يتناول العرض تقديمي موضوع أوتار الدائرة من خلال تقديم مفاهيم أساسية مثل المركز، الوتر، القطر، والقوس. يتضمن أيضًا نظريات وإثباتات رياضية تتعلق بأوتار الدائرة ونظرية فيثاغورس، بالإضافة إلى تمارين وأنشطة تفاعلية لتطبيق المفاهيم. يناقش المستند أيضًا كيفية حساب المسافات بين النقاط والأوتار في الدائرة وعلاقة الأبعاد المختلفة ببعضها.

1. عرض تقديمي بعنوان :( أوتار الدائرة ). لمادة الرياضيات . بسم الله الرحمن الرحيم

3. مدى الرؤية الأفقية لمنارة في اليوم الصحو 60 كيلو مترا، عبرت سفينة تسير في خط مستقيم هذا المدى ، وبقيت ضمنة لمسافة 43 كيلو مترا ، جد أقصر مسافة بين السفينة والمنارة . يمثل مدى الرؤية دائرةً ًمركزها قاعدة المنارة وطول نصف المنارة قطرها 60 كم ويمثل خط سير السفينة قاطعا ً لهذه الدائرة والجزء الواقع ضمن مدى الرؤية وترا ً في الدائرة ، كما تلاحظ في الشكل . قاعدة المنارة

4. - نصف قطر الدائرة : هي القطعة المستقيمة الواصلة من مركز الدائرة الى أي نقطة من نقاطها . - الوتر : هو القطعة المستقيمة الواصلة بين أي نقطتين من الدائرة . - القطر : هو وتر الدائرة المار في مركزها وهو أطول أوتار الدائرة . - القاطع : هو مستقيم يحتوي على وتر في الدائرة . - القوس : هو جزء من الدائرة محصور بين نقطتين منها . تذكر!

5. - في الشكل دائرة مركزها م ، النقط ه ، م ، د ، على استقامة واحدة . عين لهذه الدائرة ما يأتي : 1) ثلاثة أنصاف أقطار . 2) قطرا ً . 3) أربعه أقواس . 4) قاطعا ً . 1) أم ، م د، م ه 2) ه د 3) ب ه، ج أ، أد ، د ل 4) س ص التدريب الأول ج أ د ل ص ك س ه ب

6. اكتشاف بعض الخصائص المتعلقة بأوتار الدائرة . نفذ النشاطات الآتيه : 1 ) أ ) ارسم دائرة مركزها م بأي نصف قطر تختار . 2 ) ب ) ارسم الوتر العلاقة هي : التساوي بين طول ( ا،ب ) و ( أ، ج ) أ ب ج م س 5 سم 5 سم 10 سم نشاط 1

7. - المسافة بين نقطتين هي طول القطعة المستقيمة الواصلة بينهما . - أقصر مسافة بين نقطة ومستقيم تساوي طول المود النازل من تلك النقطة إلى ذلك المستقيم . تذكر!

8. لابد انك لاحظت من خلال تنفيذ النشاطات السابقة ما يأتي : 1) العمود النازل من مركز الدائرة على أي وتر ينصفه . ُ 2) المستقيم الواصل بين مركز الدائرة ومنتصف وتر فيها غير مار بالمركز ، يكون عموداً على الوتر . 3) العمود المقام من منتصف وتر في دائرة يمر بمركز الدائرة . نظريات

9. وإليك برهان الجزء الأول من النظرية : المعطيات أب وتر دائرة مركزها م، م د عمود على الوتر أب . المطلوب اثبات أن م د ينصف أب ، أي أن أد = د ب . البرهان ارسم م أ، م ب فيتكون المثلثان م أ د ، م د ب فيهما : البراهين

10. م أ = م ب ( كل منهما يساوي طول نصف قطر الدائرة ) م د = م د ( طول ضلع مشترك ) قياس الزاوية أ د م = قياس الزاوية ب د م ( قائمتان بالفرض ) إذاً ينطبق المثلثان بضلع ووتر وقائمة، و ينتج أن : أد = د ب ( وهو المطلوب ). أ ب م د ْ 90 البراهين

11. برهن أن َّ : المستقيم الاصل بين مركز الدائرة ومنتصف وتر فيها غير مار بالمركز يكون عموداً ً على الوتر . التدريب الثاني

12. الحل : المعطيات : دائرة مركزها ( م ) ، ( أب ) وتر، ( م د ) مستقيم يصل ( م ) مع منتصف ( أ ب ) المطلوب : اثبات أن م د أب البرهان : بالفرض نصل ( س م ) و ( م ص ) فينتج المثلثان ( ص ع م )( س ع م ) نبحث في تطابقهما أ م = م ب ( أنصاف أقطار ) م د ( ضلع مشترك ) أد = دب ( في المعطيات ) ينطبق المثلثان ب 3 أضلاع ق زاوية أ د م = ق زاوية م د ب =90 ْ ( وهو المطلوب ) س أ ب د م حل التديب

13. أ ب وتر في دائرة مركزها م، طول نصف قطرها 10 سم ، إذا كان طول العمود النازل من م على الوتر أ ب يساوي 6 سم ،جد أب . الحلُّ : ليكن م د العمود النازل من م على الوتر أب كما في الشكل . ارسم م أ فيتكون المثلث أ م د القائم الزاوية في د، باستخدام نظرية فيثاغورس ينتج أنَّ : المثال الأول

14. ( م د )= ( م د ) + ( أ د ) ( 10 ) = 6 + ( أ د ) إذاً أ د = 8 سم أب = 2 x أ د = 16 سم 2 2 2 2 2 2 تابع للمثال الأول

15. نظرية فيثاغوري في المثلث القائم : مربع طوال الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين . بالرموز : ( أ د ) = ( أ ب )+ ( أج ) 2 2 2 ج ب أ 90 ْ الوتر تذكر !

16. حُل َّ المسألة َالتي طرحت في بدايةِ هذا الدرس . وذلك عن طريق نظرية فيثاغورس ( الوتر ) = ( طول الضلع 1) +( طول الضلع 2) (60) =(43) +( س ) س =3600-1849 =1751 س = 1751 س = 42 كم التدريب الثالث 2 2 2 2 2 2 2 2

17. ك،ل منتصف الوترين أ ب، ج د في دائرة مركزها م، إذا كان م ل = م ك فأثبت أن أ ب = ج د الحل : المعطيات : أ ب ، ج د وتران في دائرة مركزها م ، ك ل منتصفا أ ب ، ج د الشكل (2 – 5) ،م ل = م ك . المطلوب : إثبات أن أ ب = ج د . المثال الثاني

18. يمثل الشكل مدخل نفق مصمم على شكل قوس دائرة طول قطرها 6 أمتار ، إذا كان ارتفاع القوس فوق منتصف قاعدة النفق يساوي 4.5 متر، فجد عرض قاعد النفق . الحلُّ : تمثل قاعدة مدخل النفق وترا ًفي الدائرة . إذا كانت ج منتصف قاعدة النفق فإن ارتفاع النفق = ج ه ، ج ه أب ب أ ج ه م المثال الثالث

19. إذا ً يقع المركز م على ج ه ويكون المثلث م أ ج قائم الزاوية في ج، باستخدام نظرية فيثاغورس ينتج أن : ( أم ) =( م ج ) + ( أ ج ) 3 = (1.5) + ( أ ج ) إذاً أ ج = 2.598 متراً إذاً أب = 5.196 متراً 2 2 2 2 2 2

20. 1) كم دائرة يمكنك أن ترسم بحيث تمر كل منها بنقطة معلومة هي أ؟ عدد لانهائي 2) كم دائرة يمكنك أن ترسم بحيث تمر كل منها بنقطتين معلومتين أ ،ب؟ عدد لانهائي 3) كم دائرة يمكنك أ، ترسم بحيث تمر كل منها بثلاث نقط ليست على استقامة واحده؟ دائرة واحدة التدريب الرابع

21. التمارين والمسائل

22. س 1: في الشكل م مركز الدائرة م ج أب إذا كان م ج = 5 سم ، م ب = 13 سم ، جد طول أب الحل : وذلك من خلال نظرية فيثاغورس الوتر =( الضلع 1)+ ( الضلع 2) (13)=( 5 )+( ج ب ) (169 -25) =( ج ب ) 144= ج ب ج ب =12 سم أ ب م ج 5 سم 13 سم 2 2 2 2 2 2 2 2 2

23. س 2: أ ب وتر في دائرة مركزها م طوله 16 سم ، ج منتصف أب، إذا كان م ج = 6 سم، فما طول نصف القطر؟ الحل : ( الوتر ) = ( طول 1) + ( طول 2) ( س ) =(6 )+ (8) ( س )= 36 +64 س = 100 2 2 2 2 2 2 2 2 م أ ب ج 6 سم 8 سم 8 سم س = 10 سم

24. س 3: أ ب ، ج د وتران متعامدان في الدائرة مركزها م ، غير مارين بمركزها ، كما في الشكل ( 2-8 ) ، إذا كانت س نقطة تقاطع الوترين ، ص منتصف أ ب ،ع منتصف ج د ، أثبت أن الشكل س ع م ص مستطيل .

25. البرهان : م ص مستقيم من المركز على منتصف أ ب إذن يصنع زاوية قائمة ...... ج د أ ب من المعطيات ع منتصف ج د إذن ع س أ ب ... ،من (1) و (2) م ص ع س كذلك م ع ج د لأنه مستقيم واصل بين منتصف وتر الدائرة ومركز الدائرة ص س يقع على أب وبما أن أ ب ج د من المعطيات إذن ص س ج د من (3) و (4) ص س م ع 1 2 3 4 ص م ع س مستطيل

26. س 4 : أ ب وتر طولة 24 سم ويبعد عن مركزها 5 سم ، ج د وتر آخر في نفس الدائرة ويبعد عن مركزها 12 سم احسب : ج د . الحل : أ ه =12 سم حسب الجزء الأول من النظرية ( أ م ) =( م ه ) + ( أ ه ) ( أ م ) =(5)+ (12 ) ( أ م ) = 169 أ م = 13 سم في ( أ م ه ) 2 2 2 2 2 2 2 ج أ ه د ب 5 سم 12 سم 12 سم 12 سم

27. ( أ م )= ( و م ) أنصاف لأقطار ج م =13 سم (13) = (12) ( ج و ) 169=144+ ( ج و ) ( ج و ) = 25 ج و =5 سم في ( ج و م ) 2 2 2 2 2

28. س 5 : أثبت أنه إذا تساوى طولا وترين في دائرة ، فإن بعديهما عن مركز ها متساويان . البرهان : نصل ( م أ ) ، ( م ج )

29. س 6 : صف كيف يمكنك تحديد مركز دائرة معطاة . الحل : وذلك عن طريق تنصيف قطعة مستقيمة

30. س 7 : صف كيف يمكنك رسم دائرة تمر برؤؤس المثلث أ ب ج . الحل : 1- وذلك عن طريق تنصيف القطعة المستقيمة ( أب ) وأيضا ً ( ب ج ) 2- من نقطة التقاء تنصيف القطعتين المستقيمتين نفتح الفرجار بمقار هذه النقطة الى ( ب ) 3- نركز الفرجار في نقطة الالتقاء ونرسم دائرة تمر برؤوس المثلث أ ب ج

31. س 8 : في الشكل أ ، ب قريتان واقعتان على أحد جانبي طريق مستقيم وتبعدان عنه 2 كم 3 كم على الترتيب ، يراد إنشاء محطة محروقات على الطريق بحيث تكون على البعد نفسه عن كل من أ ، ب ، صف كيف تحدد موقع المحطة ، واحسب بعدها عن ج . 6 كم ج د 3 كم ب 2 كم أ ه

32. الحل : في المثلث ( أ ج ه ) فأنه حسب نظرية فيثاغورس ( أ ه ) =(2) +( س ) ( أ ه ) = 4+ س ....... في الثلث ( ب د ه ) ( ب ه ) = 9 +( 6- س ) = 9+ 36+12 س + س ( ب ه )= 45 -12 س + س 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2

33. بما أن ( أ ه )= ( ب ه ) فأن ( أ ه ) =( ب ه ) ( أ ه ) = 4+ س = 45-12 س + س = 41-12 س = صفر 41=12 س س =3.4 سم طول ( ج ه ) 2.6 سم طول ( ه د ) 2 2 2 2 12 12

34. النهاية مع تمنياتي لكنَّ بالنجاح والتوفيق إن شاء الله .