Dokumen tersebut membahas penerapan distribusi normal dan pendekatan distribusi normal ke distribusi binomial. Beberapa contoh menunjukkan bagaimana distribusi normal dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah yang melibatkan peluang, seperti menghitung peluang terjadinya suatu peristiwa. Dokumen ini juga menjelaskan bahwa distribusi normal dapat digunakan sebagai pendekatan yang baik untuk distribusi binomial bila jumlah percobaan besar dan

1. Kelompok 5 Penerapan Distribusi Normal
1
PENERAPAN DISTRIBUSI NORMAL DAN PENDEKATAN DISTRIBUSI
NORMAL KE DISTRIBUSI BINOMIAL
A. PENERAPAN DISTRIBUSI NORMAL
Banyak masalah yang dapat diselesaikan memakai jasa distribusi normal seperti
beberapa contoh berikut:
Contoh A1.
Suatu jenis aki mencapai umur rata-rata 3,0 tahun dengan simpangan baku 0,5 tahun.
Bila umur aki itu menyebar normal, hitunglah peluang bahwa sebuah aki tertentu
akan mencapai umur kurang dari 2,3 tahun
Jawab.
Mula-mula buatlah diagram seperti Gambar 1. yang menunjukkan distribusi umur aki
dan luas daerah yang ditanyakan.
Gambar 1
Untuk menghitung P(X < 2,3), Hitunglah luas daerah di bawah kurva normal di
sebelah kiri titik 2,3. Ini sama saja dengan menghitung luas daerah di sebelah kiri
nilai z padanannya. Dapat diperoleh:
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
=
2,3 − 3,0
0,5
= −1,4
dengan menggunakan tabel L.1 (terlampir) diperoleh:
P(x < 2,3) = P(z < 1,4)
= 0,0808
Contoh A2.
Suatu perusahaan alat listrik memproduksi bola lampu yang umurnya berdistribusi
normal dengan rataan 800 jam dan simpangan baku 40 jam. Hitunglah peluang
sebuah bola lampu dapat menyala antara 778 dan 834 jam.
32,3
3

2. Kelompok 5 Penerapan Distribusi Normal
2
Jawab.
Distribusi umur bola lampu diilustrasikan pada Gambar 2.
Gambar 2
Nilai z yang berpadanan dengan x1=778 dan x2=834 adalah
𝑧1 =
𝑥1 − 𝜇
𝜎
=
778 − 800
40
= −0,55
dan
𝑧2 =
𝑥2 − 𝜇
𝜎
=
834 − 800
40
= 0,85
Jadi
P (778<X < 834) = P (-0,55 < Z < 0,85)
= P (Z < 0,85) - P (Z < -0,55)
= 0,8023-0,2912
= 0,5111
Contoh A3.
Nilai rata-rata pada suatu ujian adalah 74 dan simpangan bakunya 7. Bila 12%
diantara peserta ujian mendapat nilai A dan nilai itu mengikuti sebaran normal.
Berapakah kemungkinan nilai A yang terkecil dan nilai B tertinggi?
Jawab.
Pada contoh ini kita mulai dengan luas daerah atau peluang yang diketahui,
kemudian cari nilai-z lalu tentukan x dari rumus x= σz+μ. Daerah seluas 0,12
sesuai dengan proporsi peserta ujian yang mendapat A, diarsir pada Gambar 3.
Gambar 3
74
σ=7
778 800 834
σ=40

3. Kelompok 5 Penerapan Distribusi Normal
3
Diperlukan nilai Z sehingga luas di sebelah kanannya 0,12, yang berarti juga luas
daerah di sebelah kirinya 0,88. Dari tabel L.1, P(Z < 1,175)= 0,88, jadi z=1,175.
Dengan demikian
x = (7) (1,175) + 74 = 82,225
Jadi nilai A terkecil bagi A adalah 83 dan nilai tertinggi bagi B adalah 82
Contoh A4.
Pada suatu ujian, nilai rata-ratanya adalah 74 dan simpangan bakunya 7. Bila nilai itu
mengikuti sebaran normal, tentukan D6 (desil ke enam).
Jawab.
Desil ke enam, dilambangkan D6, ialah nilai x yang luas daerah di bawahnya adalah
60 %, seperti ditunjukkan oleh daerah diarsir dalam Gambar 3.
Dari tabel L.1, kita peroleh P(Z < 0,25)= 0,6 sehingga nilai z –nya adalah 0,25.
Sekarang
x = (7) (0,25.) + 74 = 75,75
Jadi, D6 = 75,75. Artinya yang mendapat nilai 75 atau kurang mencapai 60% dari
semua peserta ujian.
Contoh A5.
Rata-rata tinggi anjing pudel jenis tertentu adalah 30 cm, dan simpangan bakunya 41
cm. Berapa % banyaknya anjing pudel jenis tersebut yg tingginya melebihi 35 cm,
bila tinggi itu menyebar normal dan dapat diukur sampai ketelitian berapapun?
Jawab.
Persentase dapat diperoleh dengan menggandakan frekuensi relatif dengan 100%.
Karena frekuensi relatif bagi suatu selang merupakan peluang bagi jatuhnya nilai
peubah acak ke dalam selang tersebut, maka dalam soal ini kita harus menghitung
luas daerah di sebelah kanan x=35 menjadi nilai z, kemudian menghitung luas daerah
di sebelah kiri z dari tabel L.1 dan terakhir mengurangkan luas daerah ini dari 1. Kita
peroleh:
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
=
35 − 30
4,1
= 1,22
Jadi P (X > 35) = P ( Z >1,22)
= 1 - (Z < 1,22)
= 1 - 0,8888
= 0, 1112

4. Kelompok 5 Penerapan Distribusi Normal
4
Jadi persentase banyaknya anjing pudel yang tingginya melebihi 35 cm adalah
11,12%
Gambar 4
Contoh A6.
Rata-rata tinggi anjing pudel jenis tertentu adalah 30 cm, dan simpangan bakunya 4,1
cm. Hitunglah persentase anjing pudel yang tingginya melebihi 35 cm bila tingginya
di ukur sampai sentimeter terdekat?
Jawab.
Soal ini berbeda dengan soal sebelumnya, dalam hal, misalnya, semua anjing yang
tingginya lebih dari 34,5 cm tetapi kurang dari 35,5 cm akan dicatat sebagai
mempunyai tinggi 35 cm. Sesungguhnya disini kita mencoba menghampiri suatu
sebaran diskret dengan suatu sebaran normal yang kontinu. Daerah yang diinginkan
adalah daerah yang diarsir di sebelah kanan 35,5 dalam Gambar 5. Diperoleh nilai:
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
=
35,5 − 30
4,1
= 1,34
Jadi
P (X > 35,5) = P ( Z >1,34)
= 1 - (Z < 1,34)
= 1 - 0,9099
= 0, 0901
Jadi persentase banyaknya anjing pudel yang tingginya melebihi 35 cm bila
tingginya di ukur sampai sentimeter terdekat, adalah 9,01 %.
Selisih 2,11 % jawaban pada soal ini dengan jawaban soal sebelumnya menyatakan
banyaknya anjing pudel yang tingginya lebih dari 35 cm tapi kurang dari 35,5 cm,
yang dalam contoh ini tinggi anjing-anjing itu tercatat sebagai 35 cm.
30 35
σ=4,1
30 35,5
σ =4,1
Gambar 5

5. Kelompok 5 Penerapan Distribusi Normal
5
Contoh A7.
Nilai mutu rata-rata (NMR) 300 mahasiswa tingkat persiapan mengikuti suatu
sebaran normal dengan nilai tengah 2,1 dan simpangan baku 0,8. Berapa banyaknya
mahasiswa tersebut yang mencapai NMR antara 2,5 dan 3,5 inklusif bila NMR itu
dihitung sampai persepuluhan terdekat.
Jawab.
Karena nilai-nilai itu dicatat sampai persepuluhan terdekat, maka kita harus
menghitung luas daerah antara nilai 𝑥1 = 2,45 dan 𝑥2 = 3,55 seperti dalam
Gambar . Nilai z-padanannya adalah
𝑧1 =
𝑥1 − 𝜇
𝜎
=
2,45 − 2,1
0,8
= 0,44
dan
𝑧2 =
𝑥2 − 𝜇
𝜎
=
3,55 − 2,1
0,8
= 1,81
Jadi
P (2,45<X < 3,55) = P (0,44< Z < 1,81)
= P (Z < 1,81) - P (Z < 0,44)
= 0,9649-0,6700
= 0,2949
Jadi banyak mahasiswaa yang NMR-nya antara 2,5 dan 3,5 inklusif ada 29,49%
atau kira-kira 88 mahasiswa.di antara 300 mahasiswa tersebut
Gambar 6
σ =1,2
3,552,452,1

6. Kelompok 5 Pendekatan Distribusi Normal ke Distribusi Binomial
6
B. PENDEKATAN DISTRIBUSI NORMAL KE DISTRIBUSI BINOMIAL
Peluang distribusi binomial b(x;n,p) bisa dihitung jika n kecil. Namun bila n besar
atau mendekati tidak terhingga (∞), maka peluang binomial bisa dihitung melalui
prosedur hampiran normal.
ditribusi normal memberikan hampiran yang amat baik terhadap distribusi binomial
bila n besar dan p dekat 1/2. Malahan bila n kecil tapi p tidak amat dekat dengan nol
atau satu, hampiran masih cukup baik.
Contohnya untuk melihat hampiran normal terhadap distribusi binomial, mula-mula
dilukiskan histogram b(x;15,0,4) dan kemudian meletakkan kurva normal dengan
rataan dan variansi yang sama dengan peubah binomial X sehingga keduanya saling
tumpang tindih.
Dimana:
μ = np = 15 × 0,4 = 6
σ2
= npq = 15 × 0,4 × 0,6 = 3,6
Histogram b(x; 15,0,4) dan kurva normal padannya dapat digambarkan sebagai
berikut :
Gambar 7
Nilai peluang peubah acak binomial X mendapatkan suatu nilai x tertentu adalah
sama dengan luas persegi panjang yang alasnya berpusat di x.
Teorema 7.1. Bila X adalah peubah acak binomial dengan rataan µ = np dan variansi
σ2
= npq maka bentuk pelimitan bagi sebaran
Untuk n mendekati tak berhingga (∞), ini ialah distribusi normal baku n(z;0,1).
x

7. Kelompok 5 Pendekatan Distribusi Normal ke Distribusi Binomial
7
Sebagai contoh, peluang yang tepat bahwa X nilainya 4 sama dengan luas persegi
panjang dengan alas yang titik tengahnya x = 4. Dengan menggunakan tabel L.2,
luas tadi adalah :
P ( X = 4 ) = b(4;15,0.4) = 0.1268
Luas ini kira-kira sama dengan luas daerah yang dihitami dibawah kurva normal
antara ordinat 𝑥1 = 3,5 dan 𝑥2 = 4,5 dalam gambar 7.20, dengan mengubah ke nilai
z, maka kita memperoleh:
𝑧1 =
3.5 − 6
1.9
= −1.316
𝑧2 =
4.5 − 6
1.9
= −0.789
Bila X adalah suatu peubah acak binomial dan Z peubah acak normal baku, maka
P(X=4) = b ( 4;15, 0.4 )
= P ( -1.316 < Z < -0.789 )
= P ( Z < -0.789 ) – P( Z < -1.316 )
= 0.2151 – 0.0941
= 0.1210
Perhatikan bahwa nilai ini sangat dekat dengan nilai peluang pastinya sebesar 0.1268
Gambar 8
Hampiran normal ini sangat berguna untuk menghitung jumlah binomial untuk n
besar.
Andaikan kita akan menghitung peluang X bernilai antara 7 dan 9 (inklusif) dari soal
sebelumnya, maka nilai peluang pastinya :
P ( 7 ≤ X ≤ 9 ) = ∑ b(x; 15,0.4)9
7
= ∑ b(x; 15,0.4)9
0 - ∑ b(x; 15,0.4)6
0
= 0.9662 –0.6098
= 0.03564
x

8. Kelompok 5 Pendekatan Distribusi Normal ke Distribusi Binomial
8
Ini sama dengan jumlah luas tiga daerah persegipanjang yang berpusat di x = 7,8,9.
Untuk hampiran normal, kita harus mendapatkan luas daerah dibawah kurva itu yang
terletak antara 𝑥1 = 6,5 dan 𝑥2 = 9,5 dalam gambar 7.20 kedua nilai z padananya
adalah :
𝑧1 =
6.5 − 6
1.9
= 0.263
𝑧2 =
9.5 − 6
1.9
= 1.842
Dengan demikian :
P ( 7 ≤ X ≤ 9 ) = P ( 0.263 ≤ Z ≤ 1.842 )
= P ( Z < 1.842) – P ( Z < 0.263)
= 0.9673 – 0.6037
= 0.3636
Terlihat bahwa kurva normal memberikan hampiran yang cukup dekat dengan nilai
sesungguhnya 0.3564. derajak ketelitian, yang tergantung pada kecocokan kurva
dengan histogram, akan bertambah jika n membesar. Hal ini kususnya benar bila p
tidak terlalu dekat dengan ½ dan histogram tidak lagi setangkup. Gambar 9 dan 10
memperlihatkan histogram bagi b(x; 6,0.2) dan b(x; 15.0,2). Terlihat jelas bahwa
suatu kurva normal akan jauh lebih cocok pada histogram dengan n=15 daripada
histogram dengan n=6
Gambar 9
Histogram bagi b (x;6. 0,2)
x

9. Kelompok 5 Pendekatan Distribusi Normal ke Distribusi Binomial
9
Gambar 10
Histogram bagi b (x; 15. 0,2)
Hampiran normal dapat digunakan dengan menghitung np dan nq. Bila kedua np dan
nq lebih besar dari 5, maka hampiran itu akan baik.
Contoh B1.
Peluang bahwa seorang pasien dapat sembuh dari suatu penyakit darah adalah 0.6
bila 100 orang diketahui menderita penyakit ini berapa peluang bahwa kurang dari
separuhnya akan dapat sembuh?
Jawab :
Misalkan peubah acak X menyatakan banyaknya pasien yang dapat sembuh. Karena
n = 100 maka kita akan mendapatkan hasil yang cukup teliti bila mengunakan
hampiran kurva normal dengan:
μ = np = 100 x 0,6 = 60
σ = √npq
= √100 x 0.6 x 0.4
= 4.9
Untuk mendapatkan peluang yang dicari, kita harus menghitung luas daerah
disebelah kiri x = 49.5, ilai z padanan x = 49.5 adalah
𝑧 =
49.5 − 60
4.9
= −2.14
Sehingga peluang bahwa yang sembuh kurang dari 50 pasien diberikan oleh daerah
yang diarsir dalam gambar 11

10. Kelompok 5 Pendekatan Distribusi Normal ke Distribusi Binomial
10
Gambar 11
dengan demikian
𝑃(𝑋 < 50) = ∑ 𝑏(𝑥; 100, 0.6)49
𝑋=0
= P ( Z < -2.14)
= 0.0162
Contoh B2:
Sebuah ujian terdiri atas 200 pertanyaan pilihan berganda, masing-masing dengan 4
kemunkinan jawaban, tetapi hanya 1 yang benar. Berapa peluang seseorang yang
menjawab secara acak 80 diantara 200 soal yang sama sekali tidak diketahuinya,
mendapatkan dari 25 sampai 30 jawaban yang benar?
Jawab:
Peluang jawab yang benar untuk masing-masing diantara 80 soal tersebut adalah p=
¼ . bila X menyatakan banyaknya jawaban yang benar dari cara menjawab yang acak
tersebut, maka:
P ( 25 < X < 30 ) = ∑ 𝑏(𝑥; 80,
1
4
)30
25
Dengan menggunakan hampiran kurva normal dengan
μ = np = 80 x ¼ = 20
σ = √npq
= √80 x
1
4
x
3
4
= 3.87
Kita harus menghitung luas daerah antara 𝑥1 = 24.5 dan 𝑥2 = 30.5
Kedua nilai z padanannya adalah :
𝑧1 =
24.5 − 20
3.87
= 1.16
𝑧2 =
30.5 − 20
3.87
= 2.71

11. Kelompok 5 Pendekatan Distribusi Normal ke Distribusi Binomial
11
Gambar 12
Peluang mendapatkan 25 sampai 30 jawaban yang benar dengan demikian diberikan
oleh luas daerah yang dihitami dalam gambar 7.24 , dari table A.4 (Walpole hal 470)
kita dapatkan :
𝑃(25 ≤ 𝑋 ≤ 30) = ∑ 𝑏 (𝑥; 80,
1
4
)30
𝑋=25
= P (1.16 < Z < 2.71)
= P ( Z < 2.71 ) – P ( Z < 1.16 )
= 0.9966 – 0.8770
= 0.1196
σ =1
1,16 2,710