Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat: 1. memahami definisi dari integral 2. memahami integral tak tentu beserta penerapannya. 3. memahami integral fungsi trginometri, integral substitusi dan integral parsial. 4. memahami integral tertentu dan penerapannya. 5. menentukan luas daerah dengan beberapa kurva, luas daerah antara kurva dengan sumbu koordinat dan luas daerah antara dua kurva 6. menentukan volume benda putar antara kurva dan sumbu koordinat (sumbu x dan sumbu y), volume benda putar antara dua kurva yang memutari sumbu x dan sumbu y.

1. MODUL
MATEMATIKA
INTEGRAL
KUSNADI, S.Pd
www.mate-math.blogspot.com

2. BAB I. PENDAHULUAN
A. Deskripsi
Dalam modul ini, anda akan mempelajari integral tak tentu dan integral
tertentu. Pada integral tak tentu dipelajari tentang definisi integral tak tentu dan
rumus dasar integral beserta soal-soal penerapan rumusnya, pemakaian integral tak
tentu, integral fungsi trigonometri, integral dengan substitusi, integral parsial. Pada
integral tertentu dipelajari tentang rumus integral tertentu, luas dan volume benda
putar. Untuk luas memakai integral, kita membahas luas daerah antara beberapa
kurva, luas daerah antara kurva dan sumbu koordinat, luas antara dua kurva. Untuk
volume benda putar, kita membahas volume benda putar antara kurva dengan
sumbu koordinat ( sumbu x dan sumbu y), volume benda putar antara dua kurva
yang memutari sumbu x dan volume benda putar antara dua kurva yang memutari
sumbu y.
B. Prasyarat
Agar dapat mempelajari modul ini anda harus telah memahami operasi pada
bilangan rea terutama operasi pecahan. Turunan/diferensial dan rumus trigonometri.
C. Petunjuk Penggunaan Modul
1. Perhatikan langkah-langkah dalam setiap contoh sehingga mempermudah dalam
memahami konsep integral tak tentu dan integral tertentu.
2. Apabila ada soal latihan, kerjakanlah soal-soal tersebut sebagai latihan
untuk persiapan evaluasi.

3. 3. Jawablah tes formatif dengan jelas sesuai dengan kemampuan Anda. Jika Anda masih
ragu-ragu dengan jawaban yang Anda peroleh, Anda bisa melihat kunci jawaban
formatif yang sesuai.
4. Kerjakan soal-soal yang ada pada evaluasi.
D. Tujuan Akhir
Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat:
1. memahami definisi dari integral
2. memahami integral tak tentu beserta penerapannya.
3. memahami integral fungsi trginometri, integral substitusi dan integral parsial.
4. memahami integral tertentu dan penerapannya.
5. menentukan luas daerah dengan beberapa kurva, luas daerah antara kurva dengan
sumbu koordinat dan luas daerah antara dua kurva
6. menentukan volume benda putar antara kurva dan sumbu koordinat (sumbu x dan
sumbu y), volume benda putar antara dua kurva yang memutari sumbu x dan sumbu
y.

4. BAB I
INTEGRAL
A. INTEGRAL TENTU DAN INTEGRAL TAK TENTU
Integral adalah kebalikan dari turunan (diferensial). Oleh karena itu integral disebut juga anti
diferensial. Ada 2 macam integral, yaitu integral tentu dan integral tak tentu. Integral tentu
yaitu integral yang nilainya tertentu, sedangkan integral tak tentu, yaitu integral yang nilainya
tak tentu. Pada integral tentu ada batas bawah dan batas atas yang nanti berguna untuk
menentukan nilai integral tersebut. Kegunaan integral dalam kehidupan sehari-hari banyak
sekali, diantaranya menentukan luas suatu bidang, menentukan voluem benda putar,
menentukan panjang busur dan sebagainya. Integral tidak hanya dipergunakan di matematika
saja. Banyak bidang lain yang menggunakan integral, seperti ekonomi, fisika, biologi, teknik
dan masih banyak lagi disiplin ilmu yang lain yang mempergunakannya.
1. INTEGRAL TAK TENTU
Karena integral merupakan kebalikan (invers) dari turunan, maka untuk menemukan rumus
integral kita beranjak dari turunan. Turunan suatu fungsi y = f(x) adalah y ‘ = f ‘ (x) atau
dx
dy
,
sedangkan notasi integral dari suatu fungsi y = f(x) adalah   dxxfdxy )( yang dibaca “
integral y terhadap x ”.
Turunan suatu fungsi konstan adalah 0 atau integral 0 adalah suatu fungsi konstan, biasanya
diwakili oleh notasi c.
Rumus umum integral dari n
axy  adalah cx
n
a n


1
1
atau ditulis :
 

 
cx
n
a
dxax nn 1
1
untuk 1n
Contoh 1 : Tentukan :
 
dxxxd
dx
x
c
dxxxxxb
dxxa





2.
3
8
.
27635.
2.
4
234
3

5. Penyelesaian :
 
cxcxdxxdxxxd
c
x
cxdxxdx
x
c
cxxxxxdxxxxxb
cxcxdxxa







 



2
5
2
5
2
3
3
34
4
2345234
443
5
4
2
5
2
22.
9
8
)3(3
8
3
8
3
8
.
2
2
7
2
4
3
27635.
2
1
4
2
2.
LATIHAN SOAL
1. Integralkan !
 
 
 
 
 























dx
xx
xxj
dx
x
xx
i
dxxxh
dxxxg
dxxf
dxxxxe
dxxxxxd
dx
x
c
dxxb
dxxa
2
2
23
2
2
32
234
4
5
1
.
45
.
1.
6.
32.
8326.
75243.
1
.
5.
2.
2. PEMAKAIAN INTEGRAL TAK TENTU
Pada integral tak tentu terdapat nilai konstanta c yang tidak tentu nilainya. Untuk
menentukan fungsi f dari suatu fungsi turunan, maka harus ada data yang lain sehingga harga
c dapat diketahui.
Contoh 1 : Diketahui f ‘(x) = 5x – 3 dan f(2) = 18. Tentukan f(x) !

6. Penyelesaian :
182.3)2(
2
5
18)2(
3
2
5
)35()(
2
2

 
cf
cxxdxxxf
18610  c
1816  c
2 c
Jadi 23
2
5
)( 2
 xxxf
Contoh 2 : Jika gradien garis singgung di titik (x,y) pada sebuah kurva yang melalui titik (3,4)
ditentukan 583 2
 xx
dx
dy
, maka tentukan persamaan kurva tersebut !
Penyelesaian :
43.53.434)3(
54)583()(
23
232

 
cf
cxxxdxxxxf
4153627  c
2 c
Jadi f(x) = 254 23
 xxx
LATIHAN SOAL
1. Tentukan rumus f(x) jika diketahui :
a. f ‘(x) = 2x dan f(4) = 10
b. f ‘(x) = 8x – 3 dan f(-1) = 10
c. f ‘(x) = 2
2 1
x
x  dan f(1) =
3
1
d. f ‘(x) = x - x dan f(4) = -3
e. f ‘(x) = 1 - 2
1
x
dan f(4) = 1
2. Diketahui titik (3,2) terletak pada kurva dan gradien garis singgung di titik (x,y) pada kurva
tersebut didefinisikan 2x – 3. Tentukan persamaan kurva tersebut !
3. Gradien suatu kurva pada setiap titik (x,y) ditentukan oleh xx
dx
dy
23 2
 dan kurva itu
melalui titik (-3,2). Tentukan persamaan kurva itu !
4. Kecepatan suatu benda bergerak dinyatakan oleh 1612)( 2
 tttv . Setelah benda itu
bergerak 1 detik, jarak yang ditempuh 4 m. Tentukan persamaan gerak dari benda itu !

7. 5. Diketahui rumus percepatan a(t)= 12
t dan kecepatan v(0) = 6. Tentukanlah rumus
kecepatan v(t) jika a(t)=
dt
dv
3. INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI
Kita telah mempelajari turunan fungsi trigonometri yang secara ringkas dapat digambarkan
sebagai berikut :
xxxxx sincossincossin 
xecx
xx
2
2
coscot
sectan


 artinya turunan.
Karena integral adalah invers dari turunan maka :
Contoh 1 : Tentukan :




dxxxb
dxxxa
)3sin4cos2(.
)cos2sin5(.
Penyelesaian :
cxxxdxxxb
cxxdxxxa




3cos4sin2)3sin4cos2(.
sin2cos5)cos2sin5(.

8. LATIHAN SOAL
1. Tentukan integral fungsi berikut !
 
 
 
 








dxxxe
dxxxd
dxxxc
dxxxb
dxxa
sin2.
sin2.
sin6cos8.
cossin.
sin5.
2
4. INTEGRAL DENGAN SUBSTITUSI
Cara menentukan integral dengan menggunakan cara substitusi-1 yaitu dengan mengubah
bentuk integral tersebut ke bentuk lain dengan notasi lain yang lebih sederhana sehingga
mudah menyelesaikannya. Cara ini digunakan jika bagian yang satu ada kaitan turunan dari
bagian yang lain.
Contoh 1 :Tentukan integral dari :

 
dxxxb
dxxxa
cossin2.
)14(2.
5
102
Penyelesaian :
a. Misal : 14 2
 xu
Maka:
x
du
dx
x
dx
du
8
8


Sehingga :
    cxcuduu
x
du
uxdxxx 112111010102
)14(
44
1
11.4
1
4
1
8
..2)14(2
b. Misal u = sin x
x
du
dx
x
dx
du
cos
cos



9. Sehingga :
   cxcuduu
x
du
xudxxx 66555
sin
3
1
6
2
2
cos
cos.2cossin2
LATIHAN SOAL
Tentukan integral dari fungsi –fungsi berikut dengan menggunakan metode substitusi !
 
 
 
 
 
 


















dxxx
dxxx
dxx
dxxx
dxxx
dxxx
dxx
dx
x
dxx
dxx
sin1cos.10
sin.cos.9
5sin.8
66.7
512.6
44.5
42.4
15
2
.3
46.2
32.1
3
2
432
62
5 3
4
5
5
5. INTEGRAL PARSIAL
Bagaimana jika dua bagian pada suatu integral tidak ada kaitan turunan antara bagian yang
satu dengan bagian lainnya ? Untuk itu perlu ada cara lain untuk menyelesaikannya yaitu
dengan integral parsial.
Seperti telah kita ketahui pada turunan jika y = uv maka y ‘ =u ’ v + uv ’. Jika kita
integralkan kedua rua, maka akan didapat :
      dxvuuvdxvuydxuvdxuvdxvudxy ''''''
Rumus di atas sering disingkat dengan :
  duvuvdvu

10. Contoh 1 : Tentukan :

 
dxxxb
dxxxa
sin.
)15(2. 6
Penyelesaian : a. Misal 2x = u maka 2 dx = du
Misal dv =     776
)15(
35
1
15
7
1
.
5
1
15  xxvdxx
cxx
x
cxx
x
dxxxxdxxx


 
87
87
726
)15(
700
1
)15(
35
2
)15(
8
1
.
5
1
.
35
2
)15(
35
2
2.)15(
35
1
)15(
35
1
.2)15(2
b. Misal x = u maka dx = du
Misal dv = sin x dx maka v = -cos x
   cxxxdxxxxdxxx sincoscoscos.sin
LATIHAN SOAL
Tentukan integral berikut dengan metode parsial !
 
 
 
 
 

















dxxx
dxxx
dxxx
dxxx
dxxx
dxxx
dx
x
x
dxxx
dxxx
dxxx
523
23
2
3
5
62sin.10
13cos.9
16.8
2sin12.7
cos.6
sin.5
1
.4
42.3
218.2
26.1

11. 6. INTEGRAL TENTU
Perhatikan gambar di bawah ini :
Luas daerah dari x = a hingga x = b adalah L(b) – L(a) ….. (1)
Luas RSUT  Luas RQUT  Luas PQUT
h.f(x)  L(x+h) – L(x)  h.f(x+h)
)(
)()(
)( hxf
h
xLhxL
xf 


Untuk h  0 maka :
0h
Lim
f(x) 
0h
Lim
h
xLhxL )()( 

0h
Lim
f(x+h)
)()(')()(')( xfxLxfxLxf 
  cxFdxxfxL )()()(
Dari (1) maka :
)()())(())(()()()( aFbFcaFcbFaLbLdxxfL
b
a
 
Jadi :   
b
a
b
a aFbFxFdxxf )()()()(
X
Y y=f(x)
P Q
0 a bx x+h
h
S
U
f(x) f(x+h)
)
R
T

12. Contoh 1 : Hitunglah  
3
1
2
)13( dxxx
Penyelesaian:
      1211.2133.232)143( 23233
1
23
3
1
2
 xxxdxxx
LATIHAN SOAL
1. Tentukan nilai integral di bawah ini :
 















2
1
2
1
1
2
4
0
1
2
2
3
0
1
.
625.
12.
6.
4.
dx
x
xe
dxxxd
dxxxc
dxxb
dxxa
2. Tentukan nilai a jika diketahui :
2
11
.
18.
2
1
2
0





a
a
dx
x
b
dxxa
3. Tentukan a jika  

2
1
62 dxax

13. 4. Tunjukkan dengan arsiran, luas daerah yang dinyatakan dengan integral berikut :
 








2
2
3
3
3
2
3
2
2
4
0
.
4.
.
3.
dxxd
dxxc
dxxb
dxxa
5. Tentukan nilai integral dari :
 
 
 
  dxxd
dx
x
c
dxxb
dxxa









3
2
5 3
1
0
4
2
2
5
5
3
1
42.
1
2
.
46.
32.
6. Tentukan nilai integral berikut ini :
 





















2
1
3
1
2
0
0
2
1
2
1
0
1cos4.
)cos(sin.
3
1
sin.
2cos2.
cos.
dxxe
dxxxd
dxxc
dxxb
dxxa

14. B. LUAS DAN VOLUME BENDA PUTAR
1. DAERAH ANTARA BEBERAPA KURVA
Daerah antara dua kurva yaitu daerah yang dibatasi oleh dua kurva tersebut dengan selang
batas tertentu. Selang batas tersebut bisa batas yang ditentukan atau titik potong kedua kurva
tersebut.
Contoh 1 : Lukislah daerah antara garis y = x dan kurva 2
xy  !
Penyelesaian :
X
Y
y = x
y = x2
1
1

15. LATIHAN SOAL
Lukislah daerah antara beberapa kurva di bawah ini :


2,cos,sin.10
2
3
0,sin.9
54,,82.8
4,12.7
.6
44.5
.4
2.3
3,.2
32,3,2.1
2
2
22
3
22










xxyxy
xxy
xdanxxxy
Xsumbudanxxy
xydanxy
xxydanxxy
xydanxy
xydanxy
ydanxyxy
ydanyxx
2. LUAS DAERAH ANTARA KURVA DAN SUMBU KOORDINAT
Luas daerah antara kurva y = f(x) dengan sumbu koordinat X pada selang bxa  dimana
daerahnya ada di atas atau di bawah sumbu X adalah : 
b
a
dxxfL )(
Begitupun untuk daerah dengan batas sumbu koordinat Y, yaitu : 
b
a
dyyfL )(
Contoh 1 : Tentukan luas daerah antara kurva y = 3
x , sumbu X , x = -1 dan x = 1 !
Y
X
0 1
-1
y = 3
x

16. Penyelesaian :
 













1
0
1
0
4
0
1
43
0
1
3
2
1
)0
4
1
()
4
1
0(
4
1
4
1
xxdxxdxxL satuan luas.
LATIHAN SOAL
Tentukan luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini :
a. b.
c.
Tentukan luas daerah antara kurva berikut dan sumbu koordinat atau garis yang ditentukan :
a. 12  xy , sumbu X, x = -2 dan x = 3
b. 2
xy  , sumbu X, x = 0 dan x = 2
c. 12
 xy dan sumbu X
d. 2
8 xxy  , sumbu X dan x = 4
e. 3
xy  , sumbu X, x = -1 dan x = 3
f. xy  , sumbu X, x = 1 dan x = 4
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva 23
3xxy  , sumbu X, x = -1 dan x = 3
y = 3
x
X
Y
4
-4
y = 2
xY
X
30
y = x + 2
Y
X
0 2-2
2

17. 3. LUAS ANTARA DUA KURVA
Untuk menentukan luas daerah antara dua kurva, kita berdasarkan luas antara kurva dan
sumbu koordinat.
Perhatikan gambar di bawah ini :
Luas daerah yang diarsir adalah :
   
b
a
b
a
b
a
dxxgxfdxxgdxxfL ))()(()()(
Jadi :   
b
a
xgxfL )()(
Contoh 1: Tentukan luas daerah antara kurva xxy 32
 dan y = 2x + 2 !
Penyelesaian :
Titik potong kedua kurva yaitu :
  120)1(22232
 xatauxxxxxx
  2
1
4)2()3()22(
1
2
2
1
2
2
  
dxxxdxxxxL satuan luas.
Y
X
1
0
-2
y=f(x)
y=g(x)
Y
X
ba0

18. LATIHAN SOAL
1. Hitunglah luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini :
a. b.
2. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva berikut :
0134.
.
6,.
02.
2.
039.
2.
2
2
2
2
22
2
2







yxdanxxyg
xydanxyf
Ysumbudanxyxye
yxdanxyd
xxydanxyc
yxdanxyb
xydanxya
y = 2
x
y =x
0 1
Y
X
y=2x
y=x
X
Y
20

19. 4. VOLUME BENDA PUTAR
4.1 VOLUME BENDA PUTAR ANTARA KURVA DAN SUMBU KOORDINAT
Volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y = f(x), x = a, x = b dan sumbu X yang
diputar sejauh 
360 mengelilingi sumbu X adalah : 
b
a
dxyV 2

Begitu juga pada kurva x = f(y) yang diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 
360 dan
dibatasi oleh y = a, y = b, sumbu Y dan kurva itu sendiri maka volumenya : 
b
a
dyxV 2

Contoh 1 : Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva
2
xy  , sumbu X dan garis x = 2 diputar mengelilingi sumbu X sejauh 
360 !
Jawab :
   












2
0
4
0
2
0
5422
5
32
0
5
32
5
1
 xdxxdxxV satuan volume.
Y
X
20
y = f(x)
Y
X
ba

20. LATIHAN SOAL
1. Pada gambar di bawah, hitunglah volume benda putarnya jika diputar mengelilingi sumbu X
sejauh 
360 !
a. b.
2. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva yang
diketahui diputar mengelilingi sumbu X sejauh 
360 !
a. y = x, x = 1 dan x = 10
b. y = 2
x , sumbu X, sumbu Y dan x = 6
c. y = x , sumbu X, sumbu Y dan x = 9
d. y = 12
x , x = 0 dan x = 1
e. y = 3
x , sumbu X, x = -3 dan x = 3
3. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva yang
diketahui diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 
360 !
a. y = x dan y = 6
b. y = x dan y = 1
c. y = 12
x , y = 0 dan y = 1
Quiss :
1. Tentukan rumus volume kerucut trV 2
3
1
 dari persamaan garis y = x
t
r
yang diputar
mengelilingi sumbu X sejauh 
360
2. Tentukan rumus volume bola 3
3
4
rV  dari persamaan seperempat lingkaran 222
ryx 
yang diputar mengelilingi sumbu X sejauh 
360
X
y= 2
xY
30
y = x + 2
X
Y
2-2 0
2

21. 4.2 VOLUME BENDA PUTAR ANTARA DUA KURVA
Volume benda putar yang diputar mengelilingi sumbu X sejauh 
360 yang dibatasi oleh
kurva y = f(x), y = g(x), x = a dan x = b adalah :
 
b
a
dxyyV )(
2
2
2
1 dimana 2121 )(),( yydanxgyxfy 
Begitupun untuk benda putar yang diputar mengelilingi sumbu Y.
Contoh 1: Hitunglah isi benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva 2
xy  dan
y = 2x diputar mengelilingi sumbu X sejauh 
360 !
Jawab :     






2
0
2
0
5342
2
0
222
15
64
5
1
3
4
4)()2(  xxdxxxdxxxV
LATIHAN SOAL
1. Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh dua kurva diputar
sejauh 
360 mengelilingi sumbu koordinat yang disebutkan !
a. y = x dan y = 2
x mengelilingi sumbu X
b. y = 2
x dan xy 2
mengelilingi sumbu Y
c. y = 2
x , y = x , mengelilingi sumbu Y
d. y = 2
x dan y = 4
x mengelilingi sumbu X
e. y = 2
x dan y = 2
6 xx  mengelilingi sumbu X
f. y = 2
1 x dan y = 2
9 x mengelilingi sumbu X
y=f(x)
y=g(x
)
X
Y
a b