disusun oleh :
Fitri Sabrina
1100113
Pend. Matematika A 2011
21 Februari 2012
2. 1. Sifat penjumlahan matriks :
Akan dibuktikan bahwa : A + B = B + A
+
=
=
=
+
Terbukti bahwa sifat komutatif berlaku pada operasi penjumlahan matriks A + B = B + Adengan syarat A, B
berordo sama (mxn)
2. Sifat penjumlahan matriks :
Akan dibuktikan bahwa : A + (B + C) = (A + B) + C
+
=
+
+
=
Terbukti bahwa sifat asosiatif berlaku pada operasi penjumlahan matriks A + (B + C)= (A + B) + C
dengan syarat A, B berordo sama (mxn)
3. Sifat perkalian matriks :
Akan dibuktikan bahwa : A(B + C) = AB + AC
=
=
3. +
=
Terbukti bahwa sifat distributif berlaku pada operasi perkalian matriks A(B + C) = AB + ACdengan syarat A, B,
dan C berordo sama (mxn)
4. Sifat transpose matriks :
Akan dibuktikan bahwa : (A + B)T = AT + BT
=
=
Terbukti bahwa sifat transpose matriks berlakupada (A + B)T = AT + BT dengan syarat A, B berordo sama (mxn)
Akan dibuktikan bahwa : (AT)T = A
=
Terbukti transpose matriks (AT)T = A
Akan dibuktikan bahwa : (A B)T = (B)T (A)T
4. =
=
=
=
Terbukti transpose matriks (A B)T = (A)T (B)T , dengan syarat A, B berordo sama (mxn)
Akan dibuktikan bahwa : (k A)T = k(A)T
k
=
=
=k
Terbukti transpose matriks (k A)T = k(A)T, di mana k adalah sebarang skalar
5. Jika A adalah sebuah matriks yang dapat dibalik, maka :
Akan dibuktikan bahwa :
dapat dibalik dan (
Karena A
Terbukti bahwa
=
A = I, maka
dapat dibalik dan (
dapat dibalik dan (
)-1
)-1 = A
)-1
Akan dibuktikan bahwa : An dapat dibalik dan (An)-1 = (A-1)n untuk n = 0, 1, 2, ...
= (AA A)-1 , (n > 0)
Faktor n
= (A-1 A-1 A-1)n
Faktor n
Terbukti (An)-1 = (A-1)n
Akan dibuktikan bahwa : Untuk k yang taksama dengan nol, maka kA dapat dibalik dan (kA)-1 =
A-1
= (kA)A-1
=
k (AA-1)
= 1 (I)
5. =I
(kA) = I sehingga kA dapat dibalik dan (kA)-1 = A-1
Terbukti bahwa
6. Sifat –sifat trase
Akan dibuktikan bahwa : Trase (A + B) = Trase A + Trase B
=
=
+
+
=(
+
+
)+(
+
+
)
Terbukti bahwa Trase ( A + B) = Trase A + Trase B, dengan syarat A, B berordo sama (mxn)
Akan dibuktikan bahwa : Trase ( Inxn ) = n, n= 2
=
=1+1
=2
Terbukti bahwa Trase ( Inxn ) = n
Akan dibuktikan bahwa : Trase ( A )T = Trase A
=
+
+
=
+
+
Terbukti bahwa Trase (A)T = Trase A , dengan A adalah matriks persegi
Akan dibuktikan bahwa : Trase (k(A)) = k . Trase A
k
=
+
+
Terbukti bahwa Trase (k(A)) = k . Trase A, k adalah sebarang skalar
7. Sifat perkalian skalar
Akan dibuktikan bahwa : k (A + B) = k . A + k . B
k
+
=
Terbukti bahwa perkalian skalar k (A + B) = k . A + k . B dengan A, B berordo sama (mxn) dan k sebarang
skalar
Akan dibuktikan bahwa : A . -1 = A
. -1