تتناول الوثيقة كيفية حل معادلات الدرجة الثانية في متغير واحد باستخدام طريقة إكمال المربع، وتتضمن خطوات الحل والتطبيقات العملية على عدد من المعادلات. يتضمن الشرح توضيحات حول جمع وطرح الحدود، وتحليل المعادلات إلى صورة ثلاثية مربعة، وأمثلة تتضمن مجموعة حلول متعددة. كما يشير إلى حالات خاصة مثل المعادلات المستحيلة الحل.

1. حل معادلات الدرجة الثانية في متغير واحد بطريقة إكمال المربع خطوات الحل أولاً : نجعل الحد الثابت ( المطلق ) في طرف والمتغيرات في الطرف الأخر ثانياً : نجعل معامل س 2 = 1 وذلك بالقسمة عليه . ثالثاً : نضيف مربع نضيف معامل س للطرفين رابعاً : نحلل الطرف الأيمن كمقدار ثلاثي مربع كامل على صورة ( س + ثابت ) 2 خامساً : نأخذ الجدر التربيعي للطرفين فينتج لنا معادلتان . سادساً : نكمل حل المعادلتين كلاً على حده فنحصل على حلين الصورة العامة لها هي : أ س 2 + ب س + ج = صفر

2. مثال (1) جد حل المعادلة التالية بطريقة إكمال المربع 2 س 2 + 4 س – 16 = صفر بإضافة + 16 للطرفين 2 س 2 + 4 س = 16 بالقسمة على معامل س 2 وهو 2 س 2 + 2 س = 8 معامل س = 2 نصفه =1 مربعه =1 بإضافة 1 للطرفين س 2 + 2 س + 1= 8 + 1 نكتب الطرف الأيمن على صورة ( س + ب ) 2 ( س + 1 ) 2 = 9 بأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج لنا معادلتان هما

3. ( س + 1 ) 2 = 9 س + 1 = 3 بإضافة -1 للطرفين س = 2 أو س + 1 = -3 بإضافة -1 للطرفين س = -4 مجموعة الحل : { 2 ، -4}

4. مثال (2) جد حل المعادلة التالية بطريقة إكمال المربع س 2 - 8 س + 15 = صفر بإضافة -15 للطرفين س 2 - 8 س = -15 معامل س = -8 نصفه = -4 مربعه = 16 س 2 - 8 س + 16 = -15 + 16 نكتب الطرف الأيمن على صورة ( س + ب ) 2 ( س - 4 ) 2 = -15 + 16 ( س - 4 ) 2 = 1 بأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج لنا معادلتان هما

5. س – 4 = 1 بإضافة +4 للطرفين س = 5 أو س – 4 = - 1 بإضافة +4 للطرفين س = 3 مجموعة الحل = { 5 ، 3 }

6. مثال (3) جد حل المعادلة التالية بطريقة إكمال المربع س 2 - 4 س = 12 معامل س = -4 نصفه = -2 مربعه = 4 س 2 - 4 س + 4 = 12 + 4 نكتب الطرف الأيمن على صورة ( س + ب ) 2 ( س - 2 ) 2 = 12 + 4 ( س - 2 ) 2 = 16 بأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج لنا معادلتان هما

7. س - 2 = 4 بإضافة + 2 للطرفين س = 6 أو س - 2 = -4 بإضافة + 2 للطرفين س = -2 مجموعة الحل = { 6 ، -2 }

8. تطبيق : جد حل المعادلة التالية بطريقة إكمال المربع 4 س 2 - 16 س + 12 = صفر بإضافة - 12 للطرفين 4 س 2 - 16 س = -12 بالقسمة على معامل س 2 وهو 4 س 2 - 4 س = -3 معامل س = -4 نصفه = -2 مربعه = 4 س 2 - 4 س + 4 = -3 + 4 نكتب الطرف الأيمن على صورة ( س + ب ) 2 ( س - 2 ) 2 = 1 بأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج لنا معادلتان هما

9. س - 2 = 1 بإضافة + 2 للطرفين س = 3 أو س - 2 = -1 بإضافة + 2 للطرفين س = 1 مجموعة الحل = { 3 ، 1 }

10. تطبيق : جد حل المعادلة التالية بطريقة إكمال المربع 3 س 2 + 12 س + 12 = صفر بإضافة - 12 للطرفين 3 س 2 + 12 س = -12 بالقسمة على معامل س 2 وهو 3 س 2 + 4 س = -4 معامل س = 4 نصفه = 2 مربعه = 4 س 2 + 4 س + 4 = -4 + 4 نكتب الطرف الأيمن على صورة ( س + ب ) 2 ( س + 2 ) 2 = صفر بأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج لنا معادلتان هما

11. س + 2 = صفر بإضافة + 2 للطرفين س = -2 مجموعة الحل = { -2 } ملاحظة : المعادلة السابقة لها حلان متشابهان هما -2 و – 2 ويكتفى بكتابة حل واحد فقط . ( لماذا ؟ )

12. تطبيق : جد حل المعادلة التالية بطريقة إكمال المربع 2 س 2 - 12 س + 20 = صفر بإضافة - 20 للطرفين 2 س 2 - 12 س = -20 بالقسمة على معامل س 2 وهو 2 س 2 - 6 س = -10 معامل س = -6 نصفه = -3 مربعه = 9 س 2 - 6 س + 9 = -10 + 9 نكتب الطرف الأيمن على صورة ( س + ب ) 2 ( س - 3 ) 2 = -1 بأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج لنا أن المعادلة مستحيلة الحل