Bab iv

Bab IV Aplikasi Dari Turunan Dan Integral
Politeknik Manufaktur Negeri Bangka Belitung
67
IV
APLIKASI DARI TURUNAN DAN INTEGRAL
Pada Bagian IV membahas tentang beberapa aplikasi dari diferensial dan
kalkulus integral. Tentu saja, ada banyak aplikasi lainnya sejak kalkulus digunakan
di hampir setiap cabang dari ilmu fisika dan juga di bidang teknik, ilmu komputer,
statistik, ekonomi, bisnis, kedokteran, dan di banyak lainnya tempat di dunia nyata.
Meskipun demikian, bahan ini dirancang untuk memberikan apresiasi fleksibilitas
dan kekuatan kalkulus dan mengapa alat matematika yang penting dan berharga.

68
Halaman ini sengaja dikosongkan

69
Jika f ´(a) ada, maka kemiringan garis singgung terhadap grafik fungsi f pada titik
P(a, f (a)) garis melalui P yang memiliki kemiringan m= f ´(a).
MASALAH Tentukan persamaan garis singgung parabola y= f (x)=
x² + 1 pada titik (2, 5).
SOLUSI f’’(x) = 2x, sehingga m = f’(2)=4. Sekarang, ketika
titik (2, 5) adalah pada tangen, persamaan garis yang
diinginkan adalah
y – y1 = m (x–x1), atau dalam hal ini y – 5 = 4(x-2),
yang memberikan y = 4 (x-2)+5 dan akhirnya y = 4x-
3.
MASALAH Tentukan persamaan garis singgung y = g(x) = e3x
yang memintas di y.
SOLUSI Karena g´(x) = 3e3x, solusi yang diberikan oleh
pertanyaan y = g´(0)(x-0)+1 ketika memintas di y
terjadi pada (0, 1). Karenanya persamaan dibutuhkan
adalah y = 3x+1.
MASALAH Temukan semua titik-titik pada kurva y = f(x) =
√𝑥4 + 𝑥2 dimana garis singgung adalah horisontal.
SOLUSI garis singgung akan horizontal pada setiap titik x di
mana ia memiliki nol lereng; yaitu, ketika f´(x) = 0.
Pemeriksaan f´(x) =
(𝟐𝒙 𝟑+𝒙)
(𝒙 𝟒+𝒙 𝟐)
𝟏
𝟐
mengungkapkan

70
bahwa x = 0 adalah satu-satunya nilai yang mungkin
bisa membuat turunan nol; tetapi pada nilai ini, f´
tidak terdefinisi. Dengan demikian, tidak ada solusi
untuk masalah ini.
MASALAH Temukan semua titik-titik pada kurva y =
f(x)=𝑒 𝑥2−𝑐𝑜𝑠 𝑥
dimana garis singgung adalah
horisontal.
SOLUSI f´(x) = (2x + sinx)𝑒 𝑥2−𝑐𝑜𝑠 𝑥
. Jadi jika anda mengatur
f´(x) = 0 dan memecahkan, anda
memiliki 𝑒 𝑥2−𝑐𝑜𝑠 𝑥
=0 atau (2x+sinx)=0. Ekspresi
pertama tidak pernah sama dengan 0. Oleh karena itu,
anda memecahkan (2x+sin x) = 0 atau 2x= -sin x,
dengan inspeksi, benar hanya jika adalah x = 0. Jadi,
(0,f(0))=(0, 𝑒−𝑐𝑜𝑠0
)= (0,
1
𝑒
) solusinya.
Selesaikan masalah berikut.
1. Cari kemiringan garis singgung f(x) = x3
+ex
+sin(x) pada x =-1.
2. Cari kemiringan garis singgung f(x) = ln (x -1)+x2
pada x = 2.
3. Tentukan persamaan garis singgung baris ke kurva y=2x2
+4x pada (-2,0).
4. Cari kemiringan garis singgung kurva di (x, f (x)) untuk f (x) = x3
- 6x2
+ 9x - 2.
5. Cari szemua titik pada kurva f (x) = x2
- 4 √ 𝑥+1 dimana garis singgung adalah
horisontal.
6. Cari semua titik pada kurva f(x) = x5
-5x3
-20x+7 dimana garis singgung adalah
horisontal.
7. Tentukan persamaan garis singgung kurva x2
+3xy+y2
= 5 pada (1, 1).
8. Tentukan persamaan garis singgung kurva y = 2x2+3 sejajar pada garis y = 8x+3.
Latihan 10.1

71
9. Tentukan persamaan garis singgung untuk kurva y = 4 - x2
pada (1, 2).
10. Tentukan persamaan garis singgung untuk kurva f(x) =
1−𝑠𝑖𝑛 𝑥
𝑥+1
pada x = (0, 1).
Jika f´(t) ada, maka (seketika) laju perubahan f di t adalah f´(t). For
Misalnya, jika s(t) adalah fungsi posisi benda yang bergerak pada waktu t, maka
kecepatan v, tingkat sesaat perubahan, objek pada waktu t adalah s´(t) = v(t). (Ini
belum interpretasi lain dari turunan.) Selain itu, percepatan suatu benda pada saat
t adalah s´´(t) = v´(t) = a (t).
Tanda dari fungsi kecepatan menunjukkan arah di mana objek tersebut
bergerak. Kapan v(t) > 0, objek tersebut bergerak ke kanan, dan ketika v(t) < 0,
objek tersebut bergerak ke kiri. Selanjutnya, sebagai logika akan mendikte, pada
saat itu objek bergerak berubah arah, v(t) = 0 (Karena objek harus berhenti untuk
mengubah arah).
Kecepatan didefinisikan sebagai nilai absolut dari kecepatan. Definisi itu
adalah alasan utama dial pada mobil disebut speedometer. Ini memberi Anda
kecepatan, tetapi tidak arah perjalanan.
MASALAH Diskusikan gerak sebuah partikel yang bergerak
sepanjang garis horizontal sehingga Posisi s partikel
pada garis horizontal adalah fungsi dari waktu t
menurut persamaan s(t) =t3
-2t2
+t.
SOLUSI Membedakan fungsi posisi terhadap waktu
memberikan kecepatan fungsi, s´(t) = v(t) = 3t2
-4t+1.
A analisis cepat dari fungsi kuadrat ini menunjukkan
bahwa v(t) nol pada kali t =
1
3
dan t = 1. Moreover,
itu adalah positif ketika t <
1
3
atau saat t>1 dan negatif
di tempat lain. Dengan demikian, partikel bergerak ke

72
kanan untuk nilai-nilai dari t <
1
3
dan kemudian
berbalik arah pada t =
1
3
, berpindah ke kiri; saya t
terus bergerak ke kiri dan kemudian berbalik arah lagi
di t = 1; kemudian terus di, bergerak ke kanan.
MASALAH Sebagai depan dingin mendekati daerah Anda, stasiun
cuaca memperkirakan bahwa Suhu T (dalam derajat)
adalah fungsi dari waktu t (dalam jam) setelah 22:00
dari yang hari menurut persamaan T(t)=40-4t+
𝑡2
10
, di
mana 0≤ t ≤14. (a) Apa yang akan terjadi suhu pada
siang hari hari berikutnya, dan (b) Apa yang terjadi
seketika laju perubahan suhu di 03:00 dan pada 10:00
dari hari berikutnya?
SOLUSI (a) pada tengah hari berikutnya adalah 14 jam setelah
pukul 22:00 dari hari tertentu, sehingga T(14)=40-
4(14)+
142
10
=3.6 derajat. (B) Tingkat sesaat perubahan
(dalam derajat per jam) suhu T sehubungan dengan t,
waktu setelah 22:00 dari hari tertentu, adalah turunan,
T´(t)= -4+
𝑡
5
. Dengan demikian, pada 03:00, yaitu 5
jam setelah 10:00, sesaat tingkat perubahan dari suhu
T´(5)= -4+
5
5
= -3 derajat per jam; di 10 a.m, yaitu
12 jam setelah 10:00, tingkat sesaat dari perubahan
suhu T´(12) = -4+
12
5
= -1.6 derajat per jam.

73
1. Kebakaran Hutan menyebar sehingga setelah t jam f(t) = 80t-20t2
hektar
terbakar. Berapa kursnya pertumbuhan pembakaran areal setelah 1 ½ jam?
2. Kecepatan bola dilemparkan sebagai fungsi waktu t diberikan oleh v(t) = 80 -
32t (kaki / detik) setelah dibebaskan. Apa percepatan bola sebagai fungsi waktu?
3. Diperkirakan bahwa seorang pekerja toko dapat membuat y coran x jam setelah
datang untuk bekerja di 07:00 menurut persamaan y=3x+8x2
-x3
. pada tingkat
apa (coran per jam) adalah pekerja membuat coran di 09:00 dari hari tertentu?
4. Sebuah bola kolam renang adalah hit dan perjalanan dalam garis lurus. Misalkan
s(t)=100t2
+100t jarak (dalam sentimeter) dari bola dari posisi awal di t detik.
Apa kecepatan adalah bola bepergian ketika bola telah melakukan perjalanan
39 sentimeter?
5. Sebuah partikel bergerak dalam garis horizontal dengan rumus s(t) = t4
-
6t3
+12t2
-10t+3, dimana s adalah posisi partikel pada waktu t. Diskusikan gerak
partikel. (Petunjuk: Faktor turunan.)
6. Sebuah partikel bergerak dalam garis lurus dengan rumus s(t)=
𝑡3
2
-2t, di mana s
adalah posisi partikel pada waktu t (dalam detik). Bandingkan kecepatan dan
percepatan partikel pada akhir 2 detik.
7. Seorang tukang kebun matematika menemukan bahwa tingkat hasil kebunnya
itu y=60+24x -
12𝑥2
5
pint sayuran per x pon kompos digunakan. Apa laju
perubahan yield dengan sehubungan dengan jumlah kompos ketika ia
menggunakan 3 pon kompos?
8. Sebuah batu dijatuhkan dari puncak menara dan lokasi dari titik awal s (di kaki)
batu pada waktu t (dalam detik) diberikan oleh persamaan s(t)= -16t2
, dimana
arah ke atas dianggap positif. Jika bangunan adalah 256 kaki, menemukan (a)
kecepatan dan (b) percepatan batu setelah 2 detik.
9. Sebuah kentang diproyeksikan secara vertikal ke atas dengan kecepatan awal
112 kaki / detik, dan bergerak sebagai fungsi dari waktu t (dalam detik) dengan
rumus s(t)=112t-16t2
dimana s(t) adalah yang jarak (di kaki) dari titik awal.
Latihan 10.2

74
(A) Apa kecepatan saat t=3 detik, dan (b) apa yang ketinggian maksimum
kentang akan mencapai?
10. Air terkuras dari kolam lele komersial dan volume V (di galon) air di kolam
setelah t menit diberikan oleh V(t)=250(1600-80t+t2
). bagaimana cepat adalah
air yang mengalir keluar dari kolam pada waktu t = 5 menit?
Sebuah fungsi terdiferensialkan adalah fungsi yang memiliki turunan. Jika
f´(c) ada, maka f terdiferensialkan di c; jika tidak, f tidak memiliki turunan di c.
Jika fungsi f terdiferensialkan di c, maka f kontinu di c; dengan kata lain,
diferensiabilitas menyiratkan kontinuitas. Oleh karena itu, jika f tidak kontinu di
c, maka f juga tidak terdiferensiasi di c. Peringatan: Kontinuitas tidak berarti
diferensiabilitas. Sebuah fungsi dapat terus menerus pada suatu titik yang
meskipun f´(x) tidak ada pada. Keadaan ini terjadi ketika ada titik puncak (sudut
tajam) atau Garis singgung vertikal pada (a, f (a)). Contoh yang baik adalah
fungsi kontinu f(x)= | x | untuk yang derivatif tidak ada di 0. Grafik ditunjukkan
pada Gambar 10.1.
Gambar 10.1 Grafik Fungsi F (X)=| X |
Yang Derivatif Tidak Ada Pada 0
MASALAH Tunjukkan bahwa fungsi f(x) = 𝑥
1
3 kontinu di x=0,
tetapi tidak terdiferensiasi di x=0.

75
SOLUSI Untuk menyelidiki kita mempertimbangkan
=0, yang menunjukkan bahwa Fungsi
kontinu di x = 0. Juga,
. Yang tidak ada,
menunjukkan bahwa f tidak terdiferensiasi pada x =
0. Oleh karena itu, Fungsi f(x) = 𝑥
2
3 kontinu di x = 0,
tetapi tidak terdiferensiasi pada x = 0.
MASALAH Tentukan nilai x yang f(x)= [x], fungsi bilangan bulat
terbesar, adalah tidak terdiferensiasi.
SOLUSI function f(x)=[x] diskontinuitas melompat pada nilai-
nilai integer untuk x; bahwa adalah, pada nilai integer
kiri dan kanan batas ada dan terbatas, tapi mereka
berbeda. Misalnya, jika x kurang dari bilangan bulat
n, sebagai x mendekati ke n dari kiri, f(x)=n-1, tetapi
jika x lebih besar dari n, sebagai x mendapat dekat
dengan n dari benar, f(x)=n. Fungsi bilangan bulat
terbesar tidak terdiferensiasi di bilangan bulat nilai-
nilai untuk x. Antara nilai-nilai non-integer fungsi
konstan dan, dengan demikian, terdiferensiasi ada;
pada kenyataannya, f´(x)=0 pada nilai-nilai.
1. Tentukan nilai x yang f(x)=
𝑥2−5𝑥+6
𝑥−3
tidak terdiferensiasi.
2. Tunjukkan bahwa turunan dari f(x)=| x | tidak ada di x= 0, tapi itu turunan tidak
ada di tempat lain.
Latihan 10.3

76
3. Tunjukkan bahwa f(x)= (x-2)
1
3 kontinu di x= 2, tetapi tidak terdiferensiasi pada
2.
4. Tentukan apakah f(x)={
5−6𝑥 𝑥≤3
−4−𝑥2 𝑥>3
} terdiferensiasi pada x= 3. (Petunjuk:
Pertimbangkan kiri dan batas kanan).
5. Tentukan apakah f(x)= {
𝑥−2 𝑥<0
𝑥2 𝑥≥0
} terdiferensiasi pada x=0.
Turunan dari fungsi adalah alat yang berharga dalam menganalisis
grafiknya. Misalnya, hanya mengetahui tanda aljabar dari turunan pada suatu
titik memberikan informasi penting. Sebuah diagram tanda untuk f´(x) adalah
diagram sepanjang garis nyata yang menunjukkan tanda-tanda untuk f ´(x) antara
nomor penting untuk f. Anda dapat menggunakan diagram tanda untuk
memprediksi bentuk kasar dari grafik f.
Definisi berikut dinyatakan untuk kelengkapan dan sebagai pengingat konsep.
1. Jika f kontinu pada interval tertutup [a, b] dan terdiferensialkan pada interval
terbuka (a,b), maka (i) f meningkat pada [a, b] jika f´(x) > 0 pada (a, b); (ii) f
menurun pada [a, b] jika f´(x) < 0 pada (a, b); dan (iii) f adalah konstan pada [a,
b] jika f´(x)= 0 pada (a, b).
2. Jika f didefinisikan pada interval yang mengandung c, f(c) adalah minimum (juga
disebut mutlak minimum) dari f pada interval jika f(c) ≤ f(x) untuk setiap nomor
x dalam interval; demikian pula, f(c) adalah maksimum (juga disebut maksimum
absolut) dari f pada interval jika f (c) ≤ f (x) untuk setiap nomor x di interval.
Minimum dan maksimum nilai-nilai dari suatu fungsi di interval adalah nilai-
nilai yang ekstrim, atau ekstrem, dari fungsi dalam interval.
3. Jumlah f(c) minimum relatif dari fungsi f jika ada interval terbuka mengandung
c di mana f(c) minimum; sama, jumlah f(c) relatif maksimum dari fungsi f jika
ada interval terbuka yang mengandung c dimana f(c) maksimal. Jika f(c)
minimum relatif atau maksimum f, itu disebut ekstrem relatif dari f.

77
4. Jika c adalah angka dalam domain f, c disebut sejumlah kritis f jika salah f´(c) =
0 atau
f´(c) tidak ada. Angka-angka kritis menentukan titik di mana f´(x) perubahan
tanda-tanda; yaitu, ini adalah satu-satunya nomor yang grafik f dapat memiliki
titik balik, katup, atau diskontinuitas. Jika c adalah angka penting untuk f, maka
f(c) nilai kritis f dan titik (c, f (c)) titik kritis dari grafik.
5. Jika f kontinu dan memiliki ekstrem relatif di c, maka baik f´(c) = 0 atau f´(c)
tidak ada. Namun, sebaliknya belum tentu valid. Misalnya,jika f(x) = x3
,
kemudian f(x) = 3x2
dan f´(0) = 0; tapi f(0) = 0 tidak maksimal relatif atau
minimal relatif fungsi.
6. The Extreme Nilai Teorema menyatakan bahwa jika f kontinu pada interval
tertutup [a, b], maka f memiliki baik minimum dan nilai maksimum pada [a, b].
Semua ide-ide ini diambil bersama-sama adalah alat yang dapat
digunakan untuk memprediksi sifat dan bentuk grafik, terutama jika alat grafik
yang tidak berlaku atau tersedia. Selain itu, jika grafik tidak diperlukan, ide-ide
ini juga bisa sangat berharga dalam menjawab pertanyaan maksimum dan
minimum. Fungsi yang grafiknya digambarkan pada Gambar 10.2 memiliki
maksimal relatif dan mutlak 1 di
𝜋
2
dan
5𝜋
2
, Minimum relatif dan mutlak -1 di
−𝜋
2
dan
3𝜋
2
, Meningkat pada interval [
−𝜋
2
,
𝜋
2
] dan [
3𝜋
2
,
5𝜋
2
] dan menurun pada interval
[– 𝜋,
−𝜋
2
] , [
𝜋
2
,
3𝜋
2
] dan [
5𝜋
2
, 3𝜋]. Angka-angka kritis adalah
−𝜋
2
,
𝜋
2
,
3𝜋
2
dan
5𝜋
2
yang
derivatif adalah 0.

78
Gambar 10.2 Grafik Menggambarkan
Maximal Dan Minimal
Diagram tanda untuk grafik fungsi yang dijelaskan di atas akan menjadi seperti
ilustrasi di Gambar 10.3.
Gambar 10.3 Masuk grafik untuk
grafik fungsi pada Gambar 10.2
Contoh-contoh berikut dirancang untuk memperkuat konsep-konsep di
atas dan untuk memberikan Anda berlatihdalam mendekati masalah yang
berhubungan dengan ide-ide maksimum dan minimum.
MASALAH Mengingat f(x) = x3
-6x2
+9x+1. (a) Menemukan
angka-angka kritis; (B) menemukan kritis nilai-nilai;
dan (c) menentukan di mana fungsi meningkat dan
menurun.
SOLUSI Membedakan, Anda memiliki f´(x)=3x2
-12x+9. (a)
Menetapkan f´(x) = 0, anda memperoleh 3x2
-

79
12x+9=3(x-1)(x-3)=0. kemudian x = 1 dan x = 3
adalah nomor penting untuk f. (B) Nilai-nilai kritis
pada f(1) = 5 dan f(3) = 1. (C) Bila x<1, f ´(x) positif
dan f meningkat untuk nilai x kurang dari 1; ketika
1<x<3, f´(x) negatif dan f menurun ketika x adalah
antara 1 dan 3; ketika x>3, f´(x) positif dan
sebagainya f meningkat untuk nilai x lebih besar dari
3. Dalam masalah di atas, karena f´(1) = 0 = f´(3),
fungsi memiliki garis singgung horizontal pada 1 dan
3, dan, dengan demikian, mungkin maksimum relatif
atau absolut atau minimum pada satu atau kedua dari
titik-titik ini. Dugaan ini untuk titik x = 1 dapat
diselidiki dengan mengevaluasi fungsi pada titik-titik
terdekat seperti f(.99) ≈ 4.999699 and f(1.01) ≈
4.999701, yang tampaknya menunjukkan maksimum
relatif pada x = 1. Namun, pendekatan ini dapat
mengakibatkan hasil yang salah karena bilangan real
yang padat dan lainnya dekat dengan angka dapat
memberikan hasil yang berbeda.
Teorema berikut memberikan alat-alat analisis untuk
membuat keputusan positif mengenai maksimum dan
minimum.
Uji Derivatif Pertama menyediakan bahwa jika c
adalah nomor penting dari fungsi f yang terus
menerus pada interval terbuka (a,b) yang berisi c,
maka (i) jika f´(x) terhubung menandatangani dari
negatif ke positif di c, maka f(c) adalah minimum
relatif f; dan (ii) jika f´(x) terhubung tanda dari positif
ke negatif pada c, maka f(c) maksimal relatif f.
Uji Derivatif Kedua mengatur bahwa jika f´(c) = 0
dan f´´(c) sumbu pada interval terbuka mengandung

80
c, maka (i) f(c) adalah minimum relatif f jika f´´(c) >
0; dan (ii) f(c) �is relatif maksimum dari f jika f´´(c)
< 0. jika f´´(c) = 0, tes tidak meyakinkan.
MASALAH Mengingat f(x) = 2x3
-9x2
+2, poin kritis dan ekstrem
relatif dari fungsi.
SOLUSI Mengatur derivative pertama f(x) = 6x2
-18x = 6x(x -3)
= 0 untuk mendapatkan x = 0 dan x = 3 poin kritis.
Mengamati bahwa ketika x < 0 atau jika x > 3, f´(x)
positif, dan bahwa ketika 0 < x < 3, f´(x) adalah
negatif. Akibatnya, oleh Uji Derivatif Pertama, f(0) =
2 maksimal relatif karena f´(x) berubah tanda dari
positif ke negatif pada 0, dan f(3)= -25 minimal relatif
karena f´(x) terhubung tanda dari negatif ke positif
pada 3.
MASALAH memberikan f(x) = 2x3
-9x2
+2, menemukan titik-titik
kritis dan ekstrim relatif dari fungsi.
SOLUSI mengatur f´(x) = 6x2-18x = 6x (x-3) = 0 untuk
mendapatkan x=0 dan x=3 poin kritis. Berikutnya,
mengevaluasi kedua derivative f´´(x) = 12x-18 =
6(2x-3) pada kritis poin untuk mendapatkan f´´(0)= -
18 dan f´´(3)= 18. Dengan kemudian, oleh Kedua
Derivatif Test, f(0) = 2 adalah relatif maksimum
karena f´´(0)= -18 < 0, dan f(3)= -25 adalah
minimum relatif karena f´´(3) = 18 > 0, �which
adalah hasil yang sama seperti diperoleh dalam
masalah pertama.
Catatan: Uji derivatif kedua biasanya dipanggil jika turunan kedua adalah agak
sederhana perhitungan. Dalam banyak kasus, itu adalah sederhana untuk

81
menggunakan Uji Derivatif Pertama dari untuk menghitung kedua derivatif dan
kemudian mengujinya. Pengalaman dengan tes ini mungkin adalah cara terbaik
untuk menentukan yang tes untuk menggunakan pada waktu tertentu.
MASALAH Mengingat f(x) =
𝑥5
5
−
5𝑥3
3
+ 4𝑥 + 1. (a) Menemukan
angka-angka kritis dan nilai-nilai kritis; (B)
menentukan interval di mana f meningkat dan di
mana f adalah menurun; dan (c) mengidentifikasi
maxima relatif atau minima dari f.
SOLUSI f´(x) = x4
-5x2
+4 = (x2
-1)(x2
-4) = (x-1)(x+1)(x-2)
(x+2) dan f´´(x) = 4x3
-10x = 2x(2x2
-5). (a) atur f´(x)
= 0; untuk mendapatkan nomor penting x = ±1 dan x
= ±2. Dengan kemudian, nilai-nilai kritis f(1)
=
53
15
, f(-1) = −
23
15
, f(2) =
31
15
dan f(-2) = −
1
15
.

Bab iv

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (17)

Similar to Bab iv

Similar to Bab iv (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Bab iv