تتناول الوثيقة طرق حل معادلات الدرجة الثانية باستخدام طريقة إكمال المربع، موضحة الخطوات المطلوبة لتبسيط المعادلة ومعالجة الحدود. كما تقدم أمثلة توضيحية لحل معادلات مختلفة، مع تحديد مجموعات الحلول لكل منها، وتوضح أيضًا الحالات التي تكون فيها المعادلة مستحيلة الحل.

1. حل معادلات الدرجة الثانية في متغير واحد بطريقة إكمال المربع خطوات الحل أولاً : نجعل الحد الثابت ( المطلق ) في طرف والمتغيرات في الطرف الأخر ثانياً : نجعل معامل س 2 = 1 وذلك بالقسمة عليه . ثالثاً : نضيف مربع نضيف معامل س للطرفين رابعاً : نحلل الطرف الأيمن كمقدار ثلاثي مربع كامل على صورة ( س + ثابت ) 2 خامساً : نأخذ الجدر التربيعي للطرفين فينتج لنا معادلتان . سادساً : نكمل حل المعادلتين كلاً على حده فنحصل على حلين الصورة العامة لها هي : أ س 2 + ب س + ج = صفر

2. مثال (1) جد حل المعادلة التالية بطريقة إكمال المربع 2 س 2 + 4 س – 16 = صفر بإضافة + 16 للطرفين 2 س 2 + 4 س = 16 بالقسمة على معامل س 2 وهو 2 س 2 + 2 س = 8 معامل س = 2 نصفه =1 مربعه =1 بإضافة 1 للطرفين س 2 + 2 س + 1= 8 + 1 نكتب الطرف الأيمن على صورة ( س + ب ) 2 ( س + 1 ) 2 = 9 بأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج لنا معادلتان هما

3. ( س + 1 ) 2 = 9 س + 1 = 3 بإضافة -1 للطرفين س = 2 أو س + 1 = -3 بإضافة -1 للطرفين س = -4 مجموعة الحل : { 2 ، -4}

4. مثال (2) جد حل المعادلة التالية بطريقة إكمال المربع س 2 - 8 س + 15 = صفر بإضافة -15 للطرفين س 2 - 8 س = -15 معامل س = -8 نصفه = -4 مربعه = 16 س 2 - 8 س + 16 = -15 + 16 نكتب الطرف الأيمن على صورة ( س + ب ) 2 ( س - 4 ) 2 = -15 + 16 ( س - 4 ) 2 = 1 بأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج لنا معادلتان هما

5. س – 4 = 1 بإضافة +4 للطرفين س = 5 أو س – 4 = - 1 بإضافة +4 للطرفين س = 3 مجموعة الحل = { 5 ، 3 }

6. مثال (3) جد حل المعادلة التالية بطريقة إكمال المربع س 2 - 4 س = 12 معامل س = -4 نصفه = -2 مربعه = 4 س 2 - 4 س + 4 = 12 + 4 نكتب الطرف الأيمن على صورة ( س + ب ) 2 ( س - 2 ) 2 = 12 + 4 ( س - 2 ) 2 = 16 بأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج لنا معادلتان هما

7. س - 2 = 4 بإضافة + 2 للطرفين س = 6 أو س - 2 = -4 بإضافة + 2 للطرفين س = -2 مجموعة الحل = { 6 ، -2 }

8. تطبيق : جد حل المعادلة التالية بطريقة إكمال المربع 4 س 2 - 16 س + 12 = صفر بإضافة - 12 للطرفين 4 س 2 - 16 س = -12 بالقسمة على معامل س 2 وهو 4 س 2 - 4 س = -3 معامل س = -4 نصفه = -2 مربعه = 4 س 2 - 4 س + 4 = -3 + 4 نكتب الطرف الأيمن على صورة ( س + ب ) 2 ( س - 2 ) 2 = 1 بأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج لنا معادلتان هما

9. س - 2 = 1 بإضافة + 2 للطرفين س = 3 أو س - 2 = -1 بإضافة + 2 للطرفين س = 1 مجموعة الحل = { 3 ، 1 }

10. تطبيق : جد حل المعادلة التالية بطريقة إكمال المربع 3 س 2 + 12 س + 12 = صفر بإضافة - 12 للطرفين 3 س 2 + 12 س = -12 بالقسمة على معامل س 2 وهو 3 س 2 + 4 س = -4 معامل س = 4 نصفه = 2 مربعه = 4 س 2 + 4 س + 4 = -4 + 4 نكتب الطرف الأيمن على صورة ( س + ب ) 2 ( س + 2 ) 2 = صفر بأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج لنا معادلتان هما

11. س + 2 = صفر بإضافة + 2 للطرفين س = -2 مجموعة الحل = { -2 } ملاحظة : المعادلة السابقة لها حلان متشابهان هما -2 و – 2 ويكتفى بكتابة حل واحد فقط . ( لماذا ؟ )

12. تطبيق : جد حل المعادلة التالية بطريقة إكمال المربع 2 س 2 - 12 س + 20 = صفر بإضافة - 20 للطرفين 2 س 2 - 12 س = -20 بالقسمة على معامل س 2 وهو 2 س 2 - 6 س = -10 معامل س = -6 نصفه = -3 مربعه = 9 س 2 - 6 س + 9 = -10 + 9 نكتب الطرف الأيمن على صورة ( س + ب ) 2 ( س - 3 ) 2 = -1 بأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج لنا أن المعادلة مستحيلة الحل