1. ΓΔΝΙΚΔ΢ Α΢ΚΗ΢ΔΙ΢ 3νπ ΚΔΦΑΛΑΙΟΤ
M at h C poser 1. 1. 5
om
ht t p: / / w w m at hcom poser . com
w.
x+y=1
1 Να επηιύζεηε γξαθηθά ην ζύζηεκα
, όπνπ
x+y=k
k πξαγκαηηθόο αξηζκόο.
2 Av νη επζείεο ε1 : (ι + κ)x + y = 7 θαη
ε2: x + (ι + 3κ)y = 1 ηέκλνληαη ζην ζεκείν Α(2, 1), λα
ππνινγίζεηε ηηο ηηκέο ησλ ι θαη κ.
M at h C poser 1. 1. 5
om
ht t p: / / w w m at hcom poser . com
w.
x-y=3
3 Αλ ηα ζπζηήκαηα ΢1) 2x + y = ,9
M at h C poser 1. 1. 5
om
ht t p: / / w w m at hcom poser . com
w.
2x + αy = β
θαη ΢2) 3x - βy = α έρνπλ ηελ ίδηα ιύζε, λα βξείηε
ηνπο αξηζκνύο α, β.
4 Να ππνινγίζεηε ηηο ηηκέο ησλ x, y όηαλ:
2
2
α) (x + y - 2) + (2x - 3y + 1) = 0
2
2
β) 2x + y - 2xy + 4x + 4 = 0
5 Να ιύζεηε ηα ζπζηήκαηα:
M at h C poser 1. 1. 5
om
ht t p: / / w w m at hcom poser . com
w.
(3x - 4y)(x + 2y) = 8
(2x - 3y + 4)(x + y) = 0
β) x
α) 2x + y = 4
+ y = -2
2
M at h C poser 1. 1. 5
om
ht t p: / / w w m at hcom poser . com
w.
M at h C poser 1. 1. 5
om
ht t p: / / w w m at hcom poser . com
w.
2
2
x + y = 2xy
γ) x + y = 7
6 Να βξείηε δύν αξηζκνύο, πνπ έρνπλ άζξνηζκα 100 θαη
αλ δηαηξέζνπκε ην κεγαιύηεξν κε ην κηθξόηεξν, ηόηε
ζα πξνθύςεη πειίθν 4 θαη ππόινηπν 15.

2. 7 Αλ ε εμίζσζε (2ι - θ - 3)x = =θ - ι + 1 είλαη αόξηζηε,
λα βξείηε ηνπο αξηζκνύο θ, ι.
8 Σα θέληξα δύν θύθισλ πνπ εθάπηνληαη εμσηεξηθά
απέρνπλ 18 cm. Αλ ηα εκβαδά ησλ δύν θύθισλ
2
δηαθέξνπλ θαηά 72π cm , λα βξείηε ηηο αθηίλεο ησλ
δύν θύθισλ.
9 Να βξείηε ηηο ειηθίεο δύν αδειθώλ, αλ ζήκεξα
δηαθέξνπλ θαηά 5 ρξόληα, ελώ κεηά από 11 ρξόληα νη
M at h C poser 1. 1. 5
om
ht t p: / / w w m at hcom poser . com
w.
ειηθίεο ηνπο ζα έρνπλ ιόγν
4
.
3
10 ΢’ έλα ηαμίδη κε πινίν, ην εηζηηήξην ηεο Α΄ ζέζεο
θνζηίδεη 18 € θαη ηεο Β΄ ζέζεο θνζηίδεη 6 € ιηγόηεξα.
Αλ ζ’ έλα ηαμίδη θόπεθαλ 350 εηζηηήξηα ζπλνιηθήο
αμίαο 4500 €, λα βξείηε πόζα εηζηηήξηα θόπεθαλ
από θάζε θαηεγνξία.
11 Να βξείηε έλα δηςήθην αξηζκό, πνπ ην άζξνηζκα ησλ
ςεθίσλ ηνπ είλαη ίζν κε 10 θαη αλ ελαιιάμνπκε ηα
ςεθία ηνπ, ηόηε ζα πξνθύςεη αξηζκόο θαηά 18
κηθξόηεξνο.
12 Αλ δηαηξέζνπκε έλα δηςήθην αξηζκό κε ην άζξνηζκα
ησλ ςεθίσλ ηνπ, βξίζθνπκε πειίθν 6 θαη ππόινηπν
3. Αλ ελαιιάμνπκε ηα ςεθία ηνπ θαη ηνλ αξηζκό πνπ
πξνθύπηεη ηνλ δηαηξέζνπκε κε ην άζξνηζκα ησλ
ςεθίσλ ηνπ, βξίζθνπκε πειίθν 4 θαη ππόινηπν 9.
Πνηνο είλαη ν αξρηθόο δηςήθηνο αξηζκόο;
13 Αλ ειαηηώζνπκε ην κήθνο ελόο νξζνγσλίνπ θαηά 2
m θαη απμήζνπκε ην πιάηνο ηνπ θαηά 5 m, ην εκβα2
δόλ ηνπ απμάλεηαη θαηά 94 m . Αλ όκσο, απμήζνπκε
ην κήθνο ηνπ θαηά 4 m θαη ειαηηώζνπκε ην πιάηνο

3. ηνπ θαηά 6 m, ην εκβαδόλ ηνπ ειαηηώλεηαη θαηά 104
2
m . Πνηεο είλαη νη δηαζηάζεηο ηνπ νξζνγσλίνπ;
14 Οη πόιεηο Α θαη Β απέρνπλ 55 km. Έλα απηνθίλεην
μεθηλά από ηελ πόιε Α θαη κε κέζε ηαρύηεηα 80
km/h θηλείηαη πξνο ηελ πόιε Β. Γεθαπέληε ιεπηά
κεηά ηελ εθθίλεζή ηνπ έλα άιιν απηνθίλεην μεθηλά
από ηελ πόιε Β θαη κε κέζε ηαρύηεηα 60 km/h
θηλείηαη πξνο ηελ πόιε Α. Πόζν ρξόλν θηλήζεθε
θάζε απηνθίλεην κέρξη ηε ζπλάληεζή ηνπο;
80 km/h
A
60 km/h
55 km
B
15 Γύν απηνθίλεηα θηλνύληαη κε ζηαζεξέο ηαρύηεηεο
θαη απέρνπλ κεηαμύ ηνπο 45 km. Αλ θηλνύληαη πξνο
ηελ ίδηα θαηεύζπλζε ζα ζπλαληεζνύλ κεηά από 3
ώξεο, ελώ αλ θηλνύληαη ζε αληίζεηε θαηεύζπλζε, ζα
ζπλαληεζνύλ ζε 20 ιεπηά. Με πνηα ηαρύηεηα
θηλείηαη θάζε απηνθίλεην;
16 Έλα ηξέλν θηλείηαη κε
ζηαζεξή ηαρύηεηα. Ο ρξόλνο, πνπ κεζνιαβεί από
ηε ζηηγκή πνπ ζα εηζέιζεη
ζε κηα ζήξαγγα κήθνπο
180 m κέρξη ηε ζηηγκή
πνπ θαη ην ηειεπηαίν ηνπ βαγόλη ζα εμέιζεη απ’ απηή,
είλαη 12 sec. ΢ε κηα δεύηεξε ζήξαγγα κήθνπο 930 m
ν αληίζηνηρνο ρξόλνο πνπ κεζνιαβεί είλαη 42 sec.
Να βξείηε ηελ ηαρύηεηα θαη ην κήθνο ηνπ ηξέλνπ.

4. 17 Οη αληηζηάζεηο R1, R2, αλ ζπλδεζνύλ παξάιιεια,
έρνπλ νιηθή αληίζηαζε 2,4 Χ. Αλ ε αληίζηαζε R2
ζπλδεζεί παξάιιεια κε αληίζηαζε 12 Χ, ηόηε ε
νιηθή ηνπο αληίζηαζε είλαη R1, Να βξείηε ηηο ηηκέο
ησλ αληηζηάζεσλ R1, R2.
ΔΠΑΝΑΛΗΦΗ – ΑΝΑΚΔΦΑΛΑΙΧ΢Η
3νπ ΚΔΦΑΛΑΙΟΤ
1. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΞΙ΢Χ΢Η ΜΔ ΓΤΟ ΑΓΝΧ΢ΣΟΤ΢
 Γραμμική εμίζσζε κε δύν αγλώζηνπο x, y νλνκάδεηαη
θάζε εμίζσζε ηεο κνξθήο αx + βy = γ,
π.ρ. 3x + 2y = 7.
 Λύζη ηεο γξακκηθήο εμίζσζεο αx + βy = γ νλνκάδεηαη
θάζε δηαηεηαγκέλν δεύγνο αξηζκώλ (x, y) πνπ ηελ
επαιεζεύεη.
Π.ρ. ην δηαηεηαγκέλν δεύγνο (1, 2) είλαη ιύζε ηεο
εμίζσζεο 3x + 2y = 7, αθνύ 3  1 + 2  2 = 7.
 Η γξακκηθή εμίζσζε αx + βy = γ παξηζηάλεη επζεία ε,
y
αλ α ≠ 0 ή β ≠ 0.
M at h C poser 1. 1. 5
om
ht t p: / / w w m at hcom poser . com
w.
r.
5 se
1. po
1. om
r
se hc
po at
m m
Co www.
//
h
at
M t p:
ht
Αλ α ≠ 0 θαη β ≠ 0, ηόηε
0
ε γξακκηθή εμίζσζε
αx + βy = γ παξηζηάλεη
-2
επζεία πνπ ηέκλεη θαη
ηνπο δύν άμνλεο.
130 / 142
4x
ε:
5y
-
=
10
m
co
M at h C poser 1. 1. 5
om
ht t p: / / w w m at hcom poser . com
w.
5
2
x

5. M at h C poser 1. 1. 5
om
ht t p: / / w w m at hcom poser . com
w.
y
M at h C poser 1. 1. 5
om
ht t p: / / w w m at hcom poser . com
w.
y
M at h C poser 1. 1. 5
om
ht t p: / / w w m at hcom poser . com
w.
ε: x = 3
M at h C poser 1. 1. 5
om
ht t p: / / w w m at hcom poser . com
w.
ε: y = 2
2
1
0
1
1 2
0 1 2
x
Αλ α = 0, ηόηε ε γξακκηθή
εμίζσζε είλαη ηεο κνξθήο
y = θ θαη παξηζηάλεη επζεία
παξάιιειε ζηνλ άμνλα x΄x
ή ηνλ άμνλα x΄x.
3
x
Αλ β = 0, ηόηε ε γξακκηθή
εμίζσζε είλαη ηεο κνξθήο
x = θ θαη παξηζηάλεη επζεία
παξάιιειε ζηνλ άμνλα y΄y
ή ηνλ άμνλα y΄y.
 Αλ έλα ζεκείν αλήθεη ζε κηα επζεία, ηόηε νη ζπληεηαγκέλεο ηνπ επαιεζεύνπλ ηελ εμίζσζε ηεο επζείαο. Π.ρ.
αλ ην ζεκείν Μ(3, 4) αλήθεη ζηελ επζεία ε :αx - y = 0,
ηόηε ηζρύεη 3  α - 4 = 0.
 Αλ νη ζπληεηαγκέλεο ελόο ζεκείνπ επαιεζεύνπλ ηελ
εμίζσζε κηαο επζείαο, ηόηε ην ζεκείν αλήθεη ζηελ
επζεία απηή. Π.ρ. ην ζεκείν Μ(0, -2) αλήθεη ζηελ επζεία
ε : 4x - 5y = 10, αθνύ 4  0 - 5  (-2) = 10.
2. ΓΡΑΜΜΙΚO ΢Τ΢ΣΗΜΑ ΜΔ ΓΤΟ ΑΓΝΧ΢ΣΟΤ΢
 Η γεληθή κνξθή ελόο γξακκηθνύ ζπζηήκαηνο δύν
εμηζώζεσλ κε δύν αγλώζηνπο x, y είλαη:
M at h C poser 1. 1. 5
om
ht t p: / / w w m at hcom poser . com
w.
α 1x + β 1y = γ 1
(΢) :
π.ρ.
α 2x + β 2y = γ 2
M at h C poser 1. 1. 5
om
ht t p: / / w w m at hcom poser . com
w.
3x + 2y = 4
x - 3y = 5
 Λύζε ηνπ γξακκηθνύ ζπζηήκαηνο (΢) είλαη θάζε
δηαηεηαγκέλν δεύγνο αξηζκώλ (x, y) πνπ επαιεζεύεη
θαη ηηο δύν εμηζώζεηο ηνπ. Π.ρ. ην δηαηεηαγκέλν δεύγνο

6. M at h C poser 1. 1. 5
om
ht t p: / / w w m at hcom poser . com
w.
(2, -1) είλαη ιύζε ηνπ ζπζηήκαηνο 3x + 2y = 4
,
x - 3y = 5
M at h C poser 1. 1. 5
om
ht t p: / / w w m at hcom poser . com
w.
αθνύ
3  2 + 2  (-1) = 4
2 - 3  (-1) = 5
 Έλα γξακκηθό ζύζηεκα κε δύν αγλώζηνπο x, y
ιύλεηαη κε ηνπο εμήο ηξόπνπο:
α) Γξαθηθά
΢ην ίδην ζύζηεκα αμόλσλ παξηζηάλνπκε ηηο
εμηζώζεηο ηνπ ζπζηήκαηνο κε δύν επζείεο ε1, ε2.
y
M at h C poser 1. 1. 5
om
ht t p: / / w w m at hcom poser . com
w.
r.
5 se
1. po
1. om
r
se hc
po at
m m
Co w.
h / ww
at /
M t p:
ht
m
co
5 er .
1. 1. pos
m
er
pos hco
om . m at
h Cww
w
M at p: / /
ht t
com
y
=
5
x+
:2
+
y=
5
ε2
:x
ε1
8
8
2
0
A (3,2)
3 4 5
x
Αλ νη ε1, ε2 ηέμνονηαι ζ’ έλα ζεκείν, ηόηε ην ζύζηεκα
έρεη μοναδική λύζη ην δεύγνο ησλ ζπληεηαγκέλσλ ηνπ
M at h C poser 1. 1. 5
om
ht t p: / / w w m at hcom poser . com
w.
x+y=5
ζεκείνπ ηνκήο ηνπο. Π.ρ. ην ζύζηεκα
έρεη
2x + y = 8
κνλαδηθή ιύζε ηελ (x, y) = (3, 2).

7. y
M at h C poser 1. 1. 5
om
ht t p: / / w w m at hcom poser . com
w.
r.
5
1. pose
1.
om
r
se hc
po at
m m
Co w.
h ww
at / /
M t p:
ht
m
co
ε2
-6
y
-6
x
:4
4
-2
=
4
0
r.
5
1. pose
1.
om
r
se hc
po at
m m
Co w.
h ww
at / /
M t p:
ht
m
co
ε1
x
:2
3
x
=6
y
-2
-3
Αλ νη ε1, ε2 είλαη παράλληλες ηόηε δελ έρνπλ θαλέλα
θνηλό ζεκείν, νπόηε ην ζύζηεκα δελ έρεη ιύζε. ΢ηελ
πεξίπησζε απηή ιέκε όηη ην ζύζηεκα είλαη αδύναηο.
M at h C poser 1. 1. 5
om
ht t p: / / w w m at hcom poser . com
w.
ε2 :
ε1 :
6x 3x 2y =
y=
12
6
y

2
x
-6 
com
M at
ht t h C
p: / om pos
/w
w . er 1.
wm
at hco 1. 5
m pos
er .
com
0
M at
ht t h C
p: / om pos
/w
w . er 1.
wm
at hco 1. 5
m pos
er .
Αλ νη ε1, ε2 ηασηίζονηαι, ηόηε
έρνπλ όια ηνπο ηα ζεκεία
θνηλά, νπόηε ην ζύζηεκα έρεη
άπεηξεο ιύζεηο.
΢ηελ πεξίπησζε απηή ιέκε
όηη ην ζύζηεκα είλαη αόριζηο.
β) Αιγεβξηθά
Υξεζηκνπνηνύκε ηε κέζνδν ηεο αληηθαηάζηαζεο ή ησλ
αληηζέησλ ζπληειεζηώλ πξνθεηκέλνπ λα απαιείςνπκε
ηνλ έλαλ από ηνπο δύν αγλώζηνπο ηνπ ζπζηήκαηνο θαη
λα θαηαιήμνπκε ζε κηα εμίζσζε 1νπ βαζκνύ κε έλαλ
άγλσζην