1. คูมือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร
เรื่อง
การนับและความนาจะเปน
(เนือหาตอนที่ 6)
้
ความนาจะเปน 1
โดย
ผูชวยศาสตราจารย ดร.ณัฐกาญจน ใจดี
สื่อการสอนชุดนี้ เปนความรวมมือระหวาง
คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย กับ
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ

2. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
สื่อการสอน เรื่อง การนับและความนาจะเปน
สื่อการสอน เรื่อง การนับและความนาจะเปน มีจํานวนตอนทั้งหมดรวม 16 ตอน ซึ่งประกอบดวย
1. บทนํา เรื่อง การนับและความนาจะเปน
2. เนื้อหาตอนที่ 1 การนับเบื้องตน
- กฎเกณฑเบื้องตนเกียวกับการนับ
่
- วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน(สิ่งของแตกตางกันทั้งหมด)
3. เนื้อหาตอนที่ 2 การเรียงสับเปลี่ยน
- วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน (สิ่งของไมแตกตางกันทั้งหมด)
- วิธีเรียงสับเปลี่ยนเชิงวงกลม
4. เนื้อหาตอนที่ 3 การจัดหมู
- วิธีจัดหมู
5. เนื้อหาตอนที่ 4 ทฤษฎีบททวินาม
- ทฤษฎีบททวินาม
- ทฤษฎีบทอเนกนาม
6. เนื้อหาตอนที่ 5 การทดลองสุม
- การทดลองสุม
- ปริภูมิตัวอยาง
- เหตุการณและความนาจะเปน
7. เนื้อหาตอนที่ 6 ความนาจะเปน 1
- สมบัติพื้นฐานของความนาจะเปน
- การหาความนาจะเปนแบบงาย
8. เนื้อหาตอนที่ 7 ความนาจะเปน 2
- การหาความนาจะเปนโดยใชกฎการนับ
- การหาความนาจะเปนโดยแผนภาพเวนน-ออยเลอร
9. แบบฝกหัด (พื้นฐาน 1)
10. แบบฝกหัด (พื้นฐาน 2)
11. แบบฝกหัด (ขันสูง)
้
12. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง หลักการบวกและหลักการคูณสําหรับการนับ
13. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง การเรียงสับเปลี่ยน
1

3. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
14. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง ทฤษฎีบททวินาม
15. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง ความนาจะเปน
16. สื่อปฏิสัมพันธ เรื่อง การใสบอลลงกลอง
คณะผูจัดทําหวังเปนอยางยิ่งวา สื่อการสอนชุดนี้จะเปนประโยชนตอการเรียนการสอนสําหรับ
ครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใชสื่อชุดนี้รวมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร เรื่อง การนับและ
ความนาจะเปน นอกจากนี้หากทานสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตรในเรื่องอื่นๆที่คณะผูจัดทําได
ดําเนินการไปแลว ทานสามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนไดจากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตรทั้งหมด
ในตอนทายของคูมือฉบับนี้
2

4. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เรื่อง การนับและความนาจะเปน (ความนาจะเปน 1)
หมวด เนื้อหา
ตอนที่ 6 (6/7)
หัวขอยอย 1. สมบัติพื้นฐานของความนาจะเปน
2. การหาความนาจะเปนแบบงาย
จุดประสงคการเรียนรู
เพื่อใหผูเรียน
1. เขาใจและใชสมบัติพื้นฐานของความนาจะเปนในการแกปญหาได
2. หาความนาจะเปนของเหตุการณที่ไมซับซอนได
ผลการเรียนรูที่คาดหวัง

ผูเรียนสามารถ
1. อธิบายสมบัติพื้นฐานของความนาจะเปนได
2. นําสมบัติของความนาจะเปนไปใชในการแกปญหาได
3. อธิบายวิธีการหาและหาความนาจะเปนของเหตุการณที่ไมซับซอนได
3

5. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เนื้อหาในสื่อการสอน
เนื้อหาทั้งหมด
4

6. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
1. สมบัติพื้นฐานของความนาจะเปน
5

7. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
1. สมบัติพื้นฐานของความนาจะเปน
ในหัวขอนี้ เราจะศึกษาเกี่ยวกับสมบัตพ้นฐานของความนาจะเปน โดยในสื่อการสอนจะเริ่มดวยการ
ิ ื
ทบทวนนิยามของความนาจะเปนของเหตุการณ พรอมทั้งยกตัวอยางเพื่อเปนแนวคิดไปสูสมบัติของความนาจะ
เปนที่วา สําหรับเหตุการณ A ใด ๆ
P ( A) = 1 − P( A′)
จากนั้น ผูเรียนจะไดศึกษาสมบัติที่สําคัญบางประการของความนาจะเปน ซึ่งสมบัติดังกลาวจะชวยให
การหาความนาจะเปนของบางเหตุการณทาไดงายและสะดวกยิ่งขึน โดยผูเรียนจะไดเห็นตัวอยางการประยุกตใช
ํ ้
สมบัติเหลานี้ในหัวขอที่ 2
6

8. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
หลังจากผูเรียนไดชมสื่อการสอนขางตนจบแลว ผูสอนอาจเนนย้ําผูเรียนวา การเขียนแผนภาพเวนน-ออย
เลอรจะชวยใหเขาใจและจดจําสมบัติตาง ๆ ของความนาจะเปนไดงายยิ่งขึ้น จากนั้น ผูสอนอาจใหผูเรียนชวยกัน

พิสูจนหมายเหตุที่ไดใหไวในสื่อการสอนกอนที่ผูสอนจะแสดงใหผูเรียนดู ดังตัวอยางตอไปนี้
ตัวอยาง ให S เปนปริภูมิตัวอยางและ A, B, C เปนเหตุการณใด ๆ จะไดวา
P ( A ∪ B ∪ C ) = P( A) + P( B) + P(C ) − P( A ∩ B) − P( A ∩ C ) − P( B ∩ C ) + P( A ∩ B ∩ C )
วิธีทา ให
ํ A, B, C เปนเหตุการณใด ๆ จะไดวา
P( A ∪ B ∪ C ) = P(( A ∪ B) ∪ C )
= P( A ∪ B) + P(C ) − P(( A ∪ B) ∩ C )
= P( A) + P ( B ) − P( A ∩ B) + P(C ) − P(( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C ))
= P( A) + P ( B ) + P (C ) − P ( A ∩ B ) − [ P( A ∩ C ) + P( B ∩ C ) − P( A ∩ B ∩ C )]
= P( A) + P ( B ) + P(C ) − P( A ∩ B ) − P( A ∩ C ) − P( B ∩ C ) + P( A ∩ B ∩ C )
7

9. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
2. การหาความนาจะเปนแบบงาย
8

10. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
2. การหาความนาจะเปนแบบงาย
ในหัวขอนี้ ผูเรียนจะไดเห็นตัวอยางการหาความนาจะเปนโดยใชสมบัติของความนาจะเปนที่ไดศึกษา
ในหัวขอที่แลวเขาชวย ซึ่งทําใหสามารถหาคาความนาจะเปนไดงายและสะดวกยิ่งขึน
้
9

11. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เพื่อใหผูเรียนสามารถประยุกตใชสมบัติของความนาจะเปนไดคลองยิ่งขึ้น ผูสอนควรใหผูเรียนฝกทํา
ตัวอยางตอไปนี้เพิ่มเติม
ตัวอยาง ความนาจะเปนทีนายกฤษฎาจะสอบผานวิชาคณิตศาสตรเปน 0.4 และสอบผานวิชาภาษาอังกฤษเปน
่
0.5 ความนาจะเปนที่จะสอบผานอยางมากหนึ่งวิชาเปน 0.7 จงหาความนาจะเปนทีนายกฤษฎาจะสอบผาน
่
อยางนอยหนึ่งวิชา
วิธีทํา ให A แทนเหตุการณทนายกฤษฎาจะสอบผานวิชาคณิตศาสตร และ
่ี
B แทนเหตุการณทนายกฤษฎาจะสอบผานวิชาภาษาอังกฤษ
่ี
ดังนั้น
P( A) = 0.4 และ P( B) = 0.5
เนื่องจาก นิเสธของ “เหตุการณที่นายกฤษฎาจะสอบผานอยางมากหนึ่งวิชา”
คือ “เหตุการณที่นายกฤษฎาจะสอบผานทั้งสองวิชา”
ดังนั้น P( A ∩ B) = 1 − 0.7 = 0.3
ทําใหไดวา ความนาจะเปนที่นายกฤษฎาจะสอบผานอยางนอยหนึ่งวิชา
= P( A ∪ B)
= P( A) + P( B ) − P( A ∩ B)
= 0.4 + 0.5 − 0.3
= 0.6
10

12. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
ตัวอยาง กลองใบหนึ่งบรรจุสลาก 7 ใบ มีหมายเลขกํากับไวโดยไมซํากัน เริ่มจาก 1 − 7 สุมหยิบสลาก 2 ใบจาก
้
กลองใบนี้พรอมกัน จงหาความนาจะเปนที่ผลรวมของหมายเลขที่ไดหารดวย 3 ไมลงตัว
วิธีทา ให A แทนเหตุการณที่ผลรวมของหมายเลขที่ไดหารดวย 3 ลงตัว
ํ
ดังนั้น
A = {{1, 2},{1,5},{2, 4},{2, 7},{3, 6},{4,5},{5, 7}}
ผลรวม ผลรวม ผลรวมเปน 9 ผลรวมเปน 12
เปน 3 เปน 6
ทําใหไดวา
ความนาจะเปนที่ผลรวมของหมายเลขที่ไดหารดวย 3 ไมลงตัว
7 7 2
= P ( A′) = 1 − P( A) = 1 − = 1− =
7 21 3
 
 2
จากนั้น ผูเรียนจะไดเห็นตัวอยางการหาความนาจะเปนโดยใชความรูเรื่องการเรียงสับเปลี่ยน ซึ่งผูเรียน
จะตองระมัดเรื่องลําดับกอนหลังของสิ่งของที่หยิบได
11

13. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
หมายเหตุ สําหรับตัวอยางขางตน การหาคาความนาจะเปนของเหตุการณที่ไดลูกบอลสีแดงกับสีขาว เราอาจ
พิจารณาอีกแบบไดดังนี้ สลับตําแหนงลูกบอล
สีแดง สีขาว สีแดงและสีขาว
P(เหตุการณทไดลูกบอลสีแดงกับสีขาว) = 3 × 2 × 2!
ี่
9×9
หลังจากที่ผูเรียนไดชมปญหาชวนคิดในสือการสอนขางตนจบแลว ผูสอนอาจใหผูเรียนชวยกันคิดหา
่
คําตอบ จากนันผูสอนจึงแสดงใหผูเรียนดู
้
ปญหาชวนคิด กลองใบหนึ่งบรรจุลูกบอลสีแดง 3 ลูก สีขาว 2 ลูกและสีน้ําเงิน 4 ลูก สุมหยิบลูกบอลทีละลูก
จํานวน 3 ครั้ง โดยใสลกบอลกลับคืนกอนหยิบครั้งถัดไป จงหาความนาจะเปนที่ไดลูกบอลสีตางกันทั้งหมด
ู
วิธีทํา P(เหตุการณที่ไดลูกบอลสีตางกันทั้งหมด)
= P(เหตุการณที่ไดลูกบอลสีแดง สีขาวและสีน้ําเงิน สีละ 1 ลูก)
สลับตําแหนงลูกบอล
สีแดง สีขาวและสีน้ําเงิน
(3 × 2 × 4) × 3! 16
= =
9×9×9 81
12

14. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
ตัวอยาง กลองใบหนึ่งบรรจุลูกบอลสีแดง 3 ลูก สีขาว 2 ลูกและสีน้ําเงิน 4 ลูก สุมหยิบลูกบอลทีละลูกจํานวน 6
ครั้ง โดยใสลูกบอลกลับคืนกอนหยิบครั้งถัดไป จงหาความนาจะเปนที่ไดลูกบอลครบทุกสี
วิธีทํา P(เหตุการณที่ไดลูกบอลครบทุกสี)
= 1 − P(เหตุการณที่ไดลูกบอลไมครบทุกสี)
= 1− P(เหตุการณที่ไมไดลูกบอลสีแดง หรือ เหตุการณที่ไมไดลูกบอลสีขาว)
= 1 − P(ไดลูกบอลสีขาว 2 ลูก สีน้ําเงิน 4 ลูก หรือ
ไดลูกบอลสีแดง 3 ลูก สีนาเงิน 3 ลูก หรือ
้ํ
ไดลูกบอลสีแดง 2 ลูก สีนาเงิน 4 ลูก)
้ํ
= 1− 

P(ไดลูกบอลสีขาว 2 ลูก สีน้ําเงิน 4 ลูก)
+ P( ไดลูกบอลสีแดง 3 ลูก สีน้ําเงิน 3 ลูก)
+ P(ไดลูกบอลสีแดง 2 ลูก สีน้ําเงิน 4 ลูก) 

 2  4   3  4   3 4
   6!     6!     6! 
 2 4 3 3 2 4 (1 + 4 + 3)6! 8 × 6!
= 1 −    6  +    6  +    6   = 1− 6
= 1− 6
 9 9 9  9 9
 
หมายเหตุ สําหรับตัวอยางขางตน ถาหาความนาจะเปนของเหตุการณทไดลูกบอลครบทุกสีโดยตรง โดยไมใช
่ี
สมบัติของความนาจะเปนเขาชวย จะตองแบงกรณีพจารณา ดังนี้
ิ
จํานวนลูกบอลที่หยิบได(ลูก)
สีแดง สีขาว สีน้ําเงิน
3 2 1
3 1 2
2 2 2
2 1 3
1 2 3
1 1 4
ซึ่งผูเรียนตองระมัดระวังวาตองแจกแจงกรณีใหครบทุกกรณี
13

15. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
ตัวอยาง กลองใบหนึ่งบรรจุสลาก 10 ใบ ซึ่งมีหมายเลข 0 – 9 กํากับ สุมสลาก 2 ใบจากกลองใบนี้ โดยหยิบครั้ง
ละ 1 ใบ และไมใสกลับคืนกอนหยิบครั้งถัดไป จงหาความนาจะเปนทีหมายเลขบนสลากอยางนอยหนึ่งใบหาร
่
ดวย 3 ลงตัว
วิธีทํา P(เหตุการณที่หมายเลขบนสลากอยางนอยหนึ่งใบหารดวย 3 ลงตัว)
= 1− P(เหตุการณที่หมายเลขบนสลากทั้งสองใบหารดวย 3 ไมลงตัว)
6×5 1 2
= 1− = 1− =
10 × 9 3 3
สําหรับตัวอยางตอไปนี้ เปนตัวอยางการหาความนาจะเปนของเหตุการณโดยใชสมบัติความนาจะเปน
แตเนนการเขียนแผนภาพเวนน-ออยเลอรเขาชวย
ปญหาชวนคิด ให A และ B เปนเหตุการณใด ๆ โดยที่ P( A) = 3 , P( B ∩ A′) = 1 และ P( B) = 2
5 5 5
จงหา P( A′ ∩ B′)
วิธทํา เนื่องจาก B = ( B ∩ A′) ∪ ( A ∩ B) และ ( B ∩ A′) ∩ ( A ∩ B) = ∅
ี
โดยสมบัติของความนาจะเปน จะไดวา
P ( B ) = P ( B ∩ A′) + P( A ∩ B)
ดังนั้น A B
2 1 1
P ( A ∩ B) = P( B) − P( B ∩ A′) = − = A− B A ∩ B B ∩ A′
5 5 5
2 1 1 1
− =
5 5 5 5
14

16. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
ในทํานองเดียวกัน เนื่องจาก A = ( A − B) ∪ ( A ∩ B) และ ( A − B) ∩ ( A ∩ B) = ∅
ดังนั้น P( A) = P( A − B) + P( A ∩ B)
3 1 2
นั่นคือ P ( A − B) = P( A) − P( A ∩ B) = − =
5 5 5
จากนั้นนํามาเขียนแผนภาพเวนน-ออยเลอรไดดังนี้
2 1 1 1
ดังนัน
้ P ( A′ ∩ B′) = P(( A ∪ B)′) = 1 − P( A ∪ B) = 1 −  + +  =
5 5 5 5
ขอสังเกต การใสคาความนาจะเปนลงในบริเวณตาง ๆ ของแผนภาพเวนน-ออยเลอร เราไดใชสมบัติที่วา

สําหรับเหตุการณ A1 , A2 ใด ๆ ถา A1 ∩ A2 = ∅ แลว P( A1 ∪ A2 ) = P( A1 ) + P( A2 )
ตัวอยาง ให A และ B เปนเหตุการณใด ๆ โดยที่ P( A) = 0.3, P( B) = 0.5 และ P( A′ ∩ B′) = 0.4
จงหา P( A ∩ B)
วิธีทํา แบบที่ 1
เนื่องจาก 0.4 = P( A′ ∩ B′) = P(( A ∪ B)′) = 1 − P( A ∪ B) ดังนั้น P( A ∪ B) = 1 − 0.4 = 0.6
ทําใหไดวา P( A ∪ B) = P( A) + P( B) − P( A ∩ B)

0.6 = 0.3 + 0.5 − P( A ∩ B)
P ( A ∩ B) = 0.8 − 0.6 = 0.2
15

17. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
แบบที่ 2 วาดแผนภาพเวนน-ออยเลอรเขาชวย
A B
0.3 − x x 0.5 − x
0.4
จากแผนภาพเวนน-ออยเลอรและสมบัติของความนาจะเปน จะไดวา

(0.3 − x) + x + (0.5 − x) + 0.4 = 1
x = 0.2
16

18. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
แบบฝกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง การหาความนาจะเปนแบบงาย
2
1. ความนาจะเปนที่นายวิรัชจะสอบผานวิชาคณิตศาสตรและวิชาเคมีเทากับ และ 1 ตามลําดับ
5 3
1
ถาความนาจะเปนที่เขาจะสอบผานทั้งสองวิชานี้เปน จงหาความนาจะเปนที่เขาจะสอบไมผานทั้งสอง
4
วิชา
2. สุมจํานวนเต็ม 1 จํานวนจากจํานวนเต็ม 10 – 59 จงหาความนาจะเปนทีจํานวนที่สุมไดหารดวย 7 ลงตัว
่
หรือเปนจํานวนคี่
3. กลองใบหนึ่งบรรจุลูกบอลสีขาว 5 ลูกและสีแดง 4 ลูก สุมหยิบลูกบอล 3 ลูกจากกลองใบนี้พรอมกัน
จงหาความนาจะเปนที่สุมไดลูกบอลทั้งสองสี
4. กลองใบหนึ่งบรรจุสลาก 5 ใบ โดยมีหมายเลข 1, 2, 3, 4 และ 5 กํากับไว สุมหยิบสลาก 3 ใบจากกลอง
ใบนี้พรอมกัน จงหาความนาจะเปนที่
4.1 ผลรวมของแตมมากกวา 8
4.2 ผลรวมของแตมหารดวย 3 หรือหารดวย 7 ลงตัว
5. ให A และ B เปนเหตุการณใด ๆ จงแสดงวา
5.1 ถา A ⊆ B แลว P( B − A) = P( B) − P( A)
5.2 P( A ∪ B) = P( A ∩ B) + P( A ∩ B′) + P( A′ ∩ B)
5.3 P( A ∪ B) = P( A) + P( B − A)
6. ให A และ B เปนเหตุการณใด ๆ โดยที่ P( A) = 3 , P( A − B) = 1 และ P( A ∪ B) = 4
5 3 5
จงหา P( B)
7. ให A เปนเหตุการณใด ๆ โดยที่ 2 P( A) = 5P( A′) จงหา P( A)
8. ให A และ B เปนเหตุการณใด ๆ โดยที่ P( A ∩ B) = P( A ∩ B′) = P( A′ ∩ B) = 0.1 จงหา
P( A ∪ B)
9. ให A และ B เปนเหตุการณไมเกิดรวมกัน โดยที่ P( A) = 0.2 และ P( B′) = 0.6 จงหา
9.1 P( A′ ∪ B)
9.2 P( A′ ∩ B)
9.3 P( A′ ∪ B′)
9.4 P( A′ ∩ B′)
17

19. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
สรุปสาระสําคัญประจําตอน
18

20. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
สรุปสาระสําคัญประจําตอน
19

21. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เอกสารอางอิง
1. สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี. (2552). หนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร
เลม 2 ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 – 6 กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้น
พื้นฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ: สถาบันฯ.
2. สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี. (2552). หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร
เลม 4 ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 4 – 6 กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้น
พื้นฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ: สถาบันฯ.
20

22. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 1
แบบฝกหัด/เนื้อหาเพิ่มเติม
21

23. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
แบบฝกหัดระคน
1. ในการสอบคัดเลือกเขามหาวิทยาลัย ความนาจะเปนที่นายมานะจะสอบเขามหาวิทยาลัยไดเปน 0.6
ความนาจะเปนที่นายอดทนจะสอบเขามหาวิทยาลัยไดเปน 0.5 และความนาจะเปนที่จะสอบเขามหาวิทยาลัย
ไดทั้งสองคนเปน 0.3 ความนาจะเปนที่จะสอบเขามหาวิทยาลัยไมไดทั้งสองคนมีคาเทากับขอใดตอไปนี้
1. 0.2 2. 0.3
3. 0.7 4. 0.8
2. กําหนดให A = { 2,3, 4,… ,10} , B = {0, 2, 4, 6,8,10} และ C = {1,3,5, 7,9} สุมตัวเลขจากเซต B มา
1 จํานวน และสุมตัวเลขจากเซต C มา 1 จํานวน ความนาจะเปนที่ผลบวกของตัวเลขทั้งสองจะไมอยูใน
เซต A มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
13 7
1. 2.
30 15
8 17
3. 4.
15 30
3. ให A และ B เปนเหตุการณใด ๆ ถา P ( A − B ) = P ( B − A) = P( A ∩ B) = c แลวจะไดวา P ( A′ ∩ B′)
เทากับขอใดตอไปนี้
1. c 2. 3c
3. 1− c 4. 1 − 3c
4. ให A และ B เปนเหตุการณไมเกิดรวมกัน ขอใดตอไปนี้ถูกตอง
1. ถา P( A) = 0.2 = P( B) แลว P( A′ ∪ B) = 0.6
2. ถา P( A) = 0.3 = P( B) แลว P( A − B′) = 0.3
3. ถา P( A) = 0.1 และ P( B) = 0.3 แลว P( A′ ∩ B′) = 0.6
4. ถา P( A) = 0.2 และ P( B) = 0.3 แลว P( A′ ∩ B) = 0.2
22

24. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
5. สุมจํานวนเต็ม 1 จํานวนจากจํานวนเต็ม 1 − 200 ความนาจะเปนทีจํานวนที่สุมไดหารดวย 3 หรือ 7 ลงตัว
่
เทากับ ขอใดตอไปนี้
17 47
1. 2.
40 100
13 53
3. 4.
40 100
6. ทอดลูกเตา 2 ลูกพรอมกัน ความนาจะเปนที่ลูกเตาทั้งสองลูกขึ้นแตมเทากันหรือผลรวมของแตมหารดวย 5 ไม
ลงตัวเทากับขอใดตอไปนี้
7 8
1. 2.
36 36
29 30
3. 4.
36 36
7. ไพสารับหนึ่งซึ่งมีทั้งหมด 52 ใบ ประกอบดวยไพหนาโพดํา โพแดง ขาวหลามตัดและดอกจิก อยางละ 13 ใบ
ํ
สุมหยิบไพ 4 ใบจากสํารับนี้พรอมกัน ความนาจะเปนที่จะไดไพไมครบทุกหนาเทากับขอใดตอไปนี้
134 134
1. 2.
 52   52 
4!   
4 4
134 134
3. 1− 4. 1−
 52   52 
  4! 
4 4
8. กลองใบหนึ่งบรรจุลูกบอล 8 ลูก(แตกตางกันทั้งหมด) โดยเปนลูกบอลสีขาว 2 ลูก สีแดง 3 ลูก และสีดํา
3 ลูก สุมหยิบลูกบอล 2 ลูกจากกลองใบนี้พรอมกัน ความนาจะเปนที่จะหยิบไดลูกบอลสีตางกันเทากับ
ขอใดตอไปนี้
3 1
1. 2.
14 4
7 3
3. 4.
14 4
23

25. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
9. กลองใบหนึ่งบรรจุสลาก 10 ใบ มีหมายเลข 1 – 10 กํากับไว สุมหยิบสลาก 1 ใบจากกลองใบนี้ จากนั้นทอด
ลูกเตา 1 ลูก ความนาจะเปนที่หมายเลขสลากที่หยิบไดและแตมของลูกเตาที่ข้นมีคาตางกันเทากับขอใด
ึ 
ตอไปนี้
1 2
1. 2.
10 5
3 9
3. 4.
5 10
10. กลองใบหนึ่งบรรจุลูกแกว 8 ลูก เปนลูกแกวสีแดง 5 ลูก และสีขาว 3 ลูก สุมหยิบลูกแกว 4 ลูกจากกลอง
ใบนี้พรอมกัน ความนาจะเปนทีจะไดลูกแกวสีแดงอยางนอยสองลูกเทากับขอใดตอไปนี้
่
2 1
1. 2.
35 14
13 33
3. 4.
14 35
24

26. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 2
เฉลยแบบฝกหัด
25

27. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เฉลยแบบฝกหัด
เรื่อง การหาความนาจะเปนแบบงาย
31 29 5
1. 2. 3.
60 50 6
3
4. 4.1 4.2 1
5 2
7
6. 7. 5 8. 0.3
15 7
9. 9.1 0.8 9.2 0.4 9.3 1 9.4 0.4
เฉลยแบบฝกหัดระคน
1. 1 2. 3 3. 4 4. 3
5. 1 6. 4 7. 3 8. 4
9. 4 10. 3
26

28. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร
จํานวน 92 ตอน
27

29. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร จํานวน 92 ตอน
เรื่อง ตอน
เซต บทนํา เรื่อง เซต
ความหมายของเซต
เซตกําลังและการดําเนินการบนเซต
เอกลักษณของการดําเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องแผนภาพเวนน-ออยเลอร
การใหเหตุผลและตรรกศาสตร บทนํา เรื่อง การใหเหตุผลและตรรกศาสตร
การใหเหตุผล
ประพจนและการสมมูล
สัจนิรันดรและการอางเหตุผล
ประโยคเปดและวลีบงปริมาณ
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องหอคอยฮานอย
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องตารางคาความจริง
จํานวนจริง บทนํา เรื่อง จํานวนจริง
สมบัติของจํานวนจริง
การแยกตัวประกอบ
ทฤษฏีบทตัวประกอบ
สมการพหุนาม
อสมการ
เทคนิคการแกอสมการ
คาสัมบูรณ
การแกอสมการคาสัมบูรณ
กราฟคาสัมบูรณ
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องชวงบนเสนจํานวน
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องสมการและอสมการพหุนาม
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องกราฟคาสัมบูรณ
ทฤษฎีจํานวนเบื้องตน บทนํา เรื่อง ทฤษฎีจํานวนเบื้องตน
การหารลงตัวและจํานวนเฉพาะ
ตัวหารรวมมากและตัวคูณรวมนอย
ความสัมพันธและฟงกชัน บทนํา เรื่อง ความสัมพันธและฟงกชน ั
ความสัมพันธ
28

30. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
ความสัมพันธและฟงกชัน โดเมนและเรนจ
อินเวอรสของความสัมพันธและบทนิยามของฟงกชัน
ฟงกชันเบื้องตน
พีชคณิตของฟงกชน ั
อินเวอรสของฟงกชันและฟงกชันอินเวอรส
ฟงกชันประกอบ
ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม บทนํา เรื่อง ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชนลอการิทม
ั ึ
เลขยกกําลัง
ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม
ลอการิทึม
อสมการเลขชี้กําลัง
อสมการลอการิทึม
ตรีโกณมิติ บทนํา เรื่อง ตรีโกณมิติ
อัตราสวนตรีโกณมิติ
เอกลักษณของอัตราสวนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหนวย
ฟงกชันตรีโกณมิติ 1
ฟงกชันตรีโกณมิติ 2
ฟงกชันตรีโกณมิติ 3
กฎของไซนและโคไซน
กราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ
ฟงกชันตรีโกณมิติผกผัน
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องมุมบนวงกลมหนึ่งหนวย
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องกราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องกฎของไซนและกฎของโคไซน
กําหนดการเชิงเสน บทนํา เรื่อง กําหนดการเชิงเสน
การสรางแบบจําลองทางคณิตศาสตร
การหาคาสุดขีด
ลําดับและอนุกรม บทนํา เรื่อง ลําดับและอนุกรม
ลําดับ
การประยุกตลําดับเลขคณิตและเรขาคณิต
ลิมิตของลําดับ
ผลบวกยอย
อนุกรม
ทฤษฎีบทการลูเขาของอนุกรม
29

31. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
การนับและความนาจะเปน บทนํา เรื่อง การนับและความนาจะเปน
. การนับเบื้องตน
การเรียงสับเปลี่ยน
การจัดหมู
ทฤษฎีบททวินาม
การทดลองสุม
ความนาจะเปน 1
ความนาจะเปน 2
สถิติและการวิเคราะหขอมูล บทนํา เรื่อง สถิติและการวิเคราะหขอมูล
บทนํา เนื้อหา
แนวโนมเขาสูสวนกลาง 1
แนวโนมเขาสูสวนกลาง 2
แนวโนมเขาสูสวนกลาง 3
การกระจายของขอมูล
การกระจายสัมบูรณ 1
การกระจายสัมบูรณ 2
การกระจายสัมบูรณ 3
การกระจายสัมพัทธ
คะแนนมาตรฐาน
ความสัมพันธระหวางขอมูล 1
ความสัมพันธระหวางขอมูล 2
โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 1
โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 2
โครงงานคณิตศาสตร การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย
ปญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
การถอดรากที่สาม
เสนตรงลอมเสนโคง
กระเบื้องที่ยืดหดได
30