2. Distribusi normal menggunakan variabel acak
kontinu. Distribusi normal sering disebut Distribusi
Gauss. Distribusi ini merupakan salah satu yang paling
penting dan banyak digunakan. Distribusi ini
menyerupai bentuk lonceng (bell-shape) dengan nilai
rata-rata sebagai sumbu simetrisnya.
3. Variabel acak kontinu X mempunyai fungsi densitas
pada X = x dengan persamaan:
1 x 2
(
)
1
2
f ( x)
e
2
dengan :
nilai konstan yang ditulis hingga 4 desimal 3,1416
e = bilangan konstan yang ditulis hingga 4 desimal, e =2,7183
parameter, merupakan rata-rata untuk distribusi
parameter, merupakan simpangan baku untuk distribusi
Jika nilai x mempunyai batas – ∞ < x < ∞, maka
dikatakan bahwa variabel acak X berdistribusi normal.
4. Sifat-sifat penting dari distribusi normal, yaitu:
1. Grafiknya selalu ada di atas sumbu-X (horizontal)
2. Bentuk simetrik terhadap x = µ
3. Mempunyai modus pada x = µ sebesar 0,3989/σ
4. Grafik mendekati (berasimtutkan) sumbu-X pada X
= µ-3µ dan X = µ+3µ
5. Kurva normal digunakan sebagai acuan pengujian
hipotesis jika ukuran sampel n = 30
6. Luas daerah yang dibatasi oleh sumbu-X dan kurva
normal sama dengan satu satuan luas.
5. Untuk tiap pasang µ dan σ, sifat-sifat di atas selalu
dipenuhi, hanya bentuk kurvanya saja yang berlainan.
Jika σ makin besar, kurvanya makin rendah (platikurtik)
Jika σ makin kecil, kurvanya makin tinggi (leptokurtik)
6. Untuk menentukan peluang harga X antara a dan b,
yakni P (a < X < b).
b
P(a X b) (
2 ) 1 e
1 x 2
(
)
2
dx
a
Untuk penggunaan praktis telah dibuat daftar distribusi
normal standar atau normal baku yaitu dengan µ = 0 dan
σ = 1 sehingga fungsi densitasnya berbentuk:
1 1 z2
f ( z)
e2
2
Untuk z dalam daerah – ∞ < z < ∞.
7. Untuk mengubah distribusi normal umum menjadi
distribusi normal baku dapat digunakan menggunakan
rumus :
Z
X
Perubahan grafiknya dapat dilihat gambar di bawah ini:
8. 1.
2.
3.
4.
5.
6.
Setelah distribusi normal baku yang didapat dari distribusi normal
umum, maka daftar distribusi normal baku dapat digunakan
sehingga bagian-bagian luas distribusi normal baku dapat dicari.
Caranya adalah :
Hitung z sehingga dua desimal
Gambarkan kurvanya seperti gambar normal standar
Letakkan harga z pada sumbu datar, lalu tarik garis vertikal hingga
memotong kurva.
Luas yang tertera dalam daftar adalah luas daerah antara garis ini
dengan garis tegak di titik nol.
Dalam tabel normal cari tempat harga z pada kolom paling kiri
hanya satu desimal dan desimal keduanya dicari pada baris paling
atas.
Dari z di kolom kiri maju ke kanan dan dari z di baris atas turun
ke bawah, maka didapat bilangan yang merupakan luas yang
dicari. Bilangan yang didapat harus dituliskan dalam bentuk
0,xxxx (bentuk 4 desimal).
9. Contoh penggunaan daftar normal baku yang akan
dicari luas daerah, antara lain:
1.
Antara z = 0 dan z = 2,15
Gunakan tabel Distribusi Normal.
Di bawah z pada kolom kiri cari 2,1 dan di
atas sekali cari angka 5. Dari 2,1 maju ke
kanan dan 5 menurun, didapat 0,4842.
Luas daerah yang dicari, dilihat daerah yang
diarsir = 0,4842.
2.
Antara z = 0 dan z = -1,86
karena z bertanda negatif, maka pada
grafiknya diletakkan di sebelah kiri 0.
Untuk daftar digunakan di bawah z kolom
kiri didapat 1,8 dan di atas angka 6.
Dari 1,8 ke kanan dan dari 6 ke bawah
didapat 0,4686 Luas daerah = daerah diarsir
= 0,4686.
10. 3.
Antara z = -1,50 dan z = 1,82
Dari grafik terlihat kita perlu mencari luas dua kali,
lalu dijumlahkan.
Mengikuti cara di 1 untuk z = 1.82 dan cara di 2
untuk z = -1.50, masing-masing didapat 0,4656 dan
0,4332. Jumlahnya = luas yang dicari = 0,4332 +
0,4656 = 0,8988
4.
Antara z = 1,40 dan z = 2,65
Yang dicari adalah luas dari z = 2,65 dikurangi luas
dari z = 0 sampai ke z = 1,40. Masing-masing didapat
0,4960 dan 0,4192. Jumlahnya = luas yang dicari =
0,4960 – 0, 4192 = 0,0768
5.
Dari z = 1,96 ke kiri
Luasnya sama dengan dari z = 0 ke kiri (= 0,5)
ditambah luas dari z = 0 sampai ke z = 1,96.
Untuk z = 1,96 dari daftar didapat 0,4750.
Luas yang dicari = 0,5 + 0, 4750 = 0,9750
11. Fenomena distribusi data normal :
1. Kira-kira 68,27% dari kasus ada dalam daerah satu
simpangan baku sekitar rata-rata, yaitu antara µ – σ
dan µ + σ.
2. Ada 95,45% dari kasus terletak dalam daerah dua
simpangan baku sekitar rata-rata, yaitu antara µ – 2σ
dan µ + 2σ
3. Hampir 99,73% dari kasus ada dalam daerah tiga
simpangan baku sekitar rata-rata, yaitu antara µ –3 σ
dan µ + 3σ
12. Contoh soal:
Berat bayi yang baru lahir rata-rata 3750 gram dengan
simpangan baku 325 gram. Jika berat bayi
berdistribusi normal, maka tentukan:
a. Berapa bayi yang beratnya lebih dari 4500 gram?
b. Berapa bayi yang beratnya antara 3500 gram dan
4500 gram, jika semuanya ada 10.000 bayi?
c. Berapa bayi yang beratnya lebih kecil atau sama
dengan 4000 gram jika semuanya ada 10.000 bayi?
d. Berapa bayi yang beratnya 4250 gram jika semuanya
ada 5000 bayi?
13. Penyelesaian:
Dengan X = berat bayi dalam gram, µ = 3750 gram, σ = 325 gram,
maka:
a. Untuk X = 4500
z
X
4500 3750
2,31
325
Berat yang lebih dari 4500 gram, pada grafiknya ada disebelah kanan
z = 2,31
Luas daerah ini = 0,5 – 0,4896 =
0,0104.
Jadi, ada 1,04% dari bayi yang
beratnya lebih dari 4500 gram
14. b. Dengan X = 3500 dan X = 4500
X
3500 3750
0, 77
325
X 4500 3750
z
2, 31
325
z
Luas daerah yang perlu = daerah
yang diarsir = 0,2794 + 0,4896
= 0,7690.
Banyak bayi yang beratnya antara 3500 gram dan 4500 gram
diperkirakan ada (0,7960)(10.000) = 7690
15. c. Beratnya lebih kecil atau
sama dengan 4000 gram,
maka beratnya harus lebih
kecil dari 4000,5 gram.
maka,
4000,5 3750
z
0,77
325
Peluang berat bayi lebih kecil
atau sama dengan 4000 gram
= 0,5 + 0,2794 = 0,7794.
Banyak bayi
= (0,7794)(10.000) = 7794
d. Berat 4250 gram berarti
antara 4294,5 gram dan
4500,5 gram. Jadi, untuk X =
4294,5 dan X= 4500,5
didapat:
4249, 5 3750
1, 53
325
4250, 5 3750
z
1, 54
325
z
Luas daerah yang perlu
= 0,4382 – 0,4370 = 0,0012
Banyak bayi
= (0,0012)(5000) = 6
16. Jenis bentuk kurva yang diakibatkan oleh perbedaan
rentangan nilai dan simpangan baku ada tiga macam:
1. Leptokurtik, merupakan bentuk kurva normal yang
meruncing tinggi karena perbedaan frekuensi pada
skor-skor yang mendekati rata-rata sangat kecil.
2. Platikurtik, merupakan kurva normal yang
mendatar rendah karena perbedaan frekuensi pada
skor-skor yang mendekati rata-rata sangat kecil.
Skor-skor yang mendekati rata-rata sangat kecil.
3. Normal, merupakan bentuk kurva normal yang
biasa, artinya bentuknya merupakan bentuk antara
leptokurtik dan platikurtik, karena penyebaran skor
biasa dan tidak terjadi kejutan-kejutan yang berarti.
