المعادلة التربيعية هي معادلة بفرض شكل أ س2 + ب س + ج، حيث أ، ب، ج أعداد حقيقية وأ لا تساوي صفر. هناك عدة طرق لحل المعادلات التربيعية، منها التحليل إلى العوامل وإكمال المربع واستخدام القانون العام. يتمثل الهدف في إيجاد الأصفار لحل المعادلة، سواء باستخدام الطرق الموصوفة أو من خلال أمثلة توضيحية مرفقة.

1. ‫المعادلت التربيعية‬
‫يسمى المقدار أ س2 + ب‬
‫س + ج مقدارا تربيعيا , حيث‬
‫أ, ب , ج أعداد حقيقية أ ل‬
‫تساوي صفر , ولذا فإن أي‬
‫معادلة على الصورة‬
‫أ س2 + ب س + ج = صفر , أ‬
‫ل تساوي صفر , هي معادلة‬
‫تربيعية‬

2. ‫هيا بنا‬
‫نتعرف الى‬
‫طرق حل‬
‫المعادلة‬
‫التربيعية‬

3. ‫1( التحليل إلى العوامل‬
‫وبهذه الطريقة نستطيع حل المعادلت‬
‫التربيعية بشكلين:‬
‫أ( حل المعادلت التربيعية على شكل‬
‫حاصل ضرب عاملين.‬
‫ب( حل المعادلت التربيعية غير‬
‫المكتوبة كحاصل ضرب عوامل.‬

4. ‫أ(حل المعادلت التربيعية على شكل حاصل ضرب عاملين.‬
‫مثال)1(:‬
‫حل المعالة التية : )س – 1 () س+2 ( = صفر‬
‫الحل : )س – 1 () س+2 ( = صفر‬
‫س + 2 = صفر‬ ‫أو‬ ‫إما س – 1 = صفر‬
‫س = -2 )بطرح 2 من‬ ‫إذن س = 1 )بإضافة 1 للطرفين( أو‬
‫الطرفين(‬
‫وهما حلول المعادلة وتسمى أيضا أصفار المعادلة التربيعية .‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫مثال)2(:‬
‫حل المعادلة التية : 5 س ) 2 س – 3 ( = صفر‬
‫الحل:5 س ) 2 س – 3 ( = صفر‬
‫2 س – 3 = صفر‬ ‫أو‬ ‫إما 5 س = صفر‬
‫أو س = 3‬ ‫ومنها س = صفر‬

5. ‫ب(حل المعادلت التربيعية غير المكتوبة كحاصل ضرب عوامل.‬
‫نستطيع أن نستخدم التحليل إلى العوامل ليجاد اصفار المعادلة‬
‫التربيعية كما هو في المثلة التية‬
‫مثال )1(:أجد اصفار المعادلة س2= س + 2‬
‫الحل: 1(نكتب المعادلة بحيت يكون احد طرفيها = صفر‬
‫) إضافة – س -2 للطرفين(‬ ‫س2 - س – 2 = صفر‬ ‫,‬ ‫س2= س + 2‬
‫2 (نحلل الطرف اليمن إلى العوامل كما تعلمنا في سنوات سابقة‬
‫, )س – 2 ( ) س + 1 ( = صفر‬ ‫س2 - س – 2‬
‫إما س – 2 = صفر أو س + 1 = صفر‬
‫أو س = -1‬ ‫س=2‬
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫مثال)2(:أجد اصفار المعادلة 2 س2=23‬
‫الحل :2س2=23)قسمة الطرفين على 2( , س2- 61 = صفر‬
‫)س – 4 ( )س + 4 ( = صفر , س = 4,-4‬

6. ‫2( اكمال‬
‫المربع‬

7. ‫أمثلة:‬
‫مثال )1(:‬
‫حل المعادلة س2 – 3 = صفر , واكتب الحل على صورة جذر أصم.‬
‫س2 – 3 = صفر‬
‫س2 = 3‬
‫س = 3√ ±‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫مثال )2(:‬
‫حل المعادلة )س – 2 2 (= 7 واكتب الحل على صورة أ +- √ب‬
‫الحل : الطرف اليمن مربع كامل , لذا نأخذ الجذر التربيعي للطرفين‬
‫)س – 7√ ±2 ( =‬
‫س = 2 7√ ±‬

8. ‫أمثلة:‬
‫مثال )3(:حل المعادلة س2+6 س – 3 = صفر , بطريقة إكمال المربع,‬
‫واكتب الحل على الصورة أ بب‬
‫الحل : 1(نضع الثابت في طرف من المعادلة وليكن اليسر فتصبح‬
‫س2+6 س + 3 .‬
‫2(نجعل الطرف اليمن مربعا كامل بإضافة مربع نصف معامل س إلى‬
‫الطرفين أي إضافة )ب /2(^2 إلى الطرفين‬
‫ب/2 = 3 ,)ب/2(^2=9‬ ‫,‬ ‫ب=6‬
‫9 س2+ 6س + 9 = 3+9‬
‫س2+6س+9=21‬
‫3(نحلل الطرف اليمن مع ملحظة أنه أصبح مربعا كامل‬
‫)س+3(^2 = 21‬
‫4(نكمل الحل كما ورد في المثلة السابقة‬
‫س+3 = 21√ ±‬
‫س=-3 21√ ±‬

9. ‫3( حل المعادلة‬
‫التربيعية‬
‫بواسطة القانون‬
‫العام‬

10. ‫القانون العام هو‬
‫:‬
‫س = الجذر التربيعي)- ب ب ب ^2 – 4أجـ(‬
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫2أ‬

11. ‫مثال )1(:أستخدم القانون العام لحل المعدلت التربيعية التية:س2+7س+3=صفر‬
‫الحل : بمقارنة المعادلة السابقة بالصورة العامة للمعادلة التربيعية نجد أن أ=1 , ب=7,‬
‫جـ = 3 وبالتعويض في القانون‬
‫س = - ب بب ^2 – 4أجـ‬
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫2أ‬
‫= -7 3 ×1 ×4 - 2^7√ ±‬
‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫1×2‬
‫س = -7 73√ ±‬
‫ــــــــــــــــ‬
‫2‬
‫س = -7 – 80,6‬ ‫س = -7 +80,6‬
‫ــــــــــــــــــ‬ ‫,‬ ‫ـــــــــــــــــ‬
‫2‬ ‫2‬
‫س = - 45,6 لقرب منزلتين عشريتين‬ ‫س = - 64,0,‬

12. ‫عد‬ ‫ا‬
‫اد‬
‫عل‬ ‫م‬ ‫ال‬
‫:‬ ‫مة‬ ‫فا‬
‫ة‬ ‫طم‬
‫از‬ ‫حر‬
‫نة‬