Downloaded 700 times
Uploaded byพิทักษ์ ทวี
โครงงานเรขาคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธ์ของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยมจัต
โครงงานเรขาคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธ์ของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสกับลำดับเรขาคณิต.pdf
More Related Content
Similar to โครงงานเรขาคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธ์ของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยมจัต
โครงงานเรขาคณิตศาสตร์ เรื่อง ความสัมพันธ์ของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยมจัต
- 1. บทที่ 1 บทนา 1. ความเป็นมาของโครงงาน คณิตศาสตร์มีบทบาทสาคัญยิ่งต่อการพัฒนาความคิดของมนุษย์ ทาให้มนุษย์มีความคิดสร้างสรรค์ คิดอย่างมีเหตุผล คิดอย่างเป็นระบบ คิดอย่างเป็นแบบแผน ช่วยให้คิดวิเคราะห์ปัญหาและสถานการณ์ได้ อย่างถี่ถ้วน ทาให้สามารถคาดการณ์ วางแผน ตัดสินใจ แก้ปัญหาได้อย่างถูกต้องเหมาะสม เป็นเครื่องมือ ในการศึกษาวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีและศาสตร์อื่นๆที่เกี่ยวข้อง นับว่า คณิตศาสตร์มีประโยชน์ต่อการ ดารงชีวิตและช่วยพัฒนาคุณภาพชีวิตของมนุษย์เป็นอย่างมาก ครูผู้สอนที่จะส่งเสริมให้นักเรียนได้พัฒนา กระบวนการคิด มีเจตคติที่ดีต่อการเรียนคณิตศาสตร์ได้ โดยการปรับวิธีการเรียนเปลี่ยนวิธีการสอนที่มุ่งให้ นักเรียนได้รับการพัฒนาทางการคิดมากที่สุด ซึ่งอาจจะจัดในรูปแบบการจัดกิจกรรมที่ส่งเสริมความคิด การใช้คาถามที่ท้าทายเพื่อเป็นการพัฒนาผู้เรียนให้เป็นผู้ที่มีความรู้ ทักษะ และความสามารถต่างๆ สามารถ ใช้ความรู้ ทักษะ ไปใช้ในการแก้ปัญหาและตัดสินใจอย่างมีเหตุผล การที่จะทาให้การเรียนคณิตศาสตร์มี ประสิทธิภาพและประสบผลสาเร็จนั้น ควรที่จะมีการแสวงหาความคิดใหม่ๆ หรือนาความคิดใหม่ๆมา ผสมผสานกับเทคโนโลยี เพื่อช่วยพัฒนาผู้เรียนให้มีความรู้ความสามารถสูงสุด จะเห็นว่า โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad เป็นโปรแกรมหนึ่งที่จะช่วยในการพัฒนาการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน คณิตศาสตร์ให้มีประสิทธิภาพ เนื่องจากโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad สามารถนาเสนอเนื้อหายากๆ ให้เกิดความเข้าใจได้ง่ายขึ้น สามารถนามาสารวจ วิเคราะห์เนื้อหาต่างๆในวิชาคณิตศาสตร์ ได้เป็นอย่างดี และช่วยให้ผู้เรียนมีความคิดสร้างสรรค์ผลงานได้ ความสามารถในการหาแบบรูปหรือรูปทั่วไปเป็นศักยภาพหนึ่งทางคณิตศาสตร์ที่จะฝึกผู้เรียนให้ เป็นคนช่างสังเกต มองความสัมพันธ์ของสิ่งที่สังเกตได้ ค้นหาลักษณะร่วม ลักษณะต่าง จนสรุปได้เป็น กฎเกณฑ์การหารูปแบบมักไม่ตายตัว สามารถคิดได้หลากหลาย ขึ้นอยู่กับประสบการณ์ จินตนาการ ความรู้พื้นฐานและการคิดของผู้เรียน การที่เราสามารถค้นหาแบบรูป (pattern)ได้ อาจจะนาไปสู่การค้นพบที่ น่าสนใจและสามารถนาไปประยุกต์เพื่อให้เกิดการเชื่อมโยงกับสิ่งต่างๆที่อยู่รอบตัว ในเรื่องของลาดับ (Sequence) คือ เซตที่เป็นสมาชิกของเรนจ์ของฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นจานวนนับที่เรียงกันจากน้อยไปมาก หรือแทนด้วย f (1) , f (2 ) , f (3 ) , …, f ( n ) , … หรือ a1 , a2 , a3 , …, an , … ซึ่งเรียกว่าพจน์ของลาดับ จะเรียก a1 ว่าพจน์ที่ 1 เรียก a2 ว่าพจน์ที่ 2 เรียก a3 ว่าพจน์ที่ 3 เรียก a4 ว่าพจน์ที่ 4 เรียก an ว่าพจน์ที่ n หรือพจน์ทั่วไป ในการหาพจน์ทั่วไปของลาดับจะต้องพิจารณาความสัมพันธ์ระหว่าง an กับ n แล้วจึงสรุป เป็นกฎเกณฑ์ ซึ่งถ้าผู้เรียนมีทักษะในการพิจารณาความสัมพันธ์ที่เกิดขึ้น จะทาให้สามารถหาพจน์ทั่วไปได้ และเชื่อมโยงความสัมพันธ์ต่างๆ ได้เป็นอย่างดี เป็นกระบวนการที่ฝึกให้ผู้เรียนมีทักษะกระบวนการคิด รู้จัก การแก้ปัญหาและรู้จักการนาไปใช้ จะช่วยให้ผู้เรียนประสบความสาเร็จในการเรียนเป็นอย่างดี ดังนั้นเราจะ เห็นว่า การหาพจน์ทั่วไปของลาดับ มีความสาคัญในการเรียนเรื่องลาดับเป็นอย่างมาก
- 2. 2 คณะผู้จัดทาโครงงานคณิตศาสตร์ได้ศึกษาเรื่องการหาพื้นที่ของรูปเรขาคณิต ทาให้สนใจปัญหาเกี่ยวกับการหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าและรูปสี่เหลี่ยมด้านเท่าหรือรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เกิดจากการย่อ รูปต้นแบบโดยย่อด้านของรูปลงไปเรื่อยๆในอัตราส่วน 1:2 คณะผู้จัดทาได้ใช้แนวคิดในการหาพื้นที่ของรูป สามเหลี่ยมด้านเท่าและรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเพื่อเชื่อมโยงหาความสัมพันธ์ของพื้นที่ที่เกิดขึ้นและได้ใช้ โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad ช่วยในการสารวจ ทาให้มองเห็นความสัมพันธ์ที่เกิดขึ้นและเห็นเป็น รูปธรรมที่ชัดเจน สามารถสรุปเป็นสูตรการหาพื้นที่ รูปที่ n จากรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าและรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ที่กาหนดให้ได้ โดยอาศัยความรู้เรื่องลาดับเรขาคณิตเข้ามาประยุกต์ใช้ ทาให้การหาพื้นที่รูปที่ n จาก รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าและรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสจากรูปที่กาหนดให้ง่ายขึ้น สะดวกในการนาไปใช้ และเป็น พื้นฐานที่สาคัญในการศึกษาต่อในระดับสูงต่อไป 2. วัตถุประสงค์ 2.1 เพื่อศึกษาการหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าและรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสจากรูปที่กาหนดโดยใช้ ทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์ 2.2 เพื่อศึกษาการหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าและรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสจากรูปที่กาหนดโดยใช้ โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad ในการสารวจ 2.3 เพื่อศึกษาความสัมพันธ์ของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าและรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสกับ ลาดับเรขาคณิต 3. เนื้อหาวิชาคณิตศาสตร์ 3.1 การหาพื้นที่ของรูปเรขาคณิต 3.2 ลาดับเรขาคณิต (Geometric Sequence) 3.3 การหาพื้นที่โดยใช้โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad 4. สมมติฐาน เมื่อศึกษาแล้วสามารถหาความสัมพันธ์ของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าและรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสกับ ลาดับเรขาคณิตและสามารถสรุปเป็นสูตรการหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าและรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปที่ n จากรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าและรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่กาหนดให้ได้ 5. ขอบเขตการศึกษา 5.1 ศึกษาการหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าและรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสจากรูปที่กาหนดโดยใช้ ทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์ 5.2 ศึกษาการหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าและรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสจากรูปที่กาหนดโดยใช้ โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad ในการสารวจ
- 3. 3 5.3 ศึกษาความสัมพันธ์ของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าและรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสกับ ลาดับเรขาคณิต 5.4 สถานที่ศึกษา โรงเรียนรัตนบุรี อาเภอรัตนบุรี จังหวัดสุรินทร์ 5.5 ระยะเวลาที่ใช้ในการศึกษา วันที่ 20 มิถุนายน 2555 - 31 สิงหาคม 2555 6. วิธีการดาเนินงาน 6.1 รวบรวมจานวนสมาชิก 3 คน เพื่อจัดตั้งกลุ่มโครงงานคณิตศาสตร์ และประชุม ปรึกษาหารือเกี่ยวกับการดาเนินการจัดทาโครงงาน ระหว่างคณะผู้จัดทาโครงงานกับครูที่ปรึกษา 6.2 วางแผนการดาเนินงานและกาหนดแนวทางในการดาเนินงาน 6.3 ศึกษาเอกสารเกี่ยวกับเรื่องพื้นที่ของรูปเรขาคณิต ลาดับเรขาคณิต โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad ตลอดจนเนื้อหาอื่นๆเกี่ยวกับการทาโครงงาน 6.4 จัดทาเค้าโครงโครงงานและนาเสนอครูที่ปรึกษาโครงงาน เพื่อขอคาแนะนาและรับฟัง ข้อเสนอแนะ 6.5 นาข้อมูลมาวิเคราะห์หาความสัมพันธ์ของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าและ รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสกับลาดับเรขาคณิตและสามารถสรุปเป็นสูตรการหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าและ รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปที่ n จากรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าและรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่กาหนดให้ได้ 6.6 สรุปผลการดาเนินงาน ประชุมอภิปรายปัญหาต่างๆ และให้ข้อเสนอแนะ 6.7 จัดทารายงานและแผนผังโครงงานคณิตศาสตร์ 6.8 นาเสนอโครงงานคณิตศาสตร์ 7. ประโยชน์ที่คาดว่าจะได้รับ 7.1 ทาให้ทราบถึงความสัมพันธ์ของพื้นที่รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าและรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสกับลาดับ เรขาคณิตโดยใช้กระบวนการทางคณิตศาสตร์และการสารวจโดยใช้โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad 7.2 ทาให้สามารถสรุปสูตรการหาพื้นที่รูปที่ n จากรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าและรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ กาหนดให้ได้ 7.3 เพื่อส่งเสริมให้เกิดความรัก ความสนใจและมีเจตคติที่ดีต่อวิชาคณิตศาสตร์ 7.4 เพื่อฝึกให้มีความคิดสร้างสรรค์ และมีทักษะในการทางานเป็นกลุ่มเป็นการใช้เวลาว่างให้เป็น ประโยชน์
- 4. 4 บทที่ 2 หลักการ แนวคิด ทฤษฎีที่เกี่ยวข้อง การทา โครงงานคณิตศาสตร์ในครั้งนี้ จะกล่าวถึงหัวข้อต่างๆ ดังนี้ 1. พื้นที่ของรูปเรขาคณิต 2. ลา ดับเรขาคณิต (Geometric Sequence) 3. โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad 1. พื้นที่ของรูปเรขาคณิต พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม สามารถแสดงได้เป็นครึ่งหนึ่งของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ซึ่งมีความ ยาวฐานกับความสูงที่เท่ากัน การคา นวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมเป็นปัญหาพื้นฐานที่มักจะพบในสถานการณ์ที่แตกต่างกัน สูตรที่ ง่ายและเป็นที่รู้จักมากที่สุดคือ s bh 2 1 รูปภาพที่ 1 แสดงรูปสามเหลี่ยม เมื่อ S หมายถึงพื้นที่ b คือความยาวของฐาน และ h คือความสูงหรือส่วนสูงของ รูปสามเหลี่ยม คา ว่าฐานในที่นี้สามารถหมายถึงด้านในด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยม และส่วนสูงคือระยะที่วัด จากมุมที่อยู่ตรงข้ามด้านนั้นตั้งฉากไปยังฐาน ใช้สูตรของเฮรอน อีกวิธีที่ใช้คา นวณ S ได้คือใช้สูตรของเฮรอน s ss as bs c เมื่อ s a bc/ 2 คือครึ่งหนึ่งของเส้นรอบรูปของรูปสามเหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส คือ รูปหลายเหลี่ยมที่มีด้านสี่ด้าน ด้านทุกด้านยาวเท่ากัน และมุมภายในทุกมุมมี ขนาดเท่ากัน ทา ให้มุมแต่ละมุมเป็นมุมฉาก รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสสามารถจัดได้ว่าเป็น รูปสี่เหลี่ยมปรกติ, รูป สี่เหลี่ยมมุมฉาก, รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน, รูปสี่เหลี่ยมรูปว่าว, รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน และ รูปสี่เหลี่ยมคาง หมูหน้าจั่ว เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีความยาวเท่ากันและตัดกันเป็นมุมฉากที่จุดกึ่งกลาง ถ้าเส้นทแยง มุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนมีความยาวเท่ากัน แสดงว่ารูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนั้นจะต้องเป็น รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส
- 5. 5 พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้านละ aหน่วย เท่ากับ a×a = a2 ตารางหน่วย และเส้นรอบ รูปจะยาวเท่ากับ 4a หน่วย รูปภาพที่ 2 แสดงรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส 2. ลาดับเรขาคณิต (Geometric Sequence) ลาดับ (Sequence) คือ ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นจานวนเต็มบวก n ตัวแรก หรือ ลาดับ คือฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นจานวนเต็มบวก โดย ลาดับจากัด เป็นลาดับที่มีโดเมนของฟังก์ชันเป็น { 1 , 2 , 3 , … , n } คือ a1 , a2 , a3 , … , an ลาดับอนันต์ เป็นลาดับที่มีโดเมนของฟังก์ชันเป็น { 1 , 2 , 3 , … } คือ a1 , a2 , a3 , … ซึ่งเขียนแทนด้วย f ( 1 ) , f ( 2 ) , f ( 3 ) , …, f ( n ) , … เรียกว่าพจน์ของลาดับ a1 , a2 , a3 , …, an , … เรียก a1 ว่าพจน์ที่ 1 เรียก a2 ว่าพจน์ที่ 2 เรียก a3 ว่าพจน์ที่ 3 เรียก a4 ว่าพจน์ที่ 4 . . . เรียก an ว่าพจน์ที่ n หรือพจน์ทั่วไป ลาดับเรขาคณิต คือ ลาดับที่มีอัตราส่วนของพจน์ที่ n + 1 ต่อพจน์ที่ n หรือพจน์หลังต่อพจน์ หน้าที่อยู่ติดกันมีค่าคงที่ ค่าคงที่นี้เรียกว่า อัตราส่วนร่วม (Common Ratio) การหาพจน์ที่ n หรือพจน์ทั่วไปของลาดับเรขาคณิต จากลาดับเรขาคณิต 2, 10, 50, 250, . . . พิจารณาความสัมพันธ์ของพจน์ต่าง ๆ กับ พจน์ที่ 1 และอัตราส่วนร่วม (r) ดังนี้ a1 = 2 a2 = 10 = 2(5)1 = 2(5)2 – 1 a3 = 50 = 2(5)2 = 2(5)3 – 1 a4 = 250 = 2(5)3 = 2(5)4 – 1 . . . ab = 2(5)n – 1 ถ้าให้ r = 5 , a1 = 2 จะได้ an = a1 (r)n – 1
- 6. 6 สูตรการหาพจน์ที่n (an) หรือพจน์ทั่วไปของลาดับเรขาคณิต คือ an = a1 rn – 1 เมื่อ an เป็นพจน์ที่ n , r เป็นอัตราส่วนร่วม, a1 เป็นพจน์ที่ 1 3. โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad (GSP) โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad หมายถึง ซอฟต์แวร์คอมพิวเตอร์ที่ช่วยให้ผู้เรียนเรียน คณิตศาสตร์ โดยการสร้างองค์ความรู้ด้วยตนเอง สามารถสร้างตัวแบบคณิตศาสตร์ที่ทาให้เกิด การเคลื่อนไหวเชิงเรขาคณิต ตลอดจนถึงการแสดงการเคลื่อนไหวของรูปทรงเรขาคณิตแบบต่างๆ ที่ซับซ้อนให้เห็นได้ง่ายขึ้น ผู้เรียนสามารถวัด ตรวจสอบได้ด้วยตนเอง ให้ผลที่แน่นอนกว่า และส่งผลใน ทางบวกให้นักเรียนมีผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนเจตคติต่อวิชาคณิตศาสตร์สูงขึ้น นอกจากนั้นยังสามารถนามา ประยุกต์ใช้ และช่วยในการสรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนให้เห็นได้ง่ายขึ้น โดยเฉพาะเนื้อหาเกี่ยวกับการ แก้โจทย์ปัญหาด้านคณิตศาสตร์ ต่าง ๆ คาแนะนาการใช้ โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad (GSP) เมื่อเปิดโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad (GSP) จะเห็นคาว่า “The Geometer’s Sketchpad”อยู่กลาง หน้าต่าง GSP คลิกหนึ่งครั้งเพื่อลบกล่อง คาว่า “The Geometer’s Sketchpad” รูปภาพที่ 3 แสดงหน้าต่างโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad (GSP) หน้าต่าง GSP จะปรากฏดังรูป ประกอบด้วยแถบเมนู ลดขนาดหน้าต่างจอ ขยายหน้าต่างจอ คาสั่งปิด แบบร่าง แถบเลื่อน กล่องเครื่องมือจะอยู่ทางด้านซ้ายของแบบร่าง และสามารถดาเนินการใช้ โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad (GSP) ได้ตามที่ต้องการ รูปภาพที่ 4 แสดงแถบเครื่องมือคาสั่งและเมนูต่างๆของโปรแกรม GSP
- 7. 7 a a a C A B บทที่ 3 วิธีการดาเนินงานและเครื่องมือในการคานวณ กลุ่มผู้จัดทา โครงงานคณิตศาสตร์จะกล่าวถึงวิธีการดา เนินงานและเครื่องมือที่ใช้ใน การคา นวณดังนี้ 1. ขั้นตอนการดา เนินงาน 2. เครื่องมือที่ใช้ในการคา นวณทางคณิตศาสตร์ ข้นัตอนการดาเนินงาน ขั้นตอนการดา เนินงานประกอบด้วยขั้นตอนต่างๆ ดังนี้ 1. ขั้นเตรียมการ 2. ขั้นวางแผนการทา งาน 3. ขั้นลงมือปฏิบัติการ 4. ขั้นสรุปรายงานผล 1. ข้นัเตรียมการ 1) คณะผู้จัดทา โครงงานประกอบด้วยสมาชิก 3 คน คือ นายอรรถพล มีสัตย์ , นางสาวภารดี จันทร์ทะพันธ์ และนางสาววิรดา จันทร์ทะพันธ์ ได้ศึกษาขั้นตอนการจัดทา โครงงานคณิตศาสตร์ จากเอกสารต่างๆที่เกี่ยวข้อง 2) คณะผู้จัดทา เลือกหัวข้อโครงงานที่ตนเองสนใจและนา เสนอต่อครูที่ปรึกษาโครงงาน 3) คณะผู้จัดทา โครงงานและครูที่ปรึกษาโครงงาน ร่วมกันอภิปรายในหัวข้อโครงงานที่จะจัดทา และ ได้ข้อสรุปว่าจะจัดทา โครงงานเรื่อง “ลา ดับเรขาคณิตพิชิตพื้นที่สามเหลี่ยมด้านเท่าและสี่เหลี่ยมจัตุรัส (Overcoming of the Triangle and Square Area by using Geometric Sequence)” 2. ข้นัวางแผนการดาเนินงาน 1) ศึกษาข้อมูลเกี่ยวกับเรื่องพื้นที่ ลา ดับเรขาคณิต การหาพจน์ทั่วไปของลา ดับเรขาคณิต เป็นต้น 2) ศึกษาเรื่อง การใช้ โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad 3. ข้นัลงมือปฏิบัติ 1) หาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า จากรูปที่กา หนดให้ ABC ความยาวของด้านยาวด้านละ a หน่วย รูปภาพที่ 5 แสดงรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า
- 8. 8 การหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า จากสูตรของเฮรอน พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า = ss as bs c เมื่อ 2 a b c s พื้นที่สามเหลี่ยมด้านเท่ารูปที่ 1 a a a a a a a A 2 3 2 3 2 3 2 3 1 = 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3a a a a a a a = 2 2 2 2 3a a a a = 3 2 2 3 a a = 4 4 2 3a = 2 2 2 2 2 3 a = 2 2 2 3a 4 3 2 1 a A ดังนั้นพื้นที่สามเหลี่ยมด้านเท่ารูปที่ 1 เท่ากับ 4 3 2 a ตารางหน่วย 2) ดา เนินการหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ารูปที่ 2 โดยย่อด้านของสามเหลี่ยมด้านเท่ารูปที่ 1 ลง ในอัตราส่วน 1:2 ดังรูปที่กา หนดให้ รูปภาพที่ 6 แสดงรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าซ้อนกัน 2 รูป 3) ดา เนินการหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าอีก 2 ครั้ง โดยการย่อด้านของรูปสามเหลี่ยมด้าน เท่าที่อยู่ภายในลงไปเรื่อยๆในอัตราส่วน 1:2 4) รวบรวมข้อมูลที่ได้นา มาหาความสัมพันธ์ของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า และวิเคราะห์ ข้อมูลเพื่อสรุปหาสูตรการหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ารูปที่ n โดยใช้ความรู้เรื่องลา ดับเรขาคณิต 5) หาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส จากรูปที่กา หนดให้ ABCD ความยาวของด้านยาวด้านละ a หน่วย รูปภาพที่ 7 แสดงรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส D C A B
- 9. 9 พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปที่ 1 1 A = 2 a ตารางหน่วย 6) ดา เนินการหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปที่ 2 โดยย่อด้านของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปที่ 1 ลงใน อัตราส่วน 1: 2 ดังรูปที่กา หนดให้ รูปภาพที่ 8 แสดงรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสซ้อนกัน 2 รูป 7) ดา เนินการหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสอีก 2 ครั้ง โดยการย่อด้านของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่อยู่ ภายในลงไปเรื่อยๆในอัตราส่วน 1:2 8) รวบรวมข้อมูลที่ได้นา มาหาความสัมพันธ์ของพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส และวิเคราะห์ข้อมูลเพื่อ สรุปหาสูตรการหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปที่ n โดยใช้ความรู้เรื่องลา ดับเรขาคณิต 9) สา รวจพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าและสี่เหลี่ยมจัตุรัสโดยใช้ โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad นา ข้อมูลมาวิเคราะห์หาความสัมพันธ์ที่เกิดขึ้นเพื่อสรุปหาสูตรการหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้าน เท่าและรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปที่ n โดยใช้ความรู้เรื่องลา ดับเรขาคณิต 4. ขั้นสรุปรายงานผล 1) ประชุมแบ่งหน้าที่ความรับผิดชอบให้แต่ละคนในการเขียนรายงานโครงงาน 2) ดา เนินการจัดทา โครงงานฉบับร่าง 3) นา เสนอรายงานการจัดทา โครงงานฉบับร่างให้ครูที่ปรึกษาโครงงานตรวจสอบให้ข้อเสนอแนะ 4) แก้ไข ปรับปรุงรายงาน ตามที่ครูที่ปรึกษาโครงงานได้ให้ข้อเสนอแนะ 5) จัดทา รูปเล่มโครงงานคณิตศาสตร์ฉบับสมบูรณ์ ตรวจพิสูจน์ อักษร และการเรียบเรียงเนื้อหา 6) เสนอรายงานโครงงานคณิตศาสตร์ฉบับสมบูรณ์ต่อครูที่ปรึกษาโครงงาน ตรวจสอบรับรองและ เผยแพร่โครงงานต่อไป เครื่องมือที่ใช้ในการคานวณทางคณิตศาสตร์ 1. สูตรการคา นวณหาพื้นที่ของรูปเรขาคณิต 2. การใช้โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad ในการสา รวจหาพื้นที่ของรูปเรขาคณิต
- 10. 10 บทที่ 4 ผลการวิเคราะห์ข้อมูล จากผลการศึกษาข้อมูลและการวิเคราะห์ข้อมูลในการจัดทา โครงงานคณิตศาสตร์ เรื่อง ลา ดับ เรขาคณิตพิชิตพื้นที่สามเหลี่ยมด้านเท่าและสี่เหลี่ยมจัตุรัส (Overcoming of the Triangle and Square Area by using Geometric Sequence) ได้ทา การศึกษาแยกเป็น 3 ส่วน ดังนี้ ส่วนที่ 1 ศึกษาการหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าและรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสจากรูปที่กา หนดโดย ใช้ทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์ ส่วนที่ 2 ศึกษาการหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าและรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสจากรูปที่กา หนดโดยใช้ โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad ในการสารวจ ส่วนที่ 3 ศึกษาความสัมพันธ์ของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าและรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสกับลา ดับ เรขาคณิต ส่วนที่ 1 ศึกษาการหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสจากรูปที่กาหนด โดยใช้ทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์ 1. การหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า 1.1 การหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ารูปที่ 1 การหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า จากรูปที่กา หนดให้ ABC ความยาวของด้านยาว ด้านละ a หน่วย รูปภาพที่ 9 แสดงรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า การหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า จากสูตรของเฮรอน พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า = ss as bs c เมื่อ 2 a b c s การหาพื้นที่สามเหลี่ยมด้านเท่ารูปที่ 1 a a a a a a a A 2 3 2 3 2 3 2 3 1 = 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3a a a a a a a = 2 2 2 2 3a a a a = 3 2 2 3 a a a a a C A B
- 11. 11 = 4 4 2 3a = 2 2 2 2 2 3 a = 2 2 2 3a 4 3 2 1 a A ดังนั้นพื้นที่สามเหลี่ยมด้านเท่ารูปที่ 1 เท่ากับ 4 3 2 a ตารางหน่วย 1.2 การหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ารูปที่ 2 การหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า จากรูปที่กา หนดให้ ABC ความยาวของด้านยาวด้าน ละ 2 a หน่วย รูปภาพที่ 10 แสดงรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าซ้อนกัน 2 รูป จากสูตรของเฮรอน พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า = ss as bs c เมื่อ 2 a b c s จากรูปจะได้ 2 2 2 2 a a a s = 2 2 3a = 2 1 2 3 a = 4 3a พื้นที่สามเหลี่ยมด้านเท่ารูปที่ 2 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 3 2 a a a a a a a A = 4 3 2 4 3 2 4 3 2 4 3a a a a a a a = 3 4 4 3 a a = 4 4 4 3a = 2 2 2 2 4 3 a 2 2 4 3a 2 A = 16 3 2 a ดังนั้นพื้นที่สามเหลี่ยมด้านเท่ารูปที่ 2 เท่ากับ 16 3 2 a ตารางหน่วย 1.3 การหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ารูปที่ 3 การหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า จากรูปที่กา หนดให้ ABC ความยาวของด้านยาว ด้านละ 4 a หน่วย
- 12. 12 รูปภาพที่ 11แสดงรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าซ้อนกัน 3 รูป จากสูตรของเฮรอน พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า = ss as bs c เมื่อ 2 a b c s จากรูปจะได้ 2 4 4 4 a a a s = 2 4 3a = 2 1 4 3 a = 8 3a พื้นที่สามเหลี่ยมด้านเท่ารูปที่ 3 3 3 8 4 3 8 3 a a a A = 3 8 2 8 3 8 3 a a a = 3 8 8 3 a a = 4 4 8 3a = 2 2 2 2 8 3 a = 2 2 8 3a 64 3 2 3 a A ดังนั้นพื้นที่สามเหลี่ยมด้านเท่ารูปที่ 3 เท่ากับ 64 3 2 a ตารางหน่วย 1.4 การหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ารูปที่ 4 การหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า จากรูปที่กา หนดให้ ABC ความยาวของด้านยาว ด้านละ 8 a หน่วย รูปภาพที่ 12 แสดงรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าซ้อนกัน 4 รูป จากสูตรของเฮรอน พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า = ss as bs c เมื่อ 2 a b c s จากรูปจะได้ 2 8 8 8 a a a s = 2 1 8 3 a = 16 3a พื้นที่สามเหลี่ยมด้านเท่ารูปที่ 4 3 4 16 8 3 16 3 a a a A = 3 16 16 3 a a = 4 4 16 3a = 2 2 2 2 16 3 a = 2 2 16 3a 256 3 2 4 a A B''' A''' C''' C'' A'' B'' A ' C' B' C A B
- 13. 13 หาความยาวด้านของ ABCD โดยใช้ทฤษฎีบทปีทาโกรัส 2 2 2 4 2 4 2 a a c 16 4 16 2 16 2 2 2 2 2 a a a c 4 2 16 4 2 a a c 2a c หน่วย D C A B ดังนั้นพื้นที่สามเหลี่ยมด้านเท่ารูปที่ 4 เท่ากับ 256 3 2 a ตารางหน่วย 2. การหาพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส 2.1 การหาพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปที่ 1 การหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส จากรูปที่กา หนดให้ ABCD ความยาวของด้านยาวด้านละ a หน่วย รูปภาพที่ 13 แสดงรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส 2.2 การหาพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปที่ 2 การหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส จากรูปที่กา หนดให้ ABCD ความยาวของด้านยาวด้าน ละ 2 a 2 หน่วย รูปภาพที่ 14 แสดงรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสซ้อนกัน 2 รูป จะได้พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส 2 2 2 2 2 1 4 2 2 2 a a a A พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปที่ 2 2 A = 2 2 1 a ตารางหน่วย 2.3 การหาพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปที่ 3 การหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส จากรูปที่กา หนดให้ ABCD ความยาวของด้านยาวด้าน ละ 4 2a หน่วย หาความยาวด้านของ ABCD โดยใช้ทฤษฎีบทปีทาโกรัส 2 2 2 2 2 a a c 4 2 4 4 2 2 2 2 a a a c 2 2 4 2 2 a a c 2 a 2 c หน่วย พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปที่ 1 1 A = 2 a ตารางหน่วย
- 14. 14 รูปภาพที่ 15แสดงรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสซ้อนกัน 3 รูป จะได้พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส 2 2 2 3 4 1 16 4 4 2 a a a A พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปที่ 3 3 A = 2 4 1 a ตารางหน่วย 2.4 การหาพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปที่ 4 การหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส จากรูปที่กา หนดให้ ABCD ความยาวของด้านยาว ด้านละ 4 a 2 หน่วย รูปภาพที่ 16 แสดงรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสซ้อนกัน 4 รูป จะได้พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส 2 2 2 4 8 1 16 2 4 2 a a a A พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปที่ 4 4 A = 2 8 1 a ตารางหน่วย ส่วนที่ 2 ศึกษาการหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสจากรูปที่กาหนดโดยใช้ โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad ในการสารวจ 1. การหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า หาความยาวด้านของ ABCD โดยใช้ทฤษฎีบทปีทาโกรัส 2 2 2 8 2 8 2 a a c 64 8 64 4 64 4 2 2 2 2 a a a c 4 2 8 2 2 64 4 2 2 a a a c 4 a 2 c หน่วย หน่วย A'''C'' = 0.91 ซม. A'''B''' = 0.91 ซม. A''A''' = 0.91 ซม. C'B' = 3.62 ซม. C'A' = 3.62 ซม. AA' = 3.62 ซม. พนื้ที่ C'''B'''A''' พนื้ที่ B''A''C'' = 0.25 พนื้ที่ B''A''C'' พนื้ที่ A'C'B' = 0.25 พนื้ที่ C'''B'''A''' = 0.36 ซม. 2 พนื้ที่ B''A''C'' = 1.42 ซม. 2 พนื้ที่ A'C'B' พนื้ที่ ABC = 0.25 พนื้ที่ A'C'B' = 5.69 ซม. 2 พนื้ที่ ABC = 22.74 ซม. 2 1 A A = 2.00 = 0.50 a = 7.25 C''' A''' B''' B'' A'' C'' A' B' C' B A C a
- 15. 15 ตารางที่1 แสดงความสัมพันธ์ของพื้นที่รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า จากตารางที่ 1 พบว่า ความสัมพันธ์ของพื้นที่รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า รูปที่ 1 , 2 , 3 ,..., n เขียนได้ เป็น 1 A , (0.25) 1 A , 2 1 A (0.25) , 3 1 A (0.25) ,..., 1 1 (0.25) n A ซึ่งอยู่ในรูปของลา ดับเรขาคณิต โดยมี อัตราส่วนร่วม r 0.25 ดังนั้น พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ารูปที่ n คือ 1 1 0.25 n n A A หรือ 1 1 4 1 n n A A 2. การหาพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า พื้นที่ ( ตร.ซม. ) อัตราส่วนร่วม ความสัมพันธ์ของพื้นที่กับ อัตราส่วน พจน์ทั่วไป รูปที่ 1 22.74 - - 1 A รูปที่ 2 5.69 0.25 22.74 5.69 (22.74)(0.25) 5.69 (0.25) 1 A รูปที่ 3 1.42 0.25 5.69 1.42 (22.74)(0.25) 1.42 2 2 1 A (0.25) รูปที่ 4 0.36 0.25 1.42 0.36 (22.74)(0.25) 0.36 3 3 1 A (0.25) . . . . . . . . . . . . . . . รูปที่ n f(n) 0.25 ( 1) ( ) f n f n (22.74)(0.25) ( ) 1 f n n 1 1 (0.25) n A ดังนั้น พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า รูปที่ n = 1 1 (0.25) n A
- 16. 16 พนื้ที่ DCBA พนื้ที่ D'''C '' 'B'''A' '' พนื้ที่ A''D''C ''B'' 3 = 4.88 ซม.2 พนื้ที่ DCBA พนื้ที่ A''D''C ''B'' พนื้ที่ A'D'C'B' 2 = 9.76 ซม.2 พนื้ที่ DCBA พนื้ที่ A'D'C'B' พนื้ที่ DCBA = 19.52 ซม.2 พนื้ที่ D'''C '' 'B'''A' '' พนื้ที่ A''D''C ''B'' = 0.50 พนื้ที่ A''D''C ''B'' พนื้ที่ A'D'C'B' = 0.50 พนื้ที่ A'D'C'B' พนื้ที่ DCBA = 0.50 พนื้ที่ D'''C '' 'B'''A' '' = 4.88 ซม.2 พนื้ที่ A''D''C ''B'' = 9.76 ซม.2 พนื้ที่ A'D'C'B' = 19.52 ซม.2 พนื้ที่ DCBA = 39.03 ซม.2 1 A = 0.50 A = 2.00 B''' A ''' D''' C''' C'' A'' B'' D'' C ' D' A ' B' D C A B ตารางที่2 แสดงความสัมพันธ์ของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสโดยใช้โปรแกรม GSP รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส พื้นที่( ตร.ซม.) อัตราส่วนร่วม ความสัมพันธ์ของพื้นที่กับอัตราส่วน พจน์ทั่วไป รูปที่ 1 39.09 - - 1 A รูปที่ 2 19.52 0.50 39.09 19.52 52 (39.09)(0.50) 19. (0.50) 1 A รูปที่ 3 9.76 0.50 19.52 9.76 9.76 2 (39.09)(0.50) 2 (0.50) 1 A รูปที่ 4 4.88 0.50 9.76 4.88 4.88 3 (39.09)(0.50) 3 (0.50) 1 A
- 17. 17 จากตารางที่ 2พบว่า ความสัมพันธ์ของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส รูปที่ 1 , 2 , 3 ,..., n เขียนได้เป็น 1 A , A1 (0.50) , 2 A1 (0.50) , 3 A1 (0.50) ,..., 1 1 (0.50) n A ซึ่งอยู่ในรูปของลา ดับเรขาคณิต โดยมีอัตราส่วนร่วม r 0.50 ดังนั้น พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ารูปที่ n คือ 1 1 0.50 n An A หรือ 1 2 1 1 n An A ส่วนที่ 3 ศึกษาความสัมพันธ์ของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าและรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสกับลาดับเรขาคณิต 1.ความสัมพันธ์ของพื้นที่สามเหลี่ยมด้านเท่ากับลาดับเรขาคณิต ตารางที่3 แสดงความสัมพันธ์ของพื้นที่รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าโดยใช้กระบวนการทางคณิตศาสตร์ จากตารางที่ 3 พบว่า ความสัมพันธ์ของพื้นที่รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า รูปที่ 1 , 2 , 3 ,..., n เขียนได้เป็น 1 A , ) 4 1 ( 1 A , 2 1 ) 4 1 A ( , 3 1 ) 4 1 A ( ,..., 1 1 ) 4 1 ( n A ซึ่งอยู่ในรูปของลา ดับเรขาคณิต โดยมีอัตราส่วนร่วม 4 1 r ดังนั้น พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ารูปที่ n คือ 1 1 4 1 n n A A 1. ความสัมพันธ์ของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสกับลาดับเรขาคณิต ตารางที่4 แสดงความสัมพันธ์ของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสโดยใช้กระบวนการทางคณิตศาสตร์ . . . . . . . . . . . . . . . รูปที่ n f(n) 0.50 ( 1) ( ) f n f n ( ) 1 (39.09)(0.50) f n n 1 (0.50) 1 n A ดังนั้น พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส รูปที่ n = 1 (0.50) 1 n A รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า พื้นที่ ( ตร.หน่วย ) อัตราส่วนร่วม ความสัมพันธ์ของพื้นที่กับ อัตราส่วน พจน์ทั่วไป รูปที่ 1 4 2 3a - - 1 A รูปที่ 2 16 2 3a 4 1 2 3 4 16 2 3 a a 16 2 3 ) 4 1 )( 4 2 3 ( a a 2 ) 4 1 A1( รูปที่ 3 64 2 3a 4 1 2 3 16 64 2 3 a a 64 2 3 ) 4 1 )( 4 2 3 ( a 2 a 2 ) 4 1 A1( รูปที่ 4 256 2 3a 4 1 2 3 64 256 2 3 a a 256 2 3 3 ) 4 1 )( 4 2 3 ( a a 3 ) 4 1 A1( . . . . . . . . . . . . . . . รูปที่ n f(n) 4 1 ( 1) ( ) f n f n ( ) 1 ) 4 1 )( 4 2 3 ( f n a n 1 ) 4 1 1( n A ดังนั้น พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า รูปที่ n = 1 ) 4 1 1 ( n A รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส พื้นที่ อัตราส่วนร่วม ความสัมพันธ์ของพื้นที่ พจน์ทั่วไป
- 18. 18 จากตารางที่ 4พบว่า ความสัมพันธ์ของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส รูปที่ 1 , 2 , 3 ,..., n เขียนได้เป็น 1 A , ) 2 1 ( 1 A , 2 1 ) 2 1 A ( , 3 1 ) 2 1 A ( ,..., 1 1 ) 2 1 ( n A ซึ่งอยู่ในรูปของลา ดับเรขาคณิต โดยมีอัตราส่วนร่วม 2 1 r ดังนั้น พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ารูปที่ n คือ 1 1 2 1 n n A A บทที่ 5 สรุป อภิปรายและข้อเสนอแนะ 1. ความเป็นมาของโครงงาน คณะผู้จัดทา โครงงานคณิตศาสตร์ได้ศึกษาเรื่องการหาพื้นที่ของรูปเรขาคณิต ทา ให้สนใจปัญหา เกี่ยวกับการหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าและรูปสี่เหลี่ยมด้านเท่าหรือรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เกิดจากย่อรูป ต้นแบบโดยย่อด้านของรูปลงไปเรื่อยๆในอัตราส่วน 1:2 คณะผู้จัดทา ได้ใช้แนวคิดในการหาพื้นที่ของรูป สามเหลี่ยมด้านเท่าและรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเพื่อเชื่อมโยงหาความสัมพันธ์ของพื้นที่ที่เกิดขึ้นและได้ใช้ ( ตร.หน่วย ) กับอัตราส่วน รูปที่ 1 2 a - - 1 A รูปที่ 2 2 2 1 a 2 1 1 2 1 2 2 a a 2 2 2 1 ) 2 1 (a )( a ) 2 1 ( 1 A รูปที่ 3 2 4 1 a 2 2 1 4 1 2 2 a a 2 2 2 4 1 ) 2 1 (a )( a 2 1 ) 2 1 A ( รูปที่ 4 2 8 1 a 2 4 1 8 1 2 2 a a 2 3 2 8 1 ) 2 1 (a )( a 3 1 ) 2 1 A ( . . . . . . . . . . . . . . . รูปที่ n f(n) 2 1 ( 1) ( ) f n f n ) ( ) 2 1 ( )( 2 1 a f n n 1 1 ) 2 1 ( n A ดังนั้น พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส รูปที่ n = 1 1 ) 2 1 ( n A
- 19. 19 โปรแกรม TheGeometer’s Sketchpad ช่วยในการสารวจ ทาให้มองเห็นความสัมพันธ์ที่เกิดขึ้นและเห็นเป็น รูปธรรมที่ชัดเจน สามารถสรุปเป็นสูตรการหาพื้นที่ รูปที่ n จากรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าและรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ที่กาหนดให้ได้ โดยอาศัยความรู้เรื่องลาดับเรขาคณิตเข้ามาประยุกต์ใช้ ทาให้การหาพื้นที่รูปที่ n จากรูป สามเหลี่ยมด้านเท่าและรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสจากรูปที่กาหนดให้ง่ายขึ้น สะดวกในการนาไปใช้ และเป็นพื้นฐาน ที่สาคัญในการศึกษาต่อในระดับสูงต่อไป 2. วัตถุประสงค์ 1. เพื่อศึกษาการหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสจากรูปที่กาหนดโดยใช้ทักษะ กระบวนการทางคณิตศาสตร์ 2. เพื่อศึกษาการหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสจากรูปที่กาหนดโดยใช้ โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad ในการสารวจ 3. เพื่อศึกษาความสัมพันธ์ของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสกับลาดับเรขาคณิต 3. เนื้อหาวิชาคณิตศาสตร์ 3.1 การหาพื้นที่ของรูปเรขาคณิต 3.2 ลาดับเรขาคณิต (Geometric Sequence) 3.3 การหาพื้นที่โดยใช้โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad 4. สมมติฐาน เมื่อศึกษาแล้วสามารถหาความสัมพันธ์ของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าและรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสกับ ลาดับเรขาคณิตและสามารถสรุปเป็นสูตรการหาพื้นที่รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าและรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปที่ n จากรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าและรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่กาหนดให้ได้ 5. ขอบเขตการศึกษา 5.1 ศึกษาการหาพื้นที่สามเหลี่ยมด้านเท่าและรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสจากรูปที่กาหนดโดยใช้ทักษะ กระบวนการทางคณิตศาสตร์ 5.2 ศึกษาการหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสจากรูปที่กาหนดโดยใช้ โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad ในการสารวจ 5.3 ศึกษาความสัมพันธ์ของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสกับลาดับเรขาคณิต 5.3 สถานที่ศึกษา โรงเรียนรัตนบุรี อาเภอรัตนบุรี จังหวัดสุรินทร์ 5.4 ระยะเวลาที่ใช้ในการศึกษา วันที่ 20 มิถุนายน 2555 - 31 สิงหาคม 2555 6. วิธีการดาเนินงาน 6.2 รวบรวมจานวนสมาชิก 3 คน เพื่อจัดตั้งกลุ่มโครงงานคณิตศาสตร์ และประชุม ปรึกษาหารือเกี่ยวกับการดาเนินการจัดทาโครงงาน ระหว่างคณะผู้จัดทาโครงงานกับครูที่ปรึกษา 6.2 วางแผนการดาเนินงานและกาหนดแนวทางในการดาเนินงาน 6.3 ศึกษาเอกสารเกี่ยวกับเรื่องพื้นที่ของรูปเรขาคณิต ลาดับเรขาคณิต โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad ตลอดจนเนื้อหาอื่นๆเกี่ยวกับการทาโครงงาน
- 20. 20 6.4 จัดทาเค้าโครงโครงงานและนา เสนอครูที่ปรึกษาโครงงาน เพื่อขอคา แนะนา และรับฟัง ข้อเสนอแนะ 6.5 นา ข้อมูลมาวิเคราะห์หาความสัมพันธ์ของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสกับ ลา ดับเรขาคณิตและสามารถสรุปเป็นสูตรการหาพื้นที่สามเหลี่ยมด้านเท่าและรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปที่ n จาก รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าและรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่กา หนดให้ได้ 6.6 สรุปผลการดา เนินงาน ประชุมอภิปรายปัญหาต่างๆ และให้ข้อเสนอแนะ 6.7 จัดทา รายงานและแผนผังโครงงานคณิตศาสตร์ 6.8 นาเสนอโครงงานคณิตศาสตร์ 7. ประโยชน์ที่คาดว่าจะได้รับ 7.1 ทา ให้ทราบถึงความสัมพันธ์ของพื้นที่รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าและรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสกับลา ดับ เรขาคณิตโดยใช้กระบวนการทางคณิตศาสตร์และการสารวจโดยใช้โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad 7.2 ทา ให้สามารถสรุปสูตรการหาพื้นที่รูปที่ n จากรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าและรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ กา หนดให้ได้ 7.3 เพื่อส่งเสริมให้เกิดความรัก ความสนใจและมีเจตคติที่ดีต่อวิชาคณิตศาสตร์ 7.4 เพื่อฝึกให้มีความคิดสร้างสรรค์ และมีทักษะในการทา งานเป็นกลุ่มเป็นการใช้เวลาว่างให้เป็น ประโยชน์ 8. อภิปรายผล จากผลการดา เนินงานพบว่า การหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าและรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสจากรูปที่ กา หนดโดยใช้ทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์ จะเห็นว่า ความสัมพันธ์ของพื้นที่ รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า รูปที่ 1 , 2 , 3 ,..., n เขียนได้เป็น 1 A , ) 4 1 ( 1 A , 2 1 ) 4 1 A ( , 3 1 ) 4 1 A ( ,..., 1 1 ) 4 1 ( n A ซึ่ง อยู่ในรูปของลา ดับเรขาคณิต โดยมีอัตราส่วนร่วม 4 1 r ดังนั้น พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ารูปที่ n คือ 1 1 4 1 n n A A และ ความสัมพันธ์ของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส รูปที่ 1 , 2 , 3 ,..., n เขียนได้เป็น 1 A , ) 2 1 ( 1 A , 2 1 ) 2 1 A ( , 3 1 ) 2 1 A ( ,..., 1 1 ) 2 1 ( n A ซึ่งอยู่ในรูปของลา ดับเรขาคณิต โดยมีอัตราส่วนร่วม 2 1 r ดังนั้น พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ารูปที่ n คือ 1 1 2 1 n n A A จากการหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าและรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสจากรูปที่กา หนดโดยใช้โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad ในการสา รวจ พบว่า ความสัมพันธ์ของพื้นที่รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า รูปที่ 1 , 2 , 3 ,..., n เขียนได้เป็น 1 A , (0.25) 1 A , 2 1 A (0.25) , 3 1 A (0.25) ,..., 1 1 (0.25) n A ซึ่งอยู่ในรูปของลา ดับ เรขาคณิต โดยมีอัตราส่วนร่วม r 0.25 ดังนั้น พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ารูปที่ n คือ 1 1 0.25 n n A A หรือ 1 1 4 1 n n A A และความสัมพันธ์ของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส รูปที่ 1 , 2 , 3 ,..., n เขียนได้เป็น 1 A , (0.50) 1 A , 2 1 A (0.50) , 3 1 A (0.50) ,..., 1 1 (0.50) n A ซึ่งอยู่ในรูปของลา ดับเรขาคณิต
- 21. 21 โดยมีอัตราส่วนร่วม r 0.50 ดังนั้น พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปที่ n คือ 1 1 0.50 n n A A หรือ 1 1 2 1 n n A A 9. สรุปผลการดาเนินงาน สรุปได้ว่า การหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าและรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสจากรูปที่กา หนดโดยใช้ ทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์ และใช้โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad ในการสา รวจ พบว่าพื้นที่ ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า รูปที่ n คือ 1 1 4 1 n n A A เมื่อ 1 A คือพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ารูปที่ 1 และพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส รูปที่ n คือ 1 1 2 1 n n A A เมื่อ 1 A คือพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปที่ 1 10. ข้อเสนอแนะ 10.1 ควรมีการศึกษาในเรื่องอื่นๆ เช่น การหาพื้นที่ของรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่า หกเหลี่ยมด้านเท่า เจ็ด เหลี่ยมด้านเท่า เป็นต้น แล้วสรุปเป็นสูตรในการหาพื้นที่ 10.2 ควรมีการใช้โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad ในการสา รวจหาพื้นที่ของรูปห้าเหลี่ยม ด้านเท่า หกเหลี่ยมด้านเท่า เจ็ดเหลี่ยมด้านเท่า เป็นต้น แล้วสรุปหาความสัมพันธ์ที่เกิดขึ้น 10.3 ควรมีการเผยแพร่เรื่องการใช้โปรแกรม The Geometer’s Sketchpad ให้กับผู้ที่สนใจเพิ่มมาก ขึ้นเพื่อเป็นประโยชน์ในการศึกษาต่อไป 10.4 ควรมีการนา โจทย์เกี่ยวกับเรื่องพื้นที่และลา ดับเรขาคณิต มาศึกษาเพื่อเป็นประโยชน์ใน การศึกษาในระดับที่สูงขึ้นไป