1. แผนการจัดการเรียนรูคณิตศาสตรพื้นฐาน ม.2 ภาคเรียนที่ 2 42
หนวยการเรียนรูที่ 2
ความรูเบื้องตนเกี่ยวกับจํานวนจริง
รายวิชาที่นามาบูรณาการ
ํ
ภาษาไทย ศิลปะ การงานพื้นฐานอาชีพ
1. มาตรฐานการเรียนรู
มฐ. ค 1.1 มฐ. ค 1.2 มฐ. ค 1.3 มฐ. ค 1.4
2. ตัวชี้วัดชั้นปท่เี กี่ยวของ
2.1 ค 1.1 ม.2/2-3
2.2 ค 1.2 ม.2/1-2
2.3 ค 1.3 ม.2/1-2
2.4 ค 1.4 ม.2/1
3. สาระการเรียนรู
3.1 จํานวนเต็ม (integers)
3.2 จํานวนตรรกยะ (rational numbers)
3.3 เศษสวนและทศนิยมซ้ํา
3.4 การเปลี่ยนทศนิยมซ้ําเปนเศษสวน
3.5 จํานวนจริง
3.6 สมบัติของจํานวนจริงเกี่ยวกับการบวกและการคูณ
3.7 การเทากัน
3.8 การลบและการหารจํานวนจริง
3.9 คาสัมบูรณ
3.10 เลขยกกําลัง
3.11 กฎของเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็มบวก
3.12 เลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนศูนยหรือจํานวนเต็มลบ
3.13 สมบัติของเลขยกกําลัง
3.14 การหารากที่สอง
3.15 วิธีการหารากที่สอง
3.16 การหารากที่สาม
3.17 วิธีการหารากที่สาม

2. แผนการจัดการเรียนรูคณิตศาสตรพื้นฐาน ม.2 ภาคเรียนที่ 2 43
4. รองรอยการเรียนรู
4.1 ผลงาน / ชิ้นงาน ไดแก
1) การทํากิจกรรมตรวจสอบความเขาใจ 1- 15 ในหนังสือเรียนแม็ค
2) การทําแบบฝกหัด 1 -2 ในหนังสือเรียนแม็ค
3) การทําแบบทดสอบ
4.2 ผลการปฏิบัติงานไดแก
1) การปฏิบัติกิจกรรมในชั้นเรียนและการใชบริการของโรงเรียนอยางเหมาะสม
2) การมีสวนรวมในการปฏิบัติกิจกรรมกลุม
4.3 การทดสอบวัดผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนหลังเรียนจบหนวยการเรียนรู
5. แนวทางการจัดกิจกรรมในภาพรวม
แนวทางการจัดการเรียนรู
รองรอยการเรียนรู
บทบาทครู บทบาทนักเรียน
5.1 ผลงาน / ชิ้นงาน ไดแก
1) การทํากิจกรรมตรวจสอบ - อธิบายเนื้อหาในแตละเรื่อง - ฝ ก คิ ด ตามและร ว มทํ ากิ จ กรรมใน
ความเขาใจ 1- 15 ในหนังสือ ชั้นเรียน
เรียนแม็ค
2) การทําแบบฝกหัด 1 -2 ใน - แนะการทํ า แบบฝ ก หั ด และกิ จ กรรม -ทํ า กิ จ กรรมตรวจสอบความเข า ใจ
หนังสือเรียนแม็ค ตรวจสอบความเขาใจ และแบบฝกหัด
3) การทําแบบทดสอบ - อธิบายสรุปความคิดรวบยอดในแตละ - ทําแบบทดสอบหนวยยอยเปน ราย
เรื่อง กลุม
5.2 ผลการปฏิบัติงาน ไดแก
1) การปฏิ บั ติ กิ จ กรรม - แนะนํ าวิ ธี การเขี ย นแผนผั งสรุ ป ความ
- ให นั ก เรี ย นเขี ย นแผนผั ง ความคิ ด
ในชั้นเรียนและการใชบริการ คิดรวบยอดเพื่อสรุปเนื้อหาประจําหนวย ประจําหนวย
ของโรงเรียนอยางเหมาะสม - แนะนํ าให นั ก เรียนใช บ ริก ารห อ งสมุ ด
- ใหนักเรียนไปคนควาโจทยในหอง
ของโรงเรียนอยางเหมาะสม สมุดโรงเรียนและหองสมุดกลุมสาระ
การเรียนรูคณิตศาสตร
2) การมีสวนรวมในการ - แนะนําวิธการจัดกลุมและการทํา
ี - ให นั ก เรี ย นจั ด กลุ ม ตามที่ ค รู ม อบ
ปฏิบัติกิจกรรมกลุม กิจกรรมกลุม หมายและช ว ยกั น ทํ ากิ จ กรรมในชั้ น
เรียน
5.3 การทดสอบวัดผล - สรุปเนื้อหาที่สําคัญตามแผนผังความคิด - ทําแบบทดสอบหลังเรียนจบ
สัมฤทธิ์ทางการเรียน รวบยอดประจําหนวยอีกครั้ง

3. แผนการจัดการเรียนรูคณิตศาสตรพื้นฐาน ม.2 ภาคเรียนที่ 2 44
แผนการจัดการเรียนรูที่ 1
เรื่อง จํานวนตรรกยะ
เวลา 3 ชั่วโมง
1. เปาหมายการเรียนรู
1.1 ผลการเรียนรู
1) บอกความเกี่ยวของระหวางจํานวนเต็มและจํานวนตรรกยะได
2) ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ไดจากการคํานวณและการแกปญหา
1.2 จุดประสงคการเรียนรู
1) สามารถเขียนเศษสวนใหอยูในรูปทศนิยมซ้ําไดอยางถูกตองและรวดเร็ว
2) สามารถเขียนทศนิยมซ้ําใหอยูในรูปของเศษสวนไดอยางถูกตองและรวดเร็ว
3) สามารถระบุหรือยกตัวอยางจํานวนจริงและจํานวนตรรกยะได
4) สามารถบอกความเกี่ยวของระหวางจํานวนเต็มและจํานวนตรรกยะได
2. สาระสําคัญ
2.1 สาระการเรียนรู
1) จํานวนเต็ม (integers)
2) จํานวนตรรกยะ (rational numbers)
3) เศษสวนและทศนิยมซ้ํา
4) การเปลี่ยนทศนิยมซ้ําเปนเศษสวน
2.2 ทักษะ/ กระบวนการ
การคิดคํานวณ
2.3 ทักษะการคิด
ทักษะการคิดเปรียบเทียบ ทักษะการคิดมีเหตุมีผล ทักษะการคิดแปลความ ทักษะการคิดวิเคราะห
ทักษะการคิดสรุปความ
3. รองรอยการเรียนรู
3.1 ผลงาน / ชิ้นงาน
1) พฤติกรรมการเรียน
2) พฤติกรรมการทํางานกลุม
3) การทํากิจกรรมตรวจสอบความเขาใจ 1-3
3.2 กระบวนการขั้นตอนการปฏิบัติงาน

4. แผนการจัดการเรียนรูคณิตศาสตรพื้นฐาน ม.2 ภาคเรียนที่ 2 45
1) จัดกลุม กลุมละ 3 คน
2) เลือกหัวหนากลุม
3) หัวหนากลุมแบงงาน
4) รวมกันจัดทําบัตรกิจกรรม
5) นําเสนอผลงานหนาชั้นเรียน
6) รวมกันทํากิจกรรมตรวจสอบความเขาใจ
7) สงงาน
3.3 พฤติกรรมตามคุณลักษณะพึงประสงค
1) ใหความรวมมือในการทํางานกลุม
2) มีความละเอียดรอบคอบและรับผิดชอบในการทํางาน
3.4 ความรูความเขาใจ
นักเรียนเขาใจความเกี่ยวของระหวางจํานวนเต็มและจํานวนตรรกยะ
4. แนวทางการวัดและประเมินผล
เกณฑขั้นต่ํา
4.1 ไดระดับ “ พอใช ” ขึ้นไป
4.2 ไดระดับ “ ดี ” ขึ้นไป
4.3 ทําได 80 % ขึ้นไป
การสรุปผลการประเมิน
ตองผานเกณฑขั้นต่ําทั้ง 3 รายการ
5. กิจกรรมการเรียนการสอน
5.1 ขั้นนํา
ชั่วโมงที่ 1 จํานวนตรรกยะ
นักเรียนและครูรวมกันสนทนาเกี่ยวกับระบบจํานวนจริงที่นักเรียนรูจัก วามีจํานวนใดบาง ใหนักเรียนผลัด
กันตอบ
ชั่วโมงที่ 2 เศษสวนและทศนิยมซ้ํา
นักเรียนและครูสนทนาเกี่ยวกับเรื่องจํานวนตรรกยะที่เรียนในชั่วโมงที่แลวโดยครูยกตัวอยางแลวถามตอบ
หนาชั้นเรียน
ชั่วโมงที่ 3 การเปลี่ยนทศนิยมซ้ําเปนเศษสวน
ครูทบทวนการเปลี่ยนเศษสวนใหเปนทศนิยมโดยการตั้งโจทยแลวใหนักเรียนแขงกันหาคําตอบ
5.2 ขั้นสอน

5. แผนการจัดการเรียนรูคณิตศาสตรพื้นฐาน ม.2 ภาคเรียนที่ 2 46
กิจกรรมการเรียนการสอน ฝกการคิดแบบ
ชั่วโมงที่ 1 จํานวนตรรกยะ
1. ครูใหนักเรียนชวยกันพิจารณาขอความที่วา 3 + 3 = 6 และ 4 + 3 = 3 + 4 วา ทักษะการคิดวิเคราะห
เปนจริงหรือไม เพราะเหตุใด ใหนักเรียนใหเหตุผลหรือยกตัวอยาง
2. นักเรียนและครูรวมกันสรุปผลที่ไดจากการพิจารณาดังนี้ ทักษะการคิดวิเคราะห
ขอความ 3 + 3 = 6 เปนจริง เชน จํานวนสม 3 ผล รวมกับสมอีก 3 ผล ก็จะไดสม
เทากับ 6 ผล สวนขอความที่วา 4 + 3 = 3 + 4 จะเปนการบงชี้วาลําดับการบวก
สามารถสลับที่กันได
3. ครูใหนักเรียนชวยกันพิสูจนวาสมบัติขางตนเปนจริงสําหรับทุกจํานวนเต็มใด ทักษะการคิดวิเคราะห
หรือไม (เปนจริงสําหรับคูใดๆ ของจํานวนเต็ม)
4. ครูเขียนจํานวน 1, 2, 3,4, 5, ... บนกระดานแลวสนทนากับนักเรียนวารูจัก ทักษะการคิดสรุปความ
จํานวนเหลานี้หรือไม เรียกจํานวนเหลานี้วาจํานวนอะไร ใชสําหรับทําอะไร จน
ไดขอสรุปวา จํานวนดังกลาวเรียกวา จํานวนธรรมชาติ จํานวนนับ หรือเรียกอีก
อยางวา จํานวนเต็มบวก
ใชสําหรับนับสิ่งตางๆ หรือใชแทนผลกําไรของบริษัทฯ หางรานตางๆ
5 . ครูสนทนากับนักเรียนเกี่ยวกับผลของการประกอบการถาสมมติวาไมมกาไร ีํ ทักษะการคิดวิเคราะห
หรือวาขาดทุน เราจะใชจํานวนที่กลาวขางตนแทนไดหรือไม (ไมได)
6. ครูใหนักเรียนอภิปรายเกี่ยวกับวาจะใชจํานวนใดในการแทนการไมไดกําไรหรือ ทักษะการคิดสรุปความ
วาขาดทุน จนไดขอสรุปวา กําหนดจํานวน 0 อานวา ศูนย แทนการประกอบ
การที่ เสมอตั ว และสํ าหรั บ การขาดทุ น ที่ เป น จํ านวนเต็ ม หน ว ย เรากํ าหนด
จํานวนเต็มหนวย ซึ่งกําหนดเปนจํานวนเต็ม −1, −2, −3, ... อานวา ลบหนึ่ง,
ลบสอง, ลบสาม, ...
7. ครูสรุปกับนักเรียนโดยการเขียนบนกระดานดังนี้ ทักษะการคิดสรุปความ
จํานวน −1, −2, −3, −4, −5, ... เรียกวา จํานวนเต็มลบ
จํานวน 0, 1, −1, -2, −3, ... หรืออาจเขียนวา −3, −2, −1, 0, 1, 2, ... เรียก
วา จํานวนเต็ม
8. ครูใหนักเรียนทํากิจกรรม จะแบงยังไงดีชวยบอกที
กิจกรรมจะแบงยังไงดีชวยบอกที มีวิธีการเลนดังนี้
- ใหนักเรียนจับคู
- ใหนักเรียนใชดินน้ํามันปนเปนรูปแตงโมคนละลูก
- ใหนักเรียนพิจารณาวาถามีคนอยู 4 คนจะมีวิธการแบงแตงโมใหไดเทาๆ กัน ได
ี
อยางไร

6. แผนการจัดการเรียนรูคณิตศาสตรพื้นฐาน ม.2 ภาคเรียนที่ 2 47
กิจกรรมการเรียนการสอน ฝกการคิดแบบ
9. นักเรียนและครูชวยกันสรุปผลที่ไดจากการทํากิจกรรม จะแบงยังไงดี โดยครูอาจใช
การถามตอบ เชน
- จะแบงเปนจํานวนเต็มไดหรือไม
- มีวิธีการแบงไดอยางไร
- ถาแบงเปนจํานวนเต็มไมไดแบงเปนเศษสวนไดอยางไร
10. ครูแนะนําใหนักเรียนรูจักจํานวนตรรกยะ จากนั้นใหนักเรียนสรุปผลของการแบง ทักษะการคิดวิเคราะห
แตงโมวาจะแบงได
11. นักเรียนและครูรวมกันสรุปความหมายของคําวาจํานวนตรรกยะ ดังนี้
จํานวนตรรกยะ คือ จํานวนที่เขียนแทนไดในรูปของเศษสวนของจํานวน
a
เต็มสองจํานวน เขียนไดในรูป b เมื่อ a และ b เปนจํานวนเต็ม และ b
ไมเทากับศูนย ทักษะการคิดวิเคราะห
12. ครูนําตัวเลขไปวางไวหนาหองเรียน เชน 0, 2, −5, 7 , 3 , 2 , 8 แลวสุมให
4 5 4 9 ทั ก ษ ะ ก าร คิ ด ส รุ ป
นักเรียนออกไปหยิบจํานวนที่เปนจํานวนตรรกยะไปติดไวบนกระดาน โดยครูถามถึง
ความ
เหตุผลในการเลือกตัวเลขแตละตัว เชน
a
0, 2, 5 เปนจํานวนตรรกยะ เนื่องจากเขียนใหอยูในรูป b ไดเมื่อ a และ b
เปนจํานวนเต็มใดๆ ดังนั้นจํานวนเต็มใดๆ จึงเปนจํานวนตรรกยะ
13. ครูซักถามนักเรียนเกี่ยวกับจํานวนตรรกยะ นอกจากเศษสวน จํานวนเต็ม แลวยังมี
จํานวนอื่นๆ อีกหรือไม ไดแกจํานวนอะไร (มีจํานวนอื่นอีก เชน ทศนิยม) ทักษะการคิดสรุป
14. ใหนกเรียนเขียน 3.1 ใหอยูในรูปเศษสวน โดยครูคอยตรวจสอบความถูกตอง ซึ่งจะ
ั ความ
ไดวา 31
10
15. นักเรียนสรุปความหมายของจํานวนตรรกยะลงในสมุดแลวยกตัวอยาง 5 - 10 จํานวน ทักษะการคิดวิเคราะห
โดยการตอบปากเปลาแลวครูเขียนบนกระดาน
ชั่วโมงที่ 2 จํานวนตรรกยะ (ตอ) ทักษะการคิดสรุป
1. นักเรียนและครูสนทนาเกี่ยวกับเรื่องจํานวนตรรกยะที่เรียนในชั่วโมงที่แลว โดยครู ความ
ยกตัวอยางแลวถามตอบหนาชั้นเรียน
2. ครู ใ ห นั ก เรี ย นพิ จ ารณาการหาคํ าตอบของ 2 ÷ 3, 1 ÷ 11 และ 5 ÷ 6 บนกระดาน ทักษะการคิดวิเคราะห
พรอมกันดังนี้

7. แผนการจัดการเรียนรูคณิตศาสตรพื้นฐาน ม.2 ภาคเรียนที่ 2 48
กิจกรรมการเรียนการสอน ฝกการคิดแบบ
0.6666 0.09090 0.83333
3) 2.00000 11) 1.00000 5) 2.00000
18 0 48
20 100 20
18 99 18
20 10 20
18 0 18
20 100 20
18 99 18
20 10 20
0 18
100 20
3. ครูสนทนาซักถามกับนักเรียนเกี่ยวกับการหาผลลัพธขางตน จนนักเรียนสามารถตอบ ทักษะการคิดเปรียบ
ไดวา ในการหารแตละกรณีขางตนเมื่อหารตอไปจะไดจํานวนซ้ําๆ กับจํานวนที่ไดมา เทียบ
แลว
4. ครูแนะนําวิธีการอานและการเขียนทศนิยมซ้ํา ดังนี้ ทักษะการคิดวิเคราะห
•
- 0.6666... จะเขียนแทนดวย 0.6 อานวา ศูนยจุดหกหกซ้ํา
• •
- 0.090909… จะเขียนแทนดวย 0.09 อานวา ศูนยจุดศูนยเกาศูนยเกาซ้ํา
•
- 0.83333…. จะเขียนแทนดวย 0.83 อานวา ศูนยจุดแปดสามสามซ้ํา
5. ครูสนทนากับนักเรียนเกี่ยวกับ 2 ÷ 3, 1 ÷ 11 และ 5 ÷ 6 สามารถเขียนในรูปอื่น
ไดหรือไม (ได) และเขียนไดในรูปใด (เศษสวน 2 , 11 และ 5 ) ใหนักเรียน
3
1
6
ทดลองเขียน ครูตรวจสอบความถูกตอง
6. ครูใหนักเรียนชวยกันสรุปเกี่ยวกับการทําเศษสวนใหเปนทศนิยมวามีวิธีการอยางไร ทักษะการคิดวิเคราะห
โดยครูใชคําถามจนนักเรียนสามารถตอบไดวา การทําเศษสวนใหเปนทศนิยม ทําได
โดยการนําตัวสวนไปหารตัวเศษ
7. ใหนกเรียนทํากิจกรรมตรวจสอบความเขาใจ 1 โดยการตอบคําถามปากเปลา หรือมา
ั
เขียนคําตอบบนกระดาน โดยครูและเพื่อนคนอื่นๆ ชวยกันตรวจสอบความถูกตอง
8. ใหนกเรียนพิจารณาทศนิยมที่รูจบ เชน 0.6, 0.75, −0.4 สามารถเขียนใหอยูในรูปของ
ั ทักษะการคิด
ทศนิยมซ้ําไดหรือไม อยางไร ใหนักเรียนออกมาสาธิตการเขียนบนกระดานดํา แลว สังเคราะห
ครูตรวจสอบวาถูกตองหรือไม แลวสรุปอีกครั้งวาสามารถเขียนในรูปทศนิยมซ้ําไดดังนี้

8. แผนการจัดการเรียนรูคณิตศาสตรพื้นฐาน ม.2 ภาคเรียนที่ 2 49
กิจกรรมการเรียนการสอน ฝกการคิดแบบ
0.60000..., 0.75000..., −0.40000… เปนตน
9. ครูตั้งโจทยเกี่ยวกับการทําเศษสวนใหเปนทศนิยมซ้ํา ใหนักเรียนหาคําตอบลงในสมุด
10. ใหนักเรียนทํากิจกรรมตรวจสอบความเขาใจ 1 เปนการบาน โดยครูกําหนดวันและ
เวลาสง
ชั่วโมงที่ 3 การเปลี่ยนทศนิยมซ้ําเปนเศษสวน
1. ครูทบทวนการเปลี่ยนเศษสวนใหเปนทศนิยม โดยการตั้งโจทยแลวใหนักเรียนแขงกัน
หาคําตอบ ใครหาไดเร็วที่สด คนนั้นชนะ ครูใหคําชมเชยกับนักเรียนที่ชนะ
ุ
2. ครูและนักเรียนรวมกันสรุปหลักการทําเศษสวนใหเปนทศนิยมอีกครั้ง ทั ก ษ ะ ก าร คิ ด ส รุ ป
3. ครูใหนักเรียนชวยกันหาวิธีเกี่ยวกับการเปลี่ยนทศนิยมใหเปนเศษสวนทําไดอยางไร ความ
และถาเปลี่ยนทศนิยมซ้ําใหเปนเศษสวนทําไดเหมือนกันหรือไม ครูใหนักเรียนออกมา ทักษะการคิดวิเคราะห
สาธิตวิธีการทํา
4. ครูแสดงวิธการเปลี่ยนทศนิยมซ้ําใหเปนเศษสวน ใหนักเรียนชวยกันสังเกตวามีวิธีการ
ี
อยางไร ทักษะการคิดวิเคราะห
•
เชน จงเปลี่ยน 0.7 ใหอยูในรูปของเศษสวน
วิธีทํา ให N = 0.7
•
หรือ N = 0.77777… ….……..(1)
นํา 10 คูณทั้งสองขางของสมการ (1) จะได
10N = 7.77777… ...............(2)
สมการ (2) ลบดวยสมการ (1)
9N = 7
นํา 9 ไปหารทั้งสองขางของสมการ จะได
N =7 9
0.7 = 7
•
ดังนั้น 9
5. ครูสนทนาซักถามกับนักเรียน จากการสังเกต นักเรียนจะเห็นวามีวิธีการทําอยางไร ทักษะการคิด
บาง ใหนักเรียนชวยกันอธิบาย สังเคราะห
6. ครูยกตัวอยาง 2 - 3 ตัวอยาง ใหนักเรียนลองหาคําตอบ
7. ครูแนะนําการทําทศนิยมซ้ําใหอยูในรูปของเศษสวนจะใชสมบัติการคูณเพื่อเปลี่ยน
สมการใหเปนสองสมการที่มีจํานวนหลังจุดทศนิยมเทากัน แลวนํามาลบกัน แลว
ดําเนินการตอไป จนขางซายอยูในรูปของทศนิยมซ้ําและขางขวาเปนเศษสวน
8. ใหนักเรียนแบงกลุม 3 - 5 คน แลวชวยกันศึกษาตัวอยางที่ 1 - 3 ในหนังสือเรียนแลว

9. แผนการจัดการเรียนรูคณิตศาสตรพื้นฐาน ม.2 ภาคเรียนที่ 2 50
กิจกรรมการเรียนการสอน ฝกการคิดแบบ
ชวยกันสรุปแลวสงตัวแทนออกมานําเสนอหนาชั้นเรียน
9. ใหนักเรียนทํากิจกรรมตรวจสอบความเขาใจ 2 เพื่อตรวจสอบความเขาใจของนักเรียน
10. ครูสนทนากับนักเรียนเกี่ยวกับทศนิยมที่ซ้ําวาเปนจํานวนตรรกยะหรือไม เพราะเหตุ
ใด จนไดคําตอบดังนี้ ทศนิยมซ้ําเปนจํานวนตรรกยะเพราะทศนิยมซ้ําสามารถเขียน ทักษะการคิดวิเคราะห
ใหอยูในรูปของเศษสวนไดที่ตัวเศษและตัวสวนเปนจํานวนเต็มและตัวสวนไมเทากับ
ศูนย
11. ใหนักเรียนพิจารณาการหารและการคูณตอไปนี้ แลวชวยกันสรุปรูปทั่วไปวาจะมี
ทักษะการคิดวิเคราะห
ลักษณะเปนอยางไร
36 ÷ 9 = 4 และ 4 × 9 = 36
รูปทั่วไป
สําหรับจํานวนเต็ม p, q และ n ใดๆ และ q ≠ 0
ถา p ÷ q = n แลว n × q = p
และถา n × q = p แลว p ÷ q = n
12. นักเรียนและครูรวมกันสรุปจํานวนที่เปนตรรกยะอีกครั้งเพื่อนตรวจสอบความเขาใจ ทั ก ษ ะ ก าร คิ ด ส รุ ป
ของนักเรียน ความ
13. ใหนักเรียนทํากิจกรรมตรวจสอบความเขาใจ 3 โดยครูกําหนดวันและเวลาสง
5.3 ขั้นสรุป
ครูใหนักเรียนชวยกันสรุป ความหมายของจํานวนตรรกยะ วิธีการทําเศษสวนใหเปนทศนิยม วิธีการทํา
ทศนิยมซ้ําใหเปนเศษสวน ดังนี้
จํานวนตรรกยะ คือ จํานวนที่เขียนแทนไดในรูปของเศษสวนของจํานวนเต็มสองจํานวน เขียนไดในรูป b
a
เมื่อ a และ b เปนจํานวนเต็ม และ b ไมเทากับศูนย
6. สื่อการเรียนรู/ แหลงการเรียนรู
6.1 สื่อการเรียนรู
- หนังสือเรียนแม็ค
- ดินน้ํามัน
- ไมบรรทัด
6.2 แหลงการเรียนรู
- หองสมุดโรงเรียน
- หองสมุดกลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร
7. กิจกรรมเสนอแนะ-

10. แผนการจัดการเรียนรูคณิตศาสตรพื้นฐาน ม.2 ภาคเรียนที่ 2 51
8. บันทึกหลังสอน
บันทึกหลังสอน
(บันทึกเฉพาะประเด็นที่มีขอมูลสารสนเทศชัดเจน)
ประเด็นการบันทึก จุดเดน จุดที่ควรปรับปรุง
1. การจัดกิจกรรมการเรียนรู
2. การใชสื่อการเรียนรู
3. การประเมินผลการเรียนรู
4. การบรรลุผลการเรียนรูของ
ผูเรียน
บันทึกเพิ่มเติม
.........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
ลงชื่อ ............................................................ ผูสอน
บันทึกความเห็นของผูตรวจสอบแผนการจัดการเรียนรู
.........................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
ลงชื่อ .......................................................................
ตําแหนง ..................................................................

11. แผนการจัดการเรียนรูคณิตศาสตรพื้นฐาน ม.2 ภาคเรียนที่ 2 52
9. ใบความรู ใบงาน และเครื่องมือวัดผล
กิจกรรมตรวจสอบความเขาใจและแบฝกหัดในหนังสือเรียน
แบบสังเกตพฤติกรรมการเรียน
แบบบันทึกการสังเกตพฤติกรรมการเรียนรายบุคคลวิชาคณิตศาสตร
ชื่อนักเรียน ................................ ชั้น ........... วันที่ ................ เดือน .............................. ป ....................
ครั้งที่ .............................................................. ผูสังเกต ......................................................................
ระดับการประเมิน
หัวขอการประเมิน
ดีมาก ดี พอใช ควรปรับปรุง
ความสนใจ
การตอบคําถาม
การทํากิจกรรมหนาชั้นเรียน
การใชความรูทักษะ/กระบวนการทาง
คณิตศาสตรในการแกปญหาใน
สถานการณตางๆ
ความสามารถในการใชภาษาและสื่อ
ลักษณทางคณิตศาสตรในการสื่อสาร
สื่อความหมาย

12. แผนการจัดการเรียนรูคณิตศาสตรพื้นฐาน ม.2 ภาคเรียนที่ 2 53
แบบประเมินพฤติกรรมการทํางาน
แบบประเมินพฤติกรรมการทํางาน
ชื่อนักเรียน .................................. ชั้น ........... วันที่ ................ เดือน ............................. ป ....................
ครั้งที่ ............................................................... ผูสังเกต ......................................................................
ระดับการประเมิน
หัวขอการประเมิน
ดีมาก ดี ปานกลาง นอย นอยมาก
การวงแผน
การกําหนดการปฏิบัติงาน
มีขั้นตอนชัดเจน
การปฏิบัติตามขั้นตอนที่
กําหนด
ความคิดสรางสรรค
ผลการทํางาน

13. แผนการจัดการเรียนรูคณิตศาสตรพื้นฐาน ม.2 ภาคเรียนที่ 2 54
แผนการจัดการเรียนรูที่ 2
เรื่อง จํานวนอตรรกยะ
เวลา 2 ชั่วโมง
1. เปาหมายการเรียนรู
1.1 ผลการเรียนรู
1) บอกความเกี่ยวของระหวางจํานวนเต็ม จํานวนตรรกยะ และจํานวนอตรรกยะได
2) ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ไดจากการคํานวณและการแกปญหา
1.2 จุดประสงคการเรียนรู
1) สามารถระบุหรือยกตัวอยางจํานวนอตรรกยะได
2) สามารถบอกความเกี่ยวของระหวางจํานวนเต็ม จํานวนตรรกยะ และจํานวนอตรรกยะได
2. สาระสําคัญ
2.1 สาระการเรียนรู
1) จํานวนเต็ม (integers)
2) จํานวนตรรกยะ (rational numbers)
3) เศษสวนและทศนิยมซ้ํา
4) การเปลี่ยนทศนิยมซ้ําเปนเศษสวน
2.2 ทักษะ/ กระบวนการ
การคิดคํานวณ
2.3 ทักษะการคิด
ทักษะการคิดจัดลําดับความ ทักษะการคิดเปรียบเทียบ ทักษะการคิดวิเคราะห ทักษะการสังเกต
3. รองรอยการเรียนรู
3.1 ผลงาน / ชิ้นงาน
1) พฤติกรรมการเรียน
2) พฤติกรรมการทํางานกลุม
3) การทํากิจกรรมตรวจสอบความเขาใจ 4
3.2 กระบวนการขั้นตอนการปฏิบัติงาน
1) จัดกลุม กลุมละ 3 คน
2) เลือกหัวหนากลุม
3) หัวหนากลุมแบงงาน
4) รวมกันจัดทําบัตรกิจกรรม
5) นําเสนอผลงานหนาชั้นเรียน

14. แผนการจัดการเรียนรูคณิตศาสตรพื้นฐาน ม.2 ภาคเรียนที่ 2 55
6) รวมกันทํากิจกรรมตรวจสอบความเขาใจ
7) สงงาน
3.3 พฤติกรรมตามคุณลักษณะพึงประสงค
1) ใหความรวมมือในการทํางานกลุม
2) มีความละเอียดรอบคอบและรับผิดชอบในการทํางาน
3.4 ความรูความเขาใจ
นักเรียนเขาใจความหมายของจํานวนอตรรกยะ
4. แนวทางการวัดและประเมินผล
เกณฑขั้นต่ํา
1) ไดระดับ “ พอใช ” ขึ้นไป
2) ไดระดับ “ ดี ” ขึ้นไป
3) ทําได 80 % ขึ้นไป
การสรุปผลการประเมิน
ตองผานเกณฑขั้นต่ําทั้ง 3 รายการ
5. กิจกรรมการเรียนการสอน
5.1 ขั้นนํา
ชั่วโมงที่ 1 จํานวนอตรรกยะ
ครูทบทวนเรื่องของจํานวนตรรกยะโดยการถามตอบ เชน
- จํานวนตรรกยะไดแกจํานวนใดบาง
- ใหนักเรียนชวยกันยกตัวอยางจํานวนตรรกยะ
ชั่วโมงที่ 2 จํานวนอตรรกยะ (ตอ)
ใหนักเรียนชวยกันสรุปความหมายของจํานวนอตรรกยะ โดยการถามตอบหรือยกตัวอยาง
5.2 ขั้นสอน
กิจกรรมการเรียนการสอน ฝกการคิดแบบ
ชั่วโมงที่ 1 จํานวนอตรรกยะ
1. ครูทบทวนเรื่องของจํานวนตรรกยะโดยการถามตอบ เชน ทั ก ษะการคิ ด จั ด ลํ า ดั บ
- จํานวนตรรกยะไดแกจํานวนใดบาง ความ
- ใหนักเรียนชวยกันยกตัวอยางจํานวนตรรกยะ
2. ครูใหนักเรียนแตละคนวาดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีแตละดานยาว 1 หนวย ลงในสมุด
จากนั้นเขียนเสนทแยงมุมในรูป โดยครูแสดงใหดูบนกระดาน ดังนี้

15. แผนการจัดการเรียนรูคณิตศาสตรพื้นฐาน ม.2 ภาคเรียนที่ 2 56
กิจกรรมการเรียนการสอน ฝกการคิดแบบ
D C
1
A 1 B
3. ใหนักเรียนสังเกตและชวยกันพิจารณาวาเสนทแยงมุมนั้นมีความยาวเทาไร และเปน ทักษะการสังเกต
จํานวนตรรกยะหรือไม
4. ครูและนักเรียนชวยกันสรุปผลที่ได
5. ครูแนะนํานักเรียนเกี่ยวกับการคนพบของนักคณิตศาสตรวา ไดคนพบความยาวของ ทักษะการคิดวิเคราะห
เสนทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีดานแตละดานยาว 1 หนวยไมเปนจํานวนตรรกยะ
หรือ พบวา ไม ส ามารถหาจํานวนตรรกยะใดๆ ที่ ยกกําลังสองเท ากับ 2 ครูแสดงให
นักเรียนดูบนกระดาน
x2 = 2 , x ไมเปนจํานวนตรรกยะ
6. ครูสนทนากับนักเรียนเนื่องจากจํานวนตรรกยะยังไมเพียงพอที่จะใชในการแกปญหา
ทั กษ ะการคิ ดเป รี ย บ
ทางคณิตศาสตร จึงมีจํานวนที่ไมใชจํานวนตรรกยะ คือจํานวนที่สามารถเปรียบเทียบ
a
เทียบ
มากกวาหรือนอยกวากับจํานวนตรรกยะได แตไมสามารถเขียนไดในรูป b เมื่อ a
และ b เป น จํ า นวนเต็ ม และ b ไม เ ท า กั บ ศู น ย ไ ด เรี ย กจํ า นวนดั ง กล า วว า
จํานวนอตรรกยะ ทักษะการคิดวิเคราะห
7. ใหนักเรียนแบงกลุม 4 - 5 คน ชวยกันศึกษาเรื่องของจํานวนอตรรกยะ แลวใหแตละ
กลุมนําเสนอหนาชั้นเรียน
8. ครูและนักเรียนรวมกันสรุปลักษณะของจํานวนที่เปนอตรรกยะ
9. ครูเขียนทศนิยมตอไปนี้บนกระดาน แลวใหนักเรียนชวยกันพิจารณาวาเปนจํานวน
ตรรกยะหรื อ จํ า นวนอตรรกยะ 0.01001000100001… เป น จํ า นวนตรรกยะหรื อ
จํานวนอตรรกยะ
10. ครูและนักเรียนชวยกันสรุปไดวา 0.01001000100001… เปนทศนิยมที่ไมซ้ําซึ่งไม
a
สามารถเขียนในรูป b เมื่อ a และ b เปนจํานวนเต็ม และ b ไมเทากับศูนยได ดังนั้น
จึงเปนจํานวนอตรรกยะ

16. แผนการจัดการเรียนรูคณิตศาสตรพื้นฐาน ม.2 ภาคเรียนที่ 2 57
กิจกรรมการเรียนการสอน ฝกการคิดแบบ
11. ครูใหนกเรียนเลนเกมชวยแยกฉันที
ั
เกมชวยแยกฉันที ทั ก ษะการคิ ด จั ด ลํ า ดั บ
1) ใหนักเรียนแบงออกเปนสองทีมคือทีมตรรกยะและทีมอตรรกยะ ความ
2) ครูนํากระดาษที่เขียนตัวเลขไปติดไวบนกระดาน
3) ใหนักเรียนแตละฝายไปหยิบตัวเลขใหไดตรงกับชื่อทีมของตัวเอง
4) ถาหยิบถูกรับไปแผนละ 1 คะแนนถาหยิบผิดลบแผนละ 5 คะแนน ทีมที่ได
คะแนนมากเปนฝายชนะ
5.3 ขั้นสรุป
ใหนักเรียนชวยกันสรุป ความหมายของจํานวนอตรรกยะ และจํานวนที่เปนจํานวนอตรรกยะ
6. สื่อการเรียนรู/ แหลงการเรียนรู
6.1 สื่อการเรียนรู
- หนังสือเรียนแม็ค
- กระดาษแข็งสําหรับติดตัวเลข
- กรรไกร
- ไมบรรทัด
- ดินสอ
6.2 แหลงการเรียนรู
- หองสมุดโรงเรียน
- หองสมุดกลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร
7. กิจกรรมเสนอแนะ
7.1 กิจกรรมสงเสริมการอานเชิงวิเคราะห ประกอบดวยขั้นตอน 4 ขั้นตอน ดังนี้
ขั้นรวบรวมขอมูล
1) ครูใหนักเรียนไปอานขาวเกี่ยวกับกําเนิดของจํานวนอตรรกยะ
2) ใหนักเรียนจับคูกันตามความสมัครใจ
3) ใหนักเรียนแตละคูชวยกันตั้งคําถามจากความรูที่ไปอานโดยเนนคําถามเพื่อหาขอมูล ทําอะไร กับใคร
ที่ไหน เมื่อไร อยางไร เชน ใครเปนคนตั้งจํานวนอตรรกยะ จํานวนอตรรกยะเกิดในป พ.ศ. เทาไร

17. แผนการจัดการเรียนรูคณิตศาสตรพื้นฐาน ม.2 ภาคเรียนที่ 2 58
ขั้นวิเคราะห
ใหนักเรียนรวมกันวิเคราะหขอมูลที่สรุปไดในประเด็นตอไปนี้
1) ทําไมถึงตองมีจํานวนอตรรกยะ
2) จํานวนอตรรกยะนําไปทําอะไรไดบาง
3) จํานวนอตรรกยะนําไปใชทําประโยชนอยางไร
ขั้นสรุป
ใหนักเรียนรวมกันสรุปใจความสําคัญของจํานวนอตรรกยะที่ไปอานใหครบถวนสมบรูณอยางยอ โดยเขียน
เปนบันทึกไวในสมุดงานดวยภาษาของนักเรียนเอง
ขั้นประยุกตใช
ใหนกเรียนไปหาเรื่องราวเกี่ยวกับการนําจํานวนอตรรกยะไปใชแลวนํากลับมาเสนอใหเพื่อนฟงแลวสรุปเขียน
ั
สงครู
7.2 กิจกรรมการบูรณาการ
ครูสามารถบูรณาการการเรียนรูกบกลุมสาระการเรียนรูภาษาไทยและศิลปะ โดยการกําหนดภาระงานให
ั
นักเรียนเลาเรื่องเกี่ยวกับจํานวนอตรรกยะ พรอมการแสดงละครประกอบตามขั้นตอนตอไปนี้
ภาระงาน “การเลาเรื่องเกี่ยวกับจํานวนอตรรกยะ”
ผลการเรียนรู ใชกระบวนการเลาเรื่องและการแสดงละครสื่อความหมายเกี่ยวกับจํานวนอตรรกยะได
ผลงานที่ตองการ การเลาเรื่องและการแสดงละครเกี่ยวกับกําเนิดของจํานวนอตรรกยะ

ขั้นตอนการงาน 1. ใหนักเรียนจับกลุม กลุมละ 10 คน
2. ศึกษาเรื่องกําเนิดของจํานวนอตรรกยะ
3. นํามาเลาเปนละครและออกแบบการแสดง
4. แสดงใหเพื่อนๆ ดูแลวแลกเปลี่ยนขอคิดเห็นแลวนํามาแกไขปรับปรุงใหดีขึ้น
5. นําเสนอผลงานของตัวเองตามวันและเวลาที่ครูกําหนด
เกณฑการประเมิน 1. ความถูกตองของเนื้อหา
2. ความตอเนื่องของละคร
3. ความสวยงามของการแสดง

18. แผนการจัดการเรียนรูคณิตศาสตรพื้นฐาน ม.2 ภาคเรียนที่ 2 59
8. บันทึกหลังสอน
บันทึกหลังสอน
(บันทึกเฉพาะประเด็นที่มีขอมูลสารสนเทศชัดเจน)
ประเด็นการบันทึก จุดเดน จุดที่ควรปรับปรุง
1. การจัดกิจกรรมการเรียนรู
2. การใชสื่อการเรียนรู
3. การประเมินผลการเรียนรู
4. การบรรลุผลการเรียนรูของ
ผูเรียน
บันทึกเพิ่มเติม
.........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
ลงชื่อ ............................................................ ผูสอน
บันทึกความเห็นของผูตรวจสอบแผนการจัดการเรียนรู
.........................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
ลงชื่อ .......................................................................
ตําแหนง ..................................................................

19. แผนการจัดการเรียนรูคณิตศาสตรพื้นฐาน ม.2 ภาคเรียนที่ 2 60
9. ใบความรู ใบงาน และเครื่องมือวัดผล
กิจกรรมตรวจสอบความเขาใจและแบฝกหัดในหนังสือเรียน
แบบสังเกตพฤติกรรมการเรียน
แบบบันทึกการสังเกตพฤติกรรมการเรียนรายบุคคลวิชาคณิตศาสตร
ชื่อนักเรียน ................................ ชั้น ........... วันที่ ................ เดือน .............................. ป ....................
ครั้งที่ .............................................................. ผูสังเกต ......................................................................
ระดับการประเมิน
หัวขอการประเมิน
ดีมาก ดี พอใช ควรปรับปรุง
ความสนใจ
การตอบคําถาม
การทํากิจกรรมหนาชั้นเรียน
การใชความรูทักษะ/กระบวนการทาง
คณิตศาสตรในการแกปญหาใน
สถานการณตางๆ
ความสามารถในการใชภาษาและสื่อ
ลักษณทางคณิตศาสตรในการสื่อสาร
สื่อความหมาย

20. แผนการจัดการเรียนรูคณิตศาสตรพื้นฐาน ม.2 ภาคเรียนที่ 2 61
แบบประเมินพฤติกรรมการทํางาน
แบบประเมินพฤติกรรมการทํางาน
ชื่อนักเรียน .................................. ชั้น ........... วันที่ ................ เดือน ............................. ป ....................
ครั้งที่ ............................................................... ผูสังเกต ......................................................................
ระดับการประเมิน
หัวขอการประเมิน
ดีมาก ดี ปานกลาง นอย นอยมาก
การวงแผน
การกําหนดการปฏิบัติงาน
มีขั้นตอนชัดเจน
การปฏิบัติตามขั้นตอนที่
กําหนด
ความคิดสรางสรรค
ผลการทํางาน

21. แผนการจัดการเรียนรูคณิตศาสตรพื้นฐาน ม.2 ภาคเรียนที่ 2 62
แผนการจัดการเรียนรูที่ 3
เรื่อง รากที่สอง
เวลา 4 ชั่วโมง
1. เปาหมายการเรียนรู
1.1 ผลการเรียนรู
1) อธิบายและระบุรากที่สองตามจํานวนจริงที่กําหนดใหได
2) หารากที่สองของจํานวนเต็มที่กําหนดใหโดยการแยกตัวประกอบและนําไปใชได
3) ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได
1.2 จุดประสงคการเรียนรู
1) อธิบายและระบุรากที่สองตามจํานวนจริงที่กําหนดใหได
2) หารากที่สองของจํานวนเต็มที่กําหนดใหโดยการแยกตัวประกอบและนําไปใชได
3) ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได
2. สาระสําคัญ
2.1 สาระการเรียนรู
1) การหารากที่สอง
2) วิธีการหารากที่สอง
2.2 ทักษะ/ กระบวนการ
การคิดคํานวณ
2.3 ทักษะการคิด
ทักษะการคิดจัดลําดับความ ทักษะการคิดมีเหตุมีผล ทักษะการคิดสรุปความ ทักษะการคิดคํานวณ ทักษะ
การสังเกต
3. รองรอยการเรียนรู
3.1 ผลงาน / ชิ้นงาน
1) พฤติกรรมการเรียน
2) พฤติกรรมการทํางานกลุม
3) การทํากิจกรรมตรวจสอบความเขาใจ 1-6 และแบบฝกหัดที่ 1
3.2 กระบวนการขั้นตอนการปฏิบัติงาน
1) จัดกลุม กลุมละ 3 คน
2) เลือกหัวหนากลุม
3) หัวหนากลุมแบงงาน

22. แผนการจัดการเรียนรูคณิตศาสตรพื้นฐาน ม.2 ภาคเรียนที่ 2 63
4) รวมกันจัดทําบัตรกิจกรรม
5) นําเสนอผลงานหนาชั้นเรียน
6) รวมกันทํากิจกรรมตรวจสอบความเขาใจ
7) สงงาน
3.3 พฤติกรรมตามคุณลักษณะพึงประสงค
1) ใหความรวมมือในการทํางานกลุม
2) มีความละเอียดรอบคอบและรับผิดชอบในการทํางาน
3.4 ความรูความเขาใจ
นักเรียนเขาใจความหมายของรากที่ 2
4. แนวทางการวัดและประเมินผล
เกณฑขั้นต่ํา
4.1 ไดระดับ “ พอใช ” ขึ้นไป
4.2 ไดระดับ “ ดี ” ขึ้นไป
4.3 ทําได 80 % ขึ้นไป
การสรุปผลการประเมิน
ตองผานเกณฑขั้นต่ําทั้ง 3 รายการ
5. กิจกรรมการเรียนการสอน
5.1 ขั้นนํา
ชั่วโมงที่ 1 บทนิยามของรากที่สอง
ครูสนทนาเกี่ยวกับเรื่องของรากที่สองวานักเรียนเคยรูจักมากอนหรือไม มีวิธีการเขียนอยางไร ใหนักเรียน
ออกมาสาธิต
ชั่วโมงที่ 2 รากหรือกรณฑ
ครูสนทนากับนักเรียนเกี่ยวกับบทนิยามของรากที่สองที่เรียนมาในชั่วโมงที่แลว โดยการยกตัวอยางหรือถาม
ตอบ
ชั่วโมงที่ 3 การหาคารากที่สองโดยการแยกตัวประกอบ
ครูทบทวนเรื่องของการหาคารากที่สองที่เรียนในชั่วโมงที่แลวโดยการถามตอบหรือใหนักเรียนแสดงความคิด
เห็น

23. แผนการจัดการเรียนรูคณิตศาสตรพื้นฐาน ม.2 ภาคเรียนที่ 2 64
ชั่วโมงที่ 4 สมบัติของรากที่สอง
นักเรียนหารากที่สองโดยวิธีการแยกตัวประกอบโดยครูเปนผูตั้งคําถามแลวใหนกเรียนชวยกันตอบหรือสุม
ั
เรียกรายบุคคล
5.2 ขั้นสอน
กิจกรรมการเรียนการสอน ฝกการคิดแบบ
ชั่วโมงที่ 1 สมบัติของจํานวนจริง
1. นักเรียนและครูทบทวนความหมายของจํานวนตรรกยะและจํานวนอตรรกยะ
2. นักเรียนและครูรวมกันอภิปรายวาจํานวตรรกยะและจํานวนอตรรกยะมีลักษณะเหมือน ทั ก ษะการคิ ด เปรี ย บ
หรือแตกตางกันอยางไร เทียบ
3. ครูใหนักเรียนเขียนจํานวนตรรกยะและจํานวนอตรรกยะแลวนํามารวมกัน ครูซักถาม
วาจะเรียกกลุมของจํานวนที่รวมกันวาอะไร ใหนักเรียนอภิปรายจนสรุปเปนคําตอบวา
เปนกลุมของจํานวนจริง
4. นักเรียนและครูชวยกันเขียนแผนภาพของจํานวนจริงบนกระดาน ดังนี้
โครงสรางของระบบจํานวนจริง
จํานวนจริง
จํานวนตรรกยะ จํานวนอตรรกยะ
จํานวนเต็ม จํานวนตรรกยะที่ไมใชจํานวนจริง
จํานวนเต็มลบ จํานวนเต็มศูนย จํานวนเต็มบวก
5. ใหนักเรียนชวยกันพิจารณาวา 4 และ −3 เปนจํานวนจริงหรือไม เพราะเหตุใด
ทักษะการคิดวิเคราะห
6. ครูใหนักเรียนนํา 4 และ −3 มาบวกกัน แลวใหพิจารณาผลลัพธที่ไดเปนจํานวนจริง
ทักษะการคิดคํานวณ
หรือไม เพราะเหตุใด

24. แผนการจัดการเรียนรูคณิตศาสตรพื้นฐาน ม.2 ภาคเรียนที่ 2 65
กิจกรรมการเรียนการสอน ฝกการคิดแบบ
ชั่วโมงที่ 2 บทนิยามของรากที่สอง
1. ครูสนทนาเกี่ยวกับเรื่องของรากที่สองวานักเรียนเคยรูจักมากอนหรือไม มีวธิ ทักษะการคิดจัดลําดับความ
การเขียนอยางไรใหนักเรียนออกมาสาธิต
2. ครูนําเสนอตัวอยางของรากที่สองเพื่อนําไปสูความเขาใจบทนิยามของรากที่สอง ทักษะการคิดมีเหตุมีผล
เชน 9 เปนจํานวนจริงที่มากกวาศูนย เรากลาววา 3 เปนรากที่สองของ 9 เนื่อง
จาก 32= 9 และ −3 เปนรากที่สองของ 9 เนื่องจาก (−3) 2= 9
0 เปนจํานวนจริง เรากลาววา 0 เปนรากที่สองของ 0 เนื่องจาก 02 = 0
3. ครูสนทนากับนักเรียนเกี่ยวกับตัวอยางขางตนและซักถามนักเรียนวาถาเปลี่ยน
ตัวเลขดังกลาวเปนตัวแปร เชน a, b, c เปนตน จะไดคําตอบวาอยางไร ครูเขียน
บนกระดาน ใหนักเรียนพิจารณาและตอบคําถามดังนี้
a เปนจํานวนจริงที่มากกวาศูนย จะไดวา ± a เปนรากที่สองของ a
b เปนจํานวนจริงที่มากกวาศูนย จะไดวา ± b เปนรากที่สองของ b
c เปนจํานวนจริงที่มากกวาศูนย จะไดวา ± c เปนรากที่สองของ c
4. นักเรียนและครูชวยกันสรุปเปนบทนิยามของรากที่สองดังนี้ ทักษะการคิดสรุปความ
บทนิยาม รากที่สองของ a
ให a เปนจํานวนจริงใดๆ ที่มากกวาหรือเทากับศูนย b เปนจํานวน
จริง และเปนรากที่สองของ a ก็ตอเมื่อ b2 = a
เชน 42 = 16 ดังนั้น 4 เปนรากที่สองของ 16
(−42 ) = 16 ดังนั้น −4 เปนรากที่สองของ 16
5. ครูกลาวกับนักเรียนวา จากการยกตัวอยาง จะเห็นวา 16 มีรากที่สองอยู 2 คา
คือ 4 และ −4
6. ครูใหนักเรียนชวยกันสรุปเกี่ยวกับคาของรากที่สองวามีกี่คา (2 คา) คืออะไร ทักษะการคิดสรุปความ
บาง (คาที่เปนบวกและคาที่เปนลบ)
7. ครูและนักเรียนชวยกันสรุปขอสังเกตของรากที่สองจากการยกตัวอยางขางตน ทักษะการคิดสรุปความ
ขอสังเกต ถา a > 0 และ b เปนรากที่สองของ a แลว −b จะเปนรากที่สอง
ของ a ดวย
8. ครูยกตัวอยางใหนักเรียนชวยกันหาคําตอบโดยการใชบทนิยาม
1) 25 ทักษะการสังเกต
2) 81
3) 100

25. แผนการจัดการเรียนรูคณิตศาสตรพื้นฐาน ม.2 ภาคเรียนที่ 2 66
กิจกรรมการเรียนการสอน ฝกการคิดแบบ
4) 169
5) 3600
วิธีทํา 1) เนื่องจาก 52 = 25 และ (− 52) = 25
ดังนั้น รากที่สองของ 25 คือ 5 และ −5
9. ใหนกเรียนทํากิจกรรมตรวจสอบความเขาใจ 11 โดยการถามตอบ
ั ทักษะการคิดคํานวณ
10. ครูใหนกเรียนชวยกันหาคําตอบของโจทยตอไปนี้โดยครูอาจใชการถามตอบ
ั
เปนการนําทางใหนักเรียน
1
ตัวอยาง 4 2 คือรากที่สองของจํานวนใด
1
วิธีทํา 4 2 = 2 เนื่องจาก 22 = 4
1
ดังนั้น 4 2 คือรากที่สองของ 4 ที่เปนบวก
11. นักเรียนและครูรวมกันสรุปบทนิยามจากการทําตัวอยางขางตน ทักษะการคิดสรุปความ
1
บทนิยามของ a 2
1
1. ถา a เปนจํานวนจริงบวกแลว a 2 แทนรากที่สองของ a ที่เปนบวก
1
เรียก a 2 วา คาหลักของรากที่สองของ a
1
−(a 2 ) แทนรากที่สองของ a ที่เปนลบ
1
2. 0 2 = 0 (กลาวคือรากที่สองของ 0 เทากับ 0)
1
12. ครูแนะนํานักเรียนตอจากบทนิยามของรากที่สองของ a และบทนิยามของ a 2
จะไดวา เมื่อ a เปนจํานวนจริงที่มากกวาหรือเทากับศูนยแลว

1
(a 2 )2 = a
1 2
และ [−(a 2 )] = a
1
เชน (9 2 )2 = 9
1 2
[−(9 2 )] = 9
13. ใหนักเรียนทํากิจกรรมตรวจสอบความเขาใจ 5 เพื่อตรวจสอบความเขาใจ
14. ครูใหนักเรียนชวยกันตอบคําถามตอไปนี้
1) มีจํานวนจริงใดที่ยกกําลังสองแลวไดเทากับ −25 หรือไม
2) มีจํานวนจริงใดที่ยกกําลังสองแลวไดเทากับ −64 หรือไม
3) มีจํานวนจริงใดที่ยกกําลังสองแลวไดเทากับ −100 หรือไม
15. ครูใหนักเรียนใชเวลาคิดแลวซักถามจนนักเรียนสามรถตอบไดวา ไมมจํานวน
ี
จริงใดที่ยกกําลังสองแลวได −25, −64 หรือ −100

26. แผนการจัดการเรียนรูคณิตศาสตรพื้นฐาน ม.2 ภาคเรียนที่ 2 67
กิจกรรมการเรียนการสอน ฝกการคิดแบบ
16. นักเรียนและครูชวยกันสรุปจากการหาคําตอบขางตนดังนี้
1 1 ทักษะการคิดสรุปความ
นั่นคือ
(−25) 2 และ
(−64) 2 ไมเปนจํานวนจริง
17. ใหนักเรียนทํากิจกรรมตรวจสอบความเขาใจ 6 เปนการบาน โดยครูกําหนดวัน
และเวลาสง
ชั่วโมงที่ 2 รากหรือกรณฑ ทักษะการคิดจัดลําดับความ
1. ครูสนทนากับนักเรียนเกี่ยวกับบทนิยามของรากที่สองที่เรียนมาในชั่วโมงที่แลว
โดยการยกตัวอยางหรือถามตอบ
2. ครูใหนักเรียนชวยกันตอบคําถามตอไปนี้
4 เปนรากที่สองของ............
−4 เปนรากที่สองของ............
จะไดวา 4 เปนรากที่สองของ 16 เนื่องจาก 42 = 16
−4 เปนรากที่สองของ 16 เนื่องจาก (−4)2 = 16
ทักษะการสังเกต
3. ครูและนักเรียนรวมกันพิจารณาวา a แทนรากที่สองของ a ที่เปนบวก
1
ดังนั้น 16 2 จะเปนรากที่สองของ 16 ที่เปนบวก
1
นั่นคือ 16 2 = 4
1
และ −(16) 2 = −4
ทักษะการคิดสรุปความ
4. ครูและนักเรียนรวมกันสรุปจากการพิจารณาขางตน ซึ่งจะไดวา
1
รากที่สองของ a ที่เปนบวกคือ a 2 เขียนแทนดวย a
5. ครูซักถามนักเรียนเกี่ยวกับคารากที่สองของ a ที่มากกวาศูนย จะมีรากที่สอง
ของ a กี่ คา อะไรบ าง (2 คา เช น ค ารากที่ สองของ 16 มี 2 ค าคื อ 4 และ −4
และสามารถเขียนแทนรากที่สองของ 16 ที่เปนบวกดวย 16
ดังนั้น 16 = 4 เพราะวา 42 = 16
และเขียนแทนคารากที่สองของ 16 ที่เปนลบดวย − 16
ดังนั้น − 16 = −4 เพราะวา (−4) 2 = 16
6. ครูสุมใหนกเรียนคนอื่นชวยกันยกตัวอยางคารากที่สองของจํานวนจริงอื่น
ั
7. นักเรียนและครูรวมกันสรุปเปนบทนิยามของรากที่สองของ a เมื่อ a ≥ 0 ทักษะการคิดสรุปความ
บทนิยาม ของรากที่สองของ a เมื่อ a ≥ 0 จะไดวา
( a )2 = a
(- a )2 = a

27. แผนการจัดการเรียนรูคณิตศาสตรพื้นฐาน ม.2 ภาคเรียนที่ 2 68
กิจกรรมการเรียนการสอน ฝกการคิดแบบ
8. ครูใหนักเรียนชวยกันยกตัวอยางจากบทนิยาม เชน รากที่สองของ 2 มีสองคา
คือรากที่สองของ 2 ที่เปนบวก และรากที่สองของสองที่เปนลบ เขียนแทนราก
ที่สองของ 2 ที่เปนบวกดวย 2 และเขียนแทนรากที่สองของ 2 ที่เปนลบดวย
− 2
ดังนั้น ( 2 )2 = 2 และ (− 2 )2 = 2
9. ครูใหนกเรียนเขียนคารากที่สองของจํานวนตางๆ เชน
ั
1) รากที่สองของ 9
2) รากที่สองของ 50
3) รากที่สองของ 100
10. ครูนาเสนอตัวอยางการหาคารากที่สองของจํานวนตางๆ เชน
ํ
ตัวอยาง จงหารากที่สองของจํานวนตอไปนี้ ทักษะการคิดคํานวณ
1) 14 2) − 0.0016
วิธีทํา 1) 14 เปนรากที่สองของ 14
2) − 0.0016 เปนรากที่สองของ 0.0016
11. ครูนําเสนอตัวอยางตอไปนี้ใหนักเรียนชวยกันนําเสนอวิธการหาคําตอบ
ี ทักษะการสังเกต
ตัวอยาง จงหาคารากที่สองของจํานวนตอไปนี้
1) 25 2) 26 3) 16
49
วิธีทํา รากที่สองของ 25 ไดแก 5 และ −5
เนื่องจาก 52 = 25 และ (−5) 2 = 25
12. ครูสนทนากับนักเรียนเกี่ยวกับการหาคําตอบขางตนมีนักเรียนคนใดสงสัยหรือ ทักษะการสังเกต
ไม ถามีครูอธิบายหรืออธิบายใหนักเรียนทําความเขาใจจนสามารถหาคําตอบ
ดวยตนเองได
13. ใหนกเรียนทํากิจกรรมตรวจสอบความเขาใจ 8 เปนการบาน
ั
ชั่วโมงที่ 3 การหาคารากที่สองโดยการแยกตัวประกอบ
1. ครูทบทวนเรื่องของการหาคารากที่สองที่เรียนในชั่วโมงที่แลวโดยการถามตอบ
หรือใหนกเรียนแสดงความคิดเห็น
ั
2. นักเรียนและครูรวมกันสนทนาถึงการหาคารากที่สองที่มีคามากๆ จะมีวิธีการหา ทักษะการคิดจัดลําดับความ
คําตอบไดอยางไร โดยครูคอยแนะนํานักเรียนจนนักเรียนสามารถตอบไดวาใช
วิธีการแยกตัวประกอบ หรือหาจํานวนมาหารเพื่อใหสามารถจัดใหอยูในรูปของ
จํานวนจํานวนหนึ่งที่ยกกําลังสอง