Dokumen ini membahas tentang kecukupan estimator dan kelas eksponensial. Definisi statistik cukup dan contohnya untuk distribusi eksponensial dan Bernoulli diberikan. Teorema-teorema seperti Rao-Blackwell dan Lehmann-Scheffe juga dibahas. Keluarga distribusi eksponensial reguler dijelaskan beserta statistik cukup lengkapnya.

1. StatistikaMatematika II Suyono Sesion #07 JurusanMatematika FakultasMatematikadanIlmuPengetahuanAlam

2. Outline Kecukupan estimator Statistikcukup Sifat-sifatStatistikCukup KelengkapandanKelasEksponensial 05/01/2011 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id | 2

3. Kecukupan estimator © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id | 3 05/01/2011

4. 7. Kecukupan estimator 7.1 Statistikcukup Definisi 1.1 MisalkanX=(X1, X2, …, Xn) mempunyaidensitasbersamaf(x,), dimanamerupakanvektor parameter. StatistikS=(S1, S2, …, Sk) merupakanstatistikcukupgabunganuntukjikauntuksebarangvektorstatistikT yang lain, distribusibersyaratdariTdiberikanS=s, dinotasikandenganfT|s(t), tidaktergantung. DalamkasusdimensisatuSdinamakanstatistikcukupuntuk. 05/01/2011 4 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |

5. Definisi 1.2 Suatu himpunan statistik dikatakan sebagai himpunan statistik cukup minimal jika anggota-anggotanya adalah statistik cukup gabungan untuk parameter dan jika statistik-statistik tersebut merupakan fungsi dari himpunan statistik cukup gabungan yang lain. 05/01/2011 5 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |

6. Definisi 1.1 tidak bersifat operasional untuk menyelidiki bahwa suatu statistik merupakan statistik cukup. Karena sebarang statistik merupakan fungsi dari sampel X=(X1, X2, …, Xn) maka untuk menyelidiki statistik cukup, cukup ditunjukan bahwa fX|s(x), tidak tergantung . 05/01/2011 6 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |

7. Contoh 2.1 Misalkan X1, X2, …, Xn merupakan sampel acak dari distribusi eksponensial X~EXP(). Disini 05/01/2011 7 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |

8. Akan ditunjukkan bahwa adalah statistik cukup untuk . Karena S berdistribusi gamma, S~GAM( ,n), dengan fungsi densitas 05/01/2011 8 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |

9. maka tidak tergantung pada . Jadi S merupakan statistik cukup untuk . 05/01/2011 9 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |

10. Untuk menemukan suatu statistik cukup dapat digunakan teorema berikut. Teorema 1.3 Jika X1, X2, …, Xn, mempunyai densitas bersama f(x,) maka S=(S1, S2, …, Sk) merupakan statistik cukup gabungan untuk  jika dan hanya jika dimana g(s,) tidak tergantung pada x1, …, xn, kecuali melalui s, dan h(x1, …, xn) tidak tergantung . 05/01/2011 10 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |

11. Contoh 2.1 MisalkanX1, X2, …, Xnmerupakansampelacakdaridistribusi Bernoulli, X~BIN(1,). Disini dimanadanh(x1, …, xn)=1. Jadimerupakanstatistikcukupuntuk. 05/01/2011 11 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |

12. 7.2 Sifat-sifatStatistikCukup Teorema 2.1 JikaS1, …, Skadalahstatistikcukupgabunganuntukdanjikaadalahsatu-satunya MLE untuk, makamerupakanfungsidariS1, …, Sk. 05/01/2011 12 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |

13. Teorema 2.2 Jika X1, X2, …, Xn merupakan sampel acak dari sebarang distribusi kontinu dengan fungsi densitas bersama f(x,) maka order statistik membentuk statistik cukup gabungan untuk . 05/01/2011 13 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |

14. Teorema 2.3 (Rao-Blackwell) Misalkan X1, X2, …, Xn mempunyai fungsi densitas bersama f(x,) dan S=(S1, S2, …, Sk) merupakan statistik cukup gabungan untuk . Jika T adalah sebarang estimator tak bias untuk () dan T*=E(T|S) maka a. T* adalah estimator tak bias untuk ( ), b. T* adalah fungsi dari S, dan c. Var(T*) Var(T) untuk setiap  dan Var(T*) < Var(T) untuk suatu  jika tidak benar bahwa T*=T dengan probabilitas 1. 05/01/2011 14 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |

15. Dalam kasus tertentu UMVUE untuk () dapat ditemukan dengan menggunakan batas bawah Cramer-Rao (Cramer-Rao lower bound / CRLB). 05/01/2011 15 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |

16. KelengkapandanKelasEksponensial 05/01/2011 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id | 16

17. 8. KelengkapandanKelasEksponensial Definisi 8.1 Keluargafungsidensitas {fT(t, ); } dikatakanlengkapjikaE[u(T)]=0 untuksemuamengakibatkanu(T)=0 denganprobabilitas 1 untuksemua. Sebuahstatistikcukupdarianggotakeluarga yang lengkapdinamakanstatistikcukuplengkap. 05/01/2011 17 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |

18. Teorema 8.2 (Lehmann-Scheffe) Misalkan X1, X2, …, Xn mempunyai fungsi densitas bersama f(x,) dan S=(S1, S2, …,Sk) satatistik cukup gabungan untuk . Jika T*=T*(S1, S2, …,Sk) adalah statistik yang tak bias untuk ( ) dan merupakan fungsi dari S, maka T* adalah UMVUE untuk ( ). 05/01/2011 18 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |

19. Definisi 8.3 Sebuah fungsi densitas dikatakan termasuk dalam anggota keluarga eksponensial reguler jika fungsi densitas tersebut dapat dituliskan dalam bentuk 05/01/2011 19 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |

20. dan f(x,)=0 untuk nilai x yang lain, dimana  adalah vektor parameter berdimensi k, jika ruang parameter  berbentuk ={ : aiibi, i=1,…,k} dan jika f(x,) memenuhi kondisi reguler 1, 2, dan 3a atau 3b, yaitu 05/01/2011 20 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |

21. 1. Himpunan A={x: f(x,) >0} tidak tergantung . 2. Fungsi qj( ) tidak trivial, independen, dan kontinu. 3a. Untuk variabel acak kontinu fungsi turunan tj’(x) linear independen dan kontinu. 3b. Untuk variabel acak diskret fungsi tj(x) tidak trivial pada A dan tak satupun yang merupakan fungsi linear dari yang lain. 05/01/2011 21 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |

22. Teorema 8.4 Jika X1, X2, …, Xn merupakan sampel acak dari anggota kelas eksponensial reguler maka satatistik-statistik adalah himpunan minimal dari statistik cukup lengkap untuk 1,…,k. 05/01/2011 22 © 2010 Universitas Negeri Jakarta | www.unj.ac.id |