Dokumen tersebut membahas tentang konsep distribusi teoritis dan beberapa jenis distribusi teoritis yang penting seperti distribusi binomial, Poisson, hipergeometrik, dan normal. Distribusi teoritis diturunkan secara matematis berbeda dengan distribusi frekwensi yang didapat dari hasil observasi.

1. DISTRIBUSI
TEORITIS/PROBABILITAS
Sumber : Talitha, Nurul, dan sumber relefan lainnya

2. PENGERTIAN
DISTRIBUSI TEORITIS
• Distribusi teoritis adalah distribusi yang frekwensinya
diturunkan secara matematis.
• Pada distribusi frekwensi, frekwensinya diperoleh dari
hasil observasi/pengamatan.
• Perbedaan antara distribusi teoritis dan distribusi
frekwensi dapat dilihat pada tabel hasil observasi
pelemparan sebuah mata uang sebanyak 100 kali.

3. Manfaat mempelajari
distribusi teoritis
• Dengan mempelajari distribusi teoritisnya, maka kita menjadi
tahu pola distribusi frekwensinya.
• Contoh:
Pengusaha rumah makan perlu mengetahui pola selera makan
yang digemari para pelanggannya, dengan melihat
pengalaman masa lalu.
Dengan demikian pengusaha tersebut dapat menyesuaikan
persediaan barang-barangnya.

4. Konsep Veriabel Acak
• Variabel acak adalah suatu fungsi yang menghubungkan sebuah
bilangan real dengan setiap unsur dalam ruang sampel.
• Bila suatu ruang sampel berisi sejumlah kemungkinan terhingga
atau urutan yang tidak terbatas dengan unsur sebanyak jumlah
bilangan bulat, ruang sampel model ini disebut sebagai ruang
sampel diskrit
• Bila suatu ruang sampel berisi sejumlah kemungkinan tak terhingga
yang sama dengan jumlah titik-titik dalam sebuah segmen garis,
ruang sampel model ini disebut sebagai ruang sampel kontinyu.
• Variabel acak diskrit bila himpunan keluarannya dapat dihitung.
• Variabel acak dapat mengambil nilai-nilai pada skala kontinyu
disebut sebagai variabel acak kontinyu.

5. VARIABEL DISKRIT DAN
VARIABEL KONTINYU
Variabel diskrit:
1. Variabel yang merupakan bilangan bulat dan jumlahnya
terbatas
2. Variabel yang merupakan hasil penghitungan
Variabel kontinyu:
1. Variabel yang terdiri dari nilai-nilai yang terletak dalam
interval tertentu, bisa berupa bilangan bulat maupun
pecahan
2. Variabel yang merupakan hasil pengukuran

6. Distribusi Probabilitas Diskrit
-Bernoulli/Binomial
-Poissson
-Hipergeometrik
Distribusi Probabilitas Kontinyu
- Normal (Z, t, Chi-Square dll)

7. Percobaan Bernoulli :
Sifat-sifat sebagai berikut :
• Percobaan diulang sebanyak n kali.
• Hasil setiap ulangan dapat dikategorikan ke dalam 2 kelas,
misal :"BERHASIL" atau "GAGAL";"YA" atau "TIDAK";"SUCCESS"
atau "FAILED";
• Peluang berhasil / sukses dinyatakan dengan p dan dalam
setiap ulangan nilai p tetap. peluang gagal dinyatakan dengan
q, dimana q = 1 - p.
• Setiap ulangan bersifat bebas (independent) satu dengan yang
lainnya.
• Percobaannya terdiri dari atas n ulangan (Ronald E. Walpole).

8. Distribusi Binomial
• Distribusi Binomial adalah:
suatu distribusi probabilitas yang dapat digunakan bilamana suatu proses
sampling dapat diasumsikan sesuai dengan proses Bernoulli. Misalnya,
dalam perlemparan sekeping uang logam sebanyak 5 kali, hasil setiap
ulangan mungkin muncul sisi gambar atau sisi angka.
Begitu pula, bila kartu diambil berturut-turut, kita dapat memberi label
"berhasil" bila kartu yang terambil adalah kartu merah atau ”gagal” bila
yang terambil adalah kartu hitam.
Ulangan-ulangan tersebut bersifat bebas dan peluang keberhasilan
setiap ulangan tetap sama, yaitu sebesar 0,5..(Ronald E. Walpole)

9. Distribusi Binomial
• Banyaknya X sukses dalam n pengulangan suatu percobaan
bernoulli disebut sebagai variabel random Binomial, sedangkan
distribusi probabilitasnya disebut distribusi Binomial dan nilainya
dinyatakan sebagai :
b(x,n,p) dimana x = 1, 2, …, n

10. DISTRIBUSI BINOMIAL
Contoh:
Sebuah mata uang dilempar sebanyak 5 kali. Berapa probabilita
munculnya sisi gambar sebanyak 2 kali?
Jawab: diketahui n = 5
x = 2
maka P (x,n) = nCx . px . q (n-x)
P (2,5) = 5C2 (1/2)2 x (1/2) (5-2)
= 10 x 1/4 x 1/8
= 10/32 = 5/16
= 0,3125

11. CONTOH :

13. Memanfaatkan Tabel

15. DISTRIBUSI BINOMIAL
Contoh:
Berapa rata-rata dan deviasi standar dari pelemparan sebuah mata uang
yang dilempar 300 kali?
Jawab:
p = ½ dan n = 300
rata-rata (μ ) = 300 x ½
= 150
deviasi standar (σ) = √ 300 (1/2) (1/2)
= 8,66
Sehingga dalam jarak ± 2 standar deviasi, rata-rata memperoleh sisi
gambar sebanyak 150 – 2(8,66) dan 150 + 2(8,66). Atau 133 sampai 167
kali mendapatkan sisi gambar.




x

16. Distribusi Hipergeometrik
(Distribusi Probabilitas Diskrit)

17. Perbedaan diantara distribusi binomial dan distribusi
hipergeometrik
 Adalah terletak pada cara penarikan sampel.
 Dalam distribusi binomial diperlukan sifat pengulangan
yang saling bebas, dan pengulangan tersebut harus
dikerjakan dengan pengulangan (with replacement).
 Sedangkan untuk distribusi hipergeometrik tidak
diperlukan sifat pengulangan yang saling bebas dan
dikerjakan tanpa pengulangan (without replacement).

18. Penerapan untuk
distribusi hipergeometrik
• Ditemukan dalam berbagai bidang, dan paling sering
digunakan dalam penarikan sampel penerimaan barang,
pengujian elektronik, jaminan mutu, dsb.
• Dalam banyak bidang ini, pengujian dilakukan terhadap
barang yang diuji yang pada akhirnya barang uji tersebut
menjadi rusak, sehingga tidak dapat dikembalikan. Jadi,
pengambilan sampel harus dikerjakan tanpa pengembalian

20. Distribusi Poisson
(Distribusi Probabilitas Diskrit)

21. Percobaan Poisson :
• Jika suatu percobaan menghasilkan
variabel random X yang menyatakan
banyak-nya sukses dalam daerah tertentu
atau selama interval waktu tertentu,
percobaan itu disebut percobaan
Poisson.

22. Distribusi Poisson
 Jumlah X dari keluaran yang terjadi selama satu percobaan
Poisson disebut Variabel random Poisson, dan distribusi
probabilitasnya disebut distribusi Poisson.
 Bila x menyatakan banyaknya sukses yang terjadi ,  adalah
rata-rata banyaknya sukses yang terjadi dalam interval
waktu atau daerah tertentu, dan e = 2,718 , maka rumus
distribusi Poisson adalah :
,......
2
,
1
,
0
,
!
)
;
( 


x
x
e
x
p
x




23.  Mean (rata-rata) dan variansi dari distribusi Poisson
adalah .
Catatan :
 Distribusi Poisson sebagai suatu bentuk pembatasan distribusi
Binomial pada saat n besar , sedangkan p mendekati 0 , dan
np konstan.
 Sehingga bila n besar dan p mendekati 0, distribusi Poisson
dapat digunakan untuk memperkirakan probabilitas Binomial,
dengan np


Rata-rata dan
Variansi Distribusi Poisson

24. Membaca
tabel
Poisson

25. Contoh

26. Distribusi Normal
(Distribusi Probabilitas Kontinyu)

27. Kurva Normal dan
Variabel Random Normal
• Distribusi probabilitas kontinu yang terpenting adalah
distribusi normal dan grafiknya disebut kurva normal.
• Variabel random X yang distribusinya berbentuk seperti
lonceng disebut variabel random normal.

x




28. Sifat kurva normal
• Kurva mencapai maksimum pada
• Kurva setangkup terhadap garis tegak yang
melalui
• Kurva mempunyai titik belok pada
• Sumbu x merupakan asimtot dari kurva normal
• Seluruh luas di bawah kurva, di atas sumbu x
adalah 1


x


x




x

29. DISTRIBUSI NORMAL
Sifat-sifat distribusi normal :
– Bentuknya menyerupai lonceng dengan sebuah puncak
– Nilai rata-rata (mean) pada distribusi normal akan terletak
ditengah-tengah dari kurve normal.
– Bentuknya simetris dengan nilai mean = median =modus
– Ujung masing-masing sisi kurve sejajar dgn sumbu horisontal
dan tidak memotong sumbu horisontal tsb.
– Sebagian besar data ada ditengah-tengah dan sebagian kecil ada
pada masing-masing sisi/tepi.
– 68% data berada dalam jarak ± 1 standar deviasi ,
95% data berada dalam jarak ± 2 standar deviasi,
99% data berada dalam jarak ± 3 standar deviasi.

30. Distribusi Normal
• Variabel random X berdistribusi normal, dengan
mean dan variansi mempunyai fungsi densitas
)
2
(
)
x
( 2
2
e
2
1
)
,
;
x
(
n 












 x

31. Luas daerah di bawah
kurva dinyatakan dengan :
)
x
X
x
(
P 2
1 


X1
x














2
1
2
2
2
1
x
x
)
2
(
)
x
(
x
x
2
1 dx
e
2
1
dx
)
,
;
x
(
n
)
x
X
x
(
P
1
dx
e
2
1
)
X
(
P )
2
(
)
x
( 2
2







 







X2


32. Distribusi Normal Standar (1)
• apabila variabel X ditransformasikan dengan substitusi
• maka :




x
Z


 









 2
1
2
1
2
2
1
2 z
z
z
z
z
2
1
z
z
z
2
1
2
1 dz
)
1
,
0
;
z
(
n
dz
e
2
1
dz
e
2
1
)
z
Z
z
(
P
ternyata substitusi




x
Z
menyebabkan distribusi normal )
,
;
z
(
n 
 menjadi
)
1
,
0
;
z
(
n , yang disebut distribusi normal standar.

33. • Karena transformasi ini, maka selanjutnya nilai
ini dapat dihitung dengan menggunakan tabel
distribusi normal standar.
)
x
X
x
(
P 2
1 

Distribusi Normal Standar (2):

34. CONTOH
• Contoh penggunaan kurve normal
Nilai rata-rata mata kuliah statistik dari 200 orang
mahasiswa adalah 6 dengan standar deviasi 2. Berapa
jumlah mahasiswa yang mendapat nilai 8 keatas?
jawab :
1
2
)
6
8
(
)
(





s
x
z


35. DISTRIBUSI NORMAL
• Dengan melihat tabel kurve normal dapat dilihat bahwa luas
daerah 0 sampai dengan 1 adalah 34,13 % (prosentase jumlah
mahasiswa yang nilainya 6 sampai 8)  lihat Tabel distribusi
normal kolom Z = 1, sesuai hasil perhitungan sebelumnya.
• Jadi prosentase mahasiswa yang nilainya di atas 8 adalah 50%
- 34,13% = 15,87%
• Dengan demikian jumlah mahasiswa yang nilainya di atas 8
adalah 200 x 15,87% = 31,74 = 32 orang.

36. 6 8
34,13%
50% 15,87%
DISTRIBUSI NORMAL