1. ‫المعادلت التربيعية‬
‫يسمى المقدار أ س2 + ب‬
‫س + ج مقدارا تربيعيا , حيث‬
‫أ, ب , ج أعداد حقيقية أ ل‬
‫تساوي صفر , ولذا فإن أي‬
‫معادلة على الصورة‬
‫أ س2 + ب س + ج = صفر , أ‬
‫ل تساوي صفر , هي معادلة‬
‫تربيعية‬

2. ‫هيا بنا‬
‫نتعرف الى‬
‫طرق حل‬
‫المعادلة‬
‫التربيعية‬

3. ‫1( التحليل إلى العوامل‬
‫وبهذه الطريقة نستطيع حل المعادلت‬
‫التربيعية بشكلين:‬
‫أ( حل المعادلت التربيعية على شكل‬
‫حاصل ضرب عاملين.‬
‫ب( حل المعادلت التربيعية غير‬
‫المكتوبة كحاصل ضرب عوامل.‬

4. ‫أ(حل المعادلت التربيعية على شكل حاصل ضرب عاملين.‬
‫مثال)1(:‬
‫حل المعالة التية : )س – 1 () س+2 ( = صفر‬
‫الحل : )س – 1 () س+2 ( = صفر‬
‫س + 2 = صفر‬ ‫أو‬ ‫إما س – 1 = صفر‬
‫س = -2 )بطرح 2 من‬ ‫إذن س = 1 )بإضافة 1 للطرفين( أو‬
‫الطرفين(‬
‫وهما حلول المعادلة وتسمى أيضا أصفار المعادلة التربيعية .‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫مثال)2(:‬
‫حل المعادلة التية : 5 س ) 2 س – 3 ( = صفر‬
‫الحل:5 س ) 2 س – 3 ( = صفر‬
‫2 س – 3 = صفر‬ ‫أو‬ ‫إما 5 س = صفر‬
‫أو س = 3‬ ‫ومنها س = صفر‬

5. ‫ب(حل المعادلت التربيعية غير المكتوبة كحاصل ضرب عوامل.‬
‫نستطيع أن نستخدم التحليل إلى العوامل ليجاد اصفار المعادلة‬
‫التربيعية كما هو في المثلة التية‬
‫مثال )1(:أجد اصفار المعادلة س2= س + 2‬
‫الحل: 1(نكتب المعادلة بحيت يكون احد طرفيها = صفر‬
‫) إضافة – س -2 للطرفين(‬ ‫س2 - س – 2 = صفر‬ ‫,‬ ‫س2= س + 2‬
‫2 (نحلل الطرف اليمن إلى العوامل كما تعلمنا في سنوات سابقة‬
‫, )س – 2 ( ) س + 1 ( = صفر‬ ‫س2 - س – 2‬
‫إما س – 2 = صفر أو س + 1 = صفر‬
‫أو س = -1‬ ‫س=2‬
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫مثال)2(:أجد اصفار المعادلة 2 س2=23‬
‫الحل :2س2=23)قسمة الطرفين على 2( , س2- 61 = صفر‬
‫)س – 4 ( )س + 4 ( = صفر , س = 4,-4‬

6. ‫2( اكمال‬
‫المربع‬

7. ‫أمثلة:‬
‫مثال )1(:‬
‫حل المعادلة س2 – 3 = صفر , واكتب الحل على صورة جذر أصم.‬
‫س2 – 3 = صفر‬
‫س2 = 3‬
‫س = 3√ ±‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫مثال )2(:‬
‫حل المعادلة )س – 2 2 (= 7 واكتب الحل على صورة أ +- √ب‬
‫الحل : الطرف اليمن مربع كامل , لذا نأخذ الجذر التربيعي للطرفين‬
‫)س – 7√ ±2 ( =‬
‫س = 2 7√ ±‬

8. ‫أمثلة:‬
‫مثال )3(:حل المعادلة س2+6 س – 3 = صفر , بطريقة إكمال المربع,‬
‫واكتب الحل على الصورة أ بب‬
‫الحل : 1(نضع الثابت في طرف من المعادلة وليكن اليسر فتصبح‬
‫س2+6 س + 3 .‬
‫2(نجعل الطرف اليمن مربعا كامل بإضافة مربع نصف معامل س إلى‬
‫الطرفين أي إضافة )ب /2(^2 إلى الطرفين‬
‫ب/2 = 3 ,)ب/2(^2=9‬ ‫,‬ ‫ب=6‬
‫9 س2+ 6س + 9 = 3+9‬
‫س2+6س+9=21‬
‫3(نحلل الطرف اليمن مع ملحظة أنه أصبح مربعا كامل‬
‫)س+3(^2 = 21‬
‫4(نكمل الحل كما ورد في المثلة السابقة‬
‫س+3 = 21√ ±‬
‫س=-3 21√ ±‬

9. ‫3( حل المعادلة‬
‫التربيعية‬
‫بواسطة القانون‬
‫العام‬

10. ‫القانون العام هو‬
‫:‬
‫س = الجذر التربيعي)- ب ب ب ^2 – 4أجـ(‬
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫2أ‬

11. ‫مثال )1(:أستخدم القانون العام لحل المعدلت التربيعية التية:س2+7س+3=صفر‬
‫الحل : بمقارنة المعادلة السابقة بالصورة العامة للمعادلة التربيعية نجد أن أ=1 , ب=7,‬
‫جـ = 3 وبالتعويض في القانون‬
‫س = - ب بب ^2 – 4أجـ‬
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫2أ‬
‫= -7 3 ×1 ×4 - 2^7√ ±‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫1×2‬
‫س = -7 73√ ±‬
‫ــــــــــــــــ‬
‫2‬
‫س = -7 – 80,6‬ ‫س = -7 +80,6‬
‫ــــــــــــــــــ‬ ‫,‬ ‫ـــــــــــــــــ‬
‫2‬ ‫2‬
‫س = - 45,6 لقرب منزلتين عشريتين‬ ‫س = - 64,0,‬

12. ‫عد‬ ‫ا‬
‫اد‬
‫عل‬ ‫م‬ ‫ال‬
‫:‬ ‫مة‬ ‫فا‬
‫ة‬ ‫طم‬
‫از‬ ‫حر‬
‫نة‬