Bab 2 membahas perhitungan galat dan jenis-jenis galat seperti galat pengukuran, pembulatan, dan pemotongan. Metode perhitungan galat mutlak, relatif, dan perambatan galat pada operasi matematika juga dijelaskan. Prinsip-prinsip metode numerik untuk memecahkan persamaan non-linear seperti bisection, regula falsi, iterasi titik tetap, Newton Raphson, dan sekan diuraikan.

1. Bab 2 Perhitungan Galat
Jenis galat
Perhitungan Galat

2. PERHITUNGAN GALAT/KESALAHAN(ERROR)
1. Jenis Galat/ Sumber Galat
- Galat pengukuran(inheren error)
- Galat pemotongan(truncation error)
- Galat Pembulatan(round-off error
2. Perhitungan Galat
- Galat mutlak/ galat sejati dalam prosen
Dengan
= nilai sebenarnya
= nilai hampiran
%100.xxEx −=
x
x

3. Galat Relatif
Apabila nilai sebenarnya tidak / belum diketahui,
maka alternatifnya menormalkan galat dengan
menggunakan taksiran terbaik yang tersedia dari
nilai sejati yaitu terhadap aproksimasi itu sendiri.
%100.
x
E
E x
R =
%100.
sekarangiaproksimas
sebelumnyaiaproksimassekarangiaproksimas
Ea
−
=

4. Pengertian Angka Bena
- Konsep angka bena (significant figure) atau
angka berarti telah dikembangkan secara formal
untuk menandakan keandalan suatu nilai
numerik. Angka bena adalah angka bermakna,
angka penting, atau angka yang digunakan
dengan pasti.
Contoh :
42,123 memiliki 5 angka bena
0,1764 memiliki 4 angka bena
0,0000012memiliki 2 angka bena

5. Pengertian Bilangan Titik Kambang
Bilangan riil di dalam komputer umumnya dinyatakan dalam
format bilangan titik kambang.
Bilangan titik kambang a ditulis sebagai :
Yang dalam hal ini :
m = mantisa (riil).
B = basis sistem bilangan yang dipakai
p = pangkat
p
n
p
BxddddxBma ...,0 321±=±=

6. Perambatan Galat
Galat yang dikandung dalam bilangan titik kambang merambat
pada hasil komputasi. Misalkan terdapat bilangan titik
kambang a dan b , (nilai sejati atau nilai sebenarnya) dan
nilai hampirannya dan , yang mengandung galat
dan
Jadi, kita dapat menulis
a b
bε
aε
ba bbdanaa εε +=+=

7. Contoh: Taksiran Galat untuk Metode iterasi :
Masalah : Dalam matematika fungsi kerap kali dapat
dinyatakan oleh deret takhingga misalnya fungsi
eksponen dapat dinyatakan /dihitung memakai :
Tentukan nilai untuk dimulai pada yang
paling sederhana sampai 3 angka bena.
....
!2
1
2
+++=
x
xex
x
e 5,0=x

8. Penyelesaian:
Iterasi 1 :
ex
= 1 jadi untuk nilai e0,5
= 1
Iterasi 2 :
ex
= 1 + x jadi nilai e0,5
= 1 + 0,5 = 1,5
Ea =  x 100 % = 33,3 %
Iterasi 3 :
ex
= 1 + x + x2
/2!
e0,5
= 1 + 0,5 + (0,5)2
/ 2 =1,625
Ea =  x 100 % = 7,69 %
Dan seterusnya sampai Ea  < Es 

9. Tugas mandiri 1
1. Taksirlah nilai
dimulai dari yang paling sederhana dan tentukan
galat dari masing-masing iterasi.
2. Tentukan nilai pendekatan untuk exp(1,5)

10. PENYELESAIAN PERSAMAAN TAK LINEAR
Ada dua macam metode pencarian akar :
1. Metode Tertutup , terdiri dari :
- Metode Bisection(bagi dua)
- Metode Regula false(Posisi Palsu)
- Metode Regula false yang diperbaiki
2. Metode terbuka, terdiri dari :
- Metode iterasi titik tetap
- Metode Newton-Raphson
- Metode Sekan

11. Metode Bisection(bagi dua)
Secara umum, jika f(x) bernilai real dan kontinu pada
selang [a, b] dengan f(a).f(b) < 0, maka ada peluang
paling sedikit terdapat satu akar real pada interval
tersebut. Ujung-ujung selang, yaitu a dan b disebut
dengan tebakan awal
Interval [a, b] dibagi dua menjadi interval [a, c] dan
[c, b] dengan
c =
2
ba +

12. Pengujian selang :
f(a) f(c)> 0  akar berada pada [c, b]
f(a) f(c)= 0  akar = c
f(a) f(c)< 0  akar berada pada [a, c]
atau
f(c) f(b) > 0  akar berada pada [a, c]
f(c) f(b)= 0  akar = c
f(c) f(b) < 0  akar berada pada [c, b]

13. Metode Posisi Palsu (Regula Palsi)
Metode posisi palsu akan lebih cepat memberikan
hasil dan dasar dari metode ini adalah teorema harga
antara yaitu “bila f kontinu di [a, b] dan f(a) f(b) < 0,
maka ada x* ∈ [a, b] sehingga f(x*) = 0. Pada metode
ini nilai akar dihampiri oleh fungsi linear (garis lurus),
nilai hampiran akan berupa perpotongan garis lurus
melalui (a, f(a)) dan (b, f(b)) dengan sumbu X.

14. Persamaan garis yang melalui titik (a, f(a)) dan (b,
f(b)) diberikan oleh
perpotongan degan sumbu X  y = 0 , x = c
c = a – f(a)
ab
ax
afbf
afy
−
−
=
−
−
)()(
)(
)()( afbf
ab
−
−

15. Atau
diperoleh perpotongan dengan sumbu X
c = b – f(b)
ba
bx
bfaf
bfy
−
−
=
−
−
)()(
)(
)()( bfaf
ba
−
−

16. atau
c = b – f(b)
Iterasi dihentikan apabila telah dipenuhi
< ε
)()( afbf
ab
−
−
1
1
+
+ −
k
kk
c
cc

17. Perbaikan Metode Regula Falsi
Untuk Mengatasi kemungkinan titik mandek, metode
regula falsi kemudian diperbaiki. Caranya, pada akhir
iterasi r = 1 kita sudah memperoleh selang baru akan
dipakai pada iterasi r = 2. Berdasarkan selang baru
tersebut, tentukan titik ujung selang yang tidak
berubah (jumlah perulangan > 1) yang kemudian
menjadi titik mandek. Nilai f pada titik mandek itu
diganti menjadi setengah kalinya, yang akan dipakai
pada iterasi r =2

18. Metode Iterasi Titik Tetap
Prosedur iterasinya sebagai berikut :
1. Susunlah persamaan f(x) = 0 menjadi bentuk x =
g(x). Lalu bentuklah menjadi prosedur iterasi :
)(1 rr xgx =+

19. Metode Iterasi Titik Tetap
2. dan tentukan sebuah nilai awal , lalu hitung
nilai yang mudah-mudahan
konvergen ke akar sejati s,
Sedemikian sehingga
3. Iterasi berhenti bila :
0x
,....,, 321 xxx
)(0)( sgsdansf ==
ε<
−
+
+
1
1
r
rr
x
xx

20. Metode Newton-Raphson
Dasar dari metode Newton-Raphson adalah fungsi
f(x) dihampiri oleh garis lurus, yakni garis singgung.
Hampiran akar berupa perpotongan garis singgung
dengan sumbu X
Rumus umum :
,....2,1,
)(
)(
'1 =−=+ k
xf
xf
xx
k
k
kk

21. Metode Sekan
Metode sekan hampir sama dengan metode posisi
palsu, bedanya pada metode sekan tebakan awal tidak
perlu mengapit akar yang akan dihampiri, atau f(a) ×
f(b) tidak harus negatif.
Rumus Umum :
3,2,1;
)()(
)(
1
1
1 =
−
−
−=
−
−
+ k
xfxf
xx
xfxx
kk
kk
kkk