Matematika Dasar

Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
Bandung
2002
Danang Mursita

Danang Mursita
DAFTAR ISI
Judul i
Kata Pengantar ii
Daftar Isi iv
Bab 1 Fungsi Real 1
1.1 Sistem Bilangan Real 1
1.2 Fungsi dan Grafik 6
1.3 Limit dan kekontinuan 13
1.4 Limit tak Hingga dan Limit di Tak Hingga 17
Bab 2 Turunan dan Penggunaan 21
2.1 Turunan Fungsi 21
2.2 Turunan Fungsi Trigonometri 25
2.3 Teorema Rantai 27
2.4 Turunan Tingkat Tinggi 29
2.5 Fungsi Implisit 31
2.6 Kemonotonan dan Kecekungan Fungsi 33
2.7 Nilai Ekstrim dan Asymtot 35
2.8 Dalil Delhopital 40
Bab 3 Integral dan Penggunaan 44
3.1 Integral Tak Tentu 44
3.2 Notasi Sigma 46
3.3 Integral Tentu 48
3.4 Luas Daerah 54
3.5 Volume Benda Putar 56
3.6 Panjang Kurva 60
Bab 4 Fungsi Transenden 64
4.1 Fungsi Invers 64
4.2 Fungsi Logaritma dan Fungsi Eksponen 65
4.3 Fungsi Invers Trigonometri 69
4.4 Fungsi Hiperbolik 72
4.5 Fungsi Invers Hiperbolik 74
4.6 Limit Bentuk Tak Tentu 77
Bab 5 Teknik Pengintegralan dan Integral Tak Wajar 80
5.1 Rumus Baku Integral 80
5.2 Integral Bagian 82
5.3 Integral Fungsi Trigonometri 85
5.4 Integral dengan Substitusi 91
5.5 Integral Fungsi Rasional 94
5.6 Integral Tak Wajar 99
Bab 6 Barian dan Deret 103
6.1 Barisan Bilangan 103
6.2 Deret Tak Hingga 105
6.3 Deret Berganti Tanda 113

Danang Mursita
6.4 Konvergen Mutlak dan Bersyarat 115
6.5 Deret Kuasa 116
6.6 Deret Taylor dan Mac Laurin 119
6.7 Turunan dan Integral Deret Kuasa 121
Bab 7 Persamaan Diferensial Biasa 123
7.1 Order Persamaan Diferensial 123
7.2 Persamaan Diferensial Linear Order Satu 125
7.3 Peubah Terpisah 127
7.4 Persamaan Diferensial dengan Koefisien Homogen 128
7.5 Persamaan Diferensial Linear Order Dua Homogen 131
7.6 Persamaan Diferensial Linear Order Dua Tak Homogen 134
Bab 8 Kalkulus Fungsi Vektor 139
8.1 Kurva Bidang 139
8.2 Fungsi Vektor 142
8.3 Gerak Partikel dan Kelengkungan 148
8.4 Komponen Normal dan Tangensial 151
Bab 9 Fungsi Peubah Banyak 153
9.1 Domain dan Range 153
9.2 Permukaan 154
9.3 Turunan Parsial 156
9.4 Vektor Gradien dan Turunan Berarah 163
9.5 Nilai Ekstrim 168
Bab 10 Integral Rangkap 171
10.1 Integral Rangkap Dua 171
10.2 Volume dan Pusat Massa 179
10.3 Integral Rangkap Tiga 181
10.4 Koordinat Tabung dan Koordinat Bola 185
Bab 11 Kalkulus Integral Vektor 189
11.1 Medan Vektor 189
11.2 Integral Garis 191
11.3 Integral Permukaan 199
Daftar Pustaka 205

Danang Mursita
DAFTAR PUSTAKA
[1]. Edwin J Purcell, Dale Van berg, Calculus with analytic Geometry, 5th
, Prentice
Hall, USA, 1987
[2]. Anton Howard, Calculus, 3rd
, John Wiley and sons, USA, 1988
[3]. Kurt Arbenz, Alfred Wohlhauser, Advanced Mathematics for Practicing
Engineering , Artech House Inc, USA, 1986
[4]. Earl D Rainville, Phillip E Bedient, Elementary Differential Equations, 7th
,
Maxwell Macmillan international Editions, Singapore, 1989
[5]. Stanley J Farlow, An Introduction to Differential Equations and Their
Applications , Mc Graw-Hill Inc, USA, 1994
[6]. William E Boyce, Richard C Diprima, Elementary Differential Equation and
Boundary Value Problems, 5th
, John Wiley and Sons Inc, Canada, 1992.

21
Matematika Dasar
Danang Mursita
BAB 2 TURUNAN DAN PENGGUNAAN
2.1 Turunan Fungsi
2.2 Turunan Fungsi Trigonometri
2.3 Teorema Rantai
2.4 Turunan Tingkat Tinggi
2.5 Fungsi Implisit
2.6 Kemonotonan dan Kecekungan Fungsi
2.7 Nilai Ekstrim dan Asymtot
2.8 Dalil Delhopital
2.1 Turunan Fungsi
Misal diberikan grafik fungsi y = f(x) dengan P ( a, b ) terletak pada kurva f(x). Bila
titik Q ( x,y) merupakan titik sembarang pada kurva f(x) maka gradien garis PQ dapat
dinyatakan dengan :
m
y b
x a
f x f a
x aPQ =
−
−
=
−
−
( ) ( )
Bila titik Q digerakkan sehingga berimpit dengan titik P maka garis PQ akan
merupakan garis singgung kurva f(x) di titik P dengan gradien :
m
f x f a
x ax a
=
−
−→
lim
( ) ( )
Definisi
Turunan dari fungsi f(x) di titik x = a didefinisikan sebagai gradien dari garis singgung
kurva f(x) di x = a dan diberikan:
f a
f x f a
x ax a
'( ) lim
( ) ( )
=
−
−→
Bila nilai limit ada maka f(x) dikatakan diferensiabel atau dapat diturunkan di x = a.
Misal h = x - a . Maka turunan f(x) di x = a dapat dituliskan :
f a
f a h f a
hh
'( ) lim
( ) ( )
=
+ −
→0
Notasi lain : f a
df a
dx
dy a
dx
y a'( )
( ) ( )
'( )= = =

22
Matematika Dasar
Danang Mursita
Secara fisis, pengertian atau definisi dari turunan fungsi f(x) di titik x = a menyatakan
kecepatan, V(x) benda yang bergerak dengan lintasan f(x) pada saat x = a. Oleh karena
itu, didapatkan hubungan V a f a( ) '( )= dan percepatan , A(x) , A a
dV a
dx
( )
( )
= .
Teorema
Bila y = f(x) diferensiabel di x = a maka y = f(x) kontinu di x = a.
Teorema tersebut tidak berlaku sebaliknya, yaitu ada fungsi yang kontinu tetapi tidak
diferensiabel. Hal ini, ditunjukkan oleh contoh berikut.
Contoh 2.1
Tunjukkan bahwa f ( x ) = | x | kontinu di x = 0 tetapi tidak diferensiabel di x = 0
Jawab :
Fungsi f ( x ) kontinu di x = 0 , sebab f f x
x
( ) lim ( )0 0
0
= =
→
Turunan f ( x ) di x = 0 dicari menggunakan rumus berikut :
f
f h f
h
h
hh h
'( ) lim
( ) ( )
lim
| |
0
0 0
0 0
=
+ −
=
→ →
Karena − = ≠ =
→ →− +
1 1
0 0
lim
| |
lim
| |
h h
h
h
h
h
maka f(x) = |x| tidak diferensiabel di x = 0.
Sebagaimana pengertian dari keberadaan limit fungsi ( limit kiri = limit kanan ) dan
kekontinuan fungsi ( kontinu kanan dan kontinu kiri ), dapat juga diturunkan suatu
pengertian diferensiabel kanan dan diferensiabel kiri.
Definisi
Misal fungsi f(x) diferensiabel di x = a. Maka dapat didefinisikan :
Diferensiabel Kanan,
h
afhaf
af
h
)()(
lim)(
0
' −+
=
+→
+ dan
Deferensiabel Kiri,
h
afhaf
af
h
)()(
lim)(
0
' −+
=
−→
−
Kekontinuan suatu fungsi merupakan syarat perlu dari suatu fungsi yang diferensiabel.
Artinya untuk menunjukkan bahwa suatu fungsi deferensiabel di suatu titik maka fungsi
tersebut harus kontinu di titik tersebut. Selanjutnya diperiksa apakah nilai diferensiabel
kanan sama dengan diferensiabel kiri. Hal ini diperlihatkan pada contoh berikut.

23
Matematika Dasar
Danang Mursita
Contoh 2.2
Tentukan nilai a dan b agar fungsi




>+
≤−
=
1,
1,2
)(
2
xbax
xxx
xf diferensiabel di x = 1.
Jawab :
Ditunjukkan f(x) kontinu di x = 1, yaitu
( )baxxff
xx
+==
++ →→ 11
lim)(lim)1( atau a + b = 1
Dari diferensial kanan sama dengan diferensial kiri, didapatkan :
h
hh
h
bha
h
fhf
h
fhf
ff
hh
hh
1)1()1(2
lim
1)1(
lim
)1()1(
lim
)1()1(
lim
)1()1(
2
00
00
''
−+−+
=
−++
−+
=
−+
=
−+
−+
→→
→→
−+
Dari persamaan terakhir didapatkan nilai a = 0. Sehingga nilai b = 1. Jadi agar fungsi
diferensiabel di x = 1 maka bentuk fungsi yaitu




>
≤−
=
1,1
1,2
)(
2
x
xxx
xf
Untuk menentukan turunan suatu fungsi sangat sulit bilamana harus digunakan definisi
formal di atas, namun akan lebih mudah digunakan rumus sebagai berikut :
1.
( )d x
dx
r x r R
r
r= ∈−1 ;
2.
( ) ( ) ( )d f x g x
dx
d f x
dx
d g x
dx
( ) ( ) ( ) ( )+
= +
3.
( ) ( ) ( )d f x g x
dx
g x
d f x
dx
f x
d g x
dx
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
= +
4.
( ) ( ) ( )d
dx
g x d f x f x d g x
g x
f x
g x
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
=
−
2
Contoh 2.3
Cari turunan dari fungsi berikut :
1.
x
xf
1
)( =
2. ( ) xxxf 12)( −=
3.
1
1
)(
2 +
+
=
x
x
xf

24
Matematika Dasar
Danang Mursita
Jawab :
1. 2
11
)(
−
== x
x
xf . Digunakan rumus pertama, didapatkan :
xx
xxf
2
1
2
1
)( 2
3
' −
=−=
−
2. ( ) 2
1
2
3
212)( xxxxxf −=−= . Digunakan rumus kedua, didapatkan :
x
xxxxf
2
1
3
2
1
3)( 2
1
2
1
' −=−=
−
Dapat juga diterapkan rumus ketiga dengan memandang f(x) = U(x) V(x) ,
xxVxxU =−= )(dan12)(
3. Misal U(x) = x + 1 dan V(x) = x
2
+1. Dengan menerapkan rumus keempat
didapatkan,
( )
( ) ( )22
2
22
2
'
1
21
1
121
)(
+
−−
=
+
+−+
=
x
xx
x
xxx
xf
Soal latihan 2.1
( Nomor 1 sd 10 ) Tentukan
dy
dx
dari :
1. y
x
=
− 12
2
6
2. y
x x
= −
1 1
2
3. y = x ( x
2
+ 1 )
4. ( )( )y x x x x= + + +
4 3 2
2 2 1
5. ( )( )y x x x x= + − +3 2 3 1
2 4
6. y
x
=
+
1
3 9
2
7. y
x
x
=
−
−
2 1
1
8. y
x x
x
=
− +
+
2 3 1
2 1
2
9. y
x x
x x
=
− +
+ −
2
2
2 5
2 3
10. y
x x
x
=
+ +
−
5 2 6
3 1
2

25
Matematika Dasar
Danang Mursita
( Nomor 11 sd 13 ) Tentukan nilai a dan b agar fungsi berikut diferensiabel di nilai yang
diberikan.
11. f x
a x x
x bx x
( )
;
;
=
+ ≤ <
− ≥



3 0 1
12 ; x = 1
12. f x
ax b x
x x
( )
;
;
=
− <
− ≥



2
2 1 22 ; x = 2
13. f x
x x
ax b x
( )
;
;
=
− <
+ ≥




2 1 3
2 3
; x = 3
2.2 Turunan Fungsi Trigonometri
Fungsi trigonometri ( sinus dan cosinus ) merupakan fungsi kontinu, sehingga limit
fungsi sinus dan cosinus di setiap titik sama dengan nilai fungsinya, yaitu :
lim sin sin lim cos cos
x a x a
x a dan x a
→ →
= =
Turunan dari fungsi sinus dapat diperoleh dari definisi, yaitu :
( ) ( )
( )
d a
dx
a h a
h
h
a
h
h
h
h
d a
dx
a
h h
h a
sin
lim
sin sin
lim
sin cos
lim
sin
sin
cos
=
+ −
=





 +












= =
→ →
→
0 0
2
2 2
2
2
1Karena maka
Sedangkan untuk turunan fungsi cosinus diperoleh berikut:
( ) ( )d a
dx
a h a
h
h
a
h
h
a
h h
cos
lim
cos cos
lim
sin sin
sin=
+ −
=
−





 +






= −
→ →0 0
2
2 2
Untuk turunan fungsi trigonometri yang lain dapat diperoleh dengan menerapkan rumus
perhitungan turunan :
1.
( ) ( )d x
dx
d
dx
x
x
xtan
sec
sin
cos
= = 2
2.
( ) ( )d x
dx
d
dx
x
x
xcot
csc
cos
sin
= = − 2

26
Matematika Dasar
Danang Mursita
3.
( ) ( )d x
dx
d
dx
x x
xsec
sec tan
cos
= =
1
4.
( ) ( )d x
dx
d
dx
x x
xcsc
csc cot
sin
= = −
1
Untuk menentukan / menghitung limit fungsi trigonometri di tak hingga dan limit tak
hingga , digunakan sifat atau teorema yang diberikan tanpa bukti berikut.
Teorema
Misal f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) berlaku untuk setiap x di dalam domainnya. Bila
lim ( ) lim ( )
x x
f x h x L
→∞ →∞
= = maka lim ( )
x
g x L
→∞
=
Contoh 2.4
Hitung limit berikut ( bila ada )
1. lim
sin
x
x
x→∞
a. lim
cos
sinx
x
x→ +
+
0
1
Jawab :
a. Misal f x
x
x
( )
sin
= . Dari -1 ≤ sin x ≤ 1 maka
−
≤ ≤
1 1
x
x
x x
sin
. Karena
lim lim
x xx x→∞ →∞
−
= =
1 1
0 maka lim
sin
x
x
x→∞
= 0.
b. Bila x mendekati nol dari arah kanan maka 1 + cos x mendekati 2, sedangkan nilai
sin x akan mengecil atau mendekati nol. Oleh karena itu, bila 2 dibagi dengan
bilangan positif kecil sekali ( mendekati nol ) maka akan menghasilkan bilangan
yang sangat besar ( mendekati tak hingga ). Jadi lim
cos
sinx
x
x→ +
+
= ∞
0
1
Soal latihan 2.2
( Nomor 1 sd 7 ) Hitung limit fungsi berikut ( bila ada )
1. lim
cos
sinx
x
x→ −
+
0
1
2. lim cos
x
x
→∞

27
Matematika Dasar
Danang Mursita
3. lim sin
x x→∞






1
4. lim sin
x
x
x→∞






1
5. lim sin
x x→∞
+






π
6
1
6. lim sin sin
x
x
x
x
→∞
+





 −






1
7. lim cos
x
x
x→−∞
−





1
1
( Nomor 8 sd 10 ) Tentukan turunan pertama dari:
8. y
x
x
=
−1 sin
cos
9. y
x
x
=
cos
10. y
x
x x
=
−
tan
sin cos
11. Persamaan garis singgung kurva y = f(x) di titik ( a,b ) dengan gradien m dinyatakan
dengan : y - b = m ( x - a ). Sedangkan persamaan garis normal dari y = f (x) ( garis
yang tegak lurus terhadap garis singgung ) yang melalui titik ( a,b ) mempunyai
persamaaan : y - b = -1/m ( x - a ). Tentukan persamaan garis singgung dan normal
kurva berikut di titik yang diketahui dengan menghitung gradiennya terlebih dahulu.
a. y = x
2
- 2x di ( 0,0 )
b. y = tan x di x = ¼ π
12. Tentukan nilai a agar fungsi berikut kontinu di x = 0
a. f x
x
x
x
a x
( )
sin
,
=
≠
=




3
0
0
b. f x
ax
x
x
x a x
( )
tan
,
,
=
<
+ ≥




0
3 2 02
2.3 Teorema Rantai
Untuk mendapatkan turunan dari fungsi komposisi dapat dilakukan dengan cara mencari
bentuk ekplisit dari hasil komposisi fungsi. Namun dapat juga dicari dengan cara
langsung menggunakan metode atau aturan rantai.
Misal diberikan fungsi : ( )y f u x= ( ) . Maka turunan pertama terhadap x yaitu :

28
Matematika Dasar
Danang Mursita
( )( ) ( )( )
( ) ( )
dy
dx
d f u
du
d u x
dx
f u u x= = ' '
Bila y = f(u ) dengan u = v(x) maka turunan pertama dari y terhadap x dicari :
( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
dy
dx
d f u
du
d u v
dv
d v x
dx
f u u v v x= = ' ' '
Metode penurunan di atas dikenal dengan teorema rantai.
Contoh 2.5
Cari turunan dari fungsi ( )xxf 3sin)( =
Jawab:
Misal u(x) = 3x. Maka fungsi f(x) dapat dinyatakan dengan ( )uxf sin)( = . Turunan
terhadap x yaitu ( ) ( ) ( )xxuuf
dx
df
3cos3'' ==
Contoh 2.6
Cari nilai turunan pertama di x = 1 dari fungsi xxf 2
tan)( π=
Jawab :
Misal v(x) = π
2
x dan vvu =)( ,. Maka fungsi dapat dituliskan dengan uxf tan)( = .
Turunan terhadap x, ( ) ( ) ( ) x
x
xvvuuf
dx
df 22
2
2
sec
2
''' π
π
π
== . Nilai turunan di x = 1,
yaitu
2
)1('
π
=f
Soal latihan 2.3
( Nomor 1 sd 7 ) Tentukan turunan pertama dari
1. ( )y x= −2 3 10
2. y x= sin3
3. ( )y x x= −cos 4 2
4. y
x
x
=
+
−






1
1
2
5. y
x
x
=
−
+







cos
2 1
4
6. y = sin x tan [ x
2
+ 1 ]

29
Matematika Dasar
Danang Mursita
7. y = sin [ cos ( sin 2x ) ]
8. Hitung f ‘ ( 3 ) bila f x
x
x
( ) =
+
+








2 2
1
2
9. Hitung g ‘ ( ½ ) bila g t t t( ) cos sin= π π2
10. Tentukan ( ) ( )fog
'
1 bila f(x) = cos π x dan g x
x
( ) =
1
2
11. Tentukan ( ) ( )fog
'
−1 bila f x
x
g x x x( ) ( )= − = −
1
1 42dan
12. Tentukan persamaan garis singgung dan normal kurva ( ) ( )y x x= + +2 3 4 2
1 1 di titik
dengan absis x = 1.
2.4 Turunan Tingkat Tinggi
Turunan kedua dari fungsi f( x ) didapatkan dengan menurunkan sekali lagi bentuk
turunan pertama. Demikian seterusnya untuk turunan ke-n didapatkan dari penurunan
bentuk turunan ke-(n-1).
Turunan pertama
( )
f x
df x
dx
'( ) =
Turunan kedua
( )
f x
d f x
dx
"( ) =
2
2
Turunan ketiga
( )
f x
d f x
dx
"'( ) =
3
3
Turunan ke-n
( ) ( )
f x
d f x
dx
n
n
n
( ) =
Contoh 2.7
Tentukan turunan kedua dan ketiga dari fungsi 2
1)( xxf +=
Jawab :
Turunan pertama,
2
1
)('
x
x
xf
+
=
Turunan kedua digunakan rumus turunan dari fungsi hasilbagi,
( ) 2
3
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
)("
xx
x
x
x
xf
+
=
+
+
−+
=

30
Matematika Dasar
Danang Mursita
Turunan ketiga,
( ) 2
5
2
1
3
)('"
x
x
xf
+
−
=
Gerak Partikel
Misal Lintasan gerak partikel P dinyatakan dengan fungsi parameter s(t). Maka
Kecepatan, v(t) dan percepatan, a(t) gerak P diberikan oleh
Kecepatan, )(')( tstv =
Percepatan, )(")( tsta =
Contoh 2.8
Lintasan gerak partikel P ditentukan oleh persamaan : 102)( 23
−+−= tttts
Tentukan :
a. Kapan partikel P berhenti ?
b. Besar percepatan P pada saat t = 2
Jawab :
a. Kecepatan, 143)(')( 2
+−== tttstv . Partikel P berhenti berarti kecepatan sama
dengan nol, sehingga t = 1/3 dan t = 1.
b. Percetapan, 46)(")( −== ttsta . Untuk t = 2, maka a( 2 ) = 8
Soal Latihan 2.4
( Nomor 1 sd 4 ) Tentukan turunan kedua dari
1. ( )y x= −sin 2 1
2. ( )y x= −2 3 4
3. y
x
x
=
+ 1
4. ( )y x= cos2 π
5. Tentukan nilai c dari f c"( ) = 0 bila f x x x x( ) = + − −3 23 45 6
6. Tentukan nilai a, b dan c dari fungsi g x ax bx c( ) = + +2 bila g (1) = 5, g ‘ (1 ) = 3
dan g “(1) = - 4
7. Tentukan besar kecepatan sebuah obyek yang bergerak pada saat percepatannya nol
bila lintasan obyek dinyatakan dengan persamaan :
a. s = ½ t
4
- 5 t
3
+ 12 t
2
.
b. ( )s t t t= − +
1
10
14 604 3 2

31
Matematika Dasar
Danang Mursita
8. Dua buah partikel bergerak sepanjang garis koordinat. Pada saat waktu t jarak
berarah dari titik pusat diberikan dengan s1 dan s2. Bilamana kedua partikel
mempunyai kecepatan sama bila :
a. s1 = 4 t - 3 t
2
dan s2 = t
2
- 2 t
b. s1 = 3 t
3
- 3 t
2
+ 18 t + 5 dan s2 = -t
3
+ 9 t
2
- 12 t
2.5 Fungsi Implisit
Fungsi dengan notasi y = f(x) disebut fungsi eksplisit, yaitu antara peubah bebas dan
tak bebasnya dituliskan dalam ruas yang berbeda. Bila tidak demikian maka dikatakan
fungsi implisit.
Dalam menentukan turunan fungsi implisit bila mungkin dan mudah untuk dikerjakan
dapat dinyatakan secara eksplisit terlebih dahulu kemudian ditentukan turunannya.
Namun tidak semua fungsi implisit dapat diubah menjadi bentuk eksplisit, oleh karena
itu akan dibahas cara menurunkan fungsi dalam bentuk implisit berikut.
Contoh 2.9
Tentukan
dx
dy
bila 524 =+− xyxy
Jawab :
Bentuk fungsi dapat diubah menjadi bentuk eksplisit,
x
x
y
21
54
+
+
= . Digunakan aturan
penurunan didapatkan,
( )2
21
6
xdx
dy
+
−
=
Contoh 2.10
Tentukan nilai
dx
dy
di ( 2,1 ) bila 324 2
−=+− xyxy
Jawab :
Bentuk fungsi dapat diubah menjadi fungsi eksplisit dalam y,
2
24
3
y
y
x
−
+
= .
Menggunakan aturan penurunan didapatkan,
( )22
2
24
422
y
yy
dy
dx
−
++
=

32
Matematika Dasar
Danang Mursita
Karena
dy
dxdx
dy 1
= maka
( )
422
24
2
22
++
−
=
yy
y
dx
dy
. Nilai turunan di ( 2,1 ) atau y = 1,
2
1
=
dx
dy
Contoh 2.11
Tentukan nilai
dx
dy
di x = 1 bila 324 22
−=+− yxxy
Jawab :
Turunan dari fungsi di atas dicari dengan menggunakan metode penurunan fungsi
implisit. Misal turunan dari x dan y berturut-turut dinyatakan dengan dx dan dy. Bila
dalam satu suku terdapat dua peubah (x dan y ) maka kita lakukan penurunan secara
bergantian, bisa terhadap x dahulu baru terhadap y atau sebaliknya. Hasil turunan
dx
dy
akan nampak bila masing-masing ruas dibagi oleh dx.
324 22
−=+− yxxy
0444 22 =++− dyyxdxyxdxdy
0444 22
=++−
dx
dy
yxyx
dx
dy
( ruas kiri dan ruas kanan dibagi dengan dx )
yx
yx
dx
dy
2
2
41
44
+
−
=
Substitusi x = 1 ke fungsi didapatkan 012 2
=−+ yy atau y = ½ dan y = -1.
Untuk ( 1, -1 ) , 0=
dx
dy
Untuk ( 1, ½ ), 1=
dx
dy
Soal latihan 2.5
( Nomor 1 sd 5 ) Tentukan turunan pertama dari
1. x
2
- y
2
= 1
2. 2 x y + 3 x - 2 y = 1
3. ( )y xy+ =sin 1
4. x x y y3 2 23 0− + =
5. tan ( x y ) - 2 y = 0
6. Diketahui kurva yang dinyatakan secara implisit : x
2
+ xy + y
2
- 3 y = 10. Tentukan
a. Turunan pertama di x = 2
b. Persamaan garis singgung dan normal di x = 2

33
Matematika Dasar
Danang Mursita
7. Tentukan persamaan garis singgung dan normal dari kurva berikut di titik yang
diberikan.
a. y x x xy+ = 2 ; ( 1,1 )
b. x
3
y + y
3
x = 10 ; ( 1,2 )
c. x
2
y
2
+ 3 xy = 10 y ; ( 2,1 )
d. sin ( xy ) = y ; ( ½ π, 1 )
e. y + cos ( xy
2
) + 3 x
2
= 4 ; ( 1, 0 )
8. Sebuah kurva dinyatakan dalam persamaan implisit : ( )x y x y+ − + =
3
2 1.
Tentukan :
a.
dy
dx
b. Persamaan garis singgung kurva di titik potongnya dengan garis x + y = 2.
2.6 Kemonotonan dan Kecekungan Kurva
Pada bagian ini penggunaan turunan akan di titik beratkan untuk mengetahui sifat-sifat
yang dimiliki suatu kurva antara lain kemonotonan, kecekungan, nilai ekstrim , titik
belok dan asymtot. Hal ini ditekankan agar kita mudah dalam menganalisa dan
menggambarkan grafik fungsi. Pada bagian akhir dari sub bab penggunaan turunan ini,
akan dijelaskan tentang dalil Delhospital untuk menghitung limit fungsi baik limit di
suatu titik, limit di tak hingga maupun limit tak hingga.
Definisi : Fungsi Monoton
Grafik fungsi f(x) dikatakan naik pada selang I bila ( ) ( )f x f x1 2> untuk
x x x x I1 2 1 2> ∈; , . Sedangkan f(x) dikatakan turun pada selang I bila
( ) ( )f x f x1 2< untuk x x x x I1 2 1 2> ∈; , . Fungsi naik atau turun disebut fungsi
monoton.
Dalam menentukan selang fungsi monoton naik atau turun digunakan pengertian
berikut. Gradien dari suatu garis didefinisikan sebagai tangen sudut ( α ) yang dibentuk
oleh garis tersebut dengan sumbu X positif, m = tan α . Bila sudut lancip (α < ½ π )
maka m > 0 dan m < 0 untuk α > ½ π. Karena gradien garis singgung suatu kurva y =
f(x) di titik ( x,y ) diberikan dengan m = f ‘ ( x ) dan selang fungsi naik atau fungsi turun
berturut-turut ditentukan dari nilai gradiennya, maka kemonotonan fungsi diberikan
berikut :
1. Fungsi f(x) naik bila f x'( )> 0
2. Fungsi f(x) turun bila f x'( )< 0

34
Matematika Dasar
Danang Mursita
Contoh 2.12
Tentukan selang fungsi naik dan fungsi turun dari fungsi 52)( 234
−++= xxxxf
Jawab :
Turunan pertama, xxxxf 264)(' 23
++= . Untuk 0264)(' 23
>++= xxxxf , maka
fungsi naik pada –1 < x < - ½ atau x > 0 dan fungsi turun pada x < -1 atau – ½ < x < 0.
Secara geometris, grafik fungsi y = f(x) cekung ke bawah di suatu titik bila kurva
terletak di bawah garis singgung kurva di titik tersebut. Sedangkan garfik fungsi y = f (
x ) cekung ke atas di suatu titik bila kurva terletak di atas garis singgung yang melalui
titik tersebut.
Definisi : Kecekungan Fungsi
Fungsi f(x) dikatakan cekung ke atas pada selang I bila f x'( )naik pada selang I,
sedang f(x) dikatakan cekung ke bawah bila f x'( ) turun pada selang I.
Oleh karena itu dapat disimpulkan :
1. Bila f x x I"( ) ,> ∈0 maka f(x) cekung ke atas pada I dan
2. Bila f x x I"( ) ,< ∈0 maka f(x) cekung ke bawah pada I.
Contoh 2.13
Tentukan selang kecekungan dari fungsi :
x
x
xf
+
+
=
1
1
)(
2
Jawab :
Turunan pertama,
( )2
2
1
12
)('
x
xx
xf
+
−+
=
Turunan kedua,
( )3
1
4
)("
x
xf
+
=
Fungsi cekung ke atas, 0)(" >xf pada selang x > -1 dan fungsi cekung ke bawah pada
selang x < -1.
Soal Latihan 2.6
Tentukan selang kemonotonan dan kecekungan dari kurva berikut
1. ( )f x x( ) = − 3 3

35
Matematika Dasar
Danang Mursita
2. f x x x( ) = + −2 9 133 2
3. f x x x x( ) = − + +3 22 1
4. f x x x( ) = − +3 4 24 3
5. f x x x( ) = −6 43
6. f x
x
x
( ) =
−2
2
7. f x
x
x
( ) =
+
2
2 1
2.7 Nilai Ekstrim dan Asymtot
Misal diberikan kurva f( x ) dan titik ( a,b ) merupakan titik puncak ( titik maksimum
atau minimum ). Maka garis singgung kurva di titik ( a,b ) akan sejajar sumbu X atau
mempunyai gradien m = 0 ( )[ ]f a' = 0 . Titik ( a, b ) disebut titik ekstrim, nilai x = a
disebut nilai stasioner, sedangkan nilai y = b disebut nilai ekstrim.
Definisi : Nilai Maksimum dan Nilai Minimum
Nilai f(a) disebut nilai ( ekstrim ) maksimum pada selang I bila f(a) > f(x) untuk setiap
x ∈ I. Sedangkan nilai f(a) disebut nilai ( ekstrim ) minimum pada selang I bila f(a) <
f(x) untuk setiap x ∈ I.
Untuk menentukan jenis nilai ekstrim ( maksimum atau minimum ) dari fungsi f(x)
dapat dilakukan dengan Uji turunan kedua sebagai berikut :
1. Tentukan turunan pertama dan kedua, )("dan)(' xfxf
2. Tentukan titik stasioner yaitu pembuat nol dari turunan pertama ( f x'( ) = 0 ),
misalkan nilai stasioner adalah x = a
3. Nilai f(a) merupakan nilai maksimum bila f a"( ) < 0, sedangkan nilai f (a)
merupakan nilai minimum bila f a"( ) > 0 .
Contoh 2.14
Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya dari fungsi 52)( 234
−++= xxxxf
Jawab :
Dari pembahasan pada contoh di sub bab sebelumnya didapatkan nilai stasioner fungsi
adalah x = -1, x = - ½ dan x = 0. Turunan kedua, 21212)(" 2
++= xxxf .
Untuk x = -1, 2)1(" =−f dan fungsi mencapai minimum dengan nilai minimum f ( -1 )
= -5.

36
Matematika Dasar
Danang Mursita
Untuk x = - ½ , 1)(" 2
1 −=−f dan fungsi mencapai maksimum dengan nilai maksimum
( )
16
15
42
1 −=−f
Untuk x = 0, 2)0(" =f dan fungsi mencapai minimum dengan nilai minimum adalah
f ( 0 ) = -5
Definisi : Titik Belok
Misal f(x) kontinu di x = b. Maka ( b , f(b) ) disebut titik belok dari kurva f(x) bila
terjadi perubahan kecekungan di x = b, yaitu di satu sisi dari x = b cekung ke atas dan
disisi lain cekung ke bawah atau sebaliknya.
Syarat perlu x = b merupakan absis dari titik belok bila berlaku f b"( ) = 0 atau f(x)
tidak diferensiabel dua kali di x = b. Kata “ syarat perlu “ mirip artinya dengan kata
“ calon “, maksudnya bahwa untuk nilai x = b yang dipenuhi oleh salah satu dari kedua
syarat itu memungkinkan untuk menjadi absis titik belok bergantung apakah dipenuhi
syarat seperti halnya yang tertulis pada definisi.
Contoh 2.15
Carilah titik belok ( bila ada ) dari fungsi berikut :
a. f x x( ) = −2 13
b. f x x( ) = 4
c. f x x( ) = +
1
3 1
Jawab :
a. Dari f x x( ) = −2 13 maka f x x"( ) = 12 .
Bila f x"( ) = 0 maka x = 0 merupakan calon dari titik belok, sehingga untuk
menguji apakah x = 0 merupakan titik belok dilakukan berikut.
Untuk x < 0 maka f x"( ) < 0 , sedangkan untuk x > 0 maka f x"( ) > 0 . Oleh karena
itu, di x = 0 terjadi perubahan kecekungan. Jadi ( 0,-1 ) merupakan titik belok.
b. Dari f x x( ) = 4 maka f x x"( ) = 12 2 .
Bila f x"( ) = 0 maka x = 0 merupakan calon dari titik belok, sehingga untuk
menguji apakah x = 0 merupakan titik belok dilakukan berikut.
Untuk x < 0 dan x > 0 maka f x"( ) > 0 . Oleh karena itu, di x = 0 tidak terjadi
perubahan kecekungan. Jadi ( 0,0 ) bukan merupakan titik belok.
c. Dari f x x( ) = +
1
3 1 maka f x
x
"( ) =
− 2
9
5
3
. Terlihat bahwa f(x) tidak dapat
diturunkan dua kali di x = 0. Untuk x < 0 maka f x"( ) > 0 , sedangkan untuk x > 0
maka f x"( ) < 0 . Oleh karena itu, di x = 0 terjadi perubahan kecekungan. Jadi ( 0,1 )
merupakan titik belok

37
Matematika Dasar
Danang Mursita
Asymtot
Asymtot suatu grafik fungsi didefinisikan sebagai garis yang didekati oleh suatu kurva.
Asymtot dibedakan menjadi tiga yaitu :
1. Asymtot mendatar
2. Asymtot tegak
3. Asymtot miring
Misal diberikan kurva y = f ( x ). Maka garis y = b disebut asymtot mendatar dari y =
f ( x ) bila : lim ( )
x
f x b
→∞
= atau lim ( )
x
f x b
→−∞
= . Sedangkan garis x = a disebut
asymtot tegak bila berlaku salah satu dari :
1. lim ( )
x a
f x
→ +
= ∞
2. lim ( )
x a
f x
→ +
= −∞
3. lim ( )
x a
f x
→ −
= ∞
4. lim ( )
x a
f x
→ −
= −∞
Contoh 2.16
Carilah asymtot datar dan asymtot tegak dari fungsi
1
)(
2
2
−
−
=
x
x
xf
Jawab :
Asymtot datar, y = -1 sebab 1
1
lim)(lim
2
2
−=
−
−
=
∞→∞→ x
x
xf
xx
atau 1)(lim −=
∞−→
xf
x
Asymtot tegak, x = -1 dan x = 1 sebab ∞=
−
−
=
++ −→−→ 1
lim)(lim
2
2
11 x
x
xf
xx
dan
−∞=
−
−
=
++ →→ 1
lim)(lim
2
2
11 x
x
xf
xx
Garis y = a x + b dikatakan sebagai asymtot miring dari y = f ( x ) bila berlaku
( )[ ] ( )[ ]lim ( ) lim ( )
x x
f x ax b f x ax b
→∞ →−∞
− + = − + =0 0atau . Untuk mendapatkan
asymtot miring dari fungsi rasional f x
P x
Q x
( )
( )
( )
= [ pangkat P(x) = 1 + pangkat Q(x) ]
dilakukan dengan cara membagi P(x) dengan Q(x) sehingga hasilbagi yang didapatkan
merupakan asymtot miring dari f(x).

38
Matematika Dasar
Danang Mursita
Contoh 2.17
Carilah asymtot dari fungsi
1
32
)(
2
−
−−
=
x
xx
xf
Jawab :
Asymtot datar tidak ada sebab ∞=
∞→
)(lim xf
x
atau −∞=
∞−→
)(lim xf
x
.
Asymtot tegak, x = 1 sebab ∞=
−
−−
=
−− →→ 1
32
lim)(lim
2
11 x
xx
xf
xx
.
Asymtot miring, y = x – 1 sebab ( ) 0
1
4
lim1
1
32
lim
2
=
−
−
=








−−
−
−−
∞→∞→ x
x
x
xx
xx
Grafik Fungsi
Dalam mengambarkan grafik suatu kurva dapat dilakukan dengan menentukan terlebih
dahulu : selang kemonotongan, selang kecekungan, titik ekstrim dan jenisnya, titik
potong terhadap salib sumbu ( sumbu X dan sumbu Y ), titik belok ( bila ada ), semua
asymtot ( bila ada ) dan titik lain ( sembarang ) yang dapat membantu memudahkan
menggambarkan grafik.
Soal latihan 2.7
( Nomor 1 sd 6 ) Tentukan nilai ekstrim dan jenisnya dari kurva dengan persamaan
berikut :
1. f x x x( ) = − +3 23 2
2. f x x x( ) = − +3 3 4
3. ( )f x
x
x x( ) sin ,= − < <
2
0 2π
4. f x x x( ) cos ,=
−
< <





2
2
3
2
π π
5. f x
x
( ) = +
4
4
1
6. f x x x( ) = −3 44 3
( Nomor 7 sd 10 ) Tentukan titik belok dari kurva berikut ( bila ada )
7. f x x x( ) = −
1
6
23
8. f x x( ) = + 2
9. f x x( ) = +4 4

39
Matematika Dasar
Danang Mursita
10. f x x x x x( ) = − − + +4 3 26 24 2
( Nomor 11 sd 21 ) Cari semua asymtot dari fungsi berikut :
11. f x
x
x
( ) =
−
2
3
12. f x
x
x
( ) =
−
2
2 1
13.
2
1
)(
x
x
xf
−
=
14.
( )
f x
x
x
( ) =
− 1 2
2
15. f x x
x
( ) = −2 1
16. f x
x
x
( ) =
−
2
42
17. f x
x x
( ) = + −2
3 1
3
18. f x
x
x
( ) =
−2 2
19. f x
x x
x
( ) =
− −
+
2 2 3
2
20.
( )
f x
x
x
( ) =
− 2 3
2
21. f x
x
x
( ) =
−4 3
2
( Nomor 22 sd 28 ) Gambarkan grafik kurva berikut :
22. f x x x( ) = − −3 3 1
23. f x x x x( ) = − + +3 22 1
24. f x x x( ) = − +3 4 24 3
25. f x x x( ) = −6 43
26. f x x x( ) = − +3 5 15 3
27. f x
x
x
( ) =
+
2
1
28.
( )
f x
x
x
( ) =
+
3
8 2

40
Matematika Dasar
Danang Mursita
2.8 Dalil Delhospital
Dalam perhitungan limit fungsi seringkali dijumpai bentuk tak tentu dari limit yaitu :
0
0
0, , .
∞
∞
∞ ∞ − ∞dan . Untuk menyelesaikannya digunakan cara yang dikenalkan oleh
Delhospital.
Bentuk
0
0
dan
∞
∞
Misal lim f(x) = lim g(x) = 0 atau lim f(x) = lim g(x) = ∞. Maka
lim
( )
( )
lim
'( )
'( )
f x
g x
f x
g x
= . Bila masih dijumpai ruas kanan merupakan bentuk
0
0
atau
∞
∞
maka dilakukan penurunan lagi sehingga didapatkan nilai yang bukan merupakan
bentuk tak tentu tersebut. Penulisan lim di atas mengandung maksud
∞→−∞→→→→ −+ xxaxaxax
limataulim,lim,lim,lim .
Contoh 2.18
Hitung limit berikut
a. lim
cos
x
x
x→
−
0 2
1 2
b. lim
x
x x
x→∞
+
+
3
4
2
1
Jawab :
a. lim
cos
lim
sin
lim
cos
x x x
x
x
x
x
x
→ → →
−
= = =
0 2 0 0
1 2 2 2
2
4 2
2
2
b. lim lim lim lim
x x x x
x x
x
x
x
x
x x→∞ →∞ →∞ →∞
+
+
=
+
= = =
3
4
2
3 2
2
1
3 2
4
6
12
6
24
0
Bentuk 0 . ∞∞∞∞
Misal lim f(x) = 0 dan lim g(x) = ∞. Maka lim f(x) g(x) merupakan bentuk 0 . ∞ . Untuk
menyelesaikannya kita ubah menjadi bentuk
0
0
atau
∞
∞
yaitu :
lim ( ) ( ) lim
( )
lim
( )
( ) ( )
f x g x
f x g x
g x f x
= =1 1
. Selanjutnya solusi dari limit tersebut
diselesaikan dengan cara seperti bentuk sebelumnya.

41
Matematika Dasar
Danang Mursita
Contoh 2.19
a. lim sec
/x
x x
→
−






π
π
2 2
b. lim csc
x
x x
→0
2
Jawab :
a. lim sec lim
cos
lim
sin/ / /x x x
x x
x
x x→ → →
−





 =
−
=
−
= −
π π π
π
π
2 2 22
2 1
1
b. lim csc lim
sin
lim
cosx x x
x x
x
x
x
x→ → →
= = =
0
2
0
2
0
2
0
Bentuk ∞∞∞∞ - ∞∞∞∞
Misal lim f(x) = lim g(x) = ∞. Maka untuk menyelesaikan lim [ f(x) - g(x) ] dilakukan
dengan menyederhanakan bentuk [ f(x) - g(x) ] sehingga dapat dikerjakan menggunakan
cara yang telah dikenal sebelumnya.
Contoh 2.20
Hitung ( )lim csc cot
x
x x
→
−
0
Jawab :
( )lim csc cot lim
sin
cos
sin
lim
cos
sin
lim
sin
cosx x x x
x x
x
x
x
x
x
x
x→ → → →
− = −





 =
−
= =
0 0 0 0
1 1
0
Sebagai catatan bahwa tidak semua bentuk limit tak tentu dapat diselesaikan
menggunakan dalil Delhospital. Hal ini seringkali terjadi di dalam menyelesaikan limit
fungsi f(x) dengan f(x) bukan merupakan fungsi rasional. Untuk lebih jelasnya
diberikan contoh berikut.
Contoh 2.21
Hitung limit berikut :
a. lim
x
x x
x→−∞
−
−
2 3
1
b. lim
x
x x x
→∞
+ − +


 

2 2 1

42
Matematika Dasar
Danang Mursita
Jawab:
a. lim lim
( )
x x
x x
x
x
x
x x
x
x
x→−∞ →−∞
−
−
=
−
−
−
=
2 2
2
3
1
3
1
1
b. lim lim
x x
x x x
x
x x x
x
x→∞ →∞
+ − +





 =
−
+ + +
=2 2
2 2
2
1
1
1
1
2
Soal latihan 2.8
Hitung limit berikut ( bila ada )
1. lim
x
x
x→+∞
+
−
2 1
2 5
2. lim
x
x x
x→−∞
−
−
4
2 1
2
3
3. lim
x
x
x→+∞
−
+
5 3
4
3
4. lim
x
x
x→+∞
−
+
3 5
6 2
3
5. lim
x
x
x→+∞
−
+
2 1
1
2
6. lim
x
x
x→−∞
+
+
2 1
1 2 2
7. lim csc
x
x x
→0
2
8. ( )lim cot cos
x
x x
→
−
0
2 1 2
9. lim
x
x x x
→+∞
+ −


 

2
10. lim
x
x x
→+∞
+ −


 

2 3
11. lim
x
x x x x
→+∞
+ − −


 

2 2
12. lim
x
x x x
→−∞
− − −


 

2 23 3
13. l i m x x x
x→ +∞
+ − −


 

2 6 5
14.
( )
lim
sin
x
ax
ax→0

43
Matematika Dasar
Danang Mursita
15. lim
tan
sinx
x
x→0
5
2
16. lim
sin ( )
x
x
x→0
2
2
5
17. lim
sin
cosx
x
x→ −01
18. lim
sin
cosx
x x
x→ −01
19. lim
cos
cosx
x
x→
−
−0
2 1
1 5
20. lim
cosx
x
x→ −0
2
1

64
Matematika Dasar
Danang Mursita
BAB 4 FUNGSI TRANSENDEN
4.1 Fungsi Invers
4.2 Fungsi Logaritma dan Fungsi Eksponen
4.3 Fungsi Invers Trigonometri
4.4 Fungsi Hiperbolik
4.5 Fungsi Invers Hiperbolik
4.6 Limit Bentuk Tak Tentu
4.1 Fungsi Invers
Definisi : Fungsi Invers
Misal dua fungsi f dan g berlaku komposisi berikut :
(i) f ( g(x) ) = x , untuk setiap x ∈ Dg.
(ii) g ( f(y) ) = y, untuk setiap y ∈ Df.
Maka f disebut invers dari g ( notasi f = g
-1
) atau g disebut invers dari f ( g = f
-1
).
Dari definisi di atas diperoleh hubungan,
Ifoffof == −− 11
I merupakan fungsi identitas, yaitu fungsi yang memetakan ke dirinya sendiri.
Berikut merupakan contoh fungsi dan inversnya. Fungsi f(x) = 1 + x mempunyai invers
1)(1
−=−
xxf , sebab ( ) ( ) ( ) ( ) )(111)()( 11
xIxxxfxffxfof ==−+=−== −−
. Satu
hal yang menarik bagi kita, apakah setiap fungsi punya invers ? Bagaimana cara
mendapatkan invers dari suatu fungsi ? Beberapa sifat berikut dapat digunakan untuk
menjawab pertanyaan ini.
Sifat-sifat : antara fungsi dan inversnya.
1. Grafik fungsi f dan f
-1
simetri terhadap garis y = x.
2. Domain f sama dengan range f
-1
atau range f sama dengan domain f
-1
.
3. Fungsi f(x) punya invers bila dan hanya bila tidak ada garis mendatar yang
memotong grafik f(x) lebih dari satu titik.
4. Fungsi f(x) punya invers bila dan hanya bila f(x) berkorespondensi satu-satu [ yaitu
bila f(x1) ≠ f(x2) maka x1 ≠ x2 ].
5. Misal interval I merupakan domain f(x) dan f(x) naik atau f(x) turun pada I. Maka
f(x) punya invers pada I.
Misal y = f
-1
( x ). Maka didapatkan x = f ( y ) . Hal ini memot4asi kepada kita suatu
cara untuk menentukan invers dari fungsi y = f ( x ). Untuk menentukan invers dari
suatu fungsi y = f ( x ) dilakukan dengan cara mensubstitusikan peubah y ke dalam x,
sehingga fungsi dinyatakan secara eksplisit dalam peubah y. Tuliskan f ( y ) = x dan

65
Matematika Dasar
Danang Mursita
nyatakan fungsi yang diperoleh tersebut menjadi fungsi eksplisit dalam peubah x.
Hasil terakhir merupakan invers dari y = f ( x ).
Contoh 4.1
Tentukan invers dari fungsi f x
x
x
( ) =
−
+
1
2
Jawab :
f y
y
y
x
y
y
y
x
x
f x
x
x
( ) ( )=
−
+
⇒ =
−
+
⇒ =
− −
−
⇒ =
− −
−
−1
2
1
2
2 1
1
2 1
1
1
Soal Latihan 4.1
( Nomor 1 sd 5 ) Tentukan fungsi invers ( bila ada ) dari
1. f x x
x
x( ) ,= + >
1
0
2. f x x( ) = −2 13
3. f x x( ) = +4 25
4. f x
x
x( ) ,=
+
≥
5
1
02
5. f x
x
x
( ) =
+
−
1
1
6. Tentukan range ( daerah hasil ) dari invers fungsi di atas ( nomor 1 sd 5 )
4.2 Fungsi Logaritma dan Eksponen
Fungsi logaritma dan fungsi eksponen merupakan dua fungsi yang saling invers dan
dinyatakan sebagai :
0,;log >=⇔= bxbxxy yb
Sifat-sifat logaritma :
1.
b
log 1 = 0
2.
b
log b = 1
3.
b
log ac =
b
log a +
b
log c
4.
b
log a/c =
b
log a -
b
log c
5.
b
log a
r
= r
b
log a
6.
b
a
a
c
c
b
log
log
log =

66
Matematika Dasar
Danang Mursita
Bilangan Natural
Bilangan natural dinotasikan dengan e dan didefinisikan sebagai :
( ) ( )e x x
x
x
x
x
= + = + =
→ →∞
lim lim , ...
0
1
1 1 1 2 718
Fungsi logaritma natural didefinisikan sebagai :
ln ,x
t
dt x
x
= >∫
1
0
1
ln x =
e
log x
Turunan fungsi logaritma natural : [ ]D x
xx ln =
1
Jadi secara umum : [ ]D u
u
du
dx u
du u Cx ln ln= ⇔ = +∫
1 1
.
Contoh 4.2
Hitung integral ∫ +
dx
x
x
cos1
sin
Jawab :
Misal u = 1 + cos x. Maka du = - sin x. Sehingga ( ) Cxdx
x
x
++−=
+
∫ cos1ln
cos1
sin
Eksponen Natural
Fungsi eksponen natural didefinisikan sebagai inverse dari logaritma natural dan
dinotasikan :
y e x y
x
= ⇔ = ln
Sifat yang dapat diturunkan langsung dari definisi adalah :
1. e y yyln
,= ∀ > 0
2. ln ,e x x Rx
= ∀ ∈
Turunan dan integral dari eksponen natural:
( )D e e
du
dx
e du e Cx
u u u u
= ⇔ = +∫
Misal a > 0 dan x ∈ R. Didefinisikan : a e
x x a
=
ln
. Maka :

67
Matematika Dasar
Danang Mursita
(i) [ ]D a a a
du
dxx
u u
= (ln )
(ii) a du
a
a Cu u
= +∫
1
ln
Misal y x
x
a
a
= =log
ln
ln
. Maka ( )D x
x ax
a
log
ln
=
1
.
Jadi secara umum ( )D u
u a
du
dxx
a
log
ln
=
1
Contoh 4.3
Cari trunan pertama dari fungsi :
1. 12 2
)( −= xexf
2. xxxf 5)( =
Jawab :
1. Misal 12 2 −= xu . Maka uexf =)( . Turunan pertama, 12 2
4 −== xex
dx
du
du
df
dx
df
.
2. ( )5ln15 x
dx
df x +=
Contoh 4.4
Selesaikan integral berikut :
1. ( )∫
−− dxx xx 2
1021
2. ( ) dxex xx
∫
−−
1
0
22
1
Jawab :
1. Misal 2xxu −= . Maka du = ( 1 – 2x ) dx dan ( ) Cdxx
xx
xx +=−
−
−
∫ 10ln
10
1021
2
2
2. Misal xxu 22 −= . Maka du = ( 2x -2 ) dx. Sehingga :
( ) ( )1
2
1
0
1
2
1
1 12
1
0
2 22
−==− −−−
∫ eedxex xxxx

68
Matematika Dasar
Danang Mursita
Soal Latihan 4.2
( Nomor 1 sd 7 ) Tentukan turunan pertama dari :
1. ( )y x x= − +ln
2
5 6
2. y = x ln x
3. y
x
x
=
ln
2
4. y
x
x x
=
+
− +
13
4 2 13( )
5.
( ) ( )
y
x x
x
=
+ +
+
2 2 3 23 3 2
1
/
6. ( )y x= ln sin
7. y + ln ( xy ) = 1
( Nomor 8 sd 13 ) Selesaikan integral berikut :
8.
4
2 1x
dx
+
∫
9.
4 2
5
2
x
x x
dx
+
+ +
∫
10.
( )
2
2
x x
dx
ln
∫
11.
x
x
dx
3
2
1+
∫
12.
3
1 21
4
−
∫ x
dx
13.
( )
1
11
4
x x
dx
+
∫
( Nomor 14 sd 16 ) Carilah y’ dari :
14. y
x x
=
−
3
2 44
15. ( )y x= +
10 2
9log
16. y x= log
( Nomor 17 sd 22 ) Selesaikan integral tak tentu berikut :
17. x dxx
2
2
∫

69
Matematika Dasar
Danang Mursita
18. 10
5 1x
dx
−
∫
19. ( )x e dx
x x
+
+
∫ 3
2
6
20. ( )e e dx
x x− −
−∫ sec
2
2
21. (cos )
sin
x e dx
x
∫
22. e dx
x2 ln
∫
4.3 Fungsi Invers Trigonometri
Fungsi Trigonometri merupakan fungsi periodik sehingga pada daerah ℜ ( domainnya )
bukan merupakan fungsi satu-satu. Ini berarti fungsi trigonometri tidak mempunyai
invers, Oleh karena itu untuk mendapatkan fungsi inversnya maka domain dari fungsi
trigonometri harus dibatasi.
Misal f(x) = sin x. Maka agar f(x) = sin x merupakan fungsi satu-satu maka domainnya
diambil :
−
≤ ≤ − ≤ ≤




π π
2 2
1 1x f x; ( )
Pada daerah di atas f( x ) = sin x merupakan fungsi satu-satu dan oleh karena itu
mempunyai invers. Notasi invers : x f x arc f x= =−sin ( ) sin ( )1
Turunan fungsi invers Trigonometri
Misal y u u y= − ≤ ≤ − ≤ ≤




−sin ;1 1 1
2 2
π π
dengan u merupakan fungsi dalam x.
Maka turunan y
dy
dx
'=





 didapatkan sebagai berikut :
y u u y
dy
du y
= ⇔ = ⇔ =−sin sin
cos
1 1
Bila sin y = u maka cos y u= −1 2 . Oleh karena itu,
dy
du u
=
−
1
1 2
.
Jadi : y
u
u
'
'
=
−1 2
.
Dengan menggunakan anti turunan dari invers sinus didapatkan rumus integral :
du
u
u C
1 2
1
−
= +−
∫ sin

70
Matematika Dasar
Danang Mursita
Untuk fungsi invers trigonometri yang lain dapat diperoleh dengan cara sama :
1. [ ]y u u y= − ≤ ≤ ≤ ≤−cos ;1 1 1 0 π
y
u
u
du
u
u C'
'
cos=
−
−
⇔
−
= − +−
∫
1 12 2
1
2. y u u y y
u
u
= − ∞ < < ∞ − < <



 ⇒ =
+
−tan ; '
'1
22 2 1
π π
3. y u u y y y
u
u
= ≤ < ∞ − ≤ < ∨ < ≤



 ⇒ =
−
+
−cot ; '
'1
20
2
0 0
2 1
π π
du
u
u C
u C1 2
1
1
+
=
+
− +




−
−∫
tan
cot
4. y u u y y y
u
u u
= ≥ ≤ < ∨ < ≤



 ⇒ =
−
−sec | | ; '
'1
2
1 0
2 2 1
π π
π
5. y u u y y y
u
u u
= ≥ − ≤ < ∨ < ≤



 ⇒ =
−
−
−csc | | ; '
'1
2
1
2
0 0
2 1
π π
6.
du
u u
u C
u C2
1
1
1−
=
+
− +




−
−∫
sec
csc
Contoh 4.5
Cari turunan pertama dari : ( )1sin)( 21 += − xxf
Jawab :
Misal 12 += xu . Maka du = 2 x dx dan
( )22 11
2
)('
+−
==
x
x
dx
du
du
df
xf
Contoh 4.6
Hitung integral berikut : ∫
+
1
0
21
dx
e
e
x
x
Jawab :
Misal xeu = . Maka dxedu x= . Sehingga :
( )
( ) 4
tan1tantan
0
1
tan
1
1
1
1111
1
0
2
1
0
2
π
−=−==
+
=
+
−−−−
∫∫ eeeed
e
dx
e
e xx
xx
x

71
Matematika Dasar
Danang Mursita
Soal Latihan 4.3
( Nomor 1 sd 10 ) Carilah turunan dari :
1. ( )y x= +−cos 1 2 1
2. ( )y x= −cot 1
3. ( )y x= −cos cos1
4. y x= −tan 1
5. ( )y x x= −2 1 3
sin
6. ( )y x x= + −1 1 2
sec
7. ( )y e x= − −sin 1 3
8. y
x
x
=
−
+
−csc 1 1
1
9. ( )y x e x= −tan 1 2
10. ( )y x x= −sin ln1 2
( Nomor 11 sd 17 ) Hitung integral berikut :
11.
dx
x1 4 2−
∫
12.
dx
x x9 12 −
∫
13.
t dt
t4 1+
∫
14.
sec
tan
2
21
x dx
x−
∫
15.
( )
dx
x x1
2
−
∫
ln
16.
e dx
e
x
x
−
−






−
∫
1 2
2
2
3
ln
ln
17.
( )
dx
x x +∫ 1
1
3

72
Matematika Dasar
Danang Mursita
4.4 Fungsi Hiperbolik
Fungsi sinus hiperbolik dan cosinus hiperbolik didefinisikan sebagai berikut :
sinh coshx
e e
dan x
e ex x x x
=
−
=
+− −
2 2
Untuk fungsi hiperbolik yang lain :
1. tanh
sinh
cosh
x
x
x
e e
e e
x x
x x
= =
−
+
−
−
2. coth
cosh
sinh
x
x
x
e e
e e
x x
x x
= =
+
−
−
−
3. sec
cosh
h x
x e ex x
= =
− −
1 2
4. csc
sinh
h x
x e ex x
= =
+ −
1 2
Berikut beberapa identitas yang berlaku pada fungsi hiperbolik :
1. cosh
2
x - sinh
2
x = 1
2. 1 - tanh
2
x = sech
2
x
3. coth
2
x - 1 = csch
2
x
4. sinh ( x + y ) = sinh x cosh y + cosh x sinh y
5. cosh ( x + y ) = cosh x cosh y + sinh x sinh y
6. cosh x + sinh x = e
x
.
7. cosh x - sinh x = e
-x
.
8. sinh 2x = 2 sinh x cosh x
9. cosh 2x = cosh
2
x + sinh
2
x = 2 sinh
2
x + 1 = 2 cosh
2
x - 1
10. cosh ( -x ) = cosh x
11. sinh ( -x ) = - sinh x
12. sinh ( x - y ) = sinh x cosh y - cosh x sinh y
13. cosh ( x - y ) = cosh x cosh y - sinh x sinh y
14. ( )tanh
tanh tanh
tanh tanh
x y
x y
x y
+ =
+
+1
15. ( )tanh
tanh tanh
tanh tanh
x y
x y
x y
− =
−
−1
16. tanh
tanh
tanh
2
2
1
x
x
x
=
+
17. ( )cosh cosh
1
2
1
2
1x x= +
18. ( )sinh cosh
1
2
1
2
1x x= ± −

73
Matematika Dasar
Danang Mursita
19. sinh sinh sinh coshx y
x y x y
+ =
+





−




2
2 2
20. cosh cosh cosh coshx y
x y x y
+ =
+





−




2
2 2
Turunan dan Integral Fungsi Hiperbolik
Misal y = sinh u. Maka y D
e e e e
u u ux
u u u u
' ' cosh '=
−






 =
+
=
− −
2 2
.
Jadi : cosh sinhu du u C= +∫
Untuk fungsi hiperbolik yang lain:
1. y u y u u u du u C= ⇒ = ⇔ = +∫cosh ' sinh ' sinh cosh
2. y u y h u u h u du u C= ⇒ = ⇔ = +∫tanh ' sec ' sec tanh2 2
3. y u y h u u h u du u C= ⇒ = − ⇔ = − +∫coth ' csc ' csc coth2 2
4. y h u y h u u u h u u du h u C= ⇒ = − ⇔ = − +∫sec ' sec tanh ' sec tanh sec
5. y h u y h u u u h u u du h u C= ⇒ = − ⇔ = − +∫csc ' csc coth ' csc coth csc
Contoh 4.7
Cari turunan pertama dari [ ]( )21lntanh)( xxf −=
Jawab :
Misal 21 xu −= dan v = ln u. Maka [ ]( )22
2
1lnsec
1
2
)(' xh
x
x
dx
du
du
dv
dv
df
xf −
−
−
==
Contoh 4.8
Selesaikan integral : ( )∫ − dxx 12tanh
Jawab :
Misal u = 2x –1 . Maka ( ) ( ) [ ]( )∫∫ +−==− Cxud
u
dxx 12coshln
2
1
cosh
cosh
1
2
1
12tanh

74
Matematika Dasar
Danang Mursita
Soal Latihan 4.4
( Nomor 1 sd 5 )Tentukan turunan pertama ( y’ ) dari :
1. y = cosh x
4
.
2. y = ln ( tanh 2x )
3. y = cosh ( 1/x )
4. y = sinh
3
( 2x )
5. ( )y x x= +4 52cosh
6. ( )cosh 2 3x dx−∫
7. ( )csch x dx2 3∫
8. coth csc2 2x h x dx∫
9. ∫ dxxcoth
10. sinh cosh6 x x dx∫
4.5 Fungsi Invers Hiperbolik
Tidak semua fungsi hiperbolik pada domainnya merupakan fungsi satu-satu sehingga
tidak mempunyai invers. Oleh karena itu, agar didapatkan fungsi invers hiperbolik maka
kita batasi domain fungsinya. Sedangkan untuk mencari turunan dari fungsi invers
hiperbolik dilakukan terlebih dahulu cara sebagai berikut.
Misal y = sinh
-1
u. Maka u = sinh y [ ∀ u, y ].
Jadi : u
e e
e u e e ue
y y
y y y y=
−
⇔ − − = ⇔ − − =
−
−
2
2 0 2 1 02
( )⇔ = ± + = + + > ∀e u u u u sebab e yy y2 21 1 0: ,
⇔ = + +


 

y u uln 2 1
Turunan Fungsi invers Hiperbolik.
Misal y u u u= = + +


 

−sinh ln1 2 1 . Maka :
y
u u
u
u
u
u
u
' '
'
=
+ +
+
+







 =
+
1
1
1
1 12 2 2
Dari anti turunan fungsi invers sinus hiperbolik, didapatkan :

75
Matematika Dasar
Danang Mursita
du
u
u C
2
1
1+
= +−
∫ sinh
Dengan cara sama diperoleh turunan dan integral fungsi invers hiperbolik, sebagai
berikut :
1. { }y u u u u= = + −

 

 ≥−
cosh ln ,1 2
1 1
y
u
u
du
u
u C'
'
cosh=
−
⇔
−
= +−
∫2 2
1
1 1
2. { }y u
u
u
u= =
+
−





 <−
tanh ln , | |1 1
2
1
1
1
y
u
u
du
u
u C bila u'
'
tanh , | |=
−
⇔
−
= + <−
∫1 1
12 2
1
3.
{ }y u
u
u
u
y
u
u
du
u
u C bila u
= =
+
−





 >
=
−
⇔
−
= + >
−
−
∫
coth ln , | |
'
'
coth , | |
1
2 2
1
1
2
1
1
1
1 1
1
4.
{ }y h u
u
u
u
y
u
u u
du
u u
h u C
= =
+ −








< ≤
=
−
−
⇔
−
= − +
−
−
∫
sec ln ,
'
'
sec | |
1
2
2 2
1
1 1
0 1
1 1
5.
{ }y h u
u
u
u
u
y
u
u u
du
u u
h u C
= = +
+







≠
=
−
+
⇔
+
= − +
−
−
∫
csc ln
| |
,
'
'
| |
csc | |
1
2
2 2
1
1 1
0
1 1
Contoh 4.9
Cari turunan pertama dari : ( )xehxf 1sec)( −=
Jawab :
Misal xeu = . Maka
xe
xf
21
1
)('
−
−
=

76
Matematika Dasar
Danang Mursita
Contoh 4.10
Hitung integral : ∫
+ 42x
dx
Jawab :
C
x
x
x
d
x
dx
+





=
+











=
+
−
∫∫ 2
sinh
1
2
2
4
1
22
Soal Latihan 4.5
( Nomor 1 sd 12 ) Tentukan dy/dx dari :
1. y x= +−
cosh ( )1
2 1
2. ( )y x= −
coth 1
3. ( )y h e x
= −
csc 1 2
4. y
x
= −
1
1
tanh
5. y
x
=





−
sinh 1 1
6. ( )y x= −
cosh cosh1
7. ( )y x= −
ln cosh 1
8. y x= −
coth 1
9. ( )y x= −
sinh tanh1
10. y e h xx
= −
sec 1
11. y
x
x
=
−
+





−
tanh 1 1
1
12. ( )y x h x= + −
1 1 10
csc
13.
dx
x1 9 2
+
∫
14.
dx
x2
2−
∫

77
Matematika Dasar
Danang Mursita
15.
dx
x9 252
−
∫
16.
dx
e x
1 2
−
∫
17.
sin
cos
x dx
x1 2
+
∫
18.
dx
x x1 6
+
∫
19.
dt
t2
0
3
1+
∫
20.
dt
t t1
1 4
1 2
−∫
/
/
4.6 Limit Bentuk Tak Tentu
Dalam menentukan turunan dari fungsi berpangkat fungsi dapat digunakan sifat
logaritma natural. Misal y f x g x= ( ) ( ) . Maka didapatkan : ln ( ) ln ( )y g x f x= . Oleh
karena itu, turunan dari y, yaitu :
y g x f x
g x
f x
f x f x g x' '( )ln ( )
( )
( )
'( ) ( ) ( )= +






Contoh 4.11
Tentukan turunan pertama dari fungsi ( ) xxy cos12 +=
Jawab :
Misal f(x) = 2x + 1 dan g(x) = cos x. Maka f ‘(x) = 2 dan g ‘(x) = - sin x. Sehingga
turunan pertama,
( ) ( ) xx
x
x
xxy cos12
12
cos2
12lnsin' +





+
++−=
Sedangkan limit dari fungsi berpangkat fungsi, lim lim ( ) ( )
x a x a
g xy f x
→ →
= akan
memunculkan bentuk tak tentu berikut : 0 10 0,∞ ∞dan . Untuk menyelesaikannya
dihitung: [ ]lim ln lim ( ) ln ( )
x a x a
y g x f x
→ →
=

78
Matematika Dasar
Danang Mursita
Misal nilai dari lim ln
x a
y A
→
= . Maka lim
x a
Ay e
→
= .
Contoh 4.12
a. ( )lim
x
x x
→
+
0
1
1
b. ( )lim tan
cos
x
x
x
→






−π
2
c. lim
x
xx
→ +0
Jawab :
a. Limit mempunyai bentuk tak tentu 1
∞
. Misal ( )y x x= +1
1
. Maka
lim ln lim
ln( )
x x
y
x
x→ →
=
+
0 0
1
dan mempunyai bentuk tak tentu
0
0
. Menggunakan
lhospital didapatkan : lim ln lim
x x
y
x→ →
=
+
=
0 0
1
1
1. Jadi ( )lim
x
x ex
→
+ =
0
1
1
b. Limit mempunyai bentuk tak tentu ∞
0
. Misal ( )y x
x
= tan
cos
. Maka
( )lim ln lim cos ln tan lim
ln tan
sec
lim
sec tan
x x x x
y x x
x
x x x
→





 →





 →





 →






− − − −
= = = =
π π π π
2 2 2 2
2
1
0
Jadi ( )lim tan
cos
x
x
x
→






−
=
π
2
1
c. Limit mempunyai bentuk tak tentu 0
0
. Misal y = x
x
. Maka
lim ln lim ln lim
ln
lim
x x x x
y x x
x
x
x
→ → →
−
→+ + + +
= = = − =
0 0 0
1
0
0. Jadi lim
x
xx
→ +
=
0
1
Soal Latihan 4.6
Hitung limit berikut ( bila ada ) :
1. lim ( )
x
x x
→
−
1
1
1
2. ( )lim sin
x
x x
→
+
0
1 2
1

79
Matematika Dasar
Danang Mursita
3. lim cos
x
x
x→∞




2
2
4. ( )lim ln
x
xe x
→ +
−
0
2 1
1
5. ( )lim ln
x
x x
→∞
+1 2
1
6. ( )lim ln
x
x x
→∞
1
7. ( )lim
x
x x x
→∞
+3 5
1
8. lim
x
xx
x→∞
+
+






1
2

103
Matematika Dasar
Danang Mursita
BAB 6 BARISAN DAN DERET
6.1 Barisan Bilangan
6.2 Deret Tak Hingga
6.3 Deret Berganti Tanda
6.4 Konvergen Mutlak dan Bersyarat
6.5 Deret Kuasa
6.6 Deret Taylor dan Mac Laurin
6.7 Turunan dan Integral Deret Kuasa
6.1 Barisan Bilangan
Barisan bilangan tak hingga didefinisikan sebagai fungsi dengan domain merupakan
bilangan bulat positif. Notasi yang biasa digunakan adalah:
a : n → { }a a an n=
∞
=
1 1 2, ,... , n ∈ B
+
.
an ∈ ℜ merupakan suku barisan ke-n dan tiga buah titik setelah suku kedua
menunjukkan bahwa suku-suku barisan tersebut sampai tak hingga.
Contoh 6.1
1.
1
1
1
2
1
3
1
1n nn






=
=
∞
, , ,..., ,....
2.
n
n
n
nn+






=
+=
∞
1
1
2
2
3 11
, ,..., ,....
3. ( ) ( ){ } ( ) ( )− + = − − ++
=
∞ +1 2 3 4 5 1 21
1
1n
n
nn n, , ,..., ,...
Barisan bilangan tak hingga { }an n=
∞
1
disebut barisan konvergen ke L ∈ ℜ bila
lim
n
na L
→∞
= , sedangkan bila limit tidak ada atau nilainya tak hingga maka barisan
bilangan tak hingga { }an n=
∞
1
disebut barisan divergen.
Sifat limit barisan :
1. lim
n
C C
→∞
=
2. ( )lim lim lim
n
n n
n
n
n
nCa Db C a D b
→∞ →∞ →∞
+ = +

104
Matematika Dasar
Danang Mursita
3. lim lim lim
n
n n
n
n
n
na b a b
→∞ →∞ →∞
=
4. lim lim lim ; lim
n
a
n
n
n
n
n
n
n
n b a b b
→∞ →∞ →∞ →∞
= ≠ 0
Contoh 6.2
Selidiki kekonvergenan barisan bilangan berikut
1.
∞
=





−
+
12
1
nn
n
2. ...,
6
27
,
4
9
,
2
3
Jawab :
1. Suku ke-n,
2
1
−
+
=
n
n
an . 1
2
1
limlim =
−
+
=
∞→∞→ n
n
a
n
n
n
. Jadi barisan konvergen ke 1
2. ...,
2
3
...,,
6
3
,
4
3
,
2
3
...,
6
27
,
4
9
,
2
3 32
n
n
= Suku ke-n ,
n
a
n
n
2
3
= . Digunakan dalil
Delhopital, ∞===
∞→∞→∞→ 2
3ln3
lim
2
3
limlim
n
n
n
n
n
n n
a . Jadi barisan divergen.
Definisi : Barisan Monoton
Barisan bilangan tak hingga { }an n=
∞
1
disebut barisan :
(i) Monoton Naik bila a an n≤ +1
(ii) Monoton Turun bila a an n≥ +1
Soal Latihan 6.1
( Nomor 1 sd 10 ) Tentukan konvergensi barisan berikut !
1.
n
n n+





 =
∞
2 1
2.
( )−







+
=
∞
1 1
2
1
n
n
n
3.
πn
n
n
4
1








=
∞

105
Matematika Dasar
Danang Mursita
4.
n
n
n
n
+
+














=
∞
3
1
1
5. 1
2
1
−














=
∞
n
n
n
6.
n
n
n2 1





 =
∞
7.
1
2
3
4
5
6
7
8
, , , ,...
8.
1
3
1
9
1
27
1
81
, , , ,...
9. 1
1
2
1
2
1
3
1
3
1
4
−





 −





 −





, , ,...
10. ( ) ( ) ( )2 3 3 4 4 5− − −, , ,...
6.2 Deret Tak Hingga
Bentuk deret tak hingga dinyatakan dengan notasi sigma sebagai berikut :
a a a ak k
k
= + + + +
=
∞
∑ 1 2
1
... ...
ak disebut suku-suku deret.
Jumlah Deret
Misal Sn menyatakan jumlah parsial n suku pertama deret ak
k=
∞
∑
1
. Maka
S a
S a a
S a a a an n k
k
n
1 1
2 1 2
1 2
1
=
= +
= + + + =
=
∑
....................
.....................
....................
...
Barisan { }Sn n=
∞
1
disebut barisan jumlah parsial deret ak
k=
∞
∑
1
.

106
Matematika Dasar
Danang Mursita
Misal { }Sn n=
∞
1
merupakan barisan jumlah parsial deret ak
k=
∞
∑
1
dan barisan { }Sn n=
∞
1
konvergen ke S. Maka deret ak
k=
∞
∑
1
dikatakan deret konvergen ke S dan S disebut
jumlah dari deret ak
k=
∞
∑
1
, dinotasikan dengan : S ak
k
=
=
∞
∑
1
. Sedangkan bila barisan
{ }Sn n=
∞
1
divergen maka deret ak
k=
∞
∑
1
dikatakan deret divergen dan tidak ada jumlah.
Deret Geometri
Bentuk deret geometri yaitu : a r a a r a rk k
k
− −
=
∞
= + + + +∑ 1 1
1
... ... dengan a ≠ 0 dan r
merupakan rasio. Pandang jumlah parsial n suku deret geometri berikut :
( )
S a a r a r
r S a r ... a r a r
S
a r
r
n
n
n
n n
n
n
= + + +
= + + +
−
=
−
−
−
−
...
..............................................................
1
1
1
1
Bila r =1 maka Sn tidak terdefinisi. Sedang untuk | r | > 1 maka lim
n
nr
→∞
= ∞ , sehingga
lim
n
nS
→∞
= ∞ atau barisan { }Sn n=
∞
1
divergen. Oleh karena itu, deret a rk
k
−
=
∞
∑ 1
1
divergen.. Untuk | r | < 1 maka lim
n
nr
→∞
= 0 sehingga lim
n
nS
a
r→∞
=
−1
atau barisan
{ }Sn n=
∞
1
konvergen ke ( )
a
r
a
1
0
−
≠ . Jadi deret a rk
k
−
=
∞
∑ 1
1
konvergen ke
( )
a
r
a
1
0
−
≠ atau a rk
k
−
=
∞
∑ 1
1
= ( )
a
r
a
1
0
−
≠ .

107
Matematika Dasar
Danang Mursita
Deret Harmonis
Bentuk deret harmonis yaitu :
1
1
1
2
1
1
k k
k
= + + + +
=
∞
∑ ... ...
Pandang jumlah parsial n suku pertama deret :
S
n
n
n
n = + + +





 + + + +





+ +
> + + +





 + + + +





+ +
= + + + + +
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
1
1
1
2
1
4
1
4
1
8
1
8
1
8
1
8
1
1
1
2
1
2
1
2
1
...
...
....
Untuk n → ∞ maka ( 1+ ½ + ½ + … + 1/n ) → ∞, sehingga lim
n
nS
→∞
= ∞ . Oleh karena
itu, deret harmonis
1
1
k
k=
∞
∑ divergen.
Tes Konvergensi
Misal ak
k=
∞
∑
1
merupakan deret positif ( ak ≥ 0 ). Maka lim
k
ka
→∞
= 0 bila deret ak
k=
∞
∑
1
konvergen . Hal ini menunjukkan bahwa bila lim
k
ka
→∞
≠ 0 maka deret ak
k=
∞
∑
1
divergen. Menggunakan implikasi di atas dapat diselidiki kekonvergenan suatu deret
yang diberikan pada contoh berikut
Contoh 6.3
Selidiki kekonvergenan deret berikut :
1. ∑
∞
= +
−
0 1
12
k k
k
2. ∑
∞
= +
−
0
2 1
12
k k
k
Jawab :

108
Matematika Dasar
Danang Mursita
1. Suku ke-k,
1
12
+
−
=
k
k
ak dan 2
1
12
limlim =
+
−
=
∞→∞→ k
k
a
k
k
k
. Sebab nilai limit tidak
sama dengan nol maka deret divergen.
2. Suku ke-k,
1
12
2 +
−
=
k
k
ak dan 0
1
12
limlim
2
=
+
−
=
∞→∞→ k
k
a
k
k
k
. Sebab nilai limit sama
dengan nol maka implikasi di atas tidak dapat digunakan untuk menentukan
kekonvergenan deret.
Untuk mengetahui konvergenan suatu deret dilakukan tes konvergensi sebagai berikut :
1. Tes Integral
Misal ak
k=
∞
∑
1
merupakan deret positif. Maka :
(i) Deret konvergen bila a dkk
1
∞
∫ konvergen
(ii) Deret divergen bila a dkk
1
∞
∫ divergen
Contoh 6.4
Selidiki kekonvergenan deret
k
ekk
2
1=
∞
∑
Jawab :
a dk
k
a
dk e
b
e
e ek
b k
b
b
k
b b1 1
2
2
2
1
2 1
1
2
1 1 1
2
∞
→∞ →∞
−
→∞
∫ ∫= =
−
=
−
−








=lim lim lim
Karena integral tak wajar di atas konvergen ke
1
2e
maka deret
k
ekk
2
1=
∞
∑ konvergen ke
1
2e
dan
k
ekk
2
1=
∞
∑ =
1
2e
.
2. Tes Deret-p
Bentuk deret-p atau deret hiperharmonis :
1
1 k p
k=
∞
∑ dengan p > 0.
Menggunakan tes integral didapatkan :

109
Matematika Dasar
Danang Mursita
1 1
1
1
11
1 k
dk
p bp b p
=
−
−






→∞ −
∞
∫ lim
Bila p > 1 maka lim
b pb→∞ −
=
1
01
, sehingga
1 1
1
1 k
dk
pp
=
−
∞
∫ ( konvergen ). Oleh
karena itu, deret
1
1 k p
k=
∞
∑ untuk p > 1 konvergen ke
1
1p −
. Untuk 0 < p < 1 maka
lim
b pb→∞ −
= ∞
1
1
sehingga
1
1 k
dkp
∞
∫ divergen. Sedang untuk p = 1 didapatkan deret
harmonis. Oleh karena itu, deret
1
1 k p
k=
∞
∑ untuk 0 < p ≤ 1 divergen.
3. Tes Perbandingan
Misal ak
k=
∞
∑
1
dan bk
k=
∞
∑
1
merupakan deret positif dan berlaku a b kk k≤ ∀, . Maka:
(i) Bila deret bk
k=
∞
∑
1
konvergen maka deret ak
k=
∞
∑
1
konvergen
(ii) Bila deret bk
k=
∞
∑
1
divergen maka deret ak
k=
∞
∑
1
divergen
Contoh 6.5
Tentukan konvergensi deret berikut
1.
1
12 kk −=
∞
∑
2.
k
kk
3
1 1+=
∞
∑
Jawab :
1. Pandang :
1 1
1k k
<
−
dan karena deret harmonis
1
1 kk=
∞
∑ divergen maka deret
1
12 kk −=
∞
∑ juga divergen.

110
Matematika Dasar
Danang Mursita
2. Pandang :
k
k k3 21
1
+
< dan karena deret-p
1
2
1 kk=
∞
∑ konvergen maka deret
k
kk
3
1 1+=
∞
∑ juga konvergen.
4. Tes Ratio
Misal ak
k=
∞
∑
1
deret positif dan lim
k
k
k
a
a
r
→∞
+
=1
. Maka :
(i) Bila r < 1 maka deret ak
k=
∞
∑
1
konvergen
(ii) Bila r > 1 maka deret ak
k=
∞
∑
1
divergen
(iii) Bila r = 1 maka tes gagal melakukan kesimpulan ( dilakukan dengan tes lain ).
Contoh 6.6
Selidiki kekonvergenan deret
1
1
k
k
!
=
∞
∑
Jawab :
Misal a
kk =
1
!
. Maka lim lim
k
k
k k
a
a k→∞
+
→∞
=
+
=1 1
1
0. Jadi deret
1
1
k
k
!
=
∞
∑ konvergen
5. Tes Akar
Misal ak
k=
∞
∑
1
deret positif dan lim
k
k
k a a
→∞
= . Maka :
(i) Bila a < 1 maka deret ak
k=
∞
∑
1
konvergen
(ii) Bila a > 1 atau a = ∞ maka deret ak
k=
∞
∑
1
divergen
(iii) Bila a = 1 maka tes gagal melakukan kesimpulan ( dilakukan dengan tes lain ).

111
Matematika Dasar
Danang Mursita
Contoh 6.7
Tentukan kekonvergenan deret
3 2
2 11
k
k
k
k
+
−






=
∞
∑
Jawab :
Misal a
k
kk
k
=
+
−






3 2
2 1
. Maka lim lim
k
k
k
k
a
k
k→∞ →∞
=
+
−
=
3 2
2 1
3
2
. Jadi deret
3 2
2 11
k
k
k
k
+
−






=
∞
∑ konvergen.
6. Tes Limit Perbandingan
Misal ak
k=
∞
∑
1
dan bk
k=
∞
∑
1
merupakan deret positif dan lim
k
k
k
a
b
l
→∞
= . Maka kedua deret
konvergen atau divergen secara bersama-sama bila l < ∞ dan l ≠ 0.
Contoh 6.8
Tentukan konvergensi deret
1
12
2 kk −=
∞
∑
Jawab :
Pandang deret-p ,
1
2
2 kk=
∞
∑ konvergen. Misal a
k
b
k
k k= =
−
1 1
12 2
dan . Maka
lim lim
k
k
k k
a
b
k
k→∞ →∞
=
−
=
2
2
1
1. Jadi deret
1
12
2 kk −=
∞
∑ konvergen.
Soal Latihan 6.2
1.
1
3 51
k
k +=
∞
∑
2.
1
5 2
1 k kk −=
∞
∑
3.
2 1
3 21
k
k
k k
−
+=
∞
∑

112
Matematika Dasar
Danang Mursita
4.
5 2
1
sin
!
k
k
k=
∞
∑
5.
2
4
1 k kk +=
∞
∑
6.
3
1
41 kk −=
∞
∑
7.
9
11
kk
+=
∞
∑
8.
k
k kk
+
−=
∞
∑
1
2
1
9.
1
81
kk
+=
∞
∑
10.
k
kk 2 2
1 +=
∞
∑
sin
11.
4 2 6
8 8
2
7
1
k k
k kk
− +
+ −=
∞
∑
12.
5
3 11
k
k +=
∞
∑
13.
( )
( )( )( )
k k
k k k
k
+
+ + +
=
∞
∑
3
1 2 5
1
14.
1
8 323
1 k kk −=
∞
∑
15.
( )
1
2 3
17
1 kk +=
∞
∑
16.
1
2 13
1 k kk + +=
∞
∑
17.
1
9 2
1
k
k
−
=
∞
∑
18.
k
kk
3
1 1+=
∞
∑

113
Matematika Dasar
Danang Mursita
19.
( )
1
3
2 5
1 +=
∞
∑
kk
/
20.
ln k
k
k=
∞
∑
1
21.
4
2 31 +=
∞
∑ k
k k
22.
( )
1
11 k kk +=
∞
∑
23.
5
3
1
k
k
k
k
+
+
=
∞
∑ !
6.3 Deret Berganti Tanda
Bentuk deret berganti tanda : ( )−
=
∞
∑ 1
1
k
k
k
a atau ( )− +
=
∞
∑ 1 1
1
k
k
k
a dengan ak ≥ 0.
Pengujian konvergensi deret berganti tanda dilakukan dengan cara berikut :
Deret berganti tanda ( )−
=
∞
∑ 1
1
k
k
k
a atau ( )− +
=
∞
∑ 1 1
1
k
k
k
a konvergen bila dipenuhi dua
syarat :
(i) a ak k≥ +1
(ii) lim
k
ka
→∞
= 0
Bila paling sedikit salah satu syarat tidak dipenuhi maka deret dikatakan divergen.
Contoh 6.9
Tentukan konvergensi deret :
1. a. ( )−
=
∞
∑ 1
1
1
k
k k
2. ( )−
+
+
+
=
∞
∑ 1
31
2
1
k
k
k
k k
Jawab :

114
Matematika Dasar
Danang Mursita
1. Misal a
kk =
1
. Maka
a
a
k
k k
k
k+
=
+
= + >
1
1
1
1
1. Oleh karena itu, a ak k≥ +1.
Sedangkan lim lim
k
k
k
a
k→∞ →∞
= =
1
0 . Jadi deret ( )−
=
∞
∑ 1
1
1
k
k k
konvergen.
2. Misal a
k
k k
k =
+
+
3
2
. Maka
( )a
a
k
k k
k k
k
k k
k k
k
k k
k
k+
=
+
+






+ + +
+







 =
+ +
+
= +
+
+
>
1
2
2 2
2 2
3 1 1
4
5 6
4
1
6
4
1
( )
. Oleh karena
itu, a ak k≥ +1. Sedangkan lim lim
k
k
k
a
k
k k→∞ →∞
=
+
+
=
3
02
. Jadi deret
( )−
+
+
+
=
∞
∑ 1
31
2
1
k
k
k
k k
konvergen.
Soal Latihan 6.3
1. ( )− +
=
∞
∑ 1
3
1
1
k
k
k
k
2. ( )−
+
+
+
=
∞
∑ 1
41
2
1
k
k
k
k k
3. −






=
∞
∑
3
5
1
k
k
4. ( )−
=
∞
∑ 1
1
k
k
k
k
ln
5. ( )− + −
=
∞
∑ 1 1
1
k k
k
e

115
Matematika Dasar
Danang Mursita
6.4 Konvergen Mutlak dan Bersyarat
Deret uk
k=
∞
∑
1
disebut konvergen mutlak bila deret uk
k=
∞
∑
1
konvergen. Bila deret
konvergen mutlak maka konvergen. Sedang deret uk
k=
∞
∑
1
disebut konvergen
bersyarat bila deret uk
k=
∞
∑
1
konvergen tetapi deret uk
k=
∞
∑
1
divergen.
Pengujian kekonvergenan ( mutlak ) deret uk
k=
∞
∑
1
dilakukan dengan tes ratio.
Misal uk
k=
∞
∑
1
dengan uk ≠ 0 dan lim
k
k
k
u
u
r
→∞
+
=1
. Maka
(i) Bila r < 1 maka deret uk
k=
∞
∑
1
konvergen absolut
(ii) Bila r > 1 maka deret uk
k=
∞
∑
1
divergen
(iii) Bila r = 1 maka tes gagal melakukan kesimpulan
Contoh 6.10
Selidiki deret berikut konvergen mutlak / bersyarat / divergen :
1. ( )−






=
∞
∑ 1
51
k
k
k
k
2.
( )−
=
∞
∑
4
2
1
k
k k
3.
( )−
=
∞
∑
1
1
k
k k
Jawab :
1. Misal ( )u
k
k
k
k
= −





1
5
. Maka lim lim
k
k
k k k
ku
u
k
k→∞
+
→∞ +
=
+
=1
1
1
5
5 1
5
. Jadi deret
( )−






=
∞
∑ 1
51
k
k
k
k
konvergen mutlak.

116
Matematika Dasar
Danang Mursita
2. Misal
( )
u
k
k
k
=
− 4
2 . Maka
( )
( ) ( )
lim lim
k
k
k k
k
k
u
u k
k
→∞
+
→∞
+
=
−
+ −
=1
1
2
24
1 4
4 . Jadi deret
( )−
=
∞
∑
4
2
1
k
k k
divergen.
3. Bila dilakukan pengujian di atas maka didapatkan r = 1 ( gagal ). Dari contoh
sebelumnya, deret
( )−
=
∞
∑
1
1
k
k k
konvergen tetapi deret
( )−
=
=
∞
=
∞
∑ ∑
1 1
1 1
k
k kk k
divergen
( deret harmonis ). Jadi deret
( )−
=
∞
∑
1
1
k
k k
konvergen bersyarat.
Soal Latihan 6.4
Selidiki kekonvergenan ( mutlak, bersyarat dan divergen ) deret berikut
1. ( )−
=
∞
∑ 1
1
k
k
k
k
ln
2. ( )− +
=
∞
∑ 1
21
1
k
k
k
k!
3. ( )− +
=
∞
∑ 1 1
1
k
k
k
k
k!
4.
( )− +
=
∞
∑
1 1
1
4
3
k
k k
5. ( )−
=
∞
∑ 1
51
k
k
k
k
6.
cos
!
k
k
k
π
=
∞
∑
1
6.5 Deret Kuasa
Bentuk umum deret kuasa dalam (x - b ) yaitu :
( ) ( ) ( )a x b a a x b a x bk
k
k
− = + − + − +
=
∞
∑
0
0 1 2
2 ... (*)
Sedang untuk b = 0 maka bentuk deret sebagai berikut :

117
Matematika Dasar
Danang Mursita
a x a a x a xk
k
k=
∞
∑ = + + +
0
0 1 2
2 ... (**)
Deret kuasa bentuk (*) konvergen untuk x = b dan bentuk (**) konvergen untuk x = 0
( yaitu konvergen ke a0). Pengujian apakah ada nilai x yang lain yang menyebabkan
deret konvergen dilakukan sebagai berikut :
Misal diberikan deret ( )a x bk
k
k
=
∞
∑ −
0
dan
( )
( )
lim
x
k
k
k
k
a x b
a x b
L
→∞
+
+−
−
=1
1
Maka : (1) L < 1, deret ( )a x bk
k
k
=
∞
∑ −
0
konvergen ( mutlak )
(2) L > 1, deret ( )a x bk
k
k
=
∞
∑ −
0
divergen.
Untuk L = 1 tidak dapat disimpulkan, pengujian konvergensi deret dilakukan dengan
mensubstitusikan nilai x yang bersesuaian dengan L = 1 sehingga didapatkan bentuk
deret bilangan. Pengujian konvergensi deret bilangan dilakukan dengan berbagai uji
( Uji perbandingan, rasio, integral dll ) baik deret positif maupun deret berganti tanda.
Nilai x yang didapatkan dari pengujian di atas disebut radius konvergensi atau selang
konvergensi deret.
Contoh 6.11
Tentukan selang konvergensi deret kuasa :
3
10
k k
k
x
k( )+=
∞
∑
Jawab :
( )
( )
L
x
k
k
x
x
k
k
x
k
k k
k k k
=
+
+
=
+
+
=
→∞
+ +
→∞
lim lim
3
2
1
3
3
1
2
3
1 1
Deret konvergen bila L < 1. Oleh karena itu, | 3 x | < 1 atau
−
< <
1
3
1
3
x .
Bila x = - 1/3 maka didapatkan deret berganti tanda
( )−
+=
∞
∑
1
10
k
k k( )
konvergen.
(Tunjukkan : menggunakan tes deret berganti tanda ). Sedang untuk x = 1/3 didapatkan
deret
1
10 ( )kk +=
∞
∑ divergen ( Tunjukkan : menggunakan tes perbandingan ). Jadi radius
konvergensi deret kuasa adalah
−
≤ <
1
3
1
3
x .

118
Matematika Dasar
Danang Mursita
Soal Latihan 6.5
( Nomor 1 sd 9 ) Tentukan semua nilai x yang menyebabkan deret konvergen.
1.
x
k
k
k
k ( )+=
∞
∑
1 20
2. k xk!∑
3.
x
k
k
!
∑
4.
( )
( )
−
+
∑
1
3 1
k k
k
x
k
5.
5
2
k
k
k
x∑
6.
( )−
+
+
∑
2
1
1k kx
k
7.
( )
( )
−
∑
1
2
2k kx
k !
8. ( )
( )
−
+
+
∑ 1
2 1
2 1
k
kx
k !
9. ( )
( )
− +
∑ 1 1
2
k
kx
k Ln k
( Nomor 10 sd 18 ) Tentukan selang kekonvergenan dari deret:
10. ( )
( )
−
−
+
=
∞
∑ 1
2
1
0
k
k
n
x
k
11.
( )x
k
k−
∑
1
12.
( )x
k
k+
∑
2
!
13.
( )x
k
k−
∑
5
2
14. ( )
( )
−
++
∑ 1
11k
kx
k
15. ( )
( )
( )
−
−
+
∑ 1
4
1 2
k
kx
k
16.
( )
( )
2 1
23
k
k
x k+
−∑
!

119
Matematika Dasar
Danang Mursita
17.
( )( )Ln k x
k
k−
∑
3
18.
( )2 3
42
x k
k
−
∑
6.6 Deret Taylor dan Mac Laurin
Misal f(x) dapat diturunkan sampai k kali pada x = b. Maka f(x) dapat diperderetkan
menjadi menjadi deret kuasa dalam bentuk :
( ) ( )f x
f b
k
x b f b f b x b
f a
x b
k
k
k
( )
( )
!
( ) '( )( )
"( )
!
...
( )
= − = + − + − +
=
∞
∑ 2
2
0
Deret di atas disebut Deret Taylor dengan pusat x = b atau disebut dengan polinomial
Taylor pada x = b. Bila b = 0 maka disebut Deret Mac Laurin, yaitu berbentuk :
f x
f
k
x f f x
f
x
k
k
k
( )
( )
!
( ) '( )
"( )
!
...
( )
= = + + +
=
∞
∑
0
0 0
0
2
2
0
Contoh 6.12
Perderetkan fungsi berikut ke dalam deret Mac Laurin
1. f x ex( ) =
2. f x
x
( ) =
−
1
1
Jawab :
1. Bila f x ex( ) = maka
( )f x en x( ) = dan
( )f n ( )0 1= . Oleh karena itu, deret Mac
Laurin dari f x ex( ) = , yaitu : e
x
k
x
k
k
=
=
∞
∑ !0
. Dari perderetan tersebut terlihat
bahwa deret konvergen untuk setiap nilai riil x atau selang / radius konvergensi deret
adalah ℜ.
2. Bila f x
x
( ) =
−
1
1
maka
( )
( )
f x
n
x
n
n
( )
!
=
−1
dan
( )f x nn ( ) != . Oleh karena itu,
deret Mac Laurin :
1
1 0−
=
=
∞
∑x
xk
k
. Selang konvergensi deret yaitu | x | < 1 atau
( -1,1 ).
Kedua bentuk deret di atas dapat digunakan untuk membantu memperderetkan fungsi ke
dalam deret Mac Laurin atau Taylor tanpa harus menghitung turunannya terlebih
dahulu, dengan syarat bahwa radius atau selang konvergensinya sebanding.

120
Matematika Dasar
Danang Mursita
Contoh 6.13
Perderetkan fungsi berikut ke dalam deret taylor dengan pusat diberikan berikut
1. f x e x( ) = 3 ; x = 0
2. f x
x
( ) =
1
; x = 1
Jawab :
1. Karena f x e x( ) = 3 mempunyai turunan ke-n untuk setiap nilai riil x maka selang
konvergensinya adalah ℜ. Oleh karena itu, dengan membandingkan pola perderetan
e
x
k
x
k
k
=
=
∞
∑ !0
maka didapatkan perderetan dari f x e x( ) = 3 yaitu
( )
e
x
k
x
k
k
3
0
3
=
=
∞
∑ !
.
2. Karena f x
x
( ) =
1
tidak diferensiabel di x = 0 dan fungsi akan diperderetkan ke
dalam deret taylor dengan pusat di x = 1 maka tempat kedudukan titik-titik | x - 1 | <
1 merupakan selang konvergensinya. Oleh karena itu, perderetan fungsi
f x
x
( ) =
1
dalam deret taylor dengan pusat di x = 1 :
( ) ( )f x
x x
xk k
k
( )
( )
= =
+ −
= − −
=
∞
∑
1 1
1 1
1 1
0
.
Soal Latihan 6.6
( Nomor 1 sd 10 ) Perderetkan fungsi berikut dalam deret Mac Laurin
1. f x e x( ) = 2
2. f x
x
( ) =
+
1
1
3. f x
x
( ) =
+
1
12
4. f x
x
( ) =
+
1
2
5. f x
x
( ) =
+
1
1 2
6. f x
x
x
( ) =
+1
7. f(x) = sinh x
8. f(x) = sin x
9. f(x) = cos x
10. f(x) = sec x

121
Matematika Dasar
Danang Mursita
( Nomor 11 sd 16 ) Carilah polinomial Taylor pada x = b, bila :
11. f(x) = Ln x ; b = 1
12. f x
x
b( ) ;= = −
1
1
13. f x
x
b( ) ;=
+
=
1
2
3
14. f(x) = cos x ; b = ½ π
15. f(x) = sinh x ; b = Ln 4
16. f(x) = sin πx ; b = ½
6.7 Turunan dan Integral Deret Kuasa
Misal deret ( )a x bk
k
k
=
∞
∑ −
0
mempunyai radius konvergensi R dan
( )f x a x bk
k
k( ) = −
=
∞
∑
0
. Maka :
(i) ( )f x k a x bk
k
k'( ) = −
=
∞
−
∑
0
1
(ii) ( )f t dt a t b dt
C
x
k
k
C
x
k
( )∫ ∫∑= −
=
∞
0
Contoh 6.14
Perderetkan dalam Mac Laurin fungsi
1. f(x) = tan
-1
x .
2. f(x) = ln ( 1 -x )
3.
( )
f x
x
( ) =
−
1
1 2
Jawab :
1. Pandang : tan− =
+
∫1
2
01
x
dt
t
x
dan ( )
1
1
1
2
2
0+
= −
=
∞
∑
x
xk k
k
Maka
( )
tan− +
=
∞
=
−
+
∑1 2 1
0
1
2 1
x
k
x
k
k
k
.
2. Pandang : ( )ln 1
1
0
− = −
−
∫x
dt
t
x
. Maka ( )ln 1
1
1
0
− = −
+
+
=
∞
∑x
x
k
k
k

122
Matematika Dasar
Danang Mursita
3. Karena
( )
f x
x
( ) =
−
1
1 2
merupakan hasil penurunan terhadap x dari
1
1− x
, maka
( )
f x
x
k xk
k
( ) =
−
= −
=
∞
∑
1
1 2
1
0
Soal Latihan 6.7
Tentukan perderetan mac Laurin dari :
1. f(x) = ln ( 1 + x )
2. f x
x
x
( ) ln=
−
+






1
1
3. f(x) = ln ( 1 + x
2
)
4.
( )
f x
x
( ) =
−
1
1 3
5.
( )
f x
x
x
( ) =
+1 2
6. ( )f x t dt
x
( ) ln= +∫ 1
0
7. f x t dt
x
( ) tan= −
∫ 1
0

123
Matematika Dasar
Danang Mursita
BAB 7 PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA
7.1 Order Persamaan Diferensial
7.2 Persamaan Diferensial Linear Order Satu
7.3 Peubah Terpisah
7.4 Persamaan Diferensial dengan Koefisien Homogen
7.5 Persamaan Diferensial Linear Order Dua Homogen
7.6 Persamaan Diferensial Linear Order Dua Tak Homogen
7.1 Order Persamaan Diferensial
Banyak permasalahan dalam bidang rekayasa yang berkaitan dengan persamaaan
diferensial. Satu contoh yang ditampilkan disini, misal dalam rangkaian listrik , RL,
besar kuat arus I ( Ampere ) dalam satuan waktu ( t ) yang melalui rangkaian tersebut
dihitung menggunakan rumus berikut :
( ) ( )L
dI
dt
R I E t L I R I E t+ = + =atau '
Bentuk rumus di atas merupakan persamaan diferensial dengan t merupakan satu-
satunya peubah bebas. Sedangkan besaran Tahanan R ( Ohm ) dan Induksi L (Henry)
diberikan. Fungsi E ( t ) merupakan besaran gaya elektromagnetik / voltase ( Volt ).
Dalam notasi implisit, bentuk persamaan diferensial di atas dapat dituliskan :
( )f I I t', , = 0
Persamaan diferensial merupakan persamaan yang berkaitan dengan turunan dari suatu
fungsi atau memuat suku-suku dari fungsi tersebut dan atau turunannya. Bila fungsi
tersebut tergantung pada satu peubah bebas real maka disebut Persamaan Diferensial
Biasa ( PDB ). Sedangkan bila fungsi terdiri dari lebih dari satu peubah bebas maka
disebut Persamaan Diferensial Parsial ( PDP ).
Untuk lebih memperjelas pengertian PDB dan PDP diberikan beberapa contoh
persamaan diferensial berikut.
1.
d y
dx
xy
2
2
= [ Persamaan Airy ]
2.
dy
dx
y y+ = 2 [ Persamaan Bernoulli ]
3. ( )x
d y
dx
x
dy
dx
x y2
2
2
2 4 0+ + − = [ Persamaan Bessel ]
4. ( )d y
dx
y
dy
dx
y
2
2
21 0− − + = [ Persamaan Van Der Pol ]
5.
∂
∂
∂
∂
u
x
u
y
+ = 0 [ Persamaan Flux ]

124
Matematika Dasar
Danang Mursita
6.
∂
∂
∂
∂
u
t
u
x
=
2
2
[ Persamaan Panas ]
7.
∂
∂
∂
∂
2
2
2
2
u
t
u
x
= [ Persamaan Gelombang ]
8.
∂
∂
∂
∂
2
2
2
2
0
u
x
u
y
+ = [ Persamaan Laplace ]
Persamaan 1 sd 4 merupakan PDB dengan peubah bebas, x dan peubah tak bebas, y,
sedangkan persamaan 5 sd 8 merupakan PDP.
Mengawali pembahasan tentang PDB dikenalkan suatu istilah dalam persamaan
diferensial yaitu order . Order dari PD adalah besar turunan tertinggi yang terjadi pada
PD tersebut. Dari contoh di atas persamaan Bernoulli mempunyai order 1 sedangkan
persamaan Airy, Bessel dan Van Der Pol berorder 2.
Berdasarkan sifat kelinearan ( pangkat satu ) dari peubah tak bebasnya, persamaan
diferensial dapat dibedakan menjadi PD Linear dan PD tidak linear. Bentuk umum PD
linear order n diberikan :
( ) ( )a x y a x y a x y f x a xn
n
n+ + + = ≠..... ( ) ' ( ) ( ) ( )1 0 0dengan
a x a xn( ),......., ( )0 disebut koefisien PD.
Bila f(x) = 0 maka disebut PD Linear Homogen sedang bila f(x) ≠ 0 maka disebut PD
Linear tak Homogen. Bila tidak dapat dinyatakan seperti bentuk di atas dikatakan PD
tidak Linear. Dari contoh terdahulu, persamaan Airy dan Bessel merupakan PD Linear
( Homogen ) sedangkan persamaan Bernoulli dan Van Der Pol merupakan PD tidak
linear.
Misal diberikan fungsi : y = sin x - cos x + 1. Bila dilakukan penurunan sampai duakali:
y x x y x x' cos sin " sin cos= + = − +dan , didapatkan hubungan :
y y"+ = 1
Bentuk di atas merupakan PD Linear tak Homogen order 2 dengan koefisien konstan.
Sedangkan fungsi y = sin x - cos x + 1 disebut solusi PD. Yang menjadi permasalahan
disini, Bila diberikan suatu PD bagaimana cara mendapatkan solusinya ?
Beberapa cara mendapatkan solusi PD akan dibahas pada sub bab berikut. Untuk
mempermudah dalam mempelajari cara mendapatkan solusi PD akan dimulai dengan
pembahasan dari bentuk PD order satu .
Soal Latihan 7.1
Klasifikasikan PD berikut menurut : order, linear atau tidak linear, homogen atau tidak
homogen.

125
Matematika Dasar
Danang Mursita
1.
dy
dx
xy+ =2 1
2.
d y
dx
d y
dx
dy
dx
y
3
3
2
2
0+ + + =
3.
d u
dt
t
du
dt
u t
2
2
3+ + =
4.
d v
dt
t v
2
2
2=
5.
d y
dx
y x
3
3
+ = sin
6. ( )
d y
dx
x y x
2
2
+ + =sin sin
7.
d y
dx
y
2
2
2 0+ =
7.2 Persamaan Diferensial Linear Order Satu
Bentuk umum PD linear order satu : y p x y f x' ( ) ( )+ = . Untuk menentukan solusi PD
dilakukan sebagai berikut :
( )
[ ] [ ]
y p x y f x u x y p x y u x f x
u x y u x p x y u x p x
u x y u x y u x y u x p x y u x f x
' ( ) ( ) ( ) ' ( ) ( ) ( )
( ) ' ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ' '( ) '( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+ = ⇔ + =
⇔ + =
⇔ + − − =
Pandang [ ]u x y u x y u x y( ) ( ) ' '( )'= + . Misal u x y u x p x y'( ) ( ) ( )− = 0 . Maka didapatkan:
[ ]u x y u x f x( ) ( ) ( )'= . Dengan mengintegralkan kedua ruas terhadap x didapatkan solusi
PD Linear order satu, yaitu :
y
u x
u x f x dx= ∫
1
( )
( ) ( )
Karena bentuk di atas merupakan integral tak tentu maka solusi masih mengandung
konstanta C dan disebut Solusi Umum PD. Fungsi u(x) disebut faktor integrasi dan
dicari dari :
u x u x p x u x e p x dx'( ) ( ) ( ) ( ) ( )− = = ∫0 atau
Solusi khusus PD dapat ditentukan mensubstitusikan nilai awal - y(a) = b yang
diberikan - ke dalam solusi umum untuk menghitung besar nilai C.

126
Matematika Dasar
Danang Mursita
Contoh 7.1
Diketahui PD : y y ex'− = . Tentukan :
1. Solusi umum PD
2. Solusi khusus PD bila nilai awal, y ( 0 ) = -3
Jawab :
1. Dari PD didapatkan p(x) = -1 dan f(x) = e
x
.
Faktor integrasi, u x e e ep x dx dx x( ) ( )= = =∫ −∫ −
Solusi umum, ( )y
u x
u x f x dx e x Cx= = +∫
1
( )
( ) ( )
2. Dari solusi umum, didapatkan dengan mensubstitusikan x = 0 dan y = -3 ke dalam
solusi umum sehingga didapatkan C = -3. Jadi solusi khusus PD, ( )y e xx= − 3
Soal latihan 7.2
( Nomor 1 sd 5 ) Tentukan solusi umum PD berikut:
1. y y e x'+ = −2
2. y x y ex'− =2
2
3.
dy
dx
y x+ = sin
4.
dy
dx
y
x x
+ =
1
2
5. x
dy
dx
y x+ = 2
( Nomor 6 sd 11 ) Tentukan solusi khusus PD berikut :
6. y x y x y' ; ( )− = =2 0 0
7. x y y x y' ; ( )+ = =2 4 1 22
8.
dy
dx
x y x y+ = =2 1 13 ; ( )
9.
dy
dx
y y− = =1 0 1; ( )
10.
dy
dx x
y x y− = =
3
1 43 ; ( )
11. ( )1 0+ + =e
dy
dx
e yx x ; y(0) = 1
12. Dari rangkaian listrik, RL diketahui induksi L = 1 Henry, tahanan R = 10
6
Ohm dan
gaya elektromagnetik / voltase E = 1 Volt. Tentukan besar kuat arus ( I dalam

127
Matematika Dasar
Danang Mursita
ampere) yang melalui rangkaian tersebut dalam fungsi t, bila pada saat t = 0, maka
kuat arus I = 0. Hitung pula besar kuat arus, I setelah waktu t = 10.
Rangkaian listrik, RC, dinyatakan oleh rumus : R
dQ
dt
Q
C
E t+ = ( ) dengan muatan Q
(Coulomb ) , Kapasitor C ( Farads ) dan gaya elektromagnetik / Voltase E(t) ( Volt ).
( Nomor 13 dan 14 ) Menggunakan rumusan di atas hitunglah besarnya muatan ( Q )
pada waktu t = 10 bila pada waktu t = 0 besar muatan Q = 0.
13. R = 5, C = 0,1 dan E(t) = 0
14. R = 1, C = 2 dan E(t) = e
x
.
7.3 Peubah Terpisah
Seringkali dijumpai pada PD order satu, peubah x dan y dapat dipisahkan sehingga
peubah x dapat dikelompokan dengan dx dan peubah y dapat dikelompokan dengan dy
pada ruas yang berbeda. Sehingga solusi umum PD dapat secara langsung dicari tanpa
harus menentukan faktor integrasi, dengan mengintegralkan kedua ruas.
Bentuk umum PD peubah terpisah diberikan berikut :
y
dy
dx
M x
N y
N y dy M x dx'
( )
( )
( ) ( )= = =atau . Solusi umum PD didapatkan dari
penyelesaian integral berikut : N y dy M x dx( ) ( )∫ ∫= .
Contoh 7.2
Diketahui PD : y
y
x
'−
+
=
1
0. Tentukan :
1. Solusi umum PD.
2. Solusi khusus PD bila diberikan y ( 0 ) = 1.
Jawab :
1. PD dapat dituliskan dalam bentuk :
dy
y
dx
x
=
+ 1
Sehingga ( ) ( )∫ ∫=
+
⇔ = + + = +
dy
y
dx
x
y x C C x
1
1 1ln ln ln ln .
Solusi umum, y = C ( x + 1 )
2. Dari solusi umum didapatkan C = 1. Solusi khusus, y = x + 1.

128
Matematika Dasar
Danang Mursita
Soal Latihan 7.3
( Nomor 1 sd 6 ) Tentukan solusi umum PD berikut.
1. y
x
y
'=
−
2
21
2.
dy
dx
y x
y
=
+
cos
1 2 2
3.
dy
dx
y= +1 2
4.
dy
dx x x
=
−
1
3
5.
dy
dx
ex y= +
6.
dy
dx
y x
x
=
−
sin
cos1
( Nomor 7 sd 13 ) Tentukan solusi khusus PD berikut.
7.
dy
dx
xy y= =; ( )0 1
8.
dy
dx
y
x
y=
+
=
1
0 1; ( )
9.
dy
dx
y y= − = −2 4 0 6; ( )
10.
dy
dx
x xy
y
y=
+
=
2
4
1 0; ( )
11. x
dy
dx
y x y y e− = =2 12 ; ( )
12. sin 2x dx + cos 3y dy = 0 ; y ( π/2 ) = π/3
13. ( )( )y x y y' ; ( )= + + =2 1 1 0 02
7.4 Persamaan Diferensial dengan Koefisien Homogen
Fungsi F(x,y) disebut fungsi homogen bila terdapat n ∈ ℜ sehingga berlaku
( )F k x k y k F x yn, ( , )= . n disebut order dari fungsi homogen F(x,y).
Contoh 7.3
Selidiki apakah fungsi berikut merupakan fungsi homogen. Bila ya, tentukan ordernya.
1. 22),( yxyyxF −=

129
Matematika Dasar
Danang Mursita
2. ( )xyxyxG sin),( 2 −=
Jawab :
1. ( )( ) ( ) ( ) ),(22),( 2222 yxFkyxykkykykxkykxF =−=−= . F(x,y) merupakan fungsi
homogen dengan order dua.
2. ( ) [ ][ ]( ) ),(sin),( 22 yxGkkykxkxkykxG ≠−= . G(x,y) bukan merupakan fungsi
homogen.
Beberapa bentuk PD tak linear order satu dengan peubah tak terpisah namun
koefisiennya merupakan fungsi homogen dengan order sama dapat dicari solusinya
menggunakan metode substitusi sehingga didapatkan bentuk PD peubah terpisah.
Bentuk PD order satu dengan koefisien homogen dapat dituliskan sebagai :
M x y dy N x y dx( , ) ( , )= dengan M(x,y) dan N(x,y) merupakan fungsi homogen dengan
order sama atau
dy
dx
F x y= ( , ) dengan F(x,y) merupakan fungsi homogen order nol.
Maka solusi PD dicari dengan mensubstitusikan : y = v x dan dy = v dx + x dv ke
dalam PD sehingga didapatkan bentuk PD dengan peubah terpisah.
Contoh 7.4
Diketahui PD : ( )x y dy xydx2 2 0+ − = . Tentukan :
1. Solusi umum PD
2. Solusi khusus PD bila y(0) = 1
Jawab :
1. Substitusikan y = v x dan dy = v dx + x dv ke dalam PD, didapatkan :
( )( )
( )( )
( )
x v x v dx x dv vx dx
v v dx x dv v dx
dx
x
v dv
v
x
v
v C Cxv e
v
2 2 2 2
2
2
3
2
1
2
0
1 0
1
1
2
2
+ + − =
+ + − =
=
− +
= − − =








ln ln ln atau
Solusi umum PD, C y e
x
y
=








2
22
2. Solusi khusus PD, y e
x
y
=








2
22

130
Matematika Dasar
Danang Mursita
Soal latihan 7.4
1.
dy
dx
y xy
x
=
+2
2
2
2.
dy
dx
x y
x
=
+
3.
dy
dx
x y
x y
=
+
−
3
4. 2 y dx - x dy = 0
5. ( )x x y y dx x dy2 2 23 0+ + − =
Dalam Matematika terapan, seringkali dijumpai permasalahan untuk mendapatkan
keluarga kurva yang tegak lurus terhadap suatu keluarga kurva yang diberikan. Masalah
ini disebut Trayektori Ortogonal. Pengertian dari ortogonal / tegak lurus dari dua
keluarga kurva adalah pada titik potongnya kedua garis singgung kurva saling tegak
lurus. Misal diberikan keluarga kurva f(x,y) = C dengan C merupakan parameter. Maka
untuk mendapatkan trayektori ortogonal dilakukan langkah sebagai berikut :
(i) Turunkan f(x,y) = C secara implisit terhadap x, misal Df(x,y).
(ii) Menggunakan fakta bahwa gradien dari dua buah garis ( m1 dan m2 ) yang tegak
lurus berlaku : m
m1
2
1
=
−
. Keluarga kurva yang tegak lurus dengan f(x,y) = C
mempunyai turunan pertama,
− 1
Df x y( , )
. Bila dari turunan pertama tersebut masih
mengandung parameter C maka nyatakan C sebagai fungsi dalam x atau y.
(iii)Trayektori ortogonal dari f(x,y) = C didapatkan dengan mencari solusi PD :
y
Df x y
'
( , )
=
− 1
.
( Nomor 6 sd 15 ) Tentukan trayektori ortogonal dari keluarga kurva yang diberikan
berikut.
6. y = C
7. x y = C
8. y = C x
2
.
9. y = C x
3
.
10. x
2
- y
2
= C
11. x
2
+ y
2
= C
12. 4 x
2
+ y
2
= C
13. x
2
= 4 c y
3
.
14. ( )x y C C2 2
+ − =
15. y x C= +

131
Matematika Dasar
Danang Mursita
7.5 Persamaan Diferensial Linear Order Dua Homogen
Bentuk umum PD linear order dua dengan koefisien konstan adalah :
a y b y cy f x" ' ( )+ + = dengan a, b dan c konstanta. Bila f(x) = 0 maka
a y b y c y" '+ + = 0 disebut PD linear order dua homogen, sedang bila f(x) ≠ 0 maka
disebut PD linear order dua tak homogen.
Solusi PD homogen ditentukan dengan memperkenalkan terlebih dahulu pengertian
kebebasan linear dan Wronkian dari dua fungsi. Dua buah fungsi f(x) dan g(x)
dikatakan bebas linear pada interval I bila persamaan kombinasi linear dari dua fungsi
tersebut, m f(x) + n g(x) = 0 untuk setiap x ∈ I hanya dipenuhi oleh m = n = 0. Bila
tidak demikian maka dikatakan f(x) dan g(x) tidak bebas linear atau bergantung
linear.
Misal diberikan dua fungsi f(x) dan g(x) yang diferensiabel untuk setiap x ∈ ℜ. Maka
Wronkian dari f(x) dan g(x ) didefinisikan :
( )W f x g x
f x g x
f x g x
( ), ( )
( ) ( )
'( ) '( )
=
Sifat dari kebebasan linear dan wronkian dari dua fungsi f(x) dan g(x) diberikan berikut.
Dua fungsi f(x) dan g(x) dikatakan bebas linear pada I bila dan hanya bila wronkian dari
dua fungsi tersebut, W [ f(x),g(x)] ≠ 0 untuk setiap x ∈ I.
Dari PD order satu didapatkan sebuah solusi sedangkan PD order dua homogen
didapatkan dua buah solusi yang bebas linear. Misal y1(x) dan y2(x) merupakan solusi
PD homogen dan keduanya bebas linear. Maka kombinasi linear dari keduanya
merupakan solusi umum PD homogen, yaitu y = C1 y1(x) + C2 y2(x). Selanjutnya
dalam menentukan solusi PD homogen dilakukan hal berikut.
Misal y e mx= merupakan solusi PD homogen : a y b y c y" '+ + = 0. Dengan
mensubstitusikan solusi tersebut dan turunannya ke dalam PD didapatkan :
( ) ( )
( )
a e b e ce
e a m bm c
mx mx mx
mx
" '
+ + =
+ + =
0
02
Sebab e xmx ≠ ∀ ∈0 , ℜ, maka a m bm c2 0+ + = dan disebut persamaan
karakteristik dari PD. Akar persamaan karakteristik dari PD adalah :
m
b b ac
a
b D
a
m
b b ac
a
b D
a1
2
2
24
2 2
4
2 2
=
− + −
=
− +
=
− − −
=
− −
dan
Kemungkinan nilai m1 dan m2 bergantung dari nilai D, yaitu :
1. Bila D > 0 maka m1 ≠ m2 ( Akar real dan berbeda )
2. Bila D = 0 maka m1 = m2 ( Akar real dan sama )
3. Bila D < 0 maka m1 , m2 merupakan bilangan kompleks ( imajiner )

132
Matematika Dasar
Danang Mursita
1. Akar Karakteristik Real dan Berbeda.
Misal persamaan karakteristik dari PD : a y b y c y" '+ + = 0 merupakan bilangan real
dan berbeda, m1 ≠ m2 . Maka y e m x
1 1= dan y e m x
2 2= merupakan solusi bebas
linear dari PD homogen tersebut. Solusi umum PD dituliskan :
y C y C y C e C em x m x= + = +1 1 2 2 1 21 2
Sedangkan solusi khusus PD dapat ditentukan dengan mencari nilai dari C1 dan C2 dari
nilai awal yang diberikan.
Contoh 7.5
Diketahui PD : y y y" '− + =5 6 0. Tentukan :
1. Solusi umum PD
2. Solusi khusus PD bila nilai awal y(0) = 1 dan y ‘ ( 0 ) = 0.
Jawab :
1. Persamaan karakteristik PD : m
2
- 5 m + 6 = 0 = 0 mempunyai akar m = 3 dan m =
2. Solusi umum PD, y C e C ex x= +1
3
2
2
2. Substitusi nilai awal ke dalam solusi umum, y C e C ex x= +1
3
2
2 dan turunan
pertamanya, y C e C ex x'= +3 21
3
2
2 didapatkan C1 = -2 dan C2 = 3. Jadi solusi
khusus PD, y e ex x= − +2 33 2
2. Akar Karakteristik Real dan Sama.
Misal persamaan karakteristik dari PD : a y b y c y" '+ + = 0 merupakan bilangan real
dan sama, m
b
a
=
−
2
. Maka salah satu solusi PD : y e emx
b x
a
1 2= =
−
. Untuk
menentukan solusi yang lain, solusi kedua PD, didapatkan dengan memisalkan :
y v x y v x e
b x
a
2 1
2= =
−
( ) ( ) . Fungsi v(x) dicari dengan mensubstitusikan solusi kedua
dan turunannya ke dalam PD :
y v x e
y v x e
b
a
v x e
y v x
b
a
v x
b
a
v x e
b x
a
b x
a
b x
a
b x
a
2
2
2
2
2
2
2 2
2
2
2 4
=
= −
= − +








−
− −
−
( )
'( ) ( )
"( ) '( ) ( )
'
"

133
Matematika Dasar
Danang Mursita
a v x
b
a
v x
b
a
v x e b v x
b
a
v x e cv x e
a v x
b
a
v x
b
a
v x b v x
b
a
v x cv x
av x
b
a
c
b x
a
b x
a
b x
a"( ) '( ) ( ) '( ) ( ) ( )
"( ) '( ) ( ) '( ) ( ) ( )
"( )
− +







 + −





 + =
− +







 + −





 + =
− −
− − −2
2
2
2
2
4 2
0
4 2
0
4
2 2 2







 =v x( ) 0
Sebab D b a c= − =2 4 0, maka a v x"( ) = 0. Oleh karena itu, v(x) dapat dinyatakan
sebagai fungsi linear yaitu v(x) = p x + q.
Ambil p = 1 dan q = 0, didapatkan v(x) = x dan solusi kedua : y xe
b x
a
2
2
=
−
Solusi pertama dan kedua PD, y1 dan y2 merupakan solusi bebas linear, sehingga solusi
umum PD bila akar karakterisitik dimisalkan m, yaitu :
y C e C xemx mx= +1 2
Cara untuk mendapatkan solusi kedua di atas dikenal dengan nama metode urutan
tereduksi.
Contoh 7.6
Diketahui PD : y y"− = 0. Tentukan :
1. Solusi umum PD
2. Solusi khusus PD bila y(0) = 1 dan y ‘(0) = -1
Jawab :
1. Akar persamaan karakteristik PD, m = 1. Solusi umum , y C e C xex x= +1 2
2. Solusi khusus PD, y e xex x= − 2
3. Akar Karakteristik Kompleks
Misal akar karakteristik PD : a y b y c y" '+ + = 0 kompleks :
m p iq dan m p iq dengan i p
b
a
dan q
D
a1 2 1
2 2
= + = − = − =
−
=: ,
Maka solusi umum PD dituliskan :
( ) ( )y C e C e C e C em x m x p iq x p iq x
= + = ++ −
1 2 1 2
1 2
Menggunakan rumus Euler : e y i yi y = +cos sin , didapatkan :
( ) ( )
( ) ( )
y C e qx i qx C e qx i qx
C C e qx i C C e qx
px px
px px
= + + −
= + + −
1 2
1 2 1 2
cos sin cos sin
cos sin

134
Matematika Dasar
Danang Mursita
Karena solusi PD yang diharapkan dalam fungsi bernilai real, maka dapat diambil
( )C C C dan C i C C3 1 2 4 1 2= + = − . Sehingga didapatkan solusi umum PD :
( )y e C qx C qxpx= +3 4cos sin
Hal ini dapat dilakukan karena terlihat bahwa solusi pertama dan solusi kedua PD,
y e qx y e qxp x p x
1 2= =cos sindan merupakan solusi bebas linear.
Contoh 7.7
Diketahui PD, y y"+ =4 0. Tentukan :
1. Solusi umum PD
2. Solusi khusus PD bila y(0) = 1 dan y ‘(0) = -3
Jawab :
1. Akar persamaan karakteristik PD, m = ± 3 i. Didapatkan p = 0 dan q = 3. Solusi
umum PD, y C x C x= +3 43 3cos sin .
2. Substitusikan nilai awal ke dalam solusi umum dan turunannya, didapatkan C3 = 1
dan C4 = -1. Solusi khusus PD, y x x= −cos sin3 3
Soal latihan 7.5
1. y y y" '+ − =5 6 0
2. y y y" '+ + =4 4 0
3. y y y" '+ + =2 5 0
4. y y y" '+ + =2 8 0
5. 3 4 9 0y y y" '+ + =
( Nomor 6 sd 10 ) Tentukan solusi khusus PD berikut.
6. y y y y y" ' ; ( ) , '( )− − = = = −4 5 0 0 0 0 1
7. y y y y" ; ( ) , '( )− = = =0 0 1 0 0
8. y y y y" ; ( ) , '( )+ = = = −4 0 0 1 0 1
9. y y y y y" ' ; ( ) , '( )− + = = =6 9 0 0 1 0 0
10. y y y y y" ' ; ( ) , '( )− + = = − =4 7 0 0 1 0 0
7.6 Persamaan Diferensial Linear Order Dua Tak Homogen
Solusi umum PD linear orde dua tak homogen merupakan jumlah dari solusi PD
homogen, yh dan solusi pelengkap, yp dituliskan :
y y yh p= +

135
Matematika Dasar
Danang Mursita
Solusi homogen dicari seperti penjelasan terdahulu, sedangkan solusi pelengkap dicari
menggunakan dua metode yaitu : metode koefisien tak tentu dan metode variasi
parameter.
1. Metode Koefisien Tak Tentu
Misal f(x) merupakan fungsi polinom, eksponen, sinus atau cosinus. Maka solusi
pelengkap, yp dimisalkan sebagai jumlah dari f(x) dan semua turunannya ( lihat tabel ).
Selanjutnya y y yp p p, ' "dan disubstitusikan ke dalam PD untuk menghitung nilai dari
koefisiennya.
f(x) yp
xn A x A x A x An
n
n
n+ + + +−
−
1
1
1 0...
ea x A ea x
x ea x A ea x + B x ea x
sin ax A sin ax + B cos ax
cos ax A sin ax + B cos ax
Contoh 7.8
Tentukan solusi umum dari PD :
1. y “ - y = -3 e
2x
.
2. y “ + y = 6 sin 2x
Jawab :
1. Akar karakteristik PD, m = ± 1. Solusi homogen, yh = C1 e
x
+ C2 e
-x
. Solusi
pelengkap, yp = Ae
2x
. Substitusikan solusi pelengkap dan turunan keduanya ke
dalam PD : 4 A e
2x
- A e
2x
= -3 e
2x
, didapatkan A = -1 sehingga solusi pelengkap,
yp = - e
2x
. Solusi umum PD, y = C1 e
x
+ C2 e
-x
- e
2x
.
2. Akar karakteristik PD, m = ± i. Solusi homogen, yh = C1 cos x + C2 sin x. Solusi
pelengkap, yp = A cos 2x + B sin 2x. Substitusikan solusi pelengkap dan turunan
keduanya ke dalam PD didapatkan : A = 0 dan B = -2, sehingga solusi pelengkap,
yp = -2 sin 2x. Solusi umum PD, y = C1 cos x + C2 sin x - 2 sin 2x.
Bila f(x) merupakan suku-suku dari solusi homogen, maka solusi pelengkap diambil
sebagai perkalian dari x
s
dan f(x) dengan s terkecil ( s = 1,2,3,… ) sehingga bukan
merupakan suku-suku dari solusi homogennya.

136
Matematika Dasar
Danang Mursita
Contoh 7.9
Tentukan solusi khusus PD : y y y e x" '− + =6 9 3 ; y(0) = -1 dan y ‘(0) =1.
Jawab :
Akar karakteristik PD, m = 3. Solusi homogen, yh = C1 e
3x
+ C2 x e
3x
. Karena e
3x
dan
x e
3x
merupakan suku-suku dari solusi homogen maka diambil solusi pelengkap , yp =
A x
2
e
3x
. Substitusikan solusi pelengkap dan turunannya ke dalam PD didapatkan A =
½ . Solusi umum PD, y = C1 e
3x
+ C2 x e
3x
+ ½ x
2
e
3x
. Substitusi nilai awal ke dalam
solusi umum dan turunannya, didapatkan C1 = -1 dan C2 = 4. Solusi khusus PD, y = -
e
3x
+ 4 x e
3x
+ ½ x
2
e
3x
.
2. Metode Variasi Parameter.
Seringkali dijumpai pada pembahasan terdahulu, metode koefisien tak tentu bentuk
solusi pelengkap tidak bisa ditentukan. Hal ini disebabkan fungsi f(x) mempunyai
bentuk turunan sebanyak tak hingga, misal f(x) = sec x. Kadang pula terjadi terlalu
banyak koefisien yang harus dicari, sehingga dirasa metode pengerjaan tersebut kurang
praktis. Metode berikut akan membahas cara yang lebih umum tanpa memperhatikan
bentuk fungsi f(x).
Misal y C y C yh = +1 1 2 2 merupakan solusi homogen PD : y p y q y f x" ' ( )+ + = .
Maka solusi pelengkap dimisalkan : y v y v yp = +1 1 2 2
Fungsi v1(x) dan v2(x) merupakan fungsi parameter. Bila solusi pelengkap diatas
diturunkan sekali maka ( ) ( )y v y v y v y v yp
' ' ' ' '= + + +1 1 2 2 1 1 2 2 . Dipilih :
v y v y1 1 2 2 0' '+ = , sehingga didapatkan turunan keduanya :
y v y v y v y v yp
" ' ' ' ' " "= + + +1 1 2 2 1 1 2 2 . Substitusikan y y yp p p, ' "dan ke dalam PD
didapatkan : v y v y f x1 1 2 2
' ' ' ' ( )+ = .
Fungsi paramater v1(x) dan v2(x) didapatkan dari solusi dari sistem persamaan linear
dalam v v1 2
' 'dan berikut :
v y v y1 1 2 2 0' '+ =
v y v y f x1 1 2 2
' ' ' ' ( )+ = .
Menggunakan metode Crammer didapatkan :

137
Matematika Dasar
Danang Mursita
( )
( )
v
y
f x y
y y
y y
v
y f x
y y y y
dx
v
y
y f x
y y
y y
v
y f x
y y y y
dx
1
2
2
1 2
1 2
1
2
1 2 2 1
2
1
1
1 2
1 2
2
1
1 2 2 1
0
0
'
'
' '
' '
'
'
' '
' '
( ) ( )
( ) ( )
= ⇒ =
−
−
= ⇒ =
−
∫
∫
Contoh 7.10
Tentukan solusi umum PD : y “ + y = sec x
Jawab :
Akar karakteristik PD, m = ± i. Solusi homogen, yh = C1 cos x + C2 sin x. Solusi
pelengkap, yp = v1( x ) cos x + v2( x ) sin x. Fungsi parameter v1( x ) dan v2( x )
diselesaikan dari sistem persamaan berikut :
v1( x ) cos x + v2( x ) sin x = 0
- v1( x ) sin x + v2( x ) cos x = sec x
Didapatkan : v1( x ) = ln ( cos x ) dan v2( x ) = x, sehingga solusi pelengkap,
yp = ln ( cos x ) cos x + x sin x.
Solusi umum PD, y = C1 cos x + C2 sin x + ln ( cos x ) cos x + x sin x
Soal latihan 7.6
Tentukan solusi umum PD berikut :
1. y y y e x" '+ + =3 2 2 3
2. y y y x" '− + =4 2 2 2
3. y y y x" ' sin− + =3 2 10 2
4. y y y e x" '− − = −3 4
5. y y y ex" '− + =2
6. y y y f x" ' ( )+ − =2 3
a. f x x x( ) = + −2 3
b. f(x) = sin 3x + cos 3x
c. f(x) = x e
x
.
7. y y x" sec+ =
8. y y y e xx" ' ln+ + = −2

138
Matematika Dasar
Danang Mursita
9. y y x x" sec tan+ =
10. y y y
e x
" '− + =
+ −
3 2
1
1
11. y y y e xx" ' ln+ + = −2
12. y y y
e
e
x
x
" '− + =
+
3 2
1
( Nomor 13 sd 15 ) Tentukan solusi khusus PD berikut :
13. y y x y y" ; ( ) , '( )+ = = =2 0 1 0 2
14. y y y e y yx" ' ; ( ) '( )− + = = =4 4 0 0 02
15. y y y x" ' cos ;+ + =3 2 20 2 y ( 0 ) = -1 , y ‘ ( 0 ) = 6.
16. Pada rangkaian listrik seri, RCL, berdasarkan hukum Kirchoff dirumuskan sebagai
berikut : L Q RQ
Q
C
E t" ' ( )+ + = dengan Induksi L (Henry ), Tahanan R ( Ohm ),
Muatan Q ( Coulomb ), Kapasitor C ( Farads ) dan gaya elektromagnetik E(t) ( volt ).
Karena I Q= ' maka dapat dituliskan : L I RI
I
C
E t" ' '( )+ + = . Dengan
menggunakan rumus di atas hitunglah muatan ( Q ) dan kuat arus ( I ) dalam fungsi t
dari rangkaian RCL tersebut bila R = 16, L = 0,02 , C = 2 x 10
-4
dan E = 12. Anggap
bahwa nilai Q = 0 dan I = 0 pada saat t = 0.

139
Matematika Dasar
Danang Mursita
BAB 8 KALKULUS FUNGSI VEKTOR
8.1 Kurva Bidang
8.2 Fungsi Vektor
8.3 Gerak Partikel dan Kelengkungan
8.4 Komponen Normal dan Tangensial
8.1 Kurva Bidang
Bentuk kurva biang seringkali dinyatakan dalam persamaan parameter. Misal x = f(t) ,
y = g(t) dengan t ∈ I ( interval ) sebagai parameter ( bilanagn real ). Dengan melakukan
eliminasi parameter t akan didapatkan bentuk kurva dalam peubah x dan y yang dapat
dinyatakan sebagai y = f(x) atau f ( x, y ) = 0. Suatu kurva bidang dapat dinyatakan
dengan lebih dari satu parameter. Sebagai contoh diberikan berikut.
Contoh 8.1
Tunjukkan bahwa setiap persamaan parameter berikut menggambarkan setengah
lingkaran.
1. x = t , 21 ty −= , -1 ≤ t ≤ 1
2. x = cos t, y = sin t , 0 ≤ t ≤ π
Jawab :
1. Substitusi x = t ke bentuk 21 ty −= didapatkan 21 xy −= . Bila kedua ruas
dikuadratkan maka 122 =+ yx . Sebab -1 ≤ x ≤ 1, kurva berupa setengah lingkaran
dengan jari-jari 1dan pusat di salib sumbu.
2. 1sincos 2222 =+=+ ttyx . Sebab 0 ≤ t ≤ π maka Sebab -1 ≤ x ≤ 1. Jadi kurva
berupa setengah lingkaran dengan jari-jari 1dan pusat di salib sumbu.
Misal x = f(t) dan y = g(t) merupakan fungsi kontinu dan f ‘ ( t ) ≠ 0 untuk suatu t ∈ I.
Maka turunan pertama
dx
dy
dari kurva bidang diberikan dengan :
( )
( )tf
tg
dx
dy
dt
dx
dt
dy
'
'
==
Sedangkan turunan kedua
2
2
dx
yd
didapatkan dengan menurunkan sekali lagi
dx
dy
, yaitu
( ) ( ) ( ) ( )
( )[ ]22
2
'
'"'"
tf
tgtftftg
dx
yd −
= .
Demikian seterusnya untuk turunan tingkat ke-n.

140
Matematika Dasar
Danang Mursita
Contoh 8.2
Hitung
dx
dy
dan
2
2
dx
yd
bila
1. 32 1, tyttx −=+=
2. x = 2 cos t , y = 5 sin t
Jawab :
1. x ‘ = 2 t + 1, y ‘ = -3 t
2
, x “ = 2 dan y “ = - 6t. Jadi
12
3
'
' 2
+
−
==
t
t
x
y
dx
dy
dan
( ) ( )2
2
22
2
12
66
'
'"'"
+
−−
=
−
=
t
tt
x
yxxy
dx
yd
2. x ‘ = - 2 sin t, y ‘ = 5 cos t, x “ = -2 cos t dan y “ = -5 sin t. Jadi
t
t
dx
dy
sin2
cos5
−
= dan
( )
t
x
yxxy
dx
yd 2
222
2
csc
5
'
'"'"
=
−
=
Penerapan turunan pertama digunakan dalam menyelesaikan permasalahan geometris
yang muncul pada kurva bidang, yakni garis singgung dan garis normal. Misal P(a,b)
merupakan titik pada kurva bidang x = x(t) dan y = y(t). Maka bentuk persamaan garis
singgung dan garis normal kurva yang menyinggung titik P diberikan dengan :
Garis singgung, ( )ax
dx
dy
by −=−
Garis normal, ( )ax
dy
dx
by −−=−
Contoh 8.3
Carilah persamaan garis singgung dan garis normal kurva x = 2t
2
–1 dan y = 2 + t di
1. t = 1
2. Titik ( 1,1 )
Jawab :
1. Turunan pertama di t = 1,
4
1
=
dx
dy
, sedangkan nilai titik singgungnya , ( 1, -1 ). Jadi
persamaan garis singgung dan garis normal berturut-turut, ( )1
4
1
1 −=+ xy dan
( )141 −−=+ xy

141
Matematika Dasar
Danang Mursita
2. Dari titik ( 1,1 ) didapatkan t = -1. turunan pertama di t = -1 ,
4
1
−=
dx
dy
. Jadi
persamaan garis singgung dan garis normal berturut-turut, ( )1
4
1
1 −−=− xy dan
( )141 −=− xy
Bentuk integral yang melibatkan persamaan parameter diselesaikan dengan menyatakan
integral dalam parameter tersebut. Sebagai contoh diperlihatkan berikut.
Contoh 8.4
Hitung ∫ dxxy bila x = 2t + 2 dan y = t
2
.
Jawab :
( ) Cttdtttdxxy ++=+= ∫∫
342
3
4
222
Soal Latihan 8.1
( Nomor 1 sd 5 ) Nyatakan persamaan kurva bidang berikut ke dalam persamaan
cartesius ( dalam x dan y ) bila
1. x = 2 t + 1 dan y = 1 – t
2
.
2. x = t –1 dan
t
y
1
=
3. 12dan2 +=−= tytx
4. x = sin t dan y = 2 cos t
5. x = sin t dan y = sin 2t
( Nomor 6 sd 10 ) Hitung turunan pertama
dx
dy
dan turunan kedua
2
2
dx
yd
dari kurva
bidang berikut.
6. x = t
2
–1 dan y = t + 1
7. ty
t
t
x 2dan
1
=
+
=
8.
22
1
dan
1
1
tt
y
t
x
−
=
−
=
9. x = 2 sin t –2 dan y = sec t +2
10. x = 1- 2 sin t dan y = 2 cos t + 1
( Nomor 11 sd 14 ) Carilah persamaan garis singgung dan garis normal dari kurva
bidang berikut di titik yang diberikan :
11. x = 2t dan y = t
2
di t = -2

Matematika Dasar

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Matematika Dasar

Similar to Matematika Dasar (20)

More from Faisal Amir

More from Faisal Amir (20)

Matematika Dasar