1. คูมือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร
เรื่อง
โครงงานคณิตศาสตร
(ตอนที่ 2)
ปญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
โดย
ผูชวยศาสตราจารย ดร. ทรงเกียรติ สุเมธกิจการ
สื่อการสอนชุดนี้ เปนความรวมมือระหวาง
คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย กับ
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ

2. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
สื่อการสอน เรื่อง โครงงานคณิตศาสตร
สื่อการสอน เรื่อง โครงงานคณิตศาสตร มีจํานวนตอนทั้งหมดรวม 5 ตอน ซึ่งประกอบดวย
1. SET50
2. ปญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
3. การถอดรากที่สาม
4. เสนตรงลอมเสนโคง
5. กระเบื้องที่ยืดหดได
คณะผูจัดทําหวังเปนอยางยิ่งวา สื่อการสอนชุดนี้จะเปนประโยชนตอการเรียนการสอนสําหรับครู
และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใชสื่อชุดนี้รวมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร นอกจากนี้หากทานสนใจ
สื่อการสอนวิชาคณิตศาสตรในเรื่องอื่น ๆ ที่คณะผูจัดทําไดดําเนินการไปแลว ทานสามารถดูชื่อเรื่องและ
ชื่อตอนไดจากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตรทั้งหมดในตอนทายของคูมือฉบับนี้
1

3. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เรื่อง โครงงานคณิตศาสตร
หมวด โครงงานคณิตศาสตร
ตอนที่ 2 (2/5)
หัวขอยอย -
จุดประสงคการเรียนรู
เพื่อใหผูเรียนเห็นตัวอยางการสรางคําถามหรือปญหาใหม โดยการขยายเงื่อนไขของปญหาเดิม รวมทั้ง
เรียนรูวิธีการสรางปญหาใหมดังกลาวและตัวอยางของวิธีการแกปญหานั้น ๆ ทั้งนี้ทั้งนั้น เนื้อหาของโครง-
งานที่นําเสนอในสื่อตอนนี้นั้นมิใชสาระที่คาดหวังใหนกเรียนตองเรียนรูอยางจริงจัง หากเปนเพียงพาหนะ
ั 
เพื่อชวยแสดงใหเห็นตัวอยางหนึ่งของการขยายปญหาเทานั้น
2

4. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
โครงงานคณิตศาสตรคืออะไร
โครงงานคณิตศาสตร คือ โครงงานที่ฝกฝนกระบวนการทําวิจัยทางคณิตศาสตร ซึ่งประกอบไปดวย
หลายขั้นตอน ตั้งแตการเรียนรู สังเกต ตั้งคําถาม คนควา วิเคราะห จนถึงการคิดคนหาคําตอบของ
ปญหาทางคณิตศาสตร
สื่อการสอนเรื่องโครงงานคณิตศาสตร
สื่อการสอนเรื่องโครงงานคณิตศาสตรทั้ง 5 ตอนนี้ เปนตัวอยางของโครงงานคณิตศาสตรที่ครอบคลุม
ปญหาทางคณิตศาสตรที่หลากหลาย ทั้งปญหาในเชิงประยุกตที่นําความรูทางคณิตศาสตรไปประยุกต
ใชในการแกปญหาอื่น ๆ ปญหาที่ขยายหรือตอเติมขึ้นจากปญหาเดิม ปญหาในเชิงจําแนกแยกแยะ
และปญหาที่เกี่ยวกับการมีอยูของวัตถุทางคณิตศาสตร ทั้งนี้ทั้งนั้นสิ่งที่ขาดไมไดในโครงงานคณิต-
ศาสตร คือการแสดงใหเห็นจริงโดยปราศจากขอสงสัย หรือการพิสูจนนั่นเอง
วัตถุประสงคของสื่อตอนนี้
สื่อการสอนตอนนีนําเสนอตัวอยางของโครงงานคณิตศาสตร ที่กําหนดปญหาขึ้นใหมโดยการขยายจาก
้
ปญหาเดิม ในที่นี้ปญหาเดิมคือปญหาการวางควีนจํานวนมากที่สุด ลงบนตารางขนาด NxN โดยที่ควีน
เหลานี้ไมสามารถกินกันไดเลย ซึ่งก็คือการวางควีนจํานวนมากที่สุดลงบนตารางขนาด NxN โดยที่มี
ควีนอยางมากหนึ่งตัวในแตละแถว หลัก และแนวทแยง และปญหาใหมที่กําหนดขึ้นนั้น คือปญหาการ
วางควีนจํานวนมากที่สุดลงบนตารางขนาด NxN โดยที่มีควีนอยางมากสองตัวในแตละแถว หลัก และ
แนวทแยง
3

5. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เนื้อหาในสื่อการสอน
สื่อการสอนตอนนี้ ประกอบดวย
1. ชวงเปดตอน (เริ่ม ณ 00:40)
2. ชวงสารคดี (เริ่ม ณ 01:48)
3. ชวงโครงงานฯและเนื้อหา (เริ่ม ณ 15:10)
4

6. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
1. ชวงเปดตอน
5

7. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
1. ชวงเปดตอน (เริ่ม ณ 00:40)
ในชวงเปดตอน ดังแสดงในรูปที่ 1 ผูบรรยายใชตัวอยางจากการเลนลูกบาศกของรูบิค (Rubik's Cube)
ขนาด 3x3 และขยายไปสูลูกบาศกของรูบิคขนาด 4x4 และ 5x5 เพื่อชวยในการอธิบายเชิงเปรียบเทียบวา
ในคณิตศาสตรนั้น เมื่อประสบความสําเร็จในการตอบคําถามหนึ่ง ๆ แลว มนุษยมักขยายเงื่อนไขของ
คําถามนั้น ๆ และสรางปญหาใหมที่นาสนใจและทาทายมากกวาเดิม ซึ่งคําตอบของปญหาใหมนี้ยังอาจ
สามารถนำไปประยุกตใชไดกวางขวางกวาเดิมดวย ดังเชนในการเลนลูกบาศกของรูบิคขนาด 3 คูณ 3 นั้น
สําหรับผูเลนที่เลนไดคลองแคลวแลว อาจเกิดคําถามในใจวาถาเปนลูกบาศกของรูบคขนาด 4 คูณ 4 แลว
ิ
จะมีวิธีทั่วไปในการเลนเพื่อใหไดสีเดียวในแตละดานหรือไม และถามีจะเลนอยางไร
สื่อฯตอนนีจะนําเสนอตัวอยางของโครงงานคณิตศาสตรที่พิจารณาคําถามที่ขยายมาจากปญหาบนกระดาน
้
หมากรุกที่เปนที่รูจักกันอยางกวางขวางปญหาหนึ่ง
รูปที่ 1 ภาพชวงเปดตอน
6

8. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
2. ชวงสารคดี
7

9. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
2. ชวงสารคดี (เริ่ม ณ 01:48)
ชวงสารคดีนี้ตองการอธิบายความรูพื้นฐาน ที่จําเปนในการทําความเขาใจแนวคิดและรายละเอียดของ
โครงงานคณิตศาสตรที่จะนําเสนอตอไป ซึ่งประกอบไปดวยสวนตาง ๆ ตามลําดับเวลา ดังนี้
(ก) (ข)
(ค) (ง)
รูปที่ 2 ภาพประกอบคําอธิบายประวัติศาสตรของหมากรุก
(ก) (ข)
รูปที่ 3 ภาพประกอบคําอธิบายเรื่องกติกาของหมากรุก
8

10. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
2.1. ประวัติศาสตรของหมากรุกโดยสังเขป (เริ่ม ณ 01:48)
เลาประวัตศาสตรของหมากรุกตั้งแตกําเนิดของหมากรุกที่เชื่อกันวา เริ่มมีทแรกในประเทศอินเดีย (รูปที่
ิ ี่
2(ก)) และแพรผานเปอรเซีย (รูปที่ 2(ข)) เขาสูยุโรป รวมทั้งยังกลาวถึงหมากรุกที่มีการเลนกันใน ประเทศ
จีน เกาหลี ญี่ปุน และไทย ดังแสดงตัวอยางภาพจากสื่อฯไวในรูปที่ 2(ค-ง)
2.2. วิธีเลนหมากรุกสากล (เริ่ม ณ 04:30) อธิบายกติกาการเลนหมากรุกสากลอยางคราว ๆ รวมถึงวิธี
การเดินและกินของตัวหมากรุกแตละตัว อันไดแก คิง ควีน บิชอพ มา เรือ และเบี้ย และปดทายดวย
การนําเสนอความซับซอนของเกมหมากรุกโดยอางถึงจํานวนวิธีการเลนที่เกิดขึ้นไดทั้งหมด ดังแสดงตัวอยาง
ภาพจากสื่อฯไวในรูปที่ 3
2.3. คำถามจากหมากรุก (เริ่ม ณ 08:38)
คือปญหาลับสมองและคําถามทาทายที่เกิดขึ้นจากหรือเกี่ยวกับหมากรุก ซึ่งมีอยูมากมาย เชน ปญหามาเดิน
ทั่วกระดาน (Knight’s tour) ปญหาการวางเรือ และปญหาการวางควีน N ตัว (N-queen problem) ดังตัวอยาง
ภาพจากสื่อฯที่แสดงไวในรูปที่ 4 ปญหาการวางควีนนี้คือปญหาที่เราสนใจเปนพิเศษ ผูที่ถามและสนใจ
ปญหานี้เปนคนแรกคือนาย Max Bezzel เมื่อประมาณป พ.ศ. 2391 นอกจากนั้นยังไดกลาวถึง
จำนวนคําตอบของปญหาบนกระดานจัตุรัสขนาดตาง ๆ และปดทายดวยประโยชนจากคําตอบของปญหานี้
ในวิทยาการคอมพิวเตอร
(ก) ปญหามาเดินทั่วกระดาน (ข) ปญหาการวางเรือ
(ค) ปญหาการวางควีน 8 ตัว (ง) จํานวนคําตอบของปญหาการวางควีน 4 ตัว
รูปที่ 4 ภาพจากสื่อฯประกอบคําอธิบายเรื่องคําถามจากหมากรุกตาง ๆ
9

11. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
ตารางที่ 1 แสดงจํานวนวิธในการวางควีน N ตัวลงบนตารางขนาด NxN โดยไมกินกันเลย
ี
ขนาดกระดาน 4x4 5x5 6x6 7x7 8x8 9x9 10x10 11x11 12x12
จํานวนวิธี 2 10 4 40 92 352 724 2680 14200
(ก) (ข)
รูปที่ 5 ภาพจากสื่อฯประกอบคําอธิบายเรื่องปญหาการวางควีน
10

12. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
3. ชวงโครงงานฯและเนื้อหา
11

13. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
3. ชวงโครงงานฯและเนื้อหา (เริ่ม ณ 15:10)
ชวงโครงงานฯและเนื้อหานี้จะอธิบายรายละเอียดของโครงงานคณิตศาสตร ตั้งแตที่มาและความสําคัญ
จนถึงสรุปโครงงาน ซึ่งประกอบไปดวยสวนตาง ๆ ตามลําดับเวลา ดังนี้
รูปที่ 6 ภาพสื่อฯขณะแสดงรายละเอียดของโครงงานคณิตศาสตรที่นําเสนอในสื่อตอนนี้
3.1. รายละเอียดของโครงงาน (เริ่ม ณ 15:10)
โครงงานคณิตศาสตรเรื่อง การวางตัวเบี้ยที่มีจํานวนมากที่สุดบนตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด NxN
โดยที่ไมมีตัวเบี้ย 3 ตัวใด ๆ อยูบนแนวเสนตรงเดียวกัน ในแนวตั้ง แนวนอน และแนวทแยง ที่ยกมา
เปนตัวอยางในสื่อตอนนี้ เปนโครงงานคณิตศาสตรที่จัดทําโดย นายวศิน วิพิศมากูล ขณะเปน
นักเรียนโรงเรียนบดินทรเดชา (สิงห สิงหเสนี) ระดับมัธยมศึกษาปที่ 6 ปการศึกษา 2545 ในโครงการ
พัฒนาและสงเสริมผูมีความสามารถพิเศษทางวิทยาศาสตร และเทคโนโลยี และมีอาจารยที่ปรึกษาคือ
อาจารยราตรี คําเทียนทอง และ รศ.ดร.พิเชฐ ชาวหา ดังแสดงในรูปที่ 7
3.2. ที่มาและความสําคัญ (เริ่ม ณ 15:42)
จากปญหาการวางควีน N ตัว ซึ่งเปนคําถามจากหมากรุกที่ไดพบในชวงสารคดี เราสามารถปรับ
เปลี่ยน หรือเพิ่มองคประกอบตางๆ เพื่อสรางปญหาใหมขึ้นมาไดมากมาย เชน
1. เปลี่ยน ควีน เปน บิชอพ หรือ มา หรืออาจจะเปนตัวหมากที่เปนไดทั้ง ควีน และ มา
2. เปลี่ยนเปนตัวเดินหมากรุกไทย เชน โคน หรือ เม็ด
3. เปลี่ยนขนาดกระดาน เปน MxN
12

14. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
4. เปลี่ยนกฎการเดิน ใหสามารถเดินออกจากกระดานดานขาง
และวกกลับเขาอีกขางหนึ่งของกระดาน
หรือยอมใหเดินออกจากกระดานดานหนึ่งแลววกกลับเขากระดานฝงตรงขาม
5. เปลี่ยนลักษณะกระดานจากสี่เหลี่ยม เปนสามเหลี่ยม
6. เปลี่ยนลักษณะคําถาม เชน วางควีนอยางนอยกี่ตัวจึงจะคลุมกระดาน 8x8 ไดทุกชอง
3.3. ความรูทางคณิตศาสตรที่เกี่ยวของ (เริ่ม ณ 17:40)
เนื้อหาคณิตศาสตรที่จําเปนตองใชในการทําความเขาใจโครงงานนี้คือเรื่อง หลักการรังนกพิราบ
(Pigeonhole principle) ซึ่งกลาววา หากจะวางนกพิราบ n ตัว ในรัง m รัง โดยที่ n>m แลว
จะตองมีรังอยางนอย 1 รังที่มีนกพิราบมากกวา 1 ตัว
ในกรณีทั่วไปซึ่งเปนกรณีที่จะนํามาใชในโครงงานนีนั้น เราสามารถสรุปไดวา จะตองมีรังอยางนอย 1
้
รังที่มีนกพิราบอยางนอย n/m ตัว รูปที่ 7 แสดงตัวอยางภาพขณะอธิบายหลักการรังนกพิราบ
(ก) (ข)
(ค) (ง)
รูปที่ 7 ภาพสื่อฯขณะแสดงรายละเอียดของโครงงานคณิตศาสตรที่นําเสนอในสื่อตอนนี้
13

15. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
3.4. วิธีดําเนินงาน (เริ่ม ณ 21:36)
1. หาขอบเขตบนของจํานวนตัวเบี้ยที่สามารถวางบนตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด NxN โดยที่ไมมี
ตัวเบี้ย 3 ตัวใดๆ อยูบนแนวเสนตรงเดียวกัน ในแนวตั้ง แนวนอน และแนวทแยง ซึ่งโดยหลักการ
รังนกพิราบ เราสรุปไดวาสามารถวางเบี้ยไดอยางมาก 2N ตัวเทานั้น

2. เขียนโปรแกรมคอมพิวเตอรเพื่อใชหาจํานวนวิธีทั้งหมดในการวางตัวเบี้ย 2N ตัวดังกลาว สําหรับ
N = 3, 4, …, 8
3. พิสูจนวา สําหรับ N ใด ๆ ที่มากกวาหรือเทากับ 2 จะมีวิธีในการวางตัวเบี้ยบนกระดาน NxN
ดังกลาว
3.5. ผลการวจัย (เริ่ม ณ 23:18)
ิ
1. บนกระดานขนาด NxN ถาวางตัวเบี้ยในแตละแนวนอน (แถว) จํานวน 2 ตัว จะวางตัวเบี้ยได 2N
ตัว และโดยหลักการรังนกพิราบ จะไดวาในการวางตัวเบี้ย 2N+1 ตัว ในแถว N แถว จะมีอยางนอย 1
แถวที่มีตัวเบี้ยอยางนอย 3 ตัว ดังนั้นจึงสรุปไดวาวางตัวเบี้ยไดไมเกิน 2N ตัว
2. ใชโปรแกรมคอมพิวเตอรหาจํานวนวิธีทั้งหมดในการวางตัวเบี้ยบนกระดานขนาด 3x3, 4x4, 5x5,
…, 8x8 ไดดังนี้
ตารางที่ 2 แสดงจํานวนวิธีในการวางตัวเบี้ย 2N ตัวลงบนกระดานขนาด NxN
ขนาดกระดาน 3x3 4x4 5x5 6x6 7x7 8x8
จํานวนวิธี 2 11 92 1097 19448 477136
3. จะแสดงวา สําหรับ N >= 2 ใด ๆ มอยางนอยหนึ่งวิธีในการวางตัวเบี้ย 2N ตัว ลงบนกระดาน NxN
ี
ดังกลาว ซึ่งแบงออกเปน 2 กรณี ไดแก กรณีที่ N เปนจำนวนคู และกรณีที่ N เปนจำนวนคี่ ซึ่ง
สามารถศึกษาไดจากตัวอยางการวางดังแสดงในรูปที่ 8
รูปที่ 8 แสดงวิธีวางตัวเบี้ย 8 และ 10 ตัว ลงบนกระดานขนาด 4x4 และ 5x5 ตามลําดับ
14

16. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
3.6. สรุป (เริ่ม ณ 29:26)
โครงงานนี้เปนตัวอยางที่ดีและไมยากเกินไปของการสรางปญหาใหม โดยการขยายเงื่อนไขในปญหา
เดิม จึงหวังเปนอยางยิ่งวาถึงแมวาเราอาจรูคําตอบของคําถามหนึง ๆ แลว ผูเรียนจะไมหยุด
่
ถามคําถามใหม ๆ ซึ่งอาจนําไปสูปญหาที่กวางขวางขึ้น และมีประโยชนมากขึ้นก็เปนได
. คณิตศาสตรอยูรอบตัวเรา จงหมั่นตั้งคําถาม .
15

17. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
กิตติกรรมประกาศ
ผูจัดทําสื่อการสอนตอนนี้ตองขอขอบพระคุณ คุณกันตพชญ ธีระจันทเศรษฐ ที่เปนสวนสําคัญในการเสนอ
แนวคิดจนกอใหเกิดสื่อในรูปแบบนี้ขึ้น
16

18. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เอกสารอางอิง
1. วศิน วิพิศมากูล, การวางตัวเบี้ยที่มากที่สุดบนตารางสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด NxN โดยที่ไมมีตัวเบี้ย 3
ตัวใดๆ อยูบนแนวเสนตรงเดียวกัน ในแนวตั้ง แนวนอน และแนวทแยง, โครงงานคณิตศาสตร
ระดับมัธยมศึกษาปที่ 6 โรงเรียนบดินทรเดชา (สิงห สิงหเสนี) ปการศึกษา 2545 ของนักเรียน
ในโครงการพัฒนาและสงเสริมผูมีความสามารถพิเศษทางวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี (พสวท)
2. http://www.thechessworld.com
17

19. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร
จํานวน 92 ตอน
18

20. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร จํานวน 92 ตอน
เรื่อง ตอน
เซต บทนํา เรื่อง เซต
ความหมายของเซต
เซตกําลังและการดําเนินการบนเซต
เอกลักษณของการดําเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องแผนภาพเวนน-ออยเลอร
การใหเหตุผลและตรรกศาสตร บทนํา เรื่อง การใหเหตุผลและตรรกศาสตร
การใหเหตุผล
ประพจนและการสมมูล
สัจนิรันดรและการอางเหตุผล
ประโยคเปดและวลีบงปริมาณ
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องหอคอยฮานอย
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องตารางคาความจริง
จํานวนจริง บทนํา เรื่อง จํานวนจริง
สมบัติของจํานวนจริง
การแยกตัวประกอบ
ทฤษฏีบทตัวประกอบ
สมการพหุนาม
อสมการ
เทคนิคการแกอสมการ
คาสัมบูรณ
การแกอสมการคาสัมบูรณ
กราฟคาสัมบูรณ
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องชวงบนเสนจํานวน
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องสมการและอสมการพหุนาม
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องกราฟคาสัมบูรณ
ทฤษฎีจํานวนเบื้องตน บทนํา เรื่อง ทฤษฎีจํานวนเบื้องตน
การหารลงตัวและจํานวนเฉพาะ
(การหารลงตัวและตัวหารรวมมาก)
ตัวหารรวมมากและตัวคูณรวมนอย
ความสัมพันธและฟงกชัน บทนํา เรื่อง ความสัมพันธและฟงกชัน
ความสัมพันธ
19

21. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เรือง
่ ตอน
ความสัมพันธและฟงกชัน โดเมนและเรนจ
อินเวอรสของความสัมพันธและบทนิยามของฟงกชัน
ฟงกชันเบื้องตน
พีชคณิตของฟงกชัน
อินเวอรสของฟงกชันและฟงกชันอินเวอรส
ฟงกชันประกอบ
ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม บทนํา เรื่อง ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม
เลขยกกําลัง
ฟงกชันชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม
ลอการิทึม
อสมการเลขชี้กําลัง
อสมการลอการิทึม
ตรีโกณมิติ บทนํา เรื่อง ตรีโกณมิติ
อัตราสวนตรีโกณมิติ
เอกลักษณของอัตราสวนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหนวย
ฟงกชันตรีโกณมิติ 1
ฟงกชันตรีโกณมิติ 2
ฟงกชันตรีโกณมิติ 3
กฎของไซนและโคไซน
กราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ
ฟงกชันตรีโกณมิติผกผัน
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องมุมบนวงกลมหนึ่งหนวย
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องกราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ
สื่อปฏิสัมพันธเรื่องกฎของไซนและกฎของโคไซน
กําหนดการเชิงเสน บทนํา เรื่อง กําหนดการเชิงเสน
การสรางแบบจําลองทางคณิตศาสตร
การหาคาสุดขีด
ลําดับและอนุกรม บทนํา เรื่อง ลําดับและอนุกรม
ลําดับ
การประยุกตลําดับเลขคณิตและเรขาคณิต
ลิมิตของลําดับ
ผลบวกยอย
อนุกรม
ทฤษฎีบทการลูเขาของอนุกรม
20

22. คูมือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร โดยความรวมมือระหวาง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
การนับและความนาจะเปน บทนํา เรื่อง การนับและความนาจะเปน
การนับเบื้องตน
การเรียงสับเปลี่ยน
การจัดหมู
ทฤษฎีบททวินาม
การทดลองสุม
ความนาจะเปน 1
ความนาจะเปน 2
สถิติและการวิเคราะหขอมูล บทนํา เรื่อง สถิติและการวิเคราะหขอมูล
บทนํา เนื้อหา
แนวโนมเขาสูสวนกลาง 1
แนวโนมเขาสูสวนกลาง 2
แนวโนมเขาสูสวนกลาง 3
การกระจายของขอมูล
การกระจายสัมบูรณ 1
การกระจายสัมบูรณ 2
การกระจายสัมบูรณ 3
การกระจายสัมพัทธ
คะแนนมาตรฐาน
ความสัมพันธระหวางขอมูล 1
ความสัมพันธระหวางขอมูล 2
โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 1
โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 2
โครงงานคณิตศาสตร การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย
ปญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
การถอดรากที่สาม
เสนตรงลอมเสนโคง
กระเบื้องที่ยืดหดได
21