Proyek matematika ini membahas aplikasi transformasi dan turunan dalam kehidupan sehari-hari. Pada bab transformasi dijelaskan pengertian dan contoh transformasi seperti translasi, rotasi, dan refleksi yang diterapkan pada perpindahan tempat duduk siswa, permainan catur, dan ketika bercermin. Sedangkan pada bab turunan dijelaskan pengertian turunan, penggunaannya dalam masalah optimisasi, nilai ekstrim lokal

1. SMA NEGERI 1 SITUBONDO
Proyek Matematika
Aplikasi transformasi dan turunan dalam kehidupan sehari-hari
Disusun oleh:
Anggun Surya Diantriana / 08
XI-MIA 1

2. PAGE 1
Kata Pengantar
Puji syukur kita panjatkan kehadirat Allah SWT karena atas limpahan rahmat serta
petunjuk-Nya, maka pembuatan proyek matematika tentang “Aplikasi Transformasi dan Turunan
dalam kehidupan sehari-hari” ini bisa terselesaikan dengan ketentuan waktu yang diberikan.
Disamping itu juga, saya selaku penulis mengucapkan terima kasih kepada bapak Ibnu Soeko
selaku guru pengajar saya pada mata pelajaran matematika di SMA N 1 Situbondo.
Saya selaku penulis menyadari bahwa proyek matematika ini masih banyak kekurangannya
atau belum sesuai dengan apa yang kita inginkan bersama, namun saya sudah berusaha
semaksimal mungkin agar proyek matematika ini bisa terselesaikan.
Untuk itu, dengan masih banyaknya kekurangan terhadap isi proyek matematika ini, saya
selaku penulis proyek matematika ini sangat mengharapakan saran dan kritikan yang besifat
membangununtuk penyempurnaan proyek matematika ini agar bisa sesuai keinginan kita
bersama dan dapat bermanfaat untuk kita semua.
Situbondo, Juni 2015
Penulis

3. PAGE 2
Daftar Isi
Kata Pengantar ......................................................................................................................... 1
Daftar Isi .................................................................................................................................. 2
BAB I. Transformasi
1.1 Pengertian Transformasi .................................................................................................... 3
1.2 Aplikasi Transformasi Geometri Terhadap Tempat Duduk Siswa .................................4
1.3 Aplikasi Translasi Geometri Dalam Permainan Catur .................................................... 4
1.4 Aplikasi Transformasi Geometri Ketika Bercermin ....................................................... 5
BAB II. Turunan
2.1 Pengertian Turunan ............................................................................................................ 6
2.2 Penggunaan Turunan Dalam Masalah Peongoptimasian (Maksimum-Minimum)....... 6
2.3 Nilai Ekstrim Lokal/Relatif dan Global/Absolut...............................................................7
2.4 Penerapan Nilai Ekstrim Mutlak........................................................................................ 9
Daftar Pustaka........................................................................................................................... 11

4. PAGE 3
BAB I. TRANSFORMASI
1.1. Pengertian Transformasi
Dalam matematika, transformasi adalah suatu pemetaan objek pada suatu bidang ke
himpunan objek pada bidang yang sama. Pemetaan suatu objek pada bidang yang sama berarti
perpindahan, perubahan atau perputaran suatu objek pada bidang yang sama. Transformasi
terbagi atas empat yaitu :
Translasi
Translasi artinya pergeseran, yaitu merupakan suatu transformasi yang memindahkan
setiap titik dari suatu posisi ke posisi yang baru sepanjang ruas garis dan arah tertentu.
Contoh translasi dalam kehidupan sehari-hari yang bisa kita lihat adalah pergeseran atau
perpindahan orang pada escalator dan lift. Peralatan yang biasa dipakai mal-mal ini berguna
untuk memindahkan orang dari satu lantai kelantai lain.Untuk translasi ruas garis ada dua cara
yang bisa dilakukan untuk menyelesaikannya. Cara pertama yaitu dengan memandang garis
tersebut dipandang sebagai himpunan titik. Sedang cara kedua adalah dengan menggunakan sifat
grafik fungsi y = f(x-a)+b dengan a,b > 0 dengan mengeser fungsi y = f(x) sejauh a satuan kekanan
dan b satuan keatas.
Refleksi
Refleksi merupakan suatu transformasi yang membuat cermin dari suatu objek. Sumbu
refleksi dapat dipilih pada bidang x, y.
Rotasi
Rotasi / perputaran merupakan suatu transfoirmasi yang memindahkan suatu titik ke titik
lain dengan perputaran terhadap titik pusat tertentu. Rotasi ditentukan oleh pusat rotasi, besar
sudut rotasi, dan arah rotasi (searah atau berlawanan arah dengan jarum jam).
Dilatasi
Dilatasi merupakan suatu transformasi yang mengubah ukuran atau skala suatu bangun
geometri(pembesaran/pengecilan),tetapitidakmengubah bentukbangun tersebut.Pusatdilatasi
terdiri atas dua, yaitu di titik O(0,0) dan titik A(x,y). Sementara itu, faktor dilatasi dapat bersifat
positif (perbesarannya searah) dan dapat pula bersifat negative (perbesarannya berlawanan arah).
Faktor dilatasi disebut juga dengan faktor skala. (Herynugroho, 2009 : 190)

5. PAGE 4
1.2. Aplikasi Transformasi Geometri Terhadap Tempat Duduk Siswa
Minggu lalu, Candra duduk di pojok kanan baris pertama di kelasnya. Minggu ini, ia
berpindah ke baris ketiga lajur keempat yang minggu lalu ditempati Dimas. Dimas sendiri
berpindah ke baris kedua lajur kedua yang minggu lalu ditempati Sari. Perhatikan perpindahan
tempat duduk Candra dan Dimas ini.
· Candra berpindah 2 lajur ke kiri dan 2 baris ke belakang. Saat berpindah ini, Candra
telah melakukan translasi 2 satuan ke kiri dan 2 satuan ke atas yang ditulis sebagai
· Kemudian, Dimas berpindah 2 lajur ke kiri dan 1 baris ke depan. Saat berpindah ini,
Dimas telah melakukan translasi 2 satuan ke kiri dan 1 satuan ke bawah yang ditulis sebagai
· Misalkan, tempat duduk Candra minggu lalu di titik N(a, b) pada koordinat Cartesius.
Dengan translasi , diketahui tempat duduknya minggu ini pada titik N ‘(a-2,b+2).
1.3. Aplikasi Translasi Geometri Dalam Permainan Catur
Pada permainan catur, misalkan sebuah bidak berada pada posisi (6,1).
Agar bidak kuning (6,1) dapat menyingkirkan bidak merah (3,5), maka tentukan langkah-langkah
pergeserannya !
Maka, dibutuhkan translasi/pergeseran pada sumbu x sejauh 3-6 = -3 dan pada sumbu y sejauh 5-
1 = 4
x
y

6. PAGE 5
Sehingga,untukdapatmenyingkirkan bidakmerah (3,5),bidakkuning(6,1)ditranslasikan dengan
T (-3,4)
1.4. Aplikasi Transformasi Geometri KetikaBercermin
Anita meletakkan sebuah cermin di lantai dan disandarkan pada dinding kamarnya.
Kemudian, Qito kucingnya mendekati cermin tersebut. Ketika Qito mendekati cermin, bayangan
Qito dalam cermin terlihat mendekat. Namun Qito terlihat takut dengan bayangannya sendiri. Ia
pun berlari menjauh kemudian mendekati cermin lagi. Qito memerhatikan cermin itu dan mulai
bermain-main di depan cermin itu. Anita memerhatikan Qito dan bayangan Qito dalam cermin.
Pada cermin Anita, tampak oleh kita bahwa jarak Qito dengan cermin adalah sama dengan jarak
bayanganQito kecermin.Misalkan garisx = h adalah cermin dan titik Q(a,b) adalah objek (Qito).
Jarak titik Q terhadap sumbu y adalah a. Jarak cermin x = h ke sumbu y adalah h. Dengan
melengkapi gambar di atas, kita dapat menentukan jarak bayangan Qito pada cermin.
Jarak bayangan Qito (Q’) terhadap cermin = jarak Qito terhadap cermin = a - h
Jarak bayangan Qito (Q’) terhadap Qito = 2(a - h) = 2a – h

7. PAGE 6
BAB II. TURUNAN
2.1. Pengertian Turunan
Turunan atau Derivatif dalam ilmu kalkulus merupakan pengukuran terhadap
bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input. Secara umum, turunan menyatakan
bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya; contohnya, turunan dari
posisi sebuah benda bergerak terhadap waktu adalah kecepatan sesaat objek tersebut.
Proses dalam menemukan turunan disebut diferensiasi. Kebalikan dari turunan disebut
dengan antiturunan. Teorema fundamental kalkulus mengatakan bahwa antiturunan sama
dengan integrasi. Turunan dan integral adalah 2 fungsi penting dalam kalkulus.
Turunan banyak diaplikasikan dalam berbagai bidang kehidupan khususnya ilmu
pengetahuan dan teknologi. Aplikasi turunan yang telah diajarkan pada pendidikan menengah
diantaranya penggambaran grafik fungsi dan masalah pengoptimasian. Dua hal ini berkaitan erat
karena setiap permasalahan yang dapat dibuat fungsinya mungkin dapat digambarkan menjadi
suatu grafik fungsi , dan dari suatu grafik kita dapat me ngetahui nilai optimum fungsi, yaitu nilai
maksimum atau minimum yang dapat dicapai suatu fungsi.
Dengan mempelajari turunan dalam kalkulus diferensial, nilai - nilai optimum suatu
permasalahan dalam kehidupan sehari - hari dapat diselidiki dengan mudah tanpa harus
menggambarkannya dalam sebuah grafik, meskipun grafik merupakan bagian tak terpisahkan
dari perhitungan kalkulus.
Beberapa aplikasi lainnya yang berkaitan dengan metode numerik diantaranya
diferensial, pendekatan linear, penyelesaian numerik persamaan dengan metode Newton, dan
lain sebagainya. Turunan juga banyak diaplikasikan dalam bidang ekonomi,
bisnis,kependudukan, dan lain- lain.
2.2. Penggunaan Turunan Dalam Masalah Peongoptimasian (Maksimum-Minimum)
Sebelum membahas contoh langsung dari aplikasi turunan, berikut akan dibahas
beberapa definisi dan teorema dalam kalkulus.
a. Titik Kritis (Critical Point)
Definisi Titik Kritis :

8. PAGE 7
Contoh :
Carilah titik- titik kritis dari fungsi f(x) = -x2
+ 4x
Penyelesaian :
Turunan fungsi f (x ) ⇒ 𝑓′ (x) = −2x + 4
Fungsi turunan ini merupakan fungsi linear yang berarti turunannya ada untuk
semua bilangan real.
Titik kritis diperoleh dari
𝑓’ (x) = 0 ⇔ −2x + 4 = 0 ⇔ x = 2
Dan karena 𝑓 (2) = −22
+ 4. 2 = 4 (ada), maka x = 2 adalah titik kritis dari fungsi tersebut.
2.3. Nilai Ekstrim Lokal/Relatif dan Global/Absolut
Nilai ekstrim adalah nilai di mana fungsi mencapai nilai maksimum ataupun minimum.
Nilai maksimum ataupun minimum dapat dibedakan menjadi dua jenis dilihat dari daerah
asal yang dibicarakan atau di mana fungsi didefinisikan.
untuk setiap x dalam interval terbuka di sekitar c.
Nilai ekstrim lokal hanya dilihat dari titik- titik di dalam interval, sedangkan nilai
ekstrim global dilihat dari titik- titik ujung serta semua titik di dalam interval. Jadi,nilai ekstrim
global pasti merupakan nilai ekstrim lokal , tetapi tidak sebaliknya.Perhatikan gambar berikut :

9. PAGE 8
Jika f (x ) didefinisikan pada daerah asal I =[a, e], maka dari gambar di atas dapat dilihat
nilai - nilai maksimumdanminimumnya.f (x) mencapai maksimumdib dan d dalam I , artinya
f (x ) mempuyai maksimum lokal/relatif pada keduanya. Teta pi f (d)> f (b) , artinya f (d) juga
merupaka nilai maksimum global/absolut. f (x ) mencapai nilai minimum di a dan c, tetapi a
adalah titik ujung I , dan f (a) < f (c) , artinya f (a) adalah nilai minimum global dan f (c) adalah
nilai minimum lokal.
Contoh:

10. PAGE 9
2.4. Penerapan Nilai Ekstrim Mutlak
Banyak permasalahan kehidupan sehari- hari dapat dipecahkan dengan turunan. Tentunya,
permasalahan ini di deskripsikan dalam bahasa sehari - hari. Untukmenyelesaikannya secara
matematis, tentunya permasalahan ini harus diubah ke dalam bentuk matemat ika.
Representasi masalah dalam dunia nyata ke dalam bahasa matematika dikenal dengan istilah
model matematika. Untuk itu, ada beberapa langkah yang dapat diikuti, untuk memudahkan
penyelesaian masalah sehari - hari yang berkaitan dengan kalkulus diferensial .
1. Buatlah sebuah gambar dari masalah tersebut kemudian tetapkan variabel variabel untuk
menggantikan nilai yang belum diketahui, misalnya x dan y.
2. Tuliskan rumus untuk besaran yang akan dimaksimumkan/diminimumkan dalam
bentuk variabel - variabel yang sudah ditetapkan, yaitu x dan y, misalnya A(x, y).
3. Carilah kondisi yang membatasi masalah dan bentuk menjadi suatu persamaan
dalam variabel x dan y, kemudian nyatakan dalam satu variabe l saja, misalnya x .
Substitusikan persamaan pembatas ini ke dalam besaran tuj uan a gar menjadi
fungsi dalam x , yaitu A(x ).
4. Tentukan himpunan nilai - nilai x yang mungkin, biasanya dalam bentuk interval
seperti [a, b].
5. Tentukan titik- titik kritis (titik ujung, titik stasioner, titik singular).
6. Tentukan titik mana yang memberikan nilai maksimum/minimum (biasanya
dicapai oleh titik stasioner, yaitu saat
Contoh:
Sebuah halaman di belakang sebuah bangunan akan dipagari dengan pagar kawat. Jika
pagar kawat yang tersedia 500 m, berapa ukuran halaman yang dapat dipagari seluas mungkin,
jika ujung - ujung pagar ditempatkan di tembok bangunan.

11. PAGE 10

12. PAGE 11
DAFTAR PUSTAKA
Transformasi:
http://www.slideshare.net/AisyFarisy/lks-transformasi
http://kerabat-hera.blogspot.com/2013/03/geometri-transformasi-dalam-karya-seni.html
http://cokelatgelap.blogspot.com/2012/01/transformasi-geometri.html
http://www.slideshare.net/AisyFarisy/lks-transformasi
http://sellymarlangen.blogspot.com/2013/02/aplikasi-transformasi-pada-matematika.html
Turunan:
https://toenkzndry.wordpress.com/fungsi-turunan-dalam-
kehidupan/https://toenkzndry.wordpress.com/fungsi-turunan-dalam-kehidupan/
http://www.slideshare.net/choutib/penggunaan-turunan
http://id.wikipedia.org/wiki/Turunan