Buku kalkulus peubah banyak

KALKULUS PEUBAH BANYAK
Strategi Probing Prompting
Hapizah
Somakim
M. Yusup
Penerbit

iii
Dilarang memperbanyak, mencetak atau menerbitkan
sebagian maupun seluruh buku ini tanpa izin tertulis dari penerbit
Ketentuan Pidana
Kutipan Pasal 72 Undang-undang Republik Indonesia
Nomor 19 Tahun 2002 Tentang Hak Cipta
1. Barang siapa dengan sengaja dan tanpa hak melakukan sebagaimana dimaksud dalam
pasal 2 ayat (1) atau pasal 49 ayat (1) dan ayat (2) dipidana dengan pidana penjara
masing-masing paling singkat 1 (satu) bulan dan/atau denda paling sedikit Rp.
1.000.000,00 (satu juta rupiah), atau pidana penjara paling lama 7 (tujuh) tahun
dan/atau denda paling banyak Rp. 5.000.000,00 (lima juta rupiah).
2. Barang siapa dengan sengaja menyiarkan, memamerkan, mengedarkan, atau menjual
kepada umum suatu ciptaan atau barang hasil pelanggaran Hak Cipta atau hak terkait
sebagaimana dimaksud pada ayat (1) dipidana dengan pidana penjara paling lama 5
(lima) tahun dan/atau denda paling banyak Rp. 500.000.000,00 (lima ratus juta rupiah).
Kalkulus Peubah Banyak
Strategi Probing Prompting
Penulis : Hapizah
Somakim
M.Yusup
Layout : Nyimas Amrina Rosyada
Desain Cover : Ismoko
Hak Penerbit pada NoerFikri Offset, Palembang
Perpustakaan Nasional Katalog dalam Terbitan (KDT)
Anggota IKAPI (No. 012/SMS/13)
Dicetak oleh:
NoerFikri Offset
Jl. KH. Mayor Mahidin No. 142
Telp/Fax : 366 625
Palembang – Indonesia 30126
E-mail : noerfikri@gmail.com
Cetakan I: Januari 2019
Hak Cipta dilindungi undang-undang pada penulis
All right reserved
ISBN : 978-602-447-368-6

iii
KATA PENGANTAR
Alhamdulilah, puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah
SWT yang telah memberikan kekuatan, kesempatan sehingga
prototipe buku ini dapat diselesaikan tepat waktu. Terima kasih
yang tak terhingga kepada Rektor Universitas Sriwijaya yang
telah mendanai penelitian kami, sehingga buku ini sebagai salah
satu output penelitian dapat terselesaikan.
Buku ini dirancang untuk membantu mahasiswa dan dosen
dalam menyediakan sumber belajar mata kuliah Kalkulus
Peubah Banyak. Melalui buku ini diharapkan mahasiswa dapat
mengkonstruksi pengetahuannya secara mandiri yang sesuai
dengan paradigma Student Centered Learning (SCL) dan prinsip
pembelajaran di perguruan tinggi.
Kepada berbagai pihak kami ucapkan terima kasih diantaranya
Budi Mulyono, S.Pd., M.Sc. dan Dr. Ely Susanti, M.Pd. serta
mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika angkatan
2017 yang telah memberikan masukan untuk merevisi buku ini.
Terima kasih juga untuk Yuni Permata Sari yang telah
merancang cover buku ini.
Buku ini masih dalam bentuk prototipe, sehingga sangat
diharapkan masukan/sarannya sehingga kedepan buku ini
menjadi lebih baik.
Penulis

iv
DAFTAR ISI
FUNGSI DUA VARIABEL ATAU LEBIH.....................................................1
TURUNAN PARSIAL................................................................................... 15
LIMIT DAN KEKONTINUAN.......................................................................30
KETERDIFERENSIASIAN.......................................................................... 39
TURUNAN BERARAH DAN KEMIRINGAN BIDANG............................ 48
ATURAN RANTAI.........................................................................................61
BIDANG SINGGUNG DAN APROKSIMASI............................................ 70
MAKSIMUM DAN MINIMUM...................................................................... 78
INTEGRAL LIPAT DUA...............................................................................84
INTEGRAL BERULANG..............................................................................95
INTEGRAL LIPAT DUA ATAS BUKAN PERSEGIPANJANG.............100
INTEGRAL LIPAT DUA DALAM KOORDINAT POLAR.......................107
APLIKASI INTEGRAL LIPAT DUA (LUAS PERMUKAAN)................. 112
INTEGRAL LIPAT TIGA............................................................................ 123

v
Petunjuk:
Bahan ajar ini menggunakan strategi probing
prompting, dimana kalian diberikan
pertanyaan-pertanyaan. Silakan kalian jawab
pertanyaan-pertanyaan yang ditemukan terlebih
dahulu, baru kemudian kalian melanjutkan
membaca bahan ajar ini.

1
FUNGSI DUA VARIABEL
ATAU LEBIH 1
Pada bahan ajar kali ini kita akan membahas tentang fungsi dua
variabel atau lebih. Namun, sebelum membahas materi tersebut,
kita ingat kembali tentang fungsi itu sendiri. Menurut kalian, apa
yang dimaksud dengan fungsi?. Dapatkah kalian memberikan
contoh yang termasuk fungsi dan yang bukan fungsi?
Fungsi adalah pemetaan dari daerah domain ke daerah
kodomain dengan tepat satu. Contoh yang termasuk fungsi
adalah 2)(  xxf , dimana untuk semua anggota domain
Rx akan dipetakan tepat satu ke kodomain Rx .
Bagaimana untuk xxf )( ?, dipetakan kemanakan 4x ? .
Iya, untuk 4x , akan dipetakan ke 2 dan -2, sehingga dapat
Tujuan Pembelajaran:

2
kita katakan bahwa xxf )( bukan fungsi. Mengapa
demikian? Karena untuk satu domain memiliki pasangan lebih
dari satu ke kodomain.
Contoh fungsi yang diberikan di atas adalah fungsi satu variabel.
Apa variabel dari contoh fungsi tersebut?, iya, fungsi tersebut
variabelnya adalah x . Jadi, contoh tersebut adalah fungsi
dengan satu variabel. Bagaimana jika variabelnya kita
tambahkan y ? menjadi fungsi apakah ia?, fungsi tersebut
menjadi fungsi dengan dua variabel. Dapatkan kalian
memberikan contohnya? misalnya yxyxf ),( . Bagaimana
jika ditambah lagi variabelnya? fungsi tersebut akan menjadi
fungsi dengan tiga variabel atau lebih. Dalam bahan ajar ini kita
hanya akan membahas fungsi dua variabel atau lebih.
Dari contoh fungsi dua variabel di atas, dapatkan kalian
menentukan variabel bebas dan variabel terikatnya?, variabel
bebasnya adalah x dan y , variabel terikatnya adalah ),( yxf
atau z .
Nilai real dari sebuah fungsi dua variabel kita dapatkan dengan
mensubtitusikan nilai variabel yang bersesuaian. Coba tentukan
nilai real dari fungsi di bawah ini!
32
2),( yxyxf  , nilai real dari )3,2(f adalah...
Nilai variabel yang bersesuaian adalah 3,2  yx , nilai real dari
fungsi tersebut adalah
35278)3()2(2)3,2( 32
f .

3
Untuk materi menentukan nilai real dari sebuah fungsi dua
variabel, tentunya tidaklah sulit. Untuk itu, mari kita lanjutkan
membahas tentang grafik fungsi dua variabel.
Grafik dari sebuah fungsi kita dapatkan dengan menghubungkan
titik-titik yang bersesuaian antara variabel bebas dan variabel
terikatnya. Untuk fungsi satu variabel, kita dapat
menggambarkan grafik fungsi pada sumbu koordinat yang terdiri
dari sumbu- x dan sumbu- y . Bagaimana untuk fungsi dua
variabel?, iya sumbu koordinatnya terdiri dari sumbu- x ,
sumbu- y , dan sumbu- z , seperti yang diperlihatkan pada
Gambar 1.1.
Gambar 1. 1
Untuk memahami istilah kurva dari fungsi dua variabel,
perhatikan contoh-contoh yang diberikan.

4
Contoh 1. 1
Sketsakan kurva fungsi 22
yxz  !.
Penyelesaian:
Apa yang dapat kita lakukan pertama kali untuk menggambarkan
grafik fungsi tersebut?
Kita menentukan domain x dan y dari fungsi tersebut.
Tahapan selanjutnya adalah kita mengkorespondensikan setiap
domain x dan y serta nilai fungsi ( z ). Hasil korespondensinya
diperlihatkan pada gambar di bawah ini. Secara lebih efektif, kita
dapat menggunakan aplikasi untuk menggambarkan kurva
fungsi tersebut, diantaranya adalah Geogebra dan Mathematica.
Bagaimana menggunakan Geogebra dan Mathematics, silakan
kalian belajar mandiri ya!
Gambar 1. 2

5
Kumpulan dari korespondensi antar variabel dari fungsi
dinamakan dengan contour plot atau contour maps. Pada
kurva fungsi dua variabel juga terdapat istilah surface, yaitu
perpotongan antara area cz  dengan contour maps, seperti
yang diperlihatkan pada Gambar 1.3.
Gambar 1. 3
Pada kurva sebuah fungsi dua variabel, kita mengenal istilah
level kurva. Menurut kalian, apa yang dimaksud dengan level
kurva?
Level kurva adalah proyeksi kurva pada bidang- xy .
Dengan demikian, menurut kalian berupa apakah bentuk dari
hasil proyeksi sebuah kurva pada bidang- xy ?
Bentuknya berupa garis, bisa garis lurus atau garis lengkung
sesuai dengan bentuk kurva yang diproyeksikan.

6
Sekarang untuk kurva seperti pada Gambar 1.3, berupa apa
hasil proyeksinya? Iya, berupa lingkaran-lingkaran. Hasil
proyeksinya diperlihatkan pada Gambar 1.4.
Gambar 1. 4
Untuk memperdalam pemahaman kalian, lanjutkan dengan
contoh berikut.
Contoh 1. 2
Sketsakan grafik 4,1,0,1,4,
2
 k
y
x
z , dan sketsakan juga
countor plots untuk kz  dari nilai k yang diberikan.
Penyelesaian:
Untuk mendapatkan sketsa grafik tersebut, kita ketikkan
y
x
z
2

pada Geogebra, dan hasilnya seperti yang diperlihatkan berikut.

7
Gambar 1. 5
Coba perhatikan dari Gambar 1.5, untuk sumbu- y positif, kurva
berada dimana terhadap bidang- xy ?
Kurva berada di atas bidang- xy .
Perhatikan kembali untuk sumbu- y negatif, kurva berada
dimana terhadap bidang- xy ?
Kurva berada di bawah bidang- xy .
Dapatkah kalian memprediksi, apabila kurva tersebut di
proyeksikan pada bidang- xy , berbentuk apakah kurvanya?
Kurvanya berbentuk parabola

8
Untuk 0z , dimana letak proyeksinya pada bidang- xy ?
Tepatnya terletak pada sumbu-y, jadi bentuknya berupa garis
lurus.
Untuk 1z , 4z , 1z , dan 4z perhatikan bidangnya
pada Gambar 1.6.
Gambar 1. 6
Perhatikan perpotongan bidang 1z , 4z , 0z , 1z , dan
4z dengan kurva, bentuknya berupa parabola, kecuali untuk

9
bidang 0z , bentuknya berupa garis lurus. Seperti yang
diperlihatkan pada Gambar 1.7.
Gambar 1. 7
Bagaimana cara menentukan perpotongan antara kurva y
x
z
2

dan 1z , 4z , 0z , 1z , atau 4z dengan
geogebra?
Untuk mencari perpotongannya, perhatikan pada tampilan
aljabar, kurva
y
x
z
2
 memiliki nama “b”, misalkan kita akan
mencari perpotongannya dengan 1z , perhatikan pada
tampilan aljabar namanya adalah “c”. Jadi sekarang kita punya

10
dua objek yaitu “b” dan “c”. Pada bagian “Masukan” (yang
dilingkar merah bagian bawah kita ketikkan ‘Perpotongan (b,c)”,
artinya kita mau melukiskan garis potong antara bidang
y
x
z
2

dan 1z , hasilnya berupa garis yang bernama “g”. Begitu juga
cara untuk menentukan perpotongan
y
x
z
2
 dengan bidang
yang lainnya.
Selanjutnya memproyeksi kurva perpotongan tersebut ke
bidang- xy . Hasilnya seperti pada Gambar 1.8. Hasil proyeksi
inilah yang dikatakan sebagai level kurva untuk 4,1,0,1,4 k .
Kumpulan dari level kurva-level kurva dinamakan dengan
contour plots.
Gambar 1. 8

11
Untuk melihat level kurva, kita dapat memutar kurva, dan dilihat
dari atas, seperti yang diperlihatkan pada Gambar 1.8. Dengan
Geogebra, kita dapat menentukannya dengan mentranslasikan
masing-masing objek yaitu “g”, “h”, “i”, “j”, dan “k”, dengan vektor
sesuai dengan ketinggian z . Untuk objek “g” misalnya, karena
berada pada 1z , dan kita akan memproyeksikannya pada
0z , maka vektornya adalah (0,0,-1), nilai z diturunkan 1.
Untuk objek yang lain, silakan didiskusikan.
Perintah yang kita ketikkan pada “Masukannya” adalah
“Translasi (g, (0,0,-1))”. Silakan dicobakan pada aplikasi
masing-masing.
Yang kita bahas sebelum ini adalah bentuk kurva untuk fungsi
dua variabel, sekarang kita akan membahas sedikit untuk kurva
fungsi tiga variabel atau lebih. Pada kurva fungsi tiga variabel,
kita mengenal istilah level surface. Domain dari fungsi tiga
variabel adalah semua bilangan real yang membuat nilai
fungsinya ada.
Berikut ini kita membahas tentang domain dan nilai fungsi dari
fungsi dua dan tiga variabel melalui contoh-contoh, walaupun
seharusnya hal ini kita bahas di awal bab. Namun, kali ini kita
membahasnya diakhir dengan perkiraan kalian telah memahami
dengan baik istilah-istilah dari grafik fungsi dua dan tiga variabel
Contoh 1. 3
Tentukan domain dari fungsi   362, 22
 yxyxf

12
Penyelesaian:
Yang perlu kita ingat kembali untuk fungsi dua variabel, dalam
menentukan domain dilihat dari apakah fungsi tersebut memiliki
nilai pada daerah tersebut. Untuk contoh di atas, fungsinya
memiliki tanda , jadi yang perlu diperhatikan adalah bilangan
dibawah tanda akar tersebut haruslah bilangan yang lebih besar
dari nol. Sehingga kita dapatkan
362
0362
22
22


yx
yx
Jadi, domain dari fungsi tersebut adalah
  362|, 22
 yxyxD .
Contoh 1. 4
Misalkan   yzxzyxf cos,, 2
 , tentukan nilai dari
   2
1
2 ,,2,1,2 
fdanf
Penyelesaian:
Penyelesaian dari contoh ini adalah dengan cara
mensubstitusikan nilai dari variabel yang bersesuaian. Dapatkah
kalian menentukan nilainya? Hasilnya adalah sebagai berikut.
  yzxzyxf cos,, 2


13
    
 
22
24
cos4
1cos2,1,2
2
1
2
2
2
2






f
    
 
22
24
cos4
cos2,,2
2
1
2
2
12
2
1





f

14
Soal-soal Latihan
1. Misalkan   yxyxf  2
, . Carilah setiap nilai berikut dan
tentukan domain dari fungsi tersebut!
a)  3,0f
b)  2,1 f
c)  0,2f
d)  3,5 f
2. Sketsakan grafik   2
4, xyxf 
3. Sketsakan grafik   22
25, yxyxf 
4. Sketsakan countor plot dari 2,1,0,1,2,2
 kyxz

15
TURUNAN PARSIAL
2
Pada mata kuliah Kalkulus sebelumnya, kita telah membahas
tentang turunan, yang lebih tepatnya turunan fungsi satu variabel.
Masih ingatkah kalian tentang turunan? Apa definisinya?. Pada
materi kali ini, kita akan melihat turunan dari fungsi yang terdiri
dari dua atau lebih variabel. Fungsi tersebut diturunkan terhadap
masing-masing variabel, sehingga kita menyebutnya sebagai
turunan parsial.
Turunan parsial fungsi f terhadap variabel x pada titik  00 , yx
dinotasikan dan didefinisikan dengan:

16
     
x
yxfyxxf
yxf
x
x




0000
0
00
,,
, lim
Bagaimana kira-kira untuk turunan parsial fungsi f terhadap
variabel y pada titik  00 , yx ? iya, notasi dan definisinya
adalah:
     
y
yxfyyxf
yxf
y
y




0000
0
00
,,
, lim
Seandainya, fungsinya merupakan fungsi dengan tiga variabel
yx, dan z , bagaimana notasi dan definisi turunan fungsi f
terhadap variabel z di titik  000 ,, zyx ? iya, notasi dan
definisinya adalah:
     
z
zyxfzzyxf
zyxf
z
z




000000
0
000
,,,,
,, lim
Untuk notasi dan definisi turunan fungsi
f
terhadap variabel
yang lainnya silakan kalian coba sendiri dan diskusikan dengan
temanmu.
Notasi lain untuk menyatakan turunan parsial adalah  . Jadi,
apabila  yxfz , , maka alternatif penulisan notasi adalah
sebagai berikut
 Turunan  yxfz , terhadap variabel x ditulis:
   
x
yxf
x
z
yxfx






,
,

17
 Turunan  yxfz , terhadap variabel y ditulis:
   
y
yxf
y
z
yxfy






,
,
Bagaimana alternatif penulisan notasi turunan parsial dari
masing-masing variabel untuk fungsi  zyxfu ,, ? iya,
alternatifnya adalah sebagai berikut
 Turunan  zyxfu ,, terhadap variabel x ditulis:
   
x
zyxf
x
u
zyxfx






,,
,,
 Turunan  zyxfu ,, terhadap variabel y ditulis:
   
y
zyxf
y
u
zyxfy






,,
,,
 Turunan  zyxfu ,, terhadap variabel z ditulis:
   
z
zyxf
z
u
zyxfz






,,
,,
Untuk menyelesaikan permasalahan turunan parsial, kita tetap
harus mengingat kembali teorema-teorema turunan fungsi satu
variabel, masih ingatkah kalian tentang teorema-teorema
turunan tersebut?. Jika kalian lupa dengan teorema-teorema
tersebut, silakan kalian pelajari kembali teorema-teorema
tersebut, karena akan banyak terpakai pada materi kita
selanjutnya.

18
Berikut ini kita akan membahas contoh-contoh permasalahan
yang berkaitan dengan turunan parsial.
Contoh 2. 1
Tentukan
x
z


dan
y
z


dari fungsi    3
2
2
4, yxyxfz 
Penyelesaian:
Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, teorema apa yang
dapat kita gunakan? Iya, kita dapat menggunakan '' 1
uunz n
 ,
dengan 'u diturunkan terhadap variabelnya.
Seandainya 2
4 yx  kita anggap sebagai sebuah fungsi u ,
maka fungsi z dapat kita tulis menjadi 3
2
uz  . Ingat, ketika kita
menurunkan fungsi terhadap variabel x , maka variabel y kita
anggap sebagai konstanta, dan sebaliknya ketika kita
menurunkan fungsi terhadap variabel y , maka variabel x kita
anggap sebagai konstanta.
Secara mandiri dapatkah kalian menentukan
x
z


   
 
 3
1
3
1
3
2
2
2
12
43
8
4
3
8
44
3
2
yx
yx
x
z
yx
x
z










19
Dengan cara yang sama, untuk menentukan y
z


adalah kita
menganggap variabel
x
sebagai konstanta, dengan langkah
sebagai berikut
   
   
 3
1
3
1
3
2
43
2
14
3
2
14
3
2 1
yxy
z
yx
y
z
yx
y
z












Dari langkah di atas, apakah kaliah dapat memahami dari
munculnya (-1) di atas? Iya, itu didapatkan dari turunan y .
Untuk lebih memantapkan pemahaman kalian, coba selesaikan
contoh di bawah ini.
Contoh 2. 2
Tentukan
x
z


dan
y
z


dari fungsi  
xy
yx
yxfz
2
4
,


Penyelesaian:
Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut kita dapat
memandang fungsi z sebagai pembagian dua fungsi, dapatkan
kalian menyatakan kedua fungsi tersebut? Iya, kita dapat

20
memandangnya menjadi pembagian antara fungsi 2
4 yxu  ,
dan fungsi xyv  . Sekarang, bagaimana turunan dari
pembagian dua fungsi
v
u
? Iya, turunannya adalah 2
''
v
uvvu 
.
Turunan u dan v dilakukan sesuai dengan variabelnya.
Untuk
x
z


, kita menurunkan fungsi u dan v terhadap variabel
x . Apakah hasil turunan dari u dan v tersebut? Iya, hasilnya
adalah sebagai berikut:
2
4 yxu 
4'u
xyv 
yv '
     
  222
3
2
2
4444
x
y
yx
yxyxy
xy
yyxxy
x
z







Untuk
y
z


, kita menurunkan fungsi u dan v terhadap variabel
y . Apakah hasil turunan dari u dan v tersebut? Iya, hasilnya
adalah sebagai berikut:

21
2
4 yxu 
yu 2' 
xyv 
xv '
     
 
2
2
22
22
22
222
2
2
4
44242
xy
xy
yx
xxy
yx
xyxxy
xy
xyxxyy
y
z










KEMIRINGAN GARIS SINGGUNG
Suatu permukaan dari persamaan  yxfz , , apabila bidang
0yy  memotong permukaan kurva, maka  00 , yxfx
merupakan kemiringan dari garis singgung pada kurva tersebut
di titik   0000 ,,, yxfyxP . Bagaimana kemiringan garis singgung
di titik   0000 ,,, yxfyxP , jika bidang yang memotong kurva
adalah 0xx  ? Kemiringannya adalah  00 , yxfy .
Kita perhatikan contoh-contoh berikut ini, untuk memperdalam
pemahaman kalian tentang turunan parsial dalam menentukan
kemiringan garis singgung pada kurva.

22
Contoh 2. 3
Carilah kemiringan garis singgung pada kurva perpotongan
permukaan 22
49363 yxz  dengan bidang 1x di titik
 3
11
,2,1  .
Penyelesaian:
Untuk menyelesaikan permasalah tersebut, hal apa yang kita
perhatikan?
Kita lihat bidang yang memotong kurva yaitu 1x .
Karena bidang yang memotong sejajar dengan sumbu- y , maka
arah perubahannya menggunakan turunan parsial terhadap y .
Bagaimana hasil turunan parsialnya terhadap y ?
Untuk menentukan turunannya, kita ubah terlebih dahulu fungsi
tersebut menjadi bentuk z , yaitu menjadi 22
3
1
4936 yxz  .
Turunan parsialnya terhadap y adalah
 
 2
1
22
3
1
22
3
1
4936
4936,
yx
yxyxfz


     
  2
1
2
1
22
3
4
122
2
1
3
1
4936
84936,




yxy
yyxyxfy

23
Selanjutnya kita menentukan nilai turunan tersebut pada titik
potongnya, yaitu pada titik  3
11
,2,1  . Maka berapakah  2,1 yf ?
Hasilnya adalah
        
 
  33
118
113
8
3
8
3
8
22
3
4
2
1
2
1
2
1
11
16936
24193622,1






yf
Jadi kemiringan garis singgungnya adalah
33
118
.
Contoh 2. 4
Carilah kemiringan garis singgung pada kurva perpotongan
permukaan 2
1654 xz  dengan bidang 3y di titik
 2
35
,3,2 .
Penyelesaian:
Untuk menyelesaikan permasalahan ini, langkah-langkah yang
kita lakukan sama dengan langkah-langkah pada contoh
sebelumnya, hanya saja yang perlu diperhatikan, bidang yang
memotong kurva adalah bidang 3y .
Karena bidang yang memotong sejajar dengan sumbu- x , maka
arah perubahannya menggunakan turunan parsial terhadap x .
Bagaimana hasil turunan parsialnya terhadap x ?

24
Untuk menentukan turunannya, kita ubah terlebih dahulu fungsi
tersebut menjadi bentuk z , yaitu menjadi 2
4
5
16 xz  .
Turunan parsialnya terhadap x adalah
 
 2
1
2
4
5
2
4
5
16
16,
x
xyxfz


     
  2
1
2
1
2
4
5
12
2
1
4
5
16
216,




xx
xxyxfx
Selanjutnya kita menentukan nilai turunan tersebut pada titik
potongnya, yaitu pada titik  2
35
,3,2 . Maka berapakah  3,2xf ?
Hasilnya adalah
      
 
   12
35
34
5
322
5
2
5
2
4
5
2
1
2
1
2
1
12
21623,2





xf
Jadi kemiringan garis singgungnya adalah
3
35
 .
TURUNAN PARSIAL TINGKAT TINGGI
Sebuah fungsi dua variabel atau lebih dapat saja diturunkan
lebih dari sekali, seperti turunan parsial keduanya, turunan
parsial ketiganya, dan seterusnya atau kita dapat menyebutnya
turunan parsial tingkat tinggi. Turunan parsial kedua dari sebuah
fungsi dua variabel memiliki empat kemungkinan, dapatkah

25
kalian menyebutkan kemungkinan tersebut? Iya,
kemungkinannya adalah sebagai berikut:
2
2
x
f
x
f
x
fxx













2
2
y
f
y
f
y
fyy













 
xy
f
x
f
y
ff yxxy













2
 
yx
f
y
f
x
ff xyyx













2
Turunan parsial yang diturunkan terhadap lebih dari satu
variabel dinamakan dengan turunan parsial gabungan (mixed
partial derivatives) seperti xyf atau yxf untuk fungsi dua
variabel, sedangkan untuk fungsi tiga variabel contohnya xyzf .
Untuk memantapkan pemahaman kalian tentang turunan parsial
tingkat tinggi, silakan dipelajari contoh di bawah ini.
Contoh 2. 5
Tentukan keempat turunan parsial kedua dari
  32
2, xyyxyxf 

26
Penyelesaian:
yf
yxyf
xx
x
4
4 3


2
2
22
34
34
6
32
yxf
yxf
xyf
xyxf
yx
xy
yy
y




Sebuah fungsi dua variabel yang memenuhi persamaan Laplace,
yaitu 02
2
2
2






y
f
x
f
dikatakan sebagai fungsi Harmonik, seperti
dicontohkan berikut ini.
Contoh 2. 6
Selidiki apakah fungsi 33
),( xyyxyxf  merupakan fungsi
harmonik.
Penyelesaian:
Tahapan pertama yang kita lakukan adalah menentukan
2
2
x
f


dan 2
2
y
f


. Dapatkah kalian menentukan turunan tersebut?
Apa hasilnya? Iya, turunannya adalah sebagai berikut:

27
xy
y
f
xyx
y
f
xy
x
f
yyx
x
f
6
3
6
3
2
2
23
2
2
32












Sekarang, bagaimana hasil dari 2
2
2
2
y
f
x
f





?, iya hasilnya
adalah 066  xyxy . Karena memenuhi persamaan Laplace
maka fungsi 33
),( xyyxyxf  dikatakan sebagai fungsi
harmonik.

28
Soal-Soal Latihan
1. Carilah turunan parsial pertama dari fungsi:
a) 22
2),( xyyxyxf 
b)  23
42),( yxyxf 
c)
xy
yx
yxf
3
2
),(
22


d)   yyxyxf
23
2),( 
2. Jika  
xy
yx
yxF
2
3
,

 , carilah  1,2 xF dan  1,2 yF
3. Jika  
z
xy
zyxf ,, , carilah  8,1,2 xf ,  8,1,2 yf , dan
 8,1,2 zf
4. Jika   4235
32, yxyxyxG  , carilah
a) 2
2
x
G


b) 2
2
y
G


c)
yx
G

2
d) yzG

29
e) yxzG
5. Carilah kemiringan garis singgung pada kurva perpotongan
permukaan 22
9436 yxz  dengan bidang 3x di titik  2,2,3
6. Carilah kemiringan garis singgung pada kurva perpotongan
permukaan 36992 22
 yxz dengan bidang 1y di titik
 2
3
,1,2

30
LIMIT DAN KEKONTINUAN
3
Limit merupakan materi yang telah kita pelajari sebelumnya
pada saat Kalkulus Diferensial, hanya saja fungsinya adalah
fungsi satu variabel. Kali ini kita akan membahas limit untuk
fungsi dua variabel. Masih ingatkah kalian dengan definisi limit
untuk fungsi satu variabel? Dapatkah kalian mengeneralisasinya
untuk fungsi dua variabel?.
Definisi limit fungsi dua variabel
menyatakan bahwa
   
  Lyxf
bayx


,lim
,,
berarti bahwa untuk
setiap 0 yang diberikan (berapapun kecilnya), terdapat

31
0 yang berpadanan sedemikian sehingga    Lyxf ,
asalkan bahwa      bayx ,,0 .
Teorema
Jika  yxf , adalah sebuah fungsi polinomial, maka
   
   bafyxf
bayx
,,lim
,,


.
Jika    
 yxq
yxp
yxf
,
,
,  , p dan q adalah fungsi polinomial, maka
   
   
 baq
bap
yxf
bayx ,
,
,lim
,,


asal   0, baq . Namun, jika
   
  0,lim
,,


Lyxp
bayx
dan
   
  0,lim
,,


yxq
bayx
, maka limit
   
 
 yxq
yxp
bayx ,
,
lim
,, 
tidak ada.
Untuk memperdalam pemahaman kalian perhatikan contoh di
bawah ini.
Contoh 3. 1
Jika ada, tentukan nilai dari
   
 22
3,1,
lim yyx
yx


Penyelesaian:
Untuk menentukan nilai llimit tersebut, tahapan pertama yang
perlu kita perhatikan adalah melihat nilai limit apabila

32
   3,1, yx kita substitusikan ke fungsi. Apabila menghasilkan
nilai
0
0
atau
0
, maka bentuk fungsi perlu di sederhanakan,
namun apabila tidak demikian, maka nilai itu sebagai nilai limit
fungsi. Hasil substitusi dari fungsi tersebut adalah
      12331
22
 . Karena tidak menghasilkan
0
0
atau
0
, maka
berapa nilai limitnya? Iya, nilainya adalah sebagai berikut:
   
        12331lim
2222
3,1,


yyx
yx
Contoh 3. 2
Jika ada, tentukan nilai
     2
3
2,1, 1
lim


 yx
yxy
yx
Penyelesaian:
Perhatikan bentuk fungsinya, berupa apa? Iya, bentuknya
adalah rasional. Untuk fungsi rasional, ada dua hal yang harus
kita perhatikan yaitu nilai limit untuk pembilang dan penyebut.
Berapakah nilai limit untuk pembilang? Iya, nilainya adalah
   
     010221lim
33
2,1,


yxy
yx
. Sekarang, berapakah
nilai limit untuk penyebutnya? Iya, nilainya adalah
   
    041211lim
22
2,1,


yx
yx
, karena nilai fungsi untuk
pembilang dan penyebut tidak sama dengan 0, maka nilai limit
fungsi tersebut adalah sebagai berikut:

33
     
    
  2
5
4
10
121
221
1
lim 2
3
2
3
2,1,








 yx
yxy
yx
.
Contoh 3. 3
Jika ada, tentukan nilai dari      2
3
2,1, 1
lim


 yx
yxy
yx
Penyelesaian:
Untuk menyelesaian contoh ini, langkah yang kita lakukan sama
dengan menyelesaikan contoh 3.2. Pada contoh ini, berapa nilai
limit pembilangnya? Iya nilainya adalah
   
     06221lim
33
2,1,


yxy
yx
. Bagaimana nilai limit
penyebutnya? Iya, nilainya
adalah    
    01)2(11lim
22
2,1,


yx
yx
. Perhatikan teorema
di atas, bagaimana nilai limit fungsi jika nilai limit penyebutnya
adalah 0? iya, fungsi tersebut tidak memiliki limit untuk
   2,1, yx .
Contoh 3. 4
Jika ada, tentukan nilai dari
    220,0,
lim
yx
xy
yx


34
Penyelesaian:
Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, langkah pertama
yang kita lakukan adalah melihat nilai fungsi pembilang dan
penyebut. Berapa nilainya? Kita dapatkan nilainya 0 semua,
sehingga menjadi
0
0
. Kalau kita perhatikan fungsi tersebut
dapat kita ubah menjadi koordinat polar. Dapatkah kalian
mengubahnya? Bagaimana hasilnya? Hasilnya adalah sebagai
berikut.
222
yxr  , cosrx  , sinry 
0,0  yx , kita dapatkan 0r
   
   
 
 
0sincoslim
sincos
lim
1
sincos
lim
sincos
sincos
lim
sincos
sincos
limlim
0
0
20
2220
220220,0,




















r
r
rr
r
rr
r
rr
rr
rr
yx
xy
r
r
r
r
ryx
KEKONTINUAN PADA SEBUAH TITIK
Sebuah fungsi dua variabel  yxf , kontinu pada titik  ba,
jika:

35
1.  yxf , mempunyai nilai pada  ba,
2.  yxf , mempunyai limit pada  ba,
3. Limit  yxf , pada  ba, sama dengan nilainya pada  ba,
Atau dapat dikatakan
   
   bafyxf
bayx
,,lim,,


.
Fungsi polinomial kontinu pada semua titik  yx, , dan fungsi
rasional kontinu disemua titik kecuali ketika penyebutnya bernilai
0 pada titik tersebut.
Teorema
Komposisi Fungsi
Jika sebuah fungsi dua variabel g kontinu pada titik  ba, dan
fungsi f juga kontinu pada titik  ba, , maka komposisi fungsi
  yxgf , juga kontinu di titik  ba, .
Perhatikan contoh berikut untuk lebih memahami tentang
kekontinuan pada sebuah titik.
Contoh 3. 5
Selidiki pada titik mana fungsi   22
, yxyxyxF  kontinu.
Penyelesaian:
Fungsi tersebut merupakan fungsi apa?

36
Fungsi tersebut adalah fungsi polinom.
Dari pembahasan sebelumnya, dikatakan bahwa fungsi polinom
kontinu disemua  yx, . Sehingga dapat kita katakan bahwa
fungsi tersebut kontinu pada semua  yx, .
Contoh 3. 6
Selidiki pada titik mana fungsi  
yx
yxyx
yxF



22
, kontinu.
Penyelesaian:
Fungsi tersebut merupakan fungsi rasional. Pada fungsi rasional
pada umumnya kontinu di semua titik asalkan penyebutnya tidak
sama dengan 0. Pada fungsi tersebut kapan penyebutnya sama
dengan nol? Penyebut fungsi tersebut sama dengan nol ketika
xy  . Jadi, fungsi tersebut kontinu di semua  yx, ,kecuali
sepanjang garis xy  .
KEKONTINUAN PADA SEBUAH INTERVAL
Sebuah fungsi dua variabel dikatakan kontinu dalam interval
S jika fungsi tersebut kontinu pada semua titik yang ada dalam
interval tersebut.

37
Teorema
Kesamaan Parsial Campuran
Jika xyf dan yxf kontinu pada interval terbuka S , maka
yxxy ff  pada setiap titik pada interval tersebut.

38
Soal-soal Latihan
1. Carilah limit yang ditunjukkan, atau nyatakan bahwa limit
tersebut tidak ada
a)
   
 23
2,1,
lim xxy
yx


b)
   
 
y
yyx
yx
22
0,1,
lim


c)
   
 
220,0,
lim
yx
x
yx

d)
     22
22
0,0, sin
lim
yx
yx
yx 


e)
    22
44
0,0,
lim
yx
yx
yx 


2. Selidiki pada titik mana fungsi   22
, yxxyyxF  kontinu
3. Selidiki pada titik mana fungsi  
yx
yxyx
yxF
2
, 2
22


 kontinu

39
KETERDIFERENSIASIAN
4
Pada fungsi satu variabel, kita telah membahas tentang
keterdifirensiasian. Masih ingatkah kalian tentang
keterdiferensiasian fungsi satu variabel tersebut? Kapan suatu
f dikatakan terdiferensiasi di x ?
Suatu fungsi f dikatakan terdiferensiasi di x , jika ada turunan
 xf ' .
Bagaimana kaitan turunan  xf ' terhadap garis singgungnya di
x ?
Jika ada turunan  xf ' , maka pada x terdapat garis singgung
yang tak vertikal.

40
Pada fungsi satu variabel, kita juga mengenal istilah linear
secara lokal. Masih ingatkah kalian tentang hal itu? Dapatkah
kalian menjelaskan tentang hal itu?
Fungsi f adalah linear secara lokal di a jika terdapat
konstanta m sedemikian sehingga
     hhhmafhaf 
Di mana  h adalah fungsi yang memenuhi   0lim
0


h
h
 .
Dengan demikian, bagaimana mencari nilai  h ?
Kita dapat melakukannya dengan rumus sebagai berikut
      m
h
afhaf
h 


Fungsi  h adalah selisih antara kemiringan garis talibusur
yang melalui titik   afa, dan (  hafha  , dan kemiringan
garis singgung yang melalui   afa, ). Jika f linear secara
lokal di a , maka
      0limlim
00










m
h
afhaf
h
hh

Yang bermakna bahwa
    m
h
afhaf
h


0
lim
Kita simpulkan bahwa f haruslah terdiferensiasikan di a dan
bahwa m harus sama dengan  af ' . Atau jika f

41
terdiferensiasi di a , maka
      maf
h
afhaf
h



'lim
0
karenanya f adalah linear secara lokal.
Untuk fungsi dua variabel, kita dapat mengeneralisasinya, yaitu
dengan definisi sebagai berikut.
Definisi
Linearitas Lokal untuk Fungsi Dua Variabel
Kita katakan bahwa f linear secara lokal di  ba, jika
           212221112121 ,,,,,, hhhhhhbafhbafhbafhbhaf yx  
Dengan   0, 211 hh ketika   0, 21 hh dan   0, 212 hh
ketika   0, 21 hh .
Definisi
Keterdiferensiasian untuk Fungsi Dua Variabel atau Lebih
Fungsi f terdiferensiasi di p jika ia linear secara lokal di p.
Fungsi f terdiferensiasi pada himpunan terbuka R jika ia
terdiferensiasi di setiap titik di dalam R .
Gradien f yang dinyatakan dengan vektor adalah
        jpipp,p yxyx ffff 
Atau ditulis dengan

42
     jpipp yx fff 
Jadi, f terdiferensiasikan di p jika dan hanya jika
        hhhpphp  fff
Teorema
Jika  yxf , mempunyai turunan-turunan parsial kontinu
 yxfx , dan  yxfy , pada cakram D yang bagian dalamnya
memuat  ba, , maka  yxf , terdiferensiasikan di  ba, .
Teorema
Sifat-sifat 
Operator gradien  memenuhi
1.         pppp gfgf 
2.     pp ff  
3.             pppppp fggfgf 
Masih ingatkah kalian, hubungan antara keterdifersiasian dan
kekontinuan dari fungsi satu variabel?
Jika f fungsi satu terdiferensiasi di p, maka f kontinu di p,
tapi tidak sebaliknya.
Hal ini juga berlaku untuk fungsi dua variabel. Didapatkan
teorema sebagai berikut.

43
Teorema
Jika f fungsi satu terdiferensiasi di p, maka f kontinu di p.
Jika fungsi f terdiferensiasi di 0p maka ketika h mempunyai
panjang kecil
      hpphp 000  fff
Dengan membiarkan hpp 0  , kita dapatkan bahwa fungsi T
yang didefinisikan oleh
       000 ppppp  ffT
Merupakan aproksimasi yang bagus terhadap  pf jika p dekat
ke 0p .
Persamaan  pTz  disebut sebagai persamaan bidang
singgung.
Contoh 4. 1
Carilah gradien dari fungsi   yxxyyxf 22
2, 
Penyelesaian:
Gradien dari sebuah kurva kita dapatkan dengan menentukan
turunan parsialnya. Bagaimana turunan parsial dari fungsi
tersebut?

44
Turunannya adalah
  xyyyxfx 22, 2
 dan   2
4, xxyyxfy 
Jadi, gradiennya adalah
     
     j4i22,
j,i,,
22
xxyxyyyxf
yxfyxfyxf yx


Contoh 4. 2
Carilah gradien dari fungsi   yzxzxyzyxf 222
,, 
Penyelesaian:
Sama seperti contoh 4.1, dalam menentukan gradien dari
sebuah kurva kita dapatkan dengan menentukan turunan
parsialnya. Bagaimana turunan parsial dari fungsi tersebut?
Turunannya adalah
  xyzzyzyxfx 2,, 22
 ,   zxxyzzyxfy
22
2,,  , dan
  yxzxyzyxfz
22
2,, 
Jadi, gradiennya adalah
       
       k2j2i2,,
k,,j,,i,,,,
222222
yxzxyzxxyzxyzzyzyxf
zyxfzyxfzyxfzyxf zyx



45
Contoh 4. 3
Carilah vektor gradien dari fungsi   yxxyyxf 22
,  di titik
 2,1p  , kemudian carilah persamaan bidang singgungnya di
titik p.
Penyelesaian:
Untuk menentukan vektor gradiennya, tahapan yang dilakukan
sama dengan contoh sebelumnya, hanya saja ini ditentukan nilai
turunan parsialnya di titik p. Bagaimana turunan parsial dan
vektor gradien dari fungsi tersebut?
Turunannya adalah
  xyyyxfx 2, 2
 , dan   2
2, xxyyxfy 
Di Titik  2,1p  , didapatkan
     821222,1 2
xf dan        822122,1
2
yf
Jadi, vektor gradiennya adalah
     
     
  j8i82,1
j2,1i2,12,1
j,i,,



f
fff
yxfyxfyxf
yx
yx
Atau dapat ditulis
  8,82,1 f

46
Persamaan bidang singgung adalah
   
   
1888
28186
2,18,86
2,12,12,1




yxz
yxz
yxz
yxffz

47
Soal-soal Latihan
1. Carilah gradien f dari fungsi
a)   yxyyxf 22
2, 
b)   yxyyxf cos, 2

c)   yx
exyyxf 22 2
, 

d)   222
,, zyxzyxf 
e)    zxxyzyxf  sin,,
2. Carilah persamaan bidang singgung di  1,2 p dari fungsi
 
y
x
yxf
2
, 
3. Carilah semua titik  yx, sedemikian sehingga bidang
singgung terhadap grafik xyyyxxz 21026 22
 di titik
tersebut adalah mendatar.

48
TURUNAN BERARAH DAN
KEMIRINGAN BIDANG 5
Kembali kita memperhatikan sebuah fungsi dua variabel  yxf , .
Dengan turunan parsialnya adalah?  yxfx , dan  yxfy , . Perlu
kita ingat bahwa turunan parsial ini mengukur laju perubahan
(dan kemiringan garis singgung) pada arah-arah sejajar
sumbu- x dan sumbu- y . Namun, yang akan kita lihat pada kali
ini adalah laju perubahan dari sebuah fungsi pada sebarang
arah.
Kita akan menggunakan cara penulisan vektor. Misalkan
 yxp , dan misalkan i dan j adalah vektor-vektor satuan pada
arah sumbu- x dan sumbu- y positif, turunan parsial dari p
dapat dituliskan sebagai berikut.

49
     
     
h
fhjf
f
h
fhif
f
h
y
h
x
pp
limp
pp
limp
0
0






Sekarang kita ganti i dan j dengan suatu vektor satuan sebarang
u. Sehingga kita mendapatkan definisi dari turunan berarah
sebagai berikut.
Definisi
Untuk setiap vektor satuan u, misalkan
     
h
fhuf
fD
h
u
pp
limp
0



Limit ini, jika ia ada, disebut turunan berarah f di p pada arah
u.
Hubungan Turunan Berarah dan Gradien
Apa kalian masih ingat dengan gradien dari suatu fungsi f pada
sebuah titik p?
Gradiennya dinyatakan dengan  pf (dibaca: del f pada p),
yaitu
     jfiff yx ppp 

50
Teorema
Misalkan f terdiferensiasikan di p, maka f mempunyai
turunan berarah di p dalam arah vektor satuan jiu 11 uu  dan
   p.up ffDu 
Yakni,
     x,yfux,yfux,yfD yxu 21 
Untuk memperdalam pemahaman kalian tentang turunan
berarah, perhatikan dan coba jawab rangkaian pertanyaan pada
contoh-contoh di bawah ini.
Contoh 5. 1
Tentukan turunan berarah dari
  xyxyxf  2
2,
pada titik
 3,2p 
pada arah
ji2a 
.
Penyelesaian:
Langkah pertama yang kita lakukan adalah menentukan vektor
satuan u pada arah
ji2a 
. Dapatkah kalian menentukan
vektor satuannya?
Vektor satuannya adalah
j
5
1
i
5
2
u 
.

51
Langkah kedua adalah menentukan turunan parsial terhadap
variabel
x
dan
y
. Bagaimana hasil turunannya?
Turunanya adalah
  14,  xyxfx
dan
  1, yxfy
Langkah ketiga adalah menentukan nilai fungsi turunan pada titik
p. Bagaimana nilainya?
Nilainya adalah
    71243,2 xf
dan
  13,2 yf
Turunan berarahnya adalah
     x,yfux,yfux,yfD yxu 21 
.
Bagaimana hasil turunan berarahnya?
Hasil turunan berarahnya adalah
     
5
13
1
5
1
7
5
2
32 





,fDu
Contoh 5. 2
Tentukan turunan berarah dari
  2
,, zxyzyxf 
pada titik
 1,1,1p 
pada arah menuju
 33,-5,
.
Penyelesaian:
Tahapan yang kita lakukan dalam menyelesaikan permasalahan
ini, sama dengan tahapan pada Contoh 5.2.

52
Langkah pertamanya adalah menentukan vektor satuan u pada
arah
 33,-5,
. Dapatkah kalian menentukan vektor satuannya?
k
43
3
j
43
3
i
43
5
u 
.
Langkah kedua adalah menentukan turunan parsial terhadap
variabel
x
,
y
, dan
z
. Bagaimana hasil turunannya?
Turunanya adalah
  yzyxfx ,,
,
  xzyxfy ,,
, dan
  zzyxfz 2,, 
Langkah ketiga adalah menentukan nilai fungsi turunan pada titik
p. Bagaimana nilainya?
Nilainya adalah
  11,1,1 xf
,
  11,1,1 yf
, dan
    2121,1,1 zf
Turunan berarahnya adalah
       zx,yfuzx,yfuzx,yfuzx,yfD zyxu ,,,, 321 
.
Bagaimana hasil turunan berarahnya?
Hasil turunan berarahnya adalah
       
43
8
2
43
3
1
43
3
1
43
5
1,11 





,fDu

53
Laju Perubahan Maksimum
Suatu fungsi
f
di suatu titik p, akan berubah paling cepat pada
arah dimana
 pfDu
adalah yang terbesar. Kita dapat
menuliskan
       pucospupup ffffDu  
Dengan

sudut antara
u
dan
 pf
. Jadi,
 pfDu
maksimum ketika
0
dan minimum ketika 2

 
.
Teorema
Suatu fungsi bertambah secara paling cepat di p pada arah
gradien (dengan laju
 pf
) dan berkurang secara paling
cepat pada arah berlawanan (dengan laju
 pf
).
Perhatikan contoh-contoh berikut, coba jawab setiap bertemu
pertanyaan, baru kemudian melanjutkan membaca.
Contoh 5. 3
Dalam arah u yang mana fungsi
  53
, yxyxf 
bertambah
secara paling cepat di
 1,2p 
. Berapa laju perubahan dalam
arah tersebut?

54
Penyelesaian:
Untuk menentukan arah u (vektor satuan), hal pertama yang kita
tentukan adalah turunan parsialnya terhadap variabel
x
dan
variabel
y
. Bagaimana turunannya?
Turunanya adalah
  2
3, xyxfx 
  4
5, yyxfy 
Selanjutnya menentukan nilai fungsi turunan pada titik p.
Bagaimana nilainya?
Nilai fungsi turunanya adalah
    12231,2
2
xf
    5151,2
4
yf
Selanjutnya menentukan arahnya. Bagaimana arahnya?
Arahnya adalah
     
     
  j5i122,-1
j2,-1i2,-12,-1
jpipp



f
fff
fff
yx
yx
Jadi, fungsi tersebut bertambah paling cepat pada arah 12i+5j.
Selanjutnya menentukan u (vektor satuan). Dari arah tersebut,
bagaimana vektor satuannya?

55
j
13
5
i
13
12
u 
.
Berikutnya adalah menentukan laju perubahannya, karena
fungsi tersebut laju bertambah, maka lajunya adalah
 pf
.
Bagaimana
 pf
nya?
Hasilnya adalah
        131695122,-1p
22
 ff
Jadi, laju bertambahnya adalah 13.
Contoh 5. 4
Dalam arah u yang mana fungsi
  22
1, yxyxf 
berkurang
 2,1p 
. Berapa laju perubahan dalam
arah tersebut?
Penyelesaian:
Untuk menentukan arah u (vektor satuan), hal pertama yang kita
tentukan adalah turunan parsialnya terhadap variabel
x
dan
variabel
y
Turunanya adalah
  xyxfx 2, 
  yyxfy 2, 

56
Selanjutnya menentukan nilai fungsi turunan pada titik p.
Bagaimana nilainya?
Nilai fungsi turunanya adalah
    2122,1 xf
    4222,1 yf
Selanjutnya menentukan arahnya. Bagaimana arahnya?
Arahnya adalah
     
     
  j4i221,-
j21,-i21,-21,-
jpipp



f
fff
fff
yx
yx
Jadi, fungsi tersebut berkurang paling cepat pada arah 2i - 4j.
Selanjutnya menentukan u (vektor satuan). Dari arah tersebut,
bagaimana vektor satuannya?
j
5
2
i
5
1
j
52
4
i
52
2
u 
.
Berikutnya adalah menentukan laju perubahannya, karena
fungsi tersebut laju berkurang, maka lajunya adalah
 pf
.
Bagaimana
 pf
nya?
Hasilnya adalah
        524221,-p
22
 ff

57
Jadi, laju bertambahnya adalah
52
.
Ketinggian Kurva dan Gradien
Pada awal bab, kita membahas tentang ketinggian kurva. Masih
ingat dengan ketinggian kurva? Apa yang disebut dengan
ketinggian kurva?
Ketinggian kurva permukaan
 yxfz ,
adalah proyeksi ke
bidang-
xy
dari kurva-kurva perpotongan permukaan dengan
bidang-bidang
kz 
yang sejajar bidanng-
xy
.
Misalkan ketinggian kurva dari
 yxf ,
adalah
L
yang melalui
titik
 00 , yxP
yang dipilih sebarang dari daerah asal
f
dan
vektor satuan u yang menyinggung
L
di
P
. Nilai
f
sama
pada semua titik pada ketinggian kurva
L
, maka turunan
berarahnya
 00 , yxfDu
yang berupa laju perubahan
 yxf ,
pada arah u adalah nol ketika u menginggung
L
. Sehingga
dapat kita nyatakan
    u,,0 0000  yxfyxfDu
, dan dapat
disimbulkan bahwa
f
tegak lurus dengan u.
Teorema
Gradien dari
f
di titik
P
adalah tegak lurus terhadap
ketinggian kurva
f
yang melalui
P
.

58
Contoh 5. 5
Carilah persamaan ketinggian kurva yang melalui titik
 4,4P
dari paraboloida 42
22
yx
z 
. Cari juga vektor gradien dari
paraboloida tersebut di titik
P
.
Penyelesaian:
Karena yang dicari adalah ketinggian kurva pada titik
P
, maka
untuk menentukan
k
, kita mensubstitusikan koordinat dari titik
P
ke persamaan paraboloida. Bagaimana hasilnya?
Substitusi titik
P
ke 42
22
yx
z 
, kita dapatkan
    12
4
16
2
16
4
4
2
4
22
z
Jadi, Persamaan kurvanya adalah
482
12
42
22
22


yx
yx
Untuk menentukan vektor gradien, kita perlu menentukan
turunan parsial dan nilainya di titik
P
dari masing-masing
variabel. Bagaimana turunan parsial dan nilainya?
Turunan parsial dan nilainya di titik
P
adalah sebagai berikut.

59
Fungsinya adalah
  482, 22
 yxyxf
Turunan parsial terhadap
x
adalah
  xyxfx 4, 
Turunan parsial terhadap
y
adalah
  yyxfy 2, 
Nilai
  xyxfx 4, 
di titik
 4,4P
adalah
    16444,4 xf
Nilai
  yyxfy 2, 
di titik
 4,4P
adalah
    8424,4 yf
Gradiennya adalah
      j8i16j4,4i4,44,4  yx fff

60
Soal-soal Latihan
1. Carilah turunan berarah dari
  22
2, yxyxyxf 
di titik
 2,1 p
dalam arah
j2ia 
  yeyxf x
sin, 
di titik







4
,0

p
dalam arah
j3ia 
  222
2,, zyxzyxf 
di titik
 2,1,1 p
dalam arah
kj2ia 
4. Dalam arah u yang mana fungsi
  xeyxf y
sin, 
bertambah






 0,
6
5
p

. Berapa laju perubahan
dalam arah tersebut?
5. Dalam arah u yang mana fungsi
   yxyxf  3sin,
berkurang secara paling cepat di 






4
,
6
p

. Berapa laju
perubahan dalam arah tersebut?
6. Carilah persamaan ketinggian kurva yang melalui titik
 3,3P
dari paraboloida 3
2
2 y
xz 
. Cari juga vektor gradien dari
paraboloida tersebut di titik
P
.

61
ATURAN RANTAI
6
Teorema
Misalkan )(txx  dan )(tyy  terdiferensial di t , dan
),( yxfz  terdiferensial di  )(),( tytx .  )(),( tytxfz 
terdiferensial di t dan
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz






Jika kita perhatikan teorema di atas, fungsi yang bagaimanakan
yang menggunakan aturan rantai dalam mencari turunannya?
Iya, fungsi yang didalam variabelnya mengandung variabel lain
lagi. Dari teorema di atas, variabel x dan y merupakan variabel
dalam bentuk fungsi dalam t . Dapat juga variabel x dan
y merupakan variabel dalam bentuk fungsi dengan dua variabel

62
atau lebih, seperti teorema berikut yang mengandung dua
variabel.
Teorema
Misalkan ),( tsxx  dan ),( tsyy  terdiferensial di t , dan
),( yxfz  terdiferensial di  ),(),,( tsytsx .  ),(),,( tsytsxfz 
memiliki turunan parsial pertama (1)
ds
dy
y
z
ds
dx
x
z
ds
dz





 (2)
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz






Untuk memantapkan pemahaman anda, perhatikan contoh di
bawah ini.
Contoh 6. 1
Tentukan
dt
dz
dari xyyxz 23
 , 2
tx  , ty 2
Penyelesaian:
Langkah pertama yang kita lakukan untuk menyelesaikan
persoalan tersebut adalah dengan menentukan turunan dari
masing-masing variabelnya. Turunan apa sajakah? Dapatkah
kalian menentukan turunannya?, iya, kita perlu menentukan
dt
dy
dt
dx
y
z
x
z
dan,,,




. Turunanya adalah

63
2
2
2
3
3
22








dt
dy
t
dt
dx
yxx
y
z
yyx
x
z
Setelah kita mendapatkan masing-masing turunan tersebut,
sekarang kita menentukan
dt
dz
. Dapatkah kalian
menentukannya? Iya, hasilnya adalah sebagai berikut:
     
   yxxtyytx
dt
dz
yxxtyyx
dt
dz
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz
4226
2223
322
322








Hasil yang di dapatkan tersebut masing mengandung variabel x
dan y , sehingga kita perlu menggantinya dalam bentuk t
menjadi berikut ini
   
          232222
322
2422226
4226
ttttttt
dt
dz
yxxtyytx
dt
dz


:

64
236
3626
8814
82812
ttt
dt
dz
tttt
dt
dz


Contoh 6. 2
Tentukan
ds
dz
dan
dt
dz
dari stytsxez yx
sin,sin,
22
 
Penyelesaian:
Variabel x dan y dari persoalan tersebut mengandung
parameter s dan t . Bagaimana turunan dari masing-masing
komponennya tersebut? Turunanya adalah sebagai berikut:
s
dt
dy
ts
dt
dx
st
ds
dy
t
ds
dx
ye
y
z
xe
x
z
yx
yx
sin
cos
cos
sin
2
2
22
22













65
Setelah kita dapatkan nilai dari komponen tersebut, maka
bagaimanakah hasil dari
ds
dz
dan
dt
dz
nya? hasilnya adalah
sebagai berikut:
     
 
   
    
   
 ssttse
ds
dz
ststttse
ds
dz
syttxe
ds
dz
styetxe
ds
dz
ds
dy
y
z
ds
dx
x
z
ds
dz
stts
stts
yx
yxyx
cossinsin2
cossinsinsin2
cossin2
cos2sin2
22sinsin
sinsin
22
22
22
2222














     
 
   
    
   
 stttse
dt
dz
ssttstse
dt
dz
sytxse
dt
dz
syetsxe
dt
dz
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz
stts
stts
yx
yxyx
22sinsin
sinsin
sincossin2
sinsincossin2
sincos2
sin2cos2
22
22
22
2222















66
Contoh 6. 3
Tentukan
ds
dw
dan
dt
dw
dari
tszstystxzyxw 2222
,sin,cos, 
Penyelesaian:
Untuk menyelesaikan persoalan di atas, kita perlu
memperhatikan variabel-variabelnya. Berapa banyak variabel
dari fungsi w ? iya, ada tiga variabel. Apa saja? Iya, variabelnya
adalah zyx dan,, . Jika w merupakan fungsi tiga variabel,
bagaimana
ds
dw
dan
dt
dw
nya? Iya
ds
dz
z
w
ds
dy
y
w
ds
dx
x
w
ds
dw









dan
dt
dz
z
w
dt
dy
y
w
dt
dx
x
w
dt
dw








 . Sekarang, bagaimana hasil
dari masing-masing komponen tersebut? Hasilnya adalah
sebagai berikut
 
   
   
    222
1222
2
1
222
1222
2
1
222
1222
2
1
222222
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
zyx
z
zzyx
y
w
zyx
y
yzyx
y
w
zyx
x
xzyx
x
w
zyxzyxw

















67
st
ds
dz
stt
ds
dy
stt
ds
dx
2
cos
sin



2
cos
sin
s
dt
dz
sts
dt
dy
sts
dt
dx



Maka kita dapatkan
     
 
     
      
 
24
23
3
2422
2
2222
222
222222222
1
2
2
sincos
2cossinsincos
sincos
2cossin
2cossin
ts
ts
ts
tsstst
t
stsstststst
tsstst
t
zsstystx
zyx
t
st
zyx
z
stt
zyx
y
stt
zyx
x
ds
dz
z
w
ds
dy
y
w
ds
dx
x
w
ds
dw


























68
     
 
     
      
 
24
4
3
2422
2
2222
222
2
222222222
1
sincos
cossinsincos
sincos
cossin
cossin
ts
ts
ts
tsstst
s
stsstststst
tsstst
s
zsstystx
zyx
s
s
zyx
z
sts
zyx
y
sts
zyx
x
dt
dz
z
w
dt
dy
y
w
dt
dx
x
w
dt
dw


























69
Soal-soal Latihan
1. Tentukan
dt
dz
dari xyyxz  23
2 , 2
tx  , ty 2
2. Tentukan
dt
dz
dari  xyxz sin2 3
 , 2
tx  , ty 2
3. Tentukan
dt
dz
dari
 2
23
2
yx
yx
z

 , 2
tx  , ty 2
4. Tentukan
ds
dz
dan
dt
dz
dari xyyxz  23
2 , 2
stx  ,
sty 2

70
BIDANG SINGGUNG DAN
APROKSIMASI 7
Suatu permukaan yang ditentukan oleh   kzyxF ,, .  zyxF ,,
kita dapat tuliskan dari  yxfz , yakni
    0,,,  zyxfzyxF . Tinjau sebuah kurva pada permukaan
ini yang melalui  000 ,, zyx , jika      tzztyytxx  dan,,
adalah persamaan parameter untuk kurva ini, maka untuk
semua t ,        ktztytxF ,, . Dengan aturan rantai, kita
dapatkan
  0








 k
dt
d
dt
dz
z
F
dt
dy
y
F
dt
dx
x
F
dt
dF
Ini dapat dinyatakan dalam bentuk gradien dari F dan turunan
dari ekspresi vektor untuk kurva        kji tztytxtr  sebagai
0
dt
dr
F .

71
dt
dr
menyinggung kurva,, sehingga gradien di  000 ,, zyx tegak
lurus pada garis singgung di titik ini.
Definisi
Misalkan   kzyxF ,, menentukan suatu permukaan dan
andaikan bahwa F terdiferensiasikan di  000 ,, zyxP dari
permukaan ini dengan   0,, 000  zyxF , maka bidang yang
melalui P yang tegak lurus  000 ,, zyxF disebut bidang
singgung terhadap permukaan di P .
Dari definisi ini kita dapat membuat persamaan bidang
singgungnya.
Teorema
Untuk permukaan   kzyxF ,, persamaan bidang singgung di
 000 ,, zyx adalah   0,,,, 000000  zzyyxxzyxF ,yakni
         0,,,,,, 000000000000  zzzyxFyyzyxFxxzyxF zyx
Khususnya untuk permukaan  yxfz , , persamaan bidang
singgung di   0000 ,,, yxfyx adalah
     0000000 ,, yyyxfxxyxfzz yx  .

72
Contoh 7. 1
Carilah persamaan bidang singgung terhadap permukaan
01222
 zyx pada titik  7,3,1 .
Penyelesaian:
Untuk mendapatkan persamaan bidang singgung dari soal
tersebut, langkah pertama yang dapat kita lakukan adalah
menentukan turunan parsial dari masing-masing variabel dan
nilainya di titik  7,3,1 . Bagaimana turunan parsial dan nilainya
di titik  7,3,1 ?
Turunan dan nilainya adalah
 
     
     
      72727,3,1,2,,
6327,3,1,2,,
2127,3,1,2,,
1,, 222




zz
yy
xx
FzzyxF
FyzyxF
FxzyxF
zyxzyxF
Selanjutnya, persamaan garis singgungnya adalah
         0,,,,,, 000000000000  zzzyxFyyzyxFxxzyxF zyx
         077,3,137,3,117,3,1  zFyFxF zyx

73
        
0173
027262
0147218622
07723612




zyx
zyx
zyx
zyx
Contoh 7. 2
Carilah semua titik pada permukaan yxyxyxz 482 22
 ,
tempat bidang singgung mendatar.
Penyelesaian:
Yang perlu kita perhatikan dalam menentukan sebuah
persamaan bidang singgung adalah gradiennya. Dari persoalan
di atas, dikatakan bahwa bidang singgungnya adalah mendatar.
Apa yang dapat kalian ketahui gradien dari bidang singgung
yang mendatar?
Apabila bidang singgung mendatar, artinya gradien dari bidang
singgung tersebut adalah nol.
Berarti nilai dari turunan parsial dari masing-masing variabel
adalah nol, atau dapat kita tuliskan
 
  0,
0,
00
00


yxf
yxf
y
x
Sekarang kita akan menentukan titik
  0000 ,,, yxfyx
. Dapatkah
kalian menentukan sistem persamaan dalam variabel koordinat
titik tersebut?
Sistemnya didapat dari

74
  yxyxyxyxf
yxyxyxz
482,
482
22
22


 
  422,
822,


yxyxf
yxyxf
y
x
 
  0422,
0822,
0000
0000


yxyxf
yxyxf
y
x
Dapatkan kalian menentukan  0000 ,,, yxfyx ?
Hasilnya adalah
  14,
1
3
00
0
0



yxf
y
x
Jadi, titik tempat bidang singgung mendatar adalah  14,1,3 
Diferensial dan Aproksimasi
Definisi
Misalkan  yxfz , dengan f suatu fungsi yang dapat
didiferensiasikan, dan misalkan dx dan dy (disebut
diferensial-diferensial x dan y ) berupa variabel-variabel.
Diferensial variabel tak-bebas, dz , disebut juga diferensial total
dari f dan ditulis  yxdf , , didefinisikan oleh
      dydxfdyyxfdxyxfyxdfdz yx ,,,, 

75
Contoh 7. 3
Misalkan yxyxz  52
. Hitunglah z dan dz ketika  yx,
berubah dari  3,2 ke  98,2,03,2 .
Penyelesaian:
Perlu di ingat, bahwa z adalah perubahan z . Berarti kita
perlu menentukan z untuk titik  3,2 dan  98,2,03,2 ,
kemudian tentukan selisihnya. Dapatkah kalian menentukannya?
Bagaimana hasilnya?
Hasilnya adalah
Untuk  3,2 ,
      
23
3304
33252
2


z
Untuk  98,2,03,2 ,
      
1461,23
98,2247,301209,4
98,298,203,2503,2
2


z
Maka 1461,0)23(1461,23 z

76
Selanjutnya untuk menentukan dz , kita perlu menentukan
turunan parsialnya di titik  3,2 , x , dan y , Bagaimana
hasilnya?
Hasilnya adalah
  yxyxfx 52,  dan   15,  xyxfy
02,0198,0
03,0203,2


y
x
Pada titik  3,2 , kita dapatkan       1135223,2 xf dan
    91253,2 yf .
dz kita dapatkan sebagai berikut
   
     
15,0
18,033,0
02,0903,011
,,




dz
dz
dz
yyxfxyxfdz yx

77
Soal-soal Latihan
1. Carilah persamaan bidang singgung terhadap permukaan
16222
 zyx pada titik  3,3,2
xez y
2cos2 3
 pada titik 





1,0,
3

2
1
2
1
yxz  pada titik  3,4,1
4. Carilah sebuah titik pada permukaan 22
32 yxz  tempat
bidang singgung sejajar terhadap bidang 038  zyx .
5. Carilah sebuah titik pada permukaan 1232 222
 zyx
tempat bidang singgung tegak lurus terhadap garis dengan
persamaan parameter tztytx 62,83,21 

78
MAKSIMUM DAN MINIMUM
8
Definisi
Misalkan f fungsi dengan daerah asal S , dan misalkan p0 titik
di dalam S .
1.  0pf adalah nilai maksimum global dari f pada S jika
   pp0 ff  untuk semua p di S .
2.  0pf adalah nilai minimum global dari f pada S jika
   pp0 ff  untuk semua p di S .

79
3.  0pf adalah nilai ekstrim global dari f pada S jika
 0pf adalah suatu nilai maksimum global atau suatu nilai
minimum global.
Kita mendapatkan definisi untuk nilai maksimum lokal dan nilai
minimum lokal jika dalam (1) dan (2) kita syaratkan bahwa
pertidaksamaan berlaku pada SN  , dengan N lingkungan
dari p0.  0pf adalah nilai ekstrim lokal dari f jika  0pf adalah
nilai maksimum lokal atau nilai minimum lokal.
Teorema
Jika f kontinu pada suatu himpunan tutup dan terbatas S ,
maka f mencapai baik nilai maksimum (global) maupun nilai
minimum (global) di sana.
Titik-titik kritis f pada S ada tiga jenis
1. Titik-titik perbatasan
2. Titik-titik stasioner, yaitu titik dalam S tempat
f terdiferensialkan dan   0p0 f
, dan bidang singgungnya
pada titik tersebut mendatar.
3. Titik-titik singular, yaitu titik dalam S tempat f tidak
terdiferensialkan, misalnya titik di mana grafik memilikii belokan
tajam.

80
Teorema Titik Kritis
Misalkan f didefinisikan pada suatu himpunan S yang
mengandung p0. Jika  0pf adalah suatu nilai ektrim, maka p0
haruslah berupa suatu titik kritis; yakni p0 berupa salah satu dari:
1. Sebuah titik perbatasan S ; atau
2. Sebuah titik stationer dari f , atau
3. Sebuah titik singular dari f .
Teorema Uji Parsial-Kedua
Andaikan bahwa  yxf , mempunyai turunan parsial kedua yang
kontinu di suatu lingkungan dari  00 , yx dan bahwa
  0, 00  yxf . Misalkan
       00
2
000000 ,,,, yxfyxfyxfyxDD xyyyxx 
Maka
1. 0D dan   0, 00 yxfxx maka  00 , yxf adalah nilai
maksimum lokal;
2. 0D dan   0, 00 yxfxx maka  00 , yxf adalah nilai
minimum lokal;
3. 0D maka  00 , yxf bukan nilai ekstrim (  00 , yx adalah
titik pelana);
4. 0D , pengujian tidak memberikan kesimpulan.

81
Untuk memperdalam pemahaman kalian, perhatikan dan coba
jawab pertanyaan-pertanyaan dari contoh yang diberikan berikut
ini.
Contoh 8. 1
Carilah semua titik kritis dari   xyxyxf 44, 22

Penyelesaian:
Yang perlu kita ingat adalah, titik kritis dari sebuah kurva ada
berapa jenis? ada tiga, apa saja? titik-titik perbatasan, titik-titik
stasioner, dan titik-titik singular, dengan kondisi yang tentunya
kalian sudah menngetahuinya.
Untuk menentukan titik kritis dari persoalan tersebut, yang
pertama perlu kita lakukan adalah melihat daerah pada
bidang-xy yang membuat fungsi terdiferensiasi.
Coba kalian lihat, sketsa kurva tersebut menggunakan aplikasi!
Apakah fungsi tersebut terdiferensiasikan pada bidang-xy
(bidang asal)?
Jika kita lihat pada sketsa, tentunya kurva tersebut
terdiferensiasi sepanjang bidang- xy . Dengan demikian, titik kritis
yang mungkin adalah? Titik stationer.
Untuk mendapatkan titik stationer, apa yang perlu kita lihat?
Titik stasioner terjadi apabila   0, 00  yxf (gradiennya nol).
Apa yang perlu kita cari untuk menentukan gradiennya tersebut?

82
Kita perlu menentukan turunan parsialnya terhadap variabel
x dan y
  42,  xyxfx dan
  yyxfy 8, 
Dari turunan tersebut, kapan
 yxfx ,
dan
 yxfy ,
bernilai 0?
Hanya ketika 0dan2  yx
. Selanjutnya kita akan melihat
apakah titik  0,2 memberikan nilai maksimum atau minimum.
Untuk melihat ini, kita tentukan dulu nilai fungsi pada titik
tersebut, berapa nilainya?
      4240420,2
22
f
.
Selanjutnya, kita manipulasi fungsi sehingga jelas bagi kita, nilai
fungsi akan lebih besar atau lebih kecil dari -4. Kira-kira
bagaimana manipulasi fungsinya?
   
 
  442
4444
444444,
22
22
2222



yx
yxx
yxxxyxyxf
Jika kita perhatikan
  4442 22
 yx
sehingga dapat kita
katakan bahwa  0,2f adalah nilai minimum global.

83
Soal-soal Latihan
1. Carilah semua titik kritis dari
a)   222
36, yxxyyxf 
b)
  xyyxyxf 6, 33

2. Carilah nilai maksimum global dan minimum global dari
f
pada S dan tunjukkan di mana mereka terjadi
a)
    41,31:,;, 22
 yxyxSyxyxf
b)
    1:,;1, 2222
 yxyxSyxyxf
3. Sebuah kotak persegipanjang, yang rusuk-rusuknya sejajar
sumbu-sumbu koordinat, terletak dalamelipsoida
364496 222
 zyx
. Berapa volum terbesar yang mungkin
untuk kotak yang demikian?

84
INTEGRAL LIPAT DUA
9
Pada materi integral terdahulu (integral Riemann/integral tentu),
kita telah membahas bagaimana menghitung luas daerah bidang
lengkung. Integral yang kita gunakan terdahulu adalah integral
tunggal dari fungsi satu variabel. Masih ingatkah kalian dengan
definisi integral tentu tersebut? Bagaimana definisinya?
Definisinya adalah sebagai berikut:
Definisi Integral Tentu
Misalkan f adalah sebuah fungsi yang terdefinisi pada interval
 ba, . Jika  

n
k
kk
P
xxf
10
lim ada, kita katakan f dapat

85
diintegrasikan pada  ba, . Lebih lanjut, 
b
a
dxxf )( disebut integral
tertentu (integral Riemann) f dari a ke b , diberikan oleh
  

n
k
kk
P
b
a
xxfdxxf
10
lim)( .
Apa kalian masih ingat P itu apa?
P disini adalah partisi interval  ba, yang panjangnya
nkxk ,...,3,2,1,  .
Apa kalian masih ingat kx ?
kx adalah nilai tengah dari kx .
Semoga, pemahaman kalian tentang integral Riemann akan
semakin mantap. Bagaimana menghitung integral Riemann,
diharapkan kemampuan kalian sudah sangat baik untuk hal
tersebut.
Selanjutnya, kita akan menggunakan integral untuk fungsi dua
variabel. Dalam hal ini, kita menggunakan integral lipat dua,
yang dapat digunakan untuk menentukan volum benda pejal,
luas permukaan, dan lain-lain. Materi integral lipat dua yang
akan kita bahas terdiri dari integral lipat dua atas persegipanjang,
integral berulang, integral lipat dua atas bukan persegipanjang,
integral lipat dua dalam koordinat polar, dan aplikasi integral lipat
dua. Mari kita bahas satu-persatu berikut ini.

86
INTEGRAL LIPAT DUA ATAS PERSEGIPANJANG
Untuk mendefinisikan integral lipat dua, kita dapat
mengeneralisasi dari definisi integral Riemann di atas. Namun,
ada hal-hal yang harus kita ingat kembali terkait fungsi dua
variabel yang telah kita bahas di awal bahan ajar ini.
Menurut kalian, berupa bidang apa, bidang di bawah kurva
fungsi dua variabel?
Berupa bidang datar
Jika bidang datar di bawah kurva fungsi dua variabel kita partisi,
berbentuk apa partisi-partisi yang dapat kita buat?
Bentuknya bisa berupa apa saja, bisa persegipanjang atau
bentuk yang lain.
Jika bentuknya berupa persegipanjang, hal apa yang dapat kita
tentukan dari bidang tersebut?
Kita dapat menentukan luasnya. Apa luas persegipanjang? luas
persegipanjang adalah panjang dikali dengan lebarnya.
Apabila nilai fungsi lebih besar atau sama dengan nol, terletak
dibidang apakah alasnya?
Terletak di bidang- xy
Sekarang dari pertanyaan-pertanyaan di atas, apabila luas
partisi dimisalkan dengan kA , titik tengah partisi  kk yx , , maka
dapatkah kalian mengeneralisasi definisi integral lipat dua dari
definisi integral Riemann?
Definisinya adalah sebagai berikut:

87
Definisi Integral Lipat Dua
Misalkan f adalah fungsi dua variabel yang terdefinisi dalam
suatu persegipanjang tertutup R . Jika  

n
k
kkk
P
Ayxf
10
,lim ada,
kita katakan bahwa f dapat diintegrasikan pada R . Lebih lanjut,
 R
dAyxf , yang disebut integral lipat dua f pada R ,
diberikan oleh     

n
k
kkk
PR
AyxfdAyxf
10
,, lim
Mari kita pahami definisi di atas. Persegipanjang yang
berbatas pada sumbu-
x
pada
bxa  .
Gambar 9. 1 Gambar 9. 2
R

88
Gambar 9. 3
Gambar 9. 4
(Sumber: Purcell, 2011)
 R
dAyxf , menyatakan volum benda pejal di bawah
permukaan  yxfz , dan di atas persegipanjang R .
Menurut kalian, apakah setiap fungsi dua variabel dapat
diintegrasikan pada sebuah persegipanjang R ?
Tidak semua dapat diintegrasikan.
Fungsi yang bagaimanakah yang tidak dapat diintegrasikan?
Fungsi yang tak-terbatas pada R .

89
Masih ingatkah kalian dengan teorema keterintegrasian pada
fungsi satu variabel? Jika kalian masih ingat, dapatkah kalian
mengeneralisasi teorema keterintegrasian pada fungsi satu
variabel untuk fungsi dua variabel? Teoremanya adalah seperti
di bawah ini.
Teorema keterintegrasian
Jika f terbatas pada suatu persegipanjang tertutup R dan
jika f kontinu di sana kecuali pada sejumlah berhingga
kurva-kurva mulus, maka f dapat diintegrasikan pada R .
Khususnya, jika f kontinu pada semua titik R , maka f
dapat diintegrasikan di sana.
Integral lipat dua memiliki sifat-sifat sebagai berikut:
1. Integral lipat dua bersifat linier
a)     
RR
dAyxfkdAyxkf ,,
b)          
RRR
dAyxgdAyxfdAyxgyxf ,,,,
2. Integral lipat dua bersifat aditif (dapat dijumlahkan) pada
persegipanjang yang saling berimpit pada hanya sebuah garis
      
21
,,,
RRR
dAyxfdAyxfdAyxf
3. Berlaku sifat perbandingan, jika    yxgyxf ,,  untuk semua
 yx, di R , maka

90
    
RR
dAyxgdAyxf ,,
Bagaimana proses perhitungan pada integral lipat dua, silakan
pahami contoh-contoh berikut ini.
Contoh 9. 1
Misalkan   20,40:,  yxyxR dan f adalah fungsi
tangga seperti di bawah ini.
 









20,433
21,311
10,312
,
yx
yx
yx
yxf
Hitunglah
 R
dAyxf ,
!
Penyelesaian:
Dari fungsi tangga tersebut, kita dapat menentukan luas daerah
persegipanjang-persegipanjangnya.
Ada berapa persegipanjang dari fungsi tersebut yang dapat kita
bentuk?
Ada 3 persegipanjang.
Persegipanjang apa saja, dan berapa luasnya?
Persegipanjang nya adalah sebagai berikut:

91
  
  
  20,43:,
21,31:,
10,31:,
3
2
1



yxyxR
yxyxR
yxyxR
Luas dari ketiga persegipanjang tersebut adalah:
 
 
  221
212
212
3
2
1



RA
RA
RA
Bagaimana posisi dari ketiga persegipanjang tersebut? Apakah
berimpit?
Iya, ketiganya berimpit. Dengan demikian, kita dapat
menerapkan sifat kedua dari integral lipat dua. Bagaimana
sifatnya? Kita dapat menjumlahkan integral lipat dua dari
masing-masing persegipanjang.
Sehingga, bagaimana hasil perhitungannya?
Integral lipat dua dari fungsi tersebut adalah
       
       
  122.32.12.2,
.3.1.2,
,,,,
321
321






R
R
RRRR
dAyxf
RARARAdAyxf
dAyxfdAyxfdAyxfdAyxf

92
Contoh 9. 2
Tentukan  R
dAyxf , dari fungsi dibawah ini dengan melakukan
pendekatan dari  

n
k
kkk Ayxf
1
, , di mana  kk yx , adalah titik
tengah persegipanjang.
  22
2, yxyxf  ,   40,60:,  yxyxR
Penyelesaian:
Langkah pertama untuk menyelesaikan persoalan tersebut
adalah dengan membagi daerah R menjadi
persegipanjang-persegipanjang. Persegipanjang yang dibentuk
boleh sembarang, namun perlu kita pilih persegipanjang yang
ukurannya mudah dalam menentukan luasnya. Dari daerah R ,
berapa panjang x dan y ? panjang 606 x , dan panjang
404 y . Sekarang, bagaimana sketsa daerah R ?.
Sketsanya adalah seperti berikut ini:
Gambar 9. 5

93
Dari daerah-daerah di atas, berapakah luas masing-masingnya?
Luasnya adalah sama yaitu 4.
Luas masing-masing daerah ini dinamakan dengan
kA .Selanjutnya adalah menentukan titik tengah atau
 kk yx , dari masing-masing daerah dan menentukan nilai fungsi
pada titik tersebut, berapakah titik tengah dan nilai fungsinya?
Titik tengah dan nilai fungsinya adalah sebagai berikut:
       
       
       
       
       
        433253,53,5:
273233,33,3:
193213,13,1:
271251,51,5:
111231,31,3:
31211,11,1:
22
6
22
5
22
4
22
3
22
2
22
1






fR
fR
fR
fR
fR
fR
Tahapan selanjutnya adalah kita menentukan integral lipat
duanya dengan menggunakan  

n
k
kkk Ayxf
1
, . Berapa
hasilnya?
Hasilnya adalah sebagai berikut:
   
 
  520432719271134
,
,,
6
1
1







k
kkk
n
k
kkk
R
Ayxf
AyxfdAyxf

94
Soal-soal Latihan
1. Misalkan   20,40:,  yxyxR dan f adalah fungsi
tangga seperti di bawah ini.
 









20,433
21,312
10,311
,
yx
yx
yx
yxf
Hitunglah
 R
dAyxf ,
!
2. Tentukan  R
dAyxf , dari fungsi dibawah ini dengan
melakukan pendekatan dari  

n
k
kkk Ayxf
1
, , di mana
 kk yx , adalah titik tengah persegipanjang.
  yxyxf , ,   40,60:,  yxyxR
3. Tentukan  R
dAyxf , dari fungsi dibawah ini dengan
melakukan pendekatan dari  

n
k
kkk Ayxf
1
, , di mana
 kk yx , adalah titik tengah persegipanjang.
   yxyxf 3448, 6
1
 ,   40,60:,  yxyxR

95
INTEGRAL BERULANG
10
Integral berulang merupakan persoalan sesungguhnya dari
integral lipat dua. Apabila   0, yxf pada R , maka integral
berulang atau integral lipat duanya merupakan volum benda
pejal di bawah permukaan kurva.
 
R
dAyxfV ,
Ada cara lain untuk menghitung volum benda pejal tersebut,
yaitu dengan mengiris benda pejal tersebut menjadi
lempengan-lempengan yang sejajar dengan bidang-
xz
. Luas
muka lempengan ini bergantung pada jaraknya dari bidang

96
xz
atau
y
, sehingga luas ini dapat dinyatakan dengan
y
.
Volum lempengan
V
secara aproksimasi diberikan oleh
  yyAV 
Dengan menggunakan integral biasa didapatkan
   
b
a
dxyxfyA ,
, dan
 
d
c
dyyAV
. Sehingga dapat
disimpulkan bahwa
     






d
c
b
a
d
c
dydxyxfdyyAV ,
Gambar 10. 1

97
Gambar 10. 2
Gambar 10. 3
Ekspresi ini dinamakan dengan integral berulang, dan dapat juga
dinyatakan dengan :
        












b
a
d
c
d
c
b
aR
dxdyyxfdydxyxfdAyxfV ,,,

98
Sekarang kita coba untuk menghitung integral berulang.
Contoh 10. 1
Hitunglah   dydxyxy 
2
1
3
0
2
Penyelesaian:
   
    
 
 
    
4
13
4
9
32
4
9
2
1
3
3
32
4
9
2
1
2
2
9
2
1
22
2
1
2
1
3
0
22
2
1
2
1
3
0
2
1
1212
3
0303









yy
dyyy
dyyy
dyxyyxdydxyxy

99
Soal-soal Latihan
1. Hitung masing-masing integral berulang
a)   dydxyyx 
2
0
3
1
22
b) dxdyxy
4
1
3
1
2
c) dydxyx

0
3
0
sin
d)   dxdyyxy 
2
1
3
0
2
2
e) dydxxex

1
1
3
0
2
2. Hitunglah
 
dxdy
yx
x
 
3
0
1
0
222
1
8
3. Perlihatkan bahwa jika    
 yh
xg
yxf ,
      











 
d
c
b
a
b
a
d
c
dyyhdxxgdxdyyxf ,

100
INTEGRAL LIPAT DUA
ATAS BUKAN
PERSEGIPANJANG 11
Kali ini kita akan membahas tentang integral lipat dua atas bukan
persegipanjang, yaitu integral lipat dua untuk daerah pada
bidang xy nya berbentuk selain persegipanjang.
Gambar 11. 1

101
S adalah himpunan sebarang tertutup yang dikelilingi oleh suatu
persegipanjang R dengan sisi-sisinya sejajar sumbu-sumbu
koordinat. Misalkan  yxf , terdefinisi pada S dan
didefinisikan   0, yxf pada bagian R yang diluar S .
Sehingga dapat dikatakan bahwa f dapat diintegrasikan pada
S jika f dapat diintegrasikan pada R .
    
RS
dAyxfdAyxf ,,
Ada beberapa kemungkinan batasan S dari suatu fungsi, yaitu:
1. Sederhana- y , yaitu jika terdapat fungsi-fungsi 1 dan 2
pada  ba, sedemikian rupa sehingga
      bxaxyxyxS  ,:, 21  .
Untuk menghitung integral lipat duanya adalah sebagai
berikut:
          














b
a
x
x
b
a
d
cRS
dxdyyxfdxdyyxfdAyxfdAyxf
)(
)(
2
1
,,,,



102
Gambar 11. 2
2. Sederhana- x , yaitu jika terdapat fungsi-fungsi 1 dan 2
pada  dc, sedemikian rupa sehingga
      dycxxxyxS  ,:, 21 
Untuk menghitung integral lipat duanya adalah sebagai
berikut:
          














d
c
x
x
d
c
b
aRS
dydxyxfdydxyxfdAyxfdAyxf
)(
)(
2
1
,,,,



103
Gambar 11. 3
3. Tidak sederhana- x maupun sederhana- y
Untuk menghitung integral lipat dua dari bentuk ini adalah
dengan memotong S menjadi 1S dan 2S sehingga akan
sederhana- x atau sederhana- y .
Gambar 11. 4
Gambar 11. 5

104
Untuk memperdalam pemahaman, kita lihat beberapa contoh
perhitungan integral berulang berikut ini:
Contoh 11. 1
Hitunglah integral berulang  
1
0
3
0
2
dxdyx
x
Penyelesaian:
Penyelesaian dari integral berulang tersebut dilakukan dengan
menentukan hasil integral pertama (dalam) dulu, baru integral
keduanya, yaitu sebagai berikut:
   
    4
322
4
3
1
0
4
4
3
1
0
3
1
0
2
1
0
3
0
2
1
0
3
0
2
01
303

  
x
dxxdxxxdxyxdxdyx
x
x
Contoh 11. 2
Hitunglah integral berulang  
2
1 0
2
2
dxdy
x
y
x
Penyelesaian:
Prinsip pengerjaan integral ini, sama dengan sebelumnya, hanya
berbeda dalam hal batasnya saja. Hasilnya adalah sebagai
berikut:

105
 
   66
18
1
2
1
6
18
1
2
1
5
3
1
2
1
322
1 0
32
1 0
2
12
3
0
3
2
2









 






  
x
dxxdx
x
x
dx
x
y
dxdy
x
y
xx

106
Soal-soal Latihan
1. Hitunglah integral berulang dari:
a) 
2
1 0
3
dxdyx
x
b)  
3
1
2
2
dydxxe
y
y
y
c)   
4
1 0
2
2
3
dxdy
yx
x
d)   


2
0
4
0
2
dxdyyx
x
e)  
4/
0
cos2
2
 
ddrr
2. Sketsakan benda pejal yang terbentuk, kemudian tentukan
volumnya dari Tetrahedron yang dibatasi oleh bidang-bidang
koordinat dan bidang yxz 326 
3. Sketsakan benda pejal yang terbentuk, kemudian tentukan
volumnya dari Tetrahedron yang dibatasi oleh bidang-bidang
koordinat dan bidang 01243  zyx

107
INTEGRAL LIPAT DUA
DALAM
KOORDINAT POLAR 12
Ada kalanya dalam menghitung integral lipat dua seperti
lingkaran, kita lebih mudah menggunakan koordinat polar
dibandingkan dengan koordinat kartesius. Prinsip yang kita
lakukan sama dengan menghitung integral pada koordinat
kartesius, seperti yang diuraikan di berikut ini.

108
Gambar 12. 1
Gambar 12. 2 Gambar 12. 3
Suatu persegipanjang R pada koordinat polar adalah
berbentuk
    ,:, brarR dengan 0a dan  2 .
Permukaan kurva dapat dinyatakan dengan
      ,sin,cos, rFrrfyxfz  . Volum benda pejal
dibawah permukaan ini dan di atas R diberikan oleh
 
R
dAyxfV ,
Untuk menentukan volum benda pejalnya, yang dilakukan
adalah mempartisi R menjadi persegipanjang polar yang lebih
kecil nRRR ,..., 21 dengan kr dan k menunjukkan ukuran
lempengan kR . Luas  kRA diberikan oleh   kkkk rrRA 
dengan kr adalah jejari rata-rata kR . Sehingga
 

n
k
kkkkk rrrFV
1
, 

109
Ketika kita ambil limit untuk norma partisi mendekati nol, kita
akan mendapati volume yang sebenarnya. Limit ini adalah
integral lipat dua, sehingga diperoleh
    
RR
ddrrrrfddrrrFV  sin,cos,
Sekarang, bagaimana untuk R yang tidak berbentuk
persegipanjang pada koordinat polar, apa yang dapat kita
lakukan?
Iya, kita dapat melakukan hal yang sama seperti pada koordinat
kartesius, yaitu melingkupi S dalam suatu persegipanjang.
Pada integral polar, kita menyebutnya himpunan sederhana-r,
sederhana-  . Kira-kira bagaimana himpunan S untuk
sederhana-r?
Iya, himpunannya adalah         ,:, 21 rrS
Gambar 12. 4
Bagaimana himpunan S untuk sederhana- ?

110
Iya, himpunannya adalah       rrbrarS 21,:,  
Gambar 12. 5
Untuk memantapkan pemahaman, kita lihat contoh perhitungan
integral menggunakan koordinat polar berikut ini.
Contoh 12. 1
Hitunglah  
 

0
sin
0
2
ddrr
Penyelesaian:
Prinsip pengerjaan persoalan tersebut, sama dengan
penyelesaian integral lipat dua yang kita lakukan sebelumnya,
yaitu menghitung integral pertama terlebih dahulu. Persoalan
tersebut sudah masuk dalam koordinat polar, sehingga
perhitungan dapat langsung kita lakukan. Hasilnya adalah
sebagai berikut:
  
 

0 0
3
3
1
sin
0
3
3
1
sin ddr

111
Soal-soal Latihan
1. Hitunglah integral berulang berikut:
a)  
2/
0
cos
0
2
sin
 
 ddrr
b)  
 

0
cos1
0
sin ddrr
2. Buat sketsa daerah grafik, kemudian hitung dengan
menggunakan koordinat polar dari  
S
dAyx 22
4 dengan S
adalah sektor kuadran pertama dari lingkaran 422
 yx dan
diantara 0y dan xy  .

112
APLIKASI INTEGRAL
LIPAT DUA
(LUAS PERMUKAAN) 13
Integral lipat dua dipergunakan dalam menentukan volum benda
pejal, luas permukaan, pusat massa dari lapisan tipis (lamina),
benda pejal yang kerapatannya berubah-ubah, dan lain-lainnya.
Volum benda pejal sudah kita bahas sebelumnya. Aplikasi
selanjutnya yang kita bahas adalah luas permukaan.
Prinsip pengerjaan yang dilakukan dalam menentukan luas
permukaan suatu fungsi adalah dengan memotong-motong
permukaan menjadi potongan-potongan kecil. Misalkan
G adalah permukaan di atas daerah tertutup dan terbatas S di
bidang- xy . Asumsikan f mempunyai turunan parsial pertama

113
kontinu xf dan yf . Langkah-langkah menentukan luas
permukaannya adalah sebagai berikut:
Gambar 13. 1
Gambar 13. 2
1. Partisi P dari daerah S dengan garis-garis sejajar sumbu- x
dan sumbu- y .
2. mR , nm ...,,3,2,1 menyatakan
persegipanjang-persegipanjang yang terletak dalam S .
3. Untuk masing-masing m , misalkan mG adalah bagian dari
permukaan yang diproyeksikan ke dalam mR .
4. Misalkan mP adalah titik dari mG yang diproyeksikan ke
dalam pojok dari mR dengan koordinat- x dan koordinat- y
terkecil.

114
5. Misalkan mT adalah jajargenjang dari bidang singgung di mP
yang diproyeksikan ke dalam mR .
6. Cari luas jajargenjang mT yang proyeksinya adalah mR .
7. Misalkan sisi-sisi yang membentuk sisi mT adalah
vektor-vektor mu dan mv , maka
 
  kyyxfjyv
kxyxfixu
mmmymm
mmmxmm


,
,
8. Luas jajargenjang mT adalah mm vu  dengan
 
 
       
    
      kjyxfiyxfRA
kjyxfiyxfyx
kyxjyxyxfiyxyxf
yyxfy
xyxfx
kji
vu
mmymmxm
mmymmxmm
mmmmmmymmmmx
mmmym
mmmxmmm





,,
,,
00,,0
,0
,0
9. Luas mT adalah
          1,,
22
 mmymmxmmmm yxfyxfRAvuTA
10. Karena mT tadi kita dapatkan dari potongan G , maka
kumpulan mT akan menyamai G dengan pendekatan limitnya,
yaitu

115
   
       
     









S
mmymmx
m
n
m
mmymmx
P
n
m
m
P
dAyxfyxf
RAyxfyxf
TAGA
1,,
1,,lim
lim
22
1
22
0
1
0
Atau secara singkat dapat ditulis
   
S
yx dAffGA 1
22
Gambar 13. 3
Berikut ini kita mencoba mengkaji beberapa contoh persoalan
yang berkaitan dengan luas permukaan.

116
Contoh 13. 1
Carilah luas permukaan bagian bidang 12643  zyx yang
berada di atas persegipanjang di bidang- xy dengan titik sudut
       .1,0dan,1,2,0,2,0,0
Penyelesaian:
Untuk menyelesaikan contoh di atas, perhatikan arahan yang
diberikan di bawah ini.
Bagaimana bentuk bidang dari kurva 12643  zyx pada
koordinat kartesiusnya?, silakan coba di gambarkan dengan
menggunakan aplikasi yang ada. Bentuk bidangnya adalah
seperti berikut.
Gambar 13. 4

117
Coba perhatikan batasan S pada bidang- xy , bagaimana batas
pada sumbu- x dan sumbu- y ?
Pada sumbu- x , batasnya dari 0x dan 2x , pada sumbu- y
batasnya dari 0y dan 1y .
Apa bentuk bidang dari batasan pada bidang- xy tersebut ( S )?
Bentuknya adalah berupa persegipanjang. Perlukah kita
mengubahnya dalam koordinat polar? Tidak perlu, karena tidak
sulit bagi kita untuk menentukan integralnya.
Untuk menentukan luas permukaan, kita perlu menentukan
xf dan yf . Sekarang, tentukan terlebih dahulu  yxf , ,
bagaimana?  yxf , dari kurva tersebut adalah
    6/4312, yxzyxf  . Jadi, bagaimana xf dan yf nya?
3
2
2
1


y
x
f
f
Bagaimana luas permukaannya? Luasnya adalah
 
   










S
S
S
S
S
yx
dA
dA
dA
dA
dAffGA
61
1
1
1
6
1
36
61
9
4
4
1
2
3
22
2
1
22

118
Karena kita tidak perlu mengubahnya menjadi koordinat polar,
maka luasnya adalah
 
   
    61026161
61016161
61
3
1
6
1
2
06
1
2
0
6
1
2
0
6
1
2
0
1
06
1
2
0
1
0
6
1





x
dxdxdxy
dxdyGA
Jadi, luas permukaannya adalah
613
1
.
Agar pemahaman kalian lebih mendalam, silakan pelajari dan
ikuti arahan pertanyaan dari contoh di bawah ini.
Contoh 13. 2
Carilah luas permukaan dari bagian bidang
2
4 yz 
di oktan
pertama yang tepat berada di atas lingkaran
422
 yx
di
bidang-
xy
.
Penyelesaian:
Silakan menggunakan aplikasi untuk melihat sketsa dari kurva di
atas. Sketsanya adalah seperti di bawah ini.

119
Gambar 13. 5
Perhatikan bidang S nya. Dari soal di atas yang luas
permukaan yang diminta adalah pada oktan pertama. Jadi,
berbentuk apakah S nya? S berbentuk seperempat lingkaran.
Bagaimana batasan pada sumbu- x dan sumbu- y nya? Pada
sumbu- x , batasnya dari 0x sampai 2x , begitu pun pada
sumbu- y , batasnya dari 0y sampai 2y .
Untuk menentukan luas permukaan, kita perlu menentukan
xf dan yf . Sekarang, tentukan terlebih dahulu  yxf , ,
bagaimana?  yxf , dari kurva tersebut adalah
  2
4, yzyxf  . Jadi, bagaimana xf dan yf nya?
2
4
0
y
y
y
x
f
f





120
Bagaimana luas permukaannya? Luasnya adalah
 
 















S
y
S
y
S
y
y
S
y
y
S
yx
dA
dAdA
dA
dAffGA
2
22
2
2
4
2
4
4
4
2
4
2
22
1
10
1
Karena kita tidak perlu mengubahnya menjadi koordinat polar,
maka luasnya adalah
   

2
0
2
0
4
2
2
dxdyGA
y
Bagaimana menyelesaikan integral tersebut, apa yang kita
gunakan?
Kita dapat menyelesaikannya dengan substitusi, Apa yang kita
substitisi? Kita dapat mensubstitusikan
sin2y
. Bagaimana
hasil pengintegralan pertama (terhadap variabel
y
)? Hasilnya
adalah sebagai berikut.

121
   
    














2sinsin2sin222 22
01
2
212
02
12
0
2
0
2
0
cos4
cos4
2
0
sin14
cos4
2
0
sin24
cos4
2
0
4
2
2222
y
y
d
ddddy
Setelah mendapatkan hasil pengintegral pertama tersebut,
selanjutnya bagaimana hasil pengintegralan kedua (terhadap
variabel
x
)? hasil pengintegralannya adalah sebagai berikut.
    202
2
0
2
0
 xdx
Jadi, luas permukaan dari persoalan di atas adalah .
2

122
Soal-soal Latihan
1. Carilah luas permukaan dari bagian bidang 12623  zyx
yang dibatasi oleh bidang-bidang 1223dan,0,0  yxyx .
Perlihatkan sketsanya menggunakan aplikasi.
2. Carilah luas permukaan dari bagian paraboloida
22
yxz 
yang dipotong oleh bidang 4z . Perlihatkan sketsanya
menggunakan aplikasi.
3. Carilah luas permukaan bagian permukaan kerucut
222
zyx  yang berada tepat di atas segitiga di bidang-xy
dengan titik sudut      4,0dan,0,4,0,0

123
INTEGRAL LIPAT TIGA
14
Pada bagian sebelumnya, kita telah membahas integral lipat dua,
yang definisinya kita generalisasi dari integral tunggal. Fungsi
yang kita integralkan adalah fungsi dua variabel. Sekarang
bagaimana untuk fungsi tiga variabel atau lebih. Tentunya
secara grafik, kita sudah tidak dapat menggambarkannya lagi
karena berdimensi lebih dari tiga.
Sekarang, pandanglah gambar di bawah ini

124
Gambar 14. 1
Bentuklah suatu partisi P dari B , dengan bidang yang sejajar
dengan bidang-bidang koordinat, sehingga memotong B
menjadi balok-balok kecil nBBBB ...,,,, 321 . Tinjau salah satu
balok kB , dengan salah satu koordinat titik tengah  kkk zyx ,, .
Volum dari kB adalah kkkk zyxV  , dengan norma partisi
adalah P , maka integral lipat tiganya adalah
    

B
n
k
kkkk
P
VzyxfdVzyxf
10
,,,, lim
Asalkan limitnya ada.
Untuk menyelesaikan persoalan yang berkaitan dengan integral
lipat tiga, terutama cara mengintegrasikannya adalah dengan

125
melakukan pengintegrasian satu persatu. Perhatikan dan jawab
pertanyaan-pertanyaan dari contoh yang diberikan di bawah ini.
Contoh 14. 1
Hitung integral berulang  
5
0
4
2
2
1
32
6 dzdydxzxy
Penyelesaian:
Untuk menyelesaikan persoalan di atas, kita dapat melakukan
pengintegralan satu persatu, yaitu dimulai dari pengintegralan
terhadap x, kemudian terhadap y, dan terakhir terhadap z.
Tentunya kalian dapat melakukan hal tersebut kan? Bagaimana
hasil pengintegralannya?
Hasilnya adalah sebagai berikut.
Pertama kita integralkan terhadap variabel x, hasilnya adalah
   3232222
1
322
2
1
32
912336 zyzyzyxdxzxy 
Selanjutnya, hasil yang kita dapatkan di atas kita integralkan
terhadap variabel yang kedua yaitu variabel y, hasilnya adalah
    33334
2
33
4
2
32
16824339 zzzydyzy  


Kemudian, hasil ini kita integralkan lagi terhadap variabel z,
hasilnya adalah

126
   26250054242168 445
0
4
5
0
3
 zdzz
Jadi, hasil integral berulang di atas adalah 26250.
Untuk memperdalam pemahaman kalian, silakan perhatikan
contoh berikut ini.
Contoh 14. 2
Hitung integral berulang  
2
0 0
/
0
2
z zx
dzdxdyxyz
Penyelesaian:
Dapatkah kalian menyebutkan urutan pengintegralan dari
persoalan di atas?
Urutannya adalah pertama diintegralkan terhadap variabel y,
kemudian terhadap variabel x, dan terakhir terhadap variabel z.
Bagaimana hasil pengintegralan dari masing-masing variabel
tersebut?
Pertama, kita integralkan terhadap variabel y, hasilnya adalah
   222/
0
2
/
0
0/2 xzzxxzxydyxyz
zx
zx




 
Kemudian, kita integralkan terhadap variabel x, hasilnya adalah

127
   3
3
123
3
1
0
3
3
1
0
2
0 zzxdxx
z
z

Hasil ini kemudian diintegralkan terhadap variabel z, hasilnya
adalah
   3
444
12
1
2
0
4
12
1
2
0
3
3
1
02  zdzz
Jadi, hasil dari integral berulang tersebut adalah
3
4
.

128
Soal-Soal Latihan
1. Hitung integral berulang dari:
a)  
5
0
3
0
9
2
2
2
y
dzdydxyzx
b)   
4
1
2
1
2
0
z
z
zy
dzdydx
c)   
 

24
4
24
0
24
0
x yx
dxdydz
x
zy
d)    
2/
0 0 0
sin
 z y
dzdydxzyx
e)    
2/
0
0
2sin
2
0
sin

z
yz
y
x
dzdydx
2. Sketsakan benda pejal S , kemudian tentukan
 S
dVzyxf ,, , untuk
a)     yxzyxzyxS 23120,30,10:,, 6
1

b)   20,240,30:,,  zzxyzxzyxS
3. Tentukan volum benda pejal di oktan pertama yang dibatasi
oleh 2
2xy  dan 84  zy
4. Tentukan volum benda pejal yang dibatasi oleh tabung
22
 xy dan bidang-bidang 043dan,0,4  zyzy

Buku kalkulus peubah banyak

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Buku kalkulus peubah banyak

Similar to Buku kalkulus peubah banyak (20)

More from HapizahFKIP

More from HapizahFKIP (17)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Buku kalkulus peubah banyak