Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

BAB 2 Pencerminan (Refleksi)

50,175 views

Published on

Digunakan untuk pembelajaran Mata Kuliah Geometri Transformasi

Published in: Education
  • Be the first to comment

BAB 2 Pencerminan (Refleksi)

  1. 1. 1 MAKALAH PENCERMINAN (REFLEKSI) Disusun guna memenuhi tugas mata kuliah Geometri Transformasi Dosen Pengampu : Ishaq Nuriadin M.Pd Disusun oleh : Niamatus Saadah 1201125122 FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF. DR. HAMKA 2015
  2. 2. 2 PENCERMINAN Definisi: Suatu pencerminan (refleksi) pada sebuah garis s adalah suatu fungsi Ms yang didefinisikan untuk setiap titik pada bidang V sebagai berikut: (i) Jika P  s maka Ms (P) = P. Gambar 1 (ii) Jika P s maka Ms (P) = P’ sehingga garis s adalah sumbu 'PP . Pencerminan M pada garis s selanjutnya dilambangkan sebagai Ms. Garis s disebut sumbu refleksi atau sumbu pencerminan atau singkat cermin. Gambar 2 Untuk menyelidiki sifat-sifat pencerminan, akan diselidiki apakah pencerminan itu suatu transformasi. Penyelidikan: Bukti: (1) Dari definisi di atas jelas bahwa daerah asal M adalah seluruh bidang V. (2) Akan dibuktikan Ms surjektif. Ambil sebarang .' VX   Kasus 1: Andaikan .' sX  Maka 'XX  sebab ')( XXXMs   Kasus 2: Andaikan .' sX  s P = Ms(P) s P P’
  3. 3. 3 Dari sifat geometri ada VX  sehingga s menjadi sumbu ruas 'XX . Ini berarti bahwa Ms(X) = X’. Artinya setiap X’ memiliki prapeta. Jadi Ms surjektif. (3) Akan dibuktikan Ms injektif. Andaikan BA  .  Kasus 1: sA dan 𝐵 𝜖 𝑠. Maka 𝐴′ = 𝑀𝑠(𝐴) = 𝐴 dan 𝐵′ = 𝑀𝑠(𝐵) = 𝐵. Jadi A′ ≠ 𝐵′.  Kasus 2: sA dan 𝐵 ∉ 𝑠. Maka 𝐴′ = 𝑀𝑠(𝐴) = 𝐴 dan 𝐵′ = 𝑀𝑠(𝐵) dengan 𝐵′ ∉ 𝑠. Jadi 𝐴′ ≠ 𝐵′.  Kasus 3: 𝐴 ∉ 𝑠, 𝐵 ∉ 𝑠. Andaikan 𝑀𝑠(𝐴) = 𝑀𝑠(𝐵) atau 𝐴′ = 𝐵′. Jadi 𝐴′𝐴̅̅̅̅̅ ⊥ 𝑠 dan 𝐵′𝐵̅̅̅̅̅ ⊥ 𝑠. Ini berarti dari satu titik A’ ada dua garis berlainan yang tegak lurus pada s. Ini tidak mungkin. Jadi pengandaian bahwa jika 𝐴 ≠ 𝐵 maka 𝑀𝑠(𝐴) = 𝑀𝑠(𝐵) adalah tidak benar sehingga pengandaian itu salah. Jadi jika 𝐴 ≠ 𝐵 maka 𝑀𝑠(𝐴) ≠ 𝑀𝑠(𝐵). Jadi 𝑀𝑠(𝐴) injektif. Berdasarkan (1), (2), dan (3), disimpulkan bahwa Ms adalah suatu transformasi. Dari penyelidikan di atas diperoleh teorema: Teorema 1 Setiap refleksi pada garis adalah suatu transformasi. Pencerminan pada garis mengawetkan jarak. Artinya, jika A dan B dua titik maka apabila 𝐴′ = 𝑀(𝐴) dan 𝐵′ = 𝑀(𝐵), 𝐴𝐵 = 𝐴′𝐵′. Jadi jarak setiap dua titik sama dengan jarak antara peta-petanya. Jadi jarak tidak berubah. Sifat demikian yang dimiliki oleh M itu membuat M disebut transformasi yang isometrik atau M adalah suatu isometri. Atau bisa dituliskan dengan:
  4. 4. 4 Definisi: Suatu transformasi T adalah suatu isometri jika untuk setiap pasang titik P, Q berlaku P’Q’ = PQ dengan P’ = T(P) dan Q’ = T(Q). Gambar 3 Teorema: Setiap refleksi pada garis adalah suatu isometri. Jadi jika A’ = Ms(A), B’ = Ms(B) maka AB = A’B’. Bukti: Ambil Sebarang A, B, A’, B’ V dengan Ms(A) = A’ dan Ms(B) = B’. Akan ditunjukkan A’B’ = AB.  Kasus I Jika A, B  s maka Ms(A) = A’ = A dan Ms(B) = B’ = B. Jadi AB = A’B’.  Kasus II Jika A  S, B  s, maka Ms(A) = A’ = A dan Ms(B) = B’. Akan ditunjukkan AB = A’B’. Perhatikan CABABC '& . AC = AC (berimpit). 𝑚∠𝐴𝐶𝐵 = 𝑚∠𝐴𝐶𝐵′ (karena siku-siku). BC = B’C (karena S sumbu simetri). Jadi CABABC ' . Diperoleh AB = A’B’. s A = A’ B’B C s P P’ Q Q’
  5. 5. 5 C A’ s A B’B D  Kasus III Jika A, B ∉ S dan Ms(A) = A’, Ms(B) = B’. Akan ditunjukkan AB = A’B’ (i) Perhatikan Δ𝐴𝐶𝐷 𝑑𝑎𝑛 Δ𝐴′𝐶𝐷. DC = DC (berimpit) 𝑚∠ADC = 𝑚∠𝐴′ 𝐷𝐶 (900 ) AD = A’D (karena s sumbu simetri) Jadi Δ𝐴𝐶𝐷 ≅ Δ𝐴′ 𝐶𝐷 (𝑠 𝑠𝑑 𝑠). Diperoleh AC = A’C dan 𝑚∠𝐴𝐶𝐷 = 𝑚∠𝐴′ 𝐶𝐷. (ii) Perhatikan Δ𝐴𝐵𝐶 𝑑𝑎𝑛 Δ𝐴′𝐵′𝐶. AC = A’C (pembuktian (i)) 𝑚∠𝐴𝐶𝐵 = 900 − 𝑚∠𝐴𝐶𝐷 = 900 − 𝑚∠𝐴𝐶′𝐷 = 𝑚∠𝐴′ 𝐶𝐷. BC = B′ C(karena s sumbu simetri). jadi Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝐴′ 𝐵′ 𝐶 (𝑠 𝑠𝑑 𝑠). Diperoleh AB = A’B’. Jadi AB = A’B’. Berdasarkan Kasus I, II, III, disimpulkan bahwa jika A’ = Ms(A), B’ = Ms(B) maka AB = A’B’. Jadi setiap refleksi pada garis adalah suatu isometri.
  6. 6. 6 SOAL LATIHAN 1. Diketahui dua titik A dan B. Lukislah garis g sehingga Mg(A) = B. Tentukan pula Mg(B). ● ● A B Mg(A) = B dan Mg(B) = A 2. Apabila pada V ada sistem sumbu ortogonal dan A (1,3) sedangkan B (-2,-1). Tentukan persamaan sebuah garis g sehingga Mg(A) = B! Diket : A (1,3), B (-2,-1) Ditanya: Persamaan garis g sehingga Mg(A) = B. Jawab : Persamaan garis AB 0534 4493 )1(4)3(3 12 1 31 3 12 1 12 1               yx xy xy xy xx xx yy yy Gradien 𝑚1 = 4 3 . Gradien yang tegak lurus AB, 𝑚2 = − 3 4 Titik tengah AB = )1, 2 1 ( 2 )2,1( 2 )1,2()3,1(     Persamaan garis yang melalui )1, 2 1 ( dengan 𝑚 = − 3 4 adalah y – y1 = m (x – x1) X Y A(1,3) B(-2,1) X Y A(1,3) B(-2,1)
  7. 7. 7 y – 1 = - 4 3 (x + 2 1 ) y = - 4 3 x - 8 3 + 1 y = - 4 3 x + 8 5 8y + 6x – 5 = 0 6x + 8y – 5 = 0 Jadi persamaan garis g adalah 6x - 8y – 5 = 0 3. Diketahui: g =   -3x, yx Ditanya: a. A’=Mg(A), bila A(2,1). b. Bila Mg(C) = (-1,7), maka C = . . . c. P(x,y), maka Mg(P) = . . . Jawab: a. Persamaan garis yang melalui A(2,1) dan tegak lurus g adalah y = 1. B (-3,1) adalah titik tengah 'AA , Maka (-3,1) =               2 1 , 2 2 2 , 2 ''' AAAAAA yxyyxx Jelas   )2,2(2,6 '' AA yx     1,8, '' AA yx Jadi A’ = (-8,1) b. Persamaan garis yang melalui Mg(C) = (-1,7) dan tegak lurus g adalah y=7. D(-3,7) adalah titik tengah 'AA , Maka (-3,7) =               2 7 , 2 1 2 , 2 '' CCCCCC yxyyxx Jelas   )7,1(14,6  CC yx X Y A(2,1) (-1,7)g x=-3
  8. 8. 8    7,5, CC yx Jadi C = (-5,7) c. Persamaan garis yang melalui P(x,y) dan tegak lurus g adalah y = yp. Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah 'PP . Jelas Q = (-3, yp) =        2 , 2 '' pppp yyxx      pppp ppppp yxyx yyxxy ,6, ),(2,6 ' ''   Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P’ = (-6 – x,y). 4. Diketahui g =   2y, yx Ditanya: a. Jika A =  2,3 , tentukan A’ = Mg(A). b. Jika D’ = (2,-4), tentukan prapeta D’ oleh Mg. c. Jika P(x,y). Tentukan Mg(P) Jawab: a. Persamaan garis yang melalui A 2,3 dan tegak lurus g adalah x = 3. Jelas (3,2) adalah titik tengah 'AA , Maka (3,2) =                 2 2 , 2 3 2 , 2 ''' AAAAAA yxyyxx Jelas   )2,3(4,6 '' AA yx  ⟺ (𝑥 𝐴′, 𝑦 𝐴′) = (6 − 3,4 − √2) ⟺ (𝑥 𝐴′, 𝑦 𝐴′) = (3,4 − √2)    24,3, '' AA yx Jadi A’ = (3, 24  ) b. Persamaan garis yang melalui D’ = (2,-4) dan tegak lurus g adalah x = 2. Jelas C(2,2) adalah titik tengah 'DD ,
  9. 9. 9 Maka (2,2) =               2 )4( , 2 2 2 , 2 '' DDDDDD yxyyxx Jelas   )4,2(4,4  DD yx ⟺ (𝑥 𝐷, 𝑦 𝐷) = 4 − 2,4 + 4 ⟺ (𝑥 𝐷, 𝑦 𝐷) = 2,8 Jadi Prapeta D oleh Mg adalah (2,8). c. Persamaan garis yang melalui P(xp,yp) dan tegak lurus g adalah x = xp. Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah 'PP . Jelas Q = (xQ, 2) =        2 , 2 '' pppp yyxx          pppp ppppp pppp p yxyx yyxxx yyxx x     4,, ,4,2 ) 2 , 2 (2, '' '' Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P’ = (x, 4 - y). 5. Diketahui h =   xy, yx Ditanya: a. Jika A = (2,-3), tentukan A’ = Mh(A). b. Jika D’ = (2,-4), tentukan prapeta dari B’ oleh Mh. c. Jika P(x,y). Tentukan Mh(P) Jawab: a. Gradien garis y = x adalah m = 1, dan gradien garis yang tegak lurus dengan garis h adalah m1 = -1. Maka persamaan garis yang melalui A(2,-3) dan tegak lurus h adalah )( 111 xxmyy  1 32 )2(13    xy xy xy Mencari perpotongan y = x dan y = -x – 1 yaitu dengan cara y = x, disubtitusikan ke persamaan 𝑦 = −𝑥 − 1. Diperoleh :
  10. 10. 10 𝑥 = −𝑥 − 1 ⟺ 2𝑥 = −1 ⟺ 𝑥 = − 1 2 substitusikan x = - 2 1 ke persamaan y = x diperoleh y = - 2 1 . Jadi titik tengah 'AA (- 2 1 ,- 2 1 ). Jelas (- 2 1 ,- 2 1 ) titik tengah 'AA , maka                      2 3 , 2 2 2 , 22 1 , 2 1 ''' AAAAAA yxyyxx Jelas   )3,2(1,1 '' AA yx     2,3, '' AA yx Jadi A’ = (-3,2) b. Gradien garis y = x, yaitu m = 1, gradien garis yang tegak lurus adalah m= -1 Maka persamaan garis yang melalui B’(-3,5) dan tegak lurus g dengan m = -1 adalah )( 11 xxmyy  2 53 )3(15    xy xy xy Mencari perpotongan y = x dengan y = -x +2 dengan cara y = x disubtitusikan ke persamaan y, diperoleh 𝑥 = −𝑥 + 2 ⟺ 2𝑥 = 2 ⟺ 𝑥 = 1 substitusikan x = 1 ke persamaan y = x diperoleh y = 1.
  11. 11. 11 Jadi titik tengah 'BB (1,1). Jelas (1,1) titik tengah 'BB , maka                  2 5 , 2 )3( 2 , 2 1,1 '' BBBBBB yxyyxx Jelas   )5,3(2,2  BB yx    3,5, '' AA yx Jadi A’ = (5,-3) c. Persamaan garis yang melalui P(xp,yp) dan tegak lurus g adalah pp pp yxxy xxmyy   )( Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah 'PP . Jelas Q = (xQ, yQ) =        2 , 2 '' pppp yyxx      QpQppp ppppQQ yyxxyx yyxxyx 2,2, ),(2,2 '' ''   Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P’ = (x – 2xQ, y – 2yQ). 6. Diketahui k =   0yx, yx Ditanya: a. Jika A = (2,-3), tentukan A’ = Mk(A). b. Jika B’ = (-3,5), tentukan prapeta dari B’ oleh Mk. c. Jika P(x,y). Tentukan Mk(P) Jawab: a. Dicari gradien garis k xyyx  0 Jelas mk= -1, sehingga gradien garis yang tegak lurus garis k adalah m = 1 Maka persamaan garis yang melalui A(2,-3) dan tegak lurus k dengan m = 1 adalah )( 11 xxmyy 
  12. 12. 12 5 32 )2(13    xy xy xy Mencari perpotongan y = -x dan y = x - 5 dengan cara mensubtitusikan 𝑦 = −𝑥 ke persamaan 𝑦 = 𝑥 − 5, diperoleh : -x = x – 5 ⟺ 2𝑥 = 5 ⟺ 𝑥 = 5 2 substitusikan x = 2 5 ke persamaan y = -x diperoleh y = - 2 5 . Jadi titik potongnya ( 2 5 , - 2 5 ) Karena ( 2 5 , - 2 5 ) titik tengah 'AA , maka                      2 3 , 2 2 2 , 22 5 , 2 5 '''' AAAAAA yxyyxx Jelas   )3,2(5,5 '' AA yx     2,3, '' AA yx Jadi A’ = (3,-2) b. Gradien garis y = -x, yaitu m = -1, gradien garis yang tegak lurus garis tersebut adalah m = 1. Maka persamaan garis yang melalui B’(-3,5) dan tegak lurus g dengan m = 1 adalah 8 53 )3(15 )( 11     xy xy xy xxmyy Mencari perpotongan y = -x dan y = x +8 dengan cara mensubtitusikan 𝑦 = −𝑥 ke persamaan 𝑦 = 𝑥 + 8, diperoleh.
  13. 13. 13 −𝑥 = 𝑥 + 8 ⟺ 2𝑥 = −8 ⟺ 𝑥 = −4 substitusikan x = -4 ke persamaan y = -x diperoleh y = 4. Jadi titik potongnya (-4,4). Karena (-4,4) titik tengah 'BB , maka                  2 5 , 2 )3( 2 , 2 4,4 '' BBBBBB yxyyxx Jelas   )5,3(8,8  BB yx    3,5, '' AA yx Jadi A’ = (-5, 3) c. Persamaan garis yang melalui P(xp,yp) dan tegak lurus k dengan m = 1 adalah pp pp yxxy xxmyy   )( Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah 'PP . Jelas Q = (xQ, yQ) =        2 , 2 '' pppp yyxx      QpQppp ppppQQ yyxxyx yyxxyx 2,2, ),(2,2 '' ''   Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P’ = (x – 2xQ, y – 2yQ). 7. Diketahui g =   1yx, yx Ditanya: a. Mg(0) b. Mg(A) dengan A(1,2). c. Jika P(x,x+1). Tentukan Mg(P)=P.
  14. 14. 14 Jawab: a. Dipunyai g =   1yx, yx , dari x + y = 1  y = 1 – x. Gradien dari g adalah m = -1, dan gradien yang tegak lurus dengan g adalah m = 1 Maka persamaan garis h yang melalui O(0,0) dan tegak lurus g dengan m = 1 adalah xy xy xxmyy    )0(10 )( 11 Jadi ℎ = {(𝑥, 𝑦)|𝑦 = 𝑥} Titik potong antara g dan h dapat dicari dengan mensubtitusikan 𝑦 = 𝑥 ke dalam persamaan 𝑦 = 1 − 𝑥 sehingga diperoleh 1 − 𝑥 = 𝑥 ⟺ 2𝑥 = 1 ⟺ 𝑥 = 1 2 substitusikan x = 2 1 ke persamaan y = x diperoleh y = 2 1 . Jadi titik potongnya ( 2 1 , 2 1 ) Karena ( 2 1 , 2 1 ) titik tengah 'OO , maka                     2 0 , 2 0 2 , 22 1 , 2 1 '0'0'00'00 yxyyxx Jelas   ),(1,1 '0'0 yx    1,1, '0'0 yx Jadi Mg(O) = (1,1) b. Maka persamaan garis h yang melalui A(1,2) dan tegak lurus g dengan m = 1 adalah
  15. 15. 15 1 12 )1(12 )( 11     xy xy xy xxmyy Jadi ℎ = {(𝑥, 𝑦)|𝑦 = 𝑥 + 1} Mencari perpotongan g dengan h dapat dicari dengan mensubtitusikan 𝑦 = 1 − 𝑥 ke dalam persamaan 𝑦 = 𝑥 + 1, diperoleh 1 − 𝑥 = 𝑥 + 1 ⟺ 2𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 = 0 substitusikan x = 0 ke persamaan y = 1 - x diperoleh y = 1. Jadi titik potongnya (0,1). Karena (0,1) titik tengah 'OO , maka                  2 2 , 2 1 2 , 2 1,0 '''' BBoooo yxyyxx Jelas   )2,1(2.0 '' oo yx     0,1, ' oo yx Jadi A’ = (-1,0) c. Dipunyai p = (x, x + 1) dan g =   1yx, yx Karena Mg(P) = P, maka P )1,(  xxP Diperoleh x + y = 1 01)1(1  xxxyx Dan y = 0 + 1 = 1 Jadi Mg(P) = (0,1).
  16. 16. 16 8. Diketahui g =   013y-x, yx , dan A (2,k). Ditanya: Tentukan k bila Mg(A) = A Jawab : Dipunyai x – 3y +1 = 0, Karena Mg(A) = A, maka A terletak pada g. Nilai k dapat dicari dengan mensubstitusikan titik A ke persamaan garis g. Untuk x = 2 maka x – 3y +1 = 0  2 - 3y = -1  3y = 3  y = 1 Jadi nilai k = 1. 9. Diketahui k =   013-ax, yyx , B = (3,-1) Tentukan a apabila Mk(B) = B! Karena Mk(B) = B, maka B = (3,-1) terletak pada garis k. Diperoleh a.3 – 3(-1) + 1 = 0  3a +3 +1 = 0  3a = - 4  a = - 3 4 Jadi nilai a = - 3 4 . 10. T adalah sebuah transformasi yang ditentukan oleh T(P) = (x-5, y+3) untuk semua titik P(x,y) V. Selidikal apakah T suatu transformasi. Apakah sifat tersebut dapat diperluas secara umum? Selesaian: Dipunyai T(P) = (x-5, y+3) P = (x, y)  V Ditanya: Selidiki apakah T suatu isometri? Jawab: Akan ditunjukkan apakah T suatu isometri. Menurut definisi, T suatu isometri jika P1, P2  V maka P1‘P2’ = P1P2 Ambil sebarang titik P1, P2  V dengan P1=(x1,y1) dan P2=(x2,y2)
  17. 17. 17 T(P1) = P1’ = (x1-5, y1+3) T(P2) = P2’ = (x2-5, y2+3)    2 12 2 1221P yyxxP                 2 12 2 1221 2 12 2 1221 2 12 2 1221 2 12 2 1221 ''P )3355''P )3()3()5()5(''P ''''''P yyxxP yyxxP yyxxP yyxxP     Diperoleh P1‘P2’ = P1P2. karena P1‘P2’ = P1P2, maka T suatu isometri. Apa syarat tersebut dapat diperluas? Jawab: Ambil sebarang titik P1, P2  V dengan P1=(x1,y1) dan P2=(x2,y2) T(P1) = P1’ = (x1 + k, y1 +l) T(P2) = P2’ = (x2 + k, y2 + l)    2 12 2 1221P yyxxP                 2 12 2 1221 2 12 2 1221 2 12 2 1221 2 12 2 1221 ''P )''P )()()()(''P ''''''P yyxxP lylykxkxP lylykxkxP yyxxP     Diperoleh P1‘P2’ = P1P2. Karena P1‘P2’ = P1P2, maka T suatu isometri. Jadi sifat tersebut dapat diperluas secara umum. 11. Sebuah transformasi T didefinisikan untuk semua titik P(x,y) sebagai T(P)=(2x, y-1), Selidiki apakah T suatu isometri? Selesaian: Ambil sebarang titik P,Q V dengan P=(Xp,Yp) dan Q=(Xq,Yq)
  18. 18. 18 Jelas    22 pqpq yyxxPQ  Menurut definisi  1,2)(  pp yxPT dan  1,2)(  qq yxQT Jelas    22 4 pqpq yyxx  Diperoleh )()( QTPT ≠ PQ Jadi transformasi T tidak mengawetkan jarak Jadi T bukan isometri. 12. Diketahui garis g dan titik A, A’, B, dan C seperti terlihat pada gambar di bawah ini. a. Dengan hanya menggunakan sebuah penggaris, tentukan B’=Mg(B) dan C’=Mg(C)’ b. Buktikan bahwa lukisan yang Anda lakukan benar. Selesaian: a. Gambar    22 )1()1(22)()(  pqpq yyxxQTPT B A A’ C g B A A’ C g B’ C’
  19. 19. 19 b. Bukti: Pada lukisan di atas jelas terlihat garis g merupakan garis sumbu dari 𝐶𝐶′̅̅̅̅̅, 𝐴𝐴′̅̅̅̅̅, dan 𝐵𝐵′̅̅̅̅̅. Sehingga B’ = Mg(B), A’ = Mg(A), C’ = Mg(C). Jadi, lukisan di atas benar. 13. Ada sebuah garis g = {(x,y) | y = x}. Andaikan T sebuah transformasi yang didefinisikan untuk semua P(x,y) pada bidang V sebagai berikut: T(P) = P’ = (y,x). Buktikan bahwa T sebuah refleksi garis pada g dengan membuktikan: a. T(P) = P apabila P(x,y) ∈ g. b. Apabila P(x,y) ∉ g maka g adalah sumbu ruas garis PP′̅̅̅̅. Selesaian : a. Dipunyai P(x,y) ∈ g Maka T(P) = P’ = (y,x). Karena (x,y) ∈ g dan g = {(x,y) | y = x}, maka y = x dan x = y sehingga T(P) = P’ = (y,x) = (x,y). Karena T(P) = P untuk P ∈ g maka T merupakan refleksi garis pada g. b. Dipunyai P(x,y) ∉ g (i) Akan dibuktikan PP′̅̅̅̅ ⊥ g. Jelas mg = 1. Karena P(x,y) ∉ g maka T(P) = P’ = (y,x). m 𝑃𝑃′̅̅̅̅̅ = 𝑦2−𝑦1 𝑥2−𝑥1 = 𝑥−𝑦 𝑦−𝑥 = 𝑥−𝑦 −(𝑥−𝑦) = −1 Diperoleh mg = 1 = − 1 −1 = − 1 𝑚 𝑃𝑃′̅̅̅̅̅̅ . Jadi g ⊥ 𝑃𝑃′̅̅̅̅̅. (ii) Akan dibuktikan PO = P’O, jika O adalah titik persekutuan antara 𝑃𝑃′̅̅̅̅̅ dan g. Misalkan Q titik tengah 𝑃𝑃′̅̅̅̅̅. 𝑄 = ( 𝑥1 + 𝑥2 2 , 𝑦1 + 𝑦2 2 ) = ( 𝑥 + 𝑦 2 , 𝑦 + 𝑥 2 ) g P(x,y) P’(y,x) O
  20. 20. 20 Jelas 𝑥+𝑦 2 = 𝑦+𝑥 2 . Maka 𝑥 𝑄 = 𝑦 𝑄, sehingga 𝑄 ∈ g. Jadi Q = O. Karena Q titik tengah 𝑃𝑃′̅̅̅̅̅ dan Q = O, maka PO = P’O. Berdasarkan (i) dan (ii) disimpulkan bahwa g merupakan sumbu ruas garis 𝑃𝑃′̅̅̅̅̅. 14. Jika h sebuah garis yang melewati titik asal dengan koefisien arah -1, tentukan: a. A jika Mh(A) = (-2,3) b. Mh(P) untuk P=(x,y) Selesaian: c. h melewati (0,0) dengan m = -1. Persamaan garis h : y-y1 = m(x-x1)  y – 0 = -1(x – 0)  y = -x  x + y = 0. Jelas 𝐴𝐴′̅̅̅̅̅ ⊥ ℎ melalui (-2,3) dengan gradien m = 1 Persamaan garis 𝐴𝐴′̅̅̅̅̅ : y-y1 = m(x-x1)  y – 3 = 1(x + 2)  y – 3 = x + 2  y = x + 5. Perpotongan garis h dan 𝐴𝐴′̅̅̅̅̅ h : y = -x; 𝐴𝐴′̅̅̅̅̅ : y = x + 5 diperoleh y = y  -x = x + 5  2x = -5  x = − 5 2 .
  21. 21. 21 y = -x = - (− 5 2 ) = 5 2 . Diperoleh titik tengah 𝐴𝐴′̅̅̅̅̅ = (xp,yp) = (− 5 2 , 5 2 ). Jelas (xp,yp) = ( 𝑥+𝑥′ 2 , 𝑦+𝑦′ 2 )  (− 5 2 , 5 2 ) = ( 𝑥−2 2 , 𝑦+3 2 ) Diperoleh x – 2 = -5  x = -3, dan y + 3 = 5  y = 2. Jadi A = (-3,2). b. garis PP’ ⊥ h berarti m = 1 dan melalui (a,b). Persamaan garis PP’: y – y1 = m(x – x1)  y – b = 1(x – a)  y = x – a + b. Perpotongan garis h dan PP’ y = y  -x = x –a + b  2x = a – b  x = 𝑎−𝑏 2 y = -x = − 𝑎−𝑏 2 . Titik tengah PP’ = ( 𝑎−𝑏 2 , − 𝑎−𝑏 2 ) Jelas ( 𝑎−𝑏 2 , − 𝑎−𝑏 2 ) = ( 𝑥+𝑥′ 2 , 𝑦+𝑦′ 2 )  ( 𝑎−𝑏 2 , − 𝑎−𝑏 2 ) = ( 𝑎+𝑥′ 2 , 𝑏+𝑦′ 2 ) Diperoleh x’ = -b dan y’ = -a. Jadi untuk P=(a,b) = (x,y) diperoleh P’=(-b,-a)=(-y,-x). P (a,b) a b h
  22. 22. 22 15. Diketahui sebuah garis g. T sebuah fungsi yang didefinisikan untuk setiap titik P pada bidang V sebagai berikut: Jika Pg maka T(P) = P Jika P g maka T(P) = P’ sehingga P’ adalah titik tengah ruas garis orthogonal dari P ke g. a. Apakah T suatu transformasi? b. Apakah T suatu isometri? c. Apabila ada dua titik A dan B sehingga A’B’ = AB dengan A’ = T(A), B’= T(B), apakah dapat anda katakan tentang A dan B’?: Jawab: a. Ditunjukkan T suatu transformasi i. Ditunjukkan T surjektif Ambil sebarang titik P’V Jika P’ g jelas  PVg  T(P)=P’ Jika P’ ∉ 𝑔, maka ∃𝑥 ∈ 𝑉 sehingga 𝑔 jadi sumbu ruas 𝑃𝑃′̅̅̅̅̅ Ini berarti Ms(P)=P’ Jadi  P’V memiliki prapeta Jadi T surjektif ii. Ditunjukkan T injektif Ambil sebarang titik P,QV dengan P≠Q 𝑃 ≠ 𝑄 { 𝑃 ∈ 𝑔, 𝑄 ∈ 𝑔 ⟹ 𝑇(𝑃) = 𝑃′ , 𝑇(𝑄) = 𝑄′ ≠ 𝑃 ⟹ 𝑇(𝑃) ≠ 𝑇(𝑄) 𝑃 ∈ 𝑔, 𝑄 ∈ 𝑔 ⟹ 𝑇(𝑃) = 𝑃′ ≠ 𝑄, 𝑇(𝑄) = 𝑄 ⟹ 𝑇(𝑃) ≠ 𝑇(𝑄) Pg, Qg. jelas ruas garis orthogonal p ke g tidak sama dengan ruas garis orthogonal Q ke g. Ditunjukkan P ≠Q=> T(P)≠T(Q) Andaikan T(P)=T(Q) Maka T(P) adalah titik tengah ruas garis orthogonal Q ke g dan P ke g dan T(Q) adalah titik tengah ruas garis orthogonal P ke g dan Q ke g Titik tengah adalah tunggal untuk masing-masing ruas garis.
  23. 23. 23 Ruas garis orthogonal P ke g berpotngan dengan ruas garis orthogonal Q ke g. Ruas garis orthogonal hanya dapat ditarik sebuah garis dari suatu titik . Jadi P = Q Kontradiksi dengan P≠Q Haruslah P≠Q => T(P) ≠T(Q) Jadi T injektif Dapat disimpulkan T suatu transformasi b. Ditunjukkan T suatu isometri Pilih Pg dan Q g Jelas T(P)=P dan T(Q)=Q’≠P Jelas T(Q)=Q’ dengan Q’ adalah titik tengah ruas garis orthogonal dari Q ke Q’ Jelas PQ≠P’Q’=PQ’ Jadi T bukan Isometri c. T isometri jika i) Ag, Bg ii) A g ,B g Jadi AB = A’B’ jika i) Ag, Bg ii) A g ,B g 16. Andaikan h =   3xy, yx , Apabila A = (4,3) Ditanya: tentukan koordinat – koordinat A’ =Mh(A). Selesaian: Jelas gradient dari garis 𝑦 = 3𝑥 adalah 𝑚 = 3. Gradient garis yang tegak lurus garis tersebut adalah 𝑚 = − 1 3 Persamaan garis yang tegak lurus h dan melalui titik A(4,3) dengan m = − 1 3 adalah P
  24. 24. 24 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) ⟺ 𝑦 − 3 = − 1 3 (𝑥 − 4) ⟺ 𝑦 − 3 = − 1 3 𝑥 + 4 3 ⟺ 𝑦 = − 1 3 𝑥 + 13 3 Perpotongan garis h dan 𝑦 = − 1 3 𝑥 + 13 3 dapat dicari dengan mensubtitusikan 𝑦 = 3𝑥 ke dalam persamaan 𝑦 = − 1 3 𝑥 + 13 3 , diperoleh 3𝑥 = − 1 3 𝑥 + 13 3 ⟺ 10 3 𝑥 = 13 3 ⟺ 𝑥 = 1,3 3 ⟺ 𝑦 = 3𝑥 = 1,3 Diperoleh titik terjadi 𝐴𝐴′̅̅̅̅̅ = ( 1,3 3 ; 1,3) Jelas ( 1,3 3 ; 1,3) = ( 𝑥 𝐴+𝑥 𝐴′ 2 , 𝑦 𝐴+𝑦 𝐴′ 2 ) ⟺ ( 1,3 3 ; 1,3) = ( 4 + 𝑥 𝐴′ 2 , 3 + 𝑦 𝐴′ 2 ) ⟺ ( 2,6 3 ; 2,6) = (4 + 𝑥 𝐴′, 3 + 𝑦 𝐴′) ⟺ (𝑥 𝐴′, 𝑦 𝐴′) = ( 2,6 3 − 12 3 ; 2,6 − 3) ⟺ (− 9,4 3 ; −0,4) Jdi koordinat 𝐴′ = (− 9,4 3 ; −0,4). 17. Diketahui titik-titik A=(1,-1), B=(4,0), C=(-4,1), dan D=(-2,k). Apabila T suatu isometri sehingga T(A) = C dan T(B) = D, tentukanlah k. Penyelesaian: Karena Isometri, maka |𝐴𝐵| = |𝐶𝐷|
  25. 25. 25  √(𝑥 𝐴 − 𝑥 𝐵)2 + (𝑦 𝐴 − 𝑦 𝐵)2 = √(𝑥 𝑐 − 𝑥 𝐷)2 + (𝑦 𝐶 − 𝑦 𝐷)2  √(1 − 4)2 + (−1 − 0)2 = √(−4 + 2)2 + (1 − 𝑘)2  √(−3)2 + (−1)2 = √(−2)2 + (1 − 𝑘)2  9+1 = 4+ (1-k)2  (1-k)2 = 10 – 4  (1-k)2 = 6  1-k = √6  k = 1 + √6. 19. Pada V ada system sumbu orthogonal X O Y. Ada g =   1yx, yx . a. Jika A = (1,2), maka Mg(A) = . . . b. Jika B = (-2,4), tentukan C sehingga Mg(C) = B c. Jika P = (P1,P2), tentukan Mg(P)! Jawab: a. Dicari gradien garis x + y = 1, yaitu m = - 1, gradien yang tegak lurus garis tersebut adalah m = 1 Maka persamaan garis yang melalui A(1,2) dan tegak lurus g dengan m = 1 adalah 1 21 )1(12 )( 11     xy xy xy xxmyy Mencari perpotongan x + y = 1 dan y = x + 1 dengan mensubstitusikan persamaan 𝑦 = 𝑥 + 1 ke persamaan 𝑥 + 𝑦 = 1, diperoleh 𝑥 + 𝑥 + 1 = 1 ⟺ 2𝑥 = 0 ⟺ 𝑥 = 0 substitusikan x = 0 ke persamaan y = x + 1 diperoleh y = 1. Jadi titik tengah 'AA (0,1).
  26. 26. 26 Jelas (0,1) titik tengah 'AA , maka                  2 2 , 2 1 2 , 2 1,0 ''' AAAAAA yxyyxx   )2,1(2,0 '' AA yx     0,1, '' AA yx Jadi A’ = (-1,0) b. Dicari gradien garis x + y = 1, yaitu m = - 1 Maka persamaan garis yang melalui B(-2,4) dan tegak lurus g dengan m=1 adalah 6 42 )2(14 )( 11     xy xy xy xxmyy Mencari perpotongan y = 1 - x dengan y = x +6 dengan cara substitusi. 𝑦 = 𝑦 ⟺ 1 − 𝑥 = 𝑥 + 6 ⟺ 2𝑥 = 1 − 5 ⟺ 𝑥 = −2 substitusikan x = -2 ke persamaan y = 1 - x diperoleh y = 3. Jadi titik tengah BC (-2,3). Jelas (-2,3) titik tengah BC , maka                  2 4 , 2 2 2 , 2 3,2 CCCBCB yxyyxx   )4,2(6,4 CC yx     2,2, CC yx Jadi A’ = (-2,2)
  27. 27. 27 c. Persamaan garis yang melalui P(P1,P2) dan tegak lurus g adalah 21 21 )( PPxy PxmPy   Misal Q = (Q1,Q2) adalah titik tengah 'PP . Jelas Q = (Q1,Q2) =        2 , 2 '22'11 PPPP      2211'2'1 '22'1121 2,2, ),(2,2 QPQPPP PPPPQQ   Jadi apabila P (P1,P2) maka Mg(P) = P’ =  2211 2,2 QPQP  .

×