1. คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์
เรื่อง ลาดับและอนุกรม
ตอน บทนาเรื่องลาดับและอนุกรม
โดย
อาจารย์ ดร.จิณดิษฐ์ ละออปักษิณ
อาจารย์ ดร.รตินันท์ บุญเคลือบ
สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง
คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับ
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ

2. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สื่อการสอน เรื่อง ลาดับและอนุกรม
สื่อการสอน เรื่อง ลาดับและอนุกรม มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 13 ตอน ซึ่งประกอบด้วย
1. บทนา เรื่อง ลาดับและอนุกรม
2. เนื้อหาตอนที่ 1 ลาดับ
- แนวคิดเรื่องลาดับ
- ลาดับเลขคณิต
- ลาดับเรขาคณิต
3. เนื้อหาตอนที่ 2 การประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเลขาคณิต
- การประยุกต์ของลาดับเลขคณิต
- การประยุกต์ของลาดับเรขาคณิต
4. เนื้อหาตอนที่ 3 ลิมิตของลาดับ
- การลู่เข้าและลู่ออกของลาดับ และลิมิตของลาดับ
- ทฤษฎีบทลิมิตของลาดับ
5. เนื้อหาตอนที่ 4 ผลบวกย่อย
- ผลบวกย่อย
- ผลบวกย่อยของลาดับเลขคณิต
- ผลบวกย่อยของลาดับเรขาคณิต
6. เนื้อหาตอนที่ 5 อนุกรม
- ความหมายของอนุกรม
- ความหมายของการลู่เข้า การลู่ออก และผลบวกของอนุกรม
- การตรวจสอบการลู่เข้าของอนุกรมเรขาคณิต
- ตัวอย่างการประยุกต์ของอนุกรมเรขาคณิต
7. เนื้อหาตอนที่ 6 ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม
- ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม
- ความสัมพันธ์ระหว่างการลู่เข้าของลาดับและอนุกรม
8. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 1)
1

3. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
9. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 2)
10. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง)
คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอนสาหรับครู
และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใช้สื่อชุดนี้ร่วมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับและอนุกรม
นอกจากนี้หากท่านสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ในเรื่องอื่นๆที่คณะผู้จัดทาได้ดาเนินการไปแล้ว ท่าน
สามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ทั้งหมดในตอนท้า ยของคู่มือฉบับ
นี้
2

4. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ลาดับและอนุกรม
หมวด บทนา
จุดประสงค์การเรียนรู้
เพื่อให้ผู้เรียนเข้าใจที่มา เกิดความซาบซึ้ง เห็นคุณค่าของคณิตศาสตร์เรื่อง ลาดับและอนุกรม
ตระหนักถึงความสาคัญและประโยชน์ ตลอดจนบทประยุกต์ของลาดับและอนุกรม
วัตถุประสงค์หลักของการจัดทาสื่อบทนา: เพื่อให้ผู้เรียนเกิดแรงบันดาลใจในการเรียน
ได้เห็นถึงที่มาและประโยชน์ของเนื้อหาที่จะได้เรียนต่อไป โดยมิได้มุ่งเน้นที่การท่องจา
เนื้อหาหรือเรื่องราวตามที่ปรากฏในสื่อบทนา การใช้สื่อบทนาจึงควรใช้เพียงประกอบ
ในขั้นการนาเข้าสู่บทเรียน หรือนาเสนอผู้เรียนก่อนการจัดการเรียนรู้ในเนื้อหานั้นๆ และ
ไม่ควรนาเนื้อหาในสื่อบทนาไปใช้วัดผลการศึกษาหรือใช้ในการสอบ เพราะอาจทาให้
การใช้สื่อไม่บรรลุวัตถุประสงค์ที่แท้จริงตามที่มาดหมายไว้
3

5. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
บทสารคดีและข้อมูลเพิ่มเติม
สิ่งต่างๆ ที่เกิดขึ้นบนโลกนั้น บางครั้งก็เกิดขึ้นอย่างไร้ระเบียบ เป็นไปด้วยความบังเอิญ แต่ในขณะเดียวกัน
หลายสิ่งหลายอย่าง ก็เกิดขึ้นอย่างมีแบบแผน มีลาดับขั้นตอน เป็นแบบรูปอยู่ภายใต้กฎเกณฑ์บางอย่าง ซึ่งกฎเกณฑ์
ที่มีนั้น จะเป็นเสมือนรหัสที่สามารถช่วยให้เราเข้าถึงรหัสนัยที่ซ่อนอยู่ หรือช่วยให้เราสามารแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้อง
กับแบบรูปนั้นๆ ได้ง่ายขึ้น
เหมือนกับที่ โยฮันน์ เออเลิร์ต โบเด (Johann Elert Bode) ศาสตราจารย์ดาราศาสตร์ (ค.ศ.1747 - 1826) ได้
สังเกตเห็นแบบรูปของระยะห่างระหว่างดาวเคราะห์ในระบบสุริยะจักรวาลกับดวงอาทิตย์
4

6. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ในฐานะที่มนุษย์เป็นผู้มีสิทธ์กาหนดกฎกติกา เพื่อความสะดวกของมนุษย์เองนักดาราศาสตร์จึงได้
กาหนดให้ระยะทางระหว่างโลกถึงดวงอาทิตย์ ซึ่งเท่ากับ 149,000,000 กิโลเมตร มีค่าเท่ากับ 1 หน่วยดาราศาสตร์
(Astronomical Unit (AU))
ในตอนนั้นเอง มนุษย์รับรู้แค่ว่าดวงอาทิตย์มีดาวเคราะห์ที่เป็นบริวารทั้งหมด 7 ดวง คือ ดาวพุธ ดาวศุกร์
โลก ดาวอังคาร ดาวพฤหัสบดี ดาวเสาร์ และดาวยูเรนัส ซึ่งมีระยะห่างโดยประมาณจากดวงอาทิตย์ตามหน่วยดารา
ศาสตร์เป็น 0.39, 0.72 , 1.00 , 1.52 , 5.20 , 9.54 และ 19.2 ตามลาดับ ศาสตราจารย์โบเด สังเกตเห็นว่าระยะห่าง
เหล่านี้ตั้งอยู่บนกฎหรือความสัมพันธ์บางประการ ที่เรียกว่าลาดับกล่าวคือ เมื่อประมาณค่า
0.39 ด้วย 0.40
0.72 ด้วย 0.70
1.00 ด้วย 1.00
1.52 ด้วย 1.60
5.20 ด้วย 5.20
9.54 ด้วย 10.00
และ 19.2 ด้วย 19.60
เราจะพบว่า 0.40 มีค่าเท่ากับ 0.1 x 4
0.70 มีค่าเท่ากับ 0.1 x (4 + 3)
1.00 มีค่าเท่ากับ 0.1 x (4 + (3 x 2))
1.60 มีค่าเท่ากับ 0.1 x (4 + (3 x 22))
5

7. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
5.20 มีค่าเท่ากับ 0.1 x (4 + (3 x 24))
10.00 มีค่าเท่ากับ 0.1 x (4 + (3 x 25))
19.60 มีค่าเท่ากับ 0.1 x (4 + (3 x 26))
คาถามที่น่าสนใจคือ มีอะไรโคจรอยู่ห่างจากดวงอาทิตย์ออกไป ราวๆ 0.1 x (4 + (3 x 23)) หน่วยดารา
ศาสตร์ หรือว่าอาจจะมีดาวเคราะห์ ที่เป็นสมาชิกใหม่ในระบบสุริยะจักรวาล ซึ่งอยู่ระหว่างดาวอังคารกับดาว
พฤหัสบดีอยู่อีกหรือไม่
6

8. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เมื่อศาสตราจารย์โบเดนาเสนอข้อสังเกตนี้สู่ประชาคมดาราศาสตร์ จึงเป็นมูลเหตุให้เกิดการค้นหาเทหวัตถุ
ที่อาจจะดารงอยู่ในแถบบริเวณดังกล่าว แล้วโลกก็ได้รู้จักกับวัตถุฟากฟ้าดวงใหม่ ที่ขนานนามตามเทพเจ้าแห่งการ
เก็บเกี่ยวของกรีกว่า เซรีส (Ceres)
แต่ท้ายที่สุดแล้ว ด้วยข้อกาหนดเกี่ยวกับขนาด ทาให้ดาวเซรีส ซึ่งมีเส้นผ่านศูนย์กลางเพียงแค่ 950
กิโลเมตร ไม่ถูกเรียกว่าเป็นดาวเคราะห์ดวงที่แปดแห่งระบบสุริยะจักรวาล หากเป็นแต่เพียงดาวเคราะห์แคระที่มี
ขนาดใหญ่ที่สุดในแถบบริเวณดังกล่าว ซึ่งยังมีดาวเคราะห์น้อยขนาดเล็กเรียงรายอยู่อีกกว่าสามหมื่นดวง
การค้นหาดาวเคราะห์ที่อยู่ห่างออกไปตามระยะที่ปรากฏในลาดับโบเดยังคงดาเนินต่อไป แม้ว่าจะเกิด
ความคลาดเคลื่อนขึ้น แต่เราจะสามารถกล่าวได้แล้วหรือว่า ลาดับที่เกิดขึ้นจากการสังเกตของโบเดนั้นไร้ค่า ในเมื่อ
เป็นลาดับชุดนี้นี่เองมิใช่หรือ ที่ช่วยจุดประกายความคิดบรรเจิด เพริศแพร้วพรรณราย กรายกรุยทาง สร้างสรรค์
บันดาลดน ให้ปัญญาชนบนโลกใบน้อยแห่งนี้ ได้รู้จักกับสมาชิกใหม่ของระบบสุริยะจักรวาล
7

9. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ความสัมพันธ์ของระยะห่างระหว่างดาวเคราะห์ในระบบสุริยะจักรวาลกับดวงอาทิตย์ หรือ กฎของโบเด
รู้จักกันในอีกชื่อหนึ่งว่า กฎของทีเทียส-โบเด (Titius – Bode law) แม้ว่ากฎนี้จะสอดคล้องใกล้เคียงกับ
ระยะห่างระหว่างดวงอาทิตย์กับดาวเคราะห์ทั้งเจ็ดและดาวเซรีส แต่กลับเกิดความคลาดเคลื่อนอย่างมาก
กับดาวเนปจูน ซึ่งถูกค้นพบในปี ค.ศ. 1846 โดยดาวเนปจูนมีระยะห่างจากดวงอาทิตย์จริงมากกว่า
ระยะห่างจากการคานวณถึงเกือบ 9 หน่วยดาราศาสตร์ และสาหรับดาวพลูโต ที่ค้นพบในปี ค.ศ. 1930
ยิ่งกลับทวีความคลาดเคลื่อนสูงขึ้นกว่าเดิม โดยมีระยะห่างจริงมากกว่าระยะห่างจากการคานวณถึงเกือบ
38 หน่วยดาราศาสตร์ อย่างไรก็ตาม ด้วยเหตุผลในเรื่องของขนาดและข้อกาหนดของสหภาพดารา
ศาสตร์สากล ทาให้ดาวพลูโต ซึ่งถือว่าเป็นดาวเคราะห์มาได้ราว 70 ปี ได้กลายมาเป็นเพียงดาวเคราะห์
แคระ ในปี ค.ศ. 2006 ส่งผลให้ในปัจจุบันระบบสุริยะจักรวาลเหลือดาวเคราะห์เพียง 8 ดวง
จากระบบสุริยะจักรวาลอันไพศาลยิ่งใหญ่ ย้อนใกล้เข้ามาบนผืนแผ่นดินแถบถิ่นประเทศเยอรมนี เมื่อราว
เกือบสามร้อยปีที่ผ่านมา เด็กชายจอมแก่นวัย 7 ขวบ ได้แก้โจทย์ปัญหา 1 + 2 + 3 + + 100 ได้อย่างเฉลียวฉลาด
ด้วยวิธีที่พิสดารและแตกต่างจากการคิดแบบบวกทบทับของเด็กทั่วๆ ไปในวัยเดียวกัน เจ้าหนูเกาส์ได้เห็นกุญแจ
ดอกสาคัญที่ซ่อนอยู่ในปัญหาข้อนี้ เขามองเห็นการจับคู่ระหว่างเลข 1 กับ 100 เลข 2 กับ 99 เลข 3 กับ 98 จนถึงคู่
ของเลข 50 กับ 51 ซึ่งทุกคูล้วนมีผลบวกเท่ากับ 101 และจะเห็นได้ว่ามีคู่อย่างนี้รวมทั้งหมด 50 คู่ ฉับพลันทันใด
่
นั้นเอง เกาส์ (Carl Friedrich Gauss, ค.ศ. 1777 - 1855) ก็ทราบคาตอบของโจทย์ข้อนี้ได้ในทันทีว่าคือ 51 x 50 ซึ่งมี
ค่าเท่ากับ 5,050 นั่นเอง ด้วยแนวคิดอันลุ่มลึกที่สะท้อนให้เห็นแววอัจฉริยะที่ฉายฉานตั้งแต่ครั้งปฐมวัยนี้เอง โลกจึง
ได้รู้จักกับเด็กน้อยผู้นี้อีกครั้งในนามของ เจ้าชายแห่งวงการคณิตศาสตร์ คาร์ล ฟรีดริช เกาส์
8

10. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สายของตัวเลขที่มีแบบรูป ไม่ว่าจะอยู่ในแบบตัวเลขอิสระ หรือตัวเลขที่บวกทบทับกัน หากสามารถเข้าได้
ถึงรหัสนัยที่ซ่อนอยู่ในแบบรูปนั้นๆ แล้ว ก็ย่อมสามารถระบุค่าของตัวเลขในสายได้ ไม่ว่าจะอยู่ที่ตาแหน่งใดๆ ก็
ตาม
9

11. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
และคาถามหนึ่งที่คั่งค้างคาใจ ชวนให้สงสัย ก็คือ “จากจานวนที่มี หากเราบวกจานวนเพิ่มเข้าไปเรื่อยๆ
ผลลัพธ์ที่ได้จะมีค่ามหาศาลสุดคะเนหรือไม่” ถ้าหากตอบตามความรู้สึกแล้วล่ะก็ คงไม่ยากที่จะเข้าใจไปว่า ผลลัพธ์
ที่ได้น่าจะมีค่าอนันต์ แต่สาหรับตัวอย่างต่อไปนี้ อาจทาให้สิ่งที่คิดคาดคะเนไว้ไม่เป็นจริงก็เป็นได้
ซีโนแห่งอีเลีย นักปราชญ์โบราณ ได้ตั้งคาถามที่ชวนให้เกิดข้อสงสัยไว้ว่า “อาคิลลิส บุตรของเทพีทีทีส
แห่งแม่น้าซิงส์อันศักดิ์สิทธิ์ มนุษย์กึ่งเทพ ผู้ห้าวหาญเกรียงไกร ผู้มีกาลังมหาศาล กลับกาลังวิ่งแพ้แม้เพียงเต่าตัว
เล็กๆ เสียแล้ว”
“หากที่จุดเริ่มวิ่งซึ่งอาคิลลิสและเต่าอยู่กันพร้อม ณ ที่แห่งนั้น ในฐานะของผู้มนุษย์ผู้ทะนง จึงยอมให้คู่แข่ง
ออกวิ่งไปก่อนหน้า จนเมื่อเต่าคลานซึ่งคลานด้วยความเร็วคงที่ได้ระยะทาง 100 เมตร ล่วงไปแล้ว มหาปุรุษผู้นั้น จึ่ง
เริ่มวิ่งตามมาด้วยความเร็วคงที่”
10

12. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ดังนั้นในขณะที่อาคิลลิส วิ่งไปได้ 100 เมตร สมมติให้ช่วงเวลานั้นเต่าก็คลานไปได้อีก 10 เมตร และเมื่อ
อาคิลลิสวิ่งไปได้อีก 10 เมตร เต่าย่อมคลานไปได้อีกหน่อยหนึ่ง สมมติคือ 1 เมตร ด้วยระบบคิดแบบนี้ จะเห็นได้ว่า
อาคิลลิสย่อมเป็นผู้วิ่งตามเต่าตัวนั้นเสมอๆ และท้ายที่สุดแล้ว เต่าก็ย่อมเป็นผู้กาชัย ได้สวมมงกุฎช่อมะกอกแห่งชัย
ชนะในครั้งนั้น นิทานเรื่องนี้จึงเป็นหลุมพรางทางความคิด ซึ่งอยู่ที่การพิจารณาในจังหวะเวลาที่อาคิลลิสเกือบจะวิ่ง
เสมอด้วยเต่า
หากแต่เมื่อพิจารณาเฉพาะระยะทางที่อาคิลลิสวิ่งได้ ซึ่งคือ 100 + 10 + 1 + 0.1 + 0.01 + ซึ่งเป็นการ
บวกจานวนเพิ่มเข้าไปตามข้อสงสัยข้างต้น ก็จะเห็นได้ว่า ระยะทางรวมที่ได้ คือ 111.1111111111111111111 …
ย่อมน้อยกว่า 112 ซึ่งเป็นค่าจากัด
11

13. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
จากจานวนที่มีอยู่ ก่อให้เกิดคาถามขึ้นว่า หากเราบวกจานวนเพิ่มเข้าไปเรื่อยๆ ผลลัพธ์ที่ได้จะมีค่ามหาศาล
สุดคะเนหรือไม่ คาถามในทานองเดียวกันนี้ ยังสามารถสื่อสารได้ด้วยภาพเชิงเรขาคณิต ซึ่งแม้จะไร้ซึ่งคาอธิบาย แต่
ก็สามารถเข้าใจและรับรู้ได้เพียงการมองเห็น “เพราะเพียงภาพ พิสูจน์เผย กว่าเอ่ยพูด”
12

14. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
คาถามอภิปราย
พิจารณารูปและสมการ แล้วร่วมกันอภิปรายว่ามีความเกี่ยวข้องกันหรือไม่ อย่างไร
2 3 4
1 1 1 1 1
4 4 4 4 3
คาถามอภิปราย
พิจารณารูปและสมการ แล้วร่วมกันอภิปรายว่ามีความเกี่ยวข้องกันหรือไม่ อย่างไร
2 3 4
1 1 1 1 1
4 4 4 4 3
13

15. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
คาถามอภิปราย
พิจารณารูปและสมการ แล้วร่วมกันอภิปรายว่ามีความเกี่ยวข้องกันหรือไม่ อย่างไร
2 3 4
1 1 1 1
1
2 2 2 2
14

16. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 1
แผนภาพแสดงความสัมพันธ์
เรื่อง ลาดับและอนุกรม
15

17. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ลาดับและอนุกรม
พจน์ทั่วไปของลาดับ
การลู่เข้าและลู่ออก
ลาดับ ทฤษฎีบทของลิมิตของลาดับ พจน์ทั่วไปของลาดับเลขคณิต
ลาดับเลขคณิต การประยุกต์ของลาดับเลขคณิต
ลาดับเรขาคณิต พจน์ทั่วไปของลาดับเรขาคณิต
การประยุกต์ของลาดับเรขาคณิต
ผลบวกย่อย พจน์ทั่วไปของอนุกรมเลขคณิต
อนุกรม อนุกรมเลขคณิต การประยุกต์ของอนุกรมเลขคณิต
พจน์ทั่วไปของอนุกรมเรขาคณิต
อนุกรมเรขาคณิต
การลู่เข้าและการตรวจสอบการ
อนุกรมรูปแบบอื่น
การประยุกต์ของลาดับเรขาคณิต
สัญลักษณ์แทนการบวก อนุกรมผสม เทคนิคเศษส่วนย่อย
16

18. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์
จานวน 92 ตอน
17

19. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ จานวน 92 ตอน
เรื่อง ตอน
เซต บทนา เรื่อง เซต
ความหมายของเซต
เซตกาลังและการดาเนินการบนเซต
เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ บทนา เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์
การให้เหตุผล
ประพจน์และการสมมูล
สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล
ประโยคเปิดและวลีบงปริมาณ
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องหอคอยฮานอย
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องตารางค่าความจริง
จานวนจริง บทนา เรื่อง จานวนจริง
สมบัติของจานวนจริง
การแยกตัวประกอบ
ทฤษฏีบทตัวประกอบ
สมการพหุนาม
อสมการ
เทคนิคการแก้อสมการ
ค่าสัมบูรณ์
การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
กราฟค่าสัมบูรณ์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องช่วงบนเส้นจานวน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องสมการและอสมการพหุนาม
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟค่าสัมบูรณ์
ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น บทนา เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น
การหารลงตัวและจานวนเฉพาะ
(การหารลงตัวและตัววคูณร่วมมาก)
ตัวหารร่วมมากและตั หารร่ มน้อย
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน บทนา เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
ความสัมพันธ์
18

20. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน โดเมนและเรนจ์
อินเวอร์สของความสัมพันธ์และบทนิยามของฟังก์ชัน
ฟังก์ชันเบื้องต้น
พีชคณิตของฟังก์ชัน
อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชันอินเวอร์ส
ฟังก์ชันประกอบ
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้ บทนา เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
เลขยกกาลัง
ฟังก์ชันชีกาลัง
้
ฟังก์ชันลอการิทึม
อสมการเลขชี้กาลัง
อสมการลอการิทึม
ตรีโกณมิติ บทนา เรื่อง ตรีโกณมิติ
อัตราส่วนตรีโกณมิติ
เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหน่วย
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 2
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 3
กฎของไซน์และโคไซน์
กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องมุมบนวงกลมหนึงหน่วย
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกฎของไซน์และกฎของโคไซน์
กาหนดการเชิงเส้น บทนา เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น
การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์
การหาค่าสุดขีด
ลาดับและอนุกรม บทนา เรื่อง ลาดับและอนุกรม
ลาดับ
การประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเรขาคณิต
ลิมิตของลาดับ
ผลบวกย่อย
อนุกรม
ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม
19

21. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
การนับและความน่าจะเป็น บทนา เรื่อง การนับและความน่าจะเป็น
. การนับเบื้องต้น
การเรียงสับเปลี่ยน
การจัดหมู่
ทฤษฎีบททวินาม
การทดลองสุ่ม
ความน่าจะเป็น 1
ความน่าจะเป็น 2
สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล บทนา เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล
บทนา เนื้อหา
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 1
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 2
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 3
การกระจายของข้อมูล
การกระจายสัมบูรณ์ 1
การกระจายสัมบูรณ์ 2
การกระจายสัมบูรณ์ 3
การกระจายสัมพัทธ์
คะแนนมาตรฐาน
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 1
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2
โครงงานคณิตศาสตร์ การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย
ปัญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
การถอดรากที่สาม
เส้นตรงล้อมเส้นโค้ง
กระเบื้องที่ยืดหดได้
20