Dokumen tersebut membahas tentang sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) dan sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV). SPLDV terdiri atas dua persamaan linear dengan dua variabel, sedangkan SPLTV terdiri atas tiga persamaan linear dengan tiga variabel. Dokumen tersebut menjelaskan berbagai metode untuk menyelesaikan SPLDV dan SPLTV, seperti metode grafik, substitusi, eliminasi, dan campuran.

1. SPLDV dan SPLTV
Titania Intan P

2. Sistem Persamaan Linear Dua
Variabel

Suatu sistem persamaan yang terdiri atas dua persamaan
linear yang masing-masing bervariabel dua dikenal
dengan sistem persamaan linear dua variabel.

Jika kedua variabel tersebut adalah x dan y, bentuk
umum sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV)
ditulis:
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
dengan a1, b1, c1, a2, b2, dan c2 bilangan-bilangan real,
a1, b1 tidak bersama-sama nol, dan
a2, b2 tidak bersama-sama nol.

3. Menyelesaikan SPLDV dengan
Metode Grafik
Perhatikan sistem persamaan berikut.
x + y = 5……………………(i)
x – y = 1……………………(ii)
Gambar grafik persamaan (i) dan (ii) dalam bidang Cartesius.
Tentukan dua titik potong garis terhadap sumbu X dan sumbu
Y.
(i)
x
0
5
y
5
0
Diperoleh titik potong:
garis (i) : (0, 5) dan (5, 0)
garis (ii) : (0, -1) dan (1, 0)
(ii)
x
0
1
y
-1
0

4. Dari grafik di atas, tampak titik potong kedua
garis, yaitu P(3, 2) yang merupakan
penyelesaian dari persamaan (i) dan (ii).

5. Secara umum, langkah-langkah
untuk menyelesaikan SPLDV dengan
metode grafik adalah sebagai berikut:
• Gambarlah grafik masing-masing persamaan.
• Tentukan titik potong kedua grafik itu. Titik
potong ini merupakan penyelesaian SPLDV.

6. Jika ketahui bahwa posisi (kedudukan) antara
kedua garis itu (berpotongan, sejajar, atau berimpit)
menentukan penyelesaian SPLDV. Seperti gambar di
bawah ini.

7. Menyelesaikan SPLDV dengan
Metode Substitusi
Misalkan diketahui sebuah SPLDV berikut.
x+y=1
x + 5y = 5
SPLDV di atas akan diselesaikan dengan metode
substitusi.
 Dari persamaan x + y = 1 diperoleh x = 1 - y
 Substitusikan ke x + 5y = 5
diperoleh:
Substitusikan y = 1 ke x = 1 – y,
x + 5y = 5
diperoleh:
(1- y) + 5y = 5
x=1–y
x=1–1
x=0
1 – y + 5y = 5
Jadi, penyelesaian SPLDV di
4y = 4
atas adalah x = 0 dan y = 1.
y=1

8. Secara umum, langkah-langkah untuk
menyelesaikan SPLDV dengan cara
Substitusi adalah sebagai berikut:
• Pilihlah salah satu persamaan (pilihlah persamaan
yang sederhana jika ada), kemudian nyatakan
salah satu variabel persamaan itu ke dalam
variabel persamaan yang lain.
• Substitusikan persamaan itu ke persamaan yang
lain.

9. Menyelesaikan SPLDV dengan
Metode Eliminasi
Perhatikan sistem persamaan berikut:
x–y=3
x + 2y = 15
Langkah-langkah penyelesaian:
• Mengeliminasi (menghilangkan) variabel x untuk
menentukan variabel y.
x– y=3
x + 2y = 15
–3y = –12
y=4

10. • Mengeliminasi variabel x untuk memperoleh
nilai y.
x–y = 3 ×2 x2
2x – 2y = 6
x + 2y = 15 × 1 x 1
x + 2y = 15
+
3x = 21
x=7
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(7,4)}.

11. Menyelesaikan SPLDV dengan
Metode Campuran
Dalam menyelesaikan SPLDV juga digunakan metode eliminasi
dan substitusi (metode campuran).
Contoh :
Carilah himpunan penyelesaian dari SPLDV berikut.
2x – 3y = 13
2x + 4y = 6
Jawab:
Untuk mencari nilai x, eliminasi variabel y.
2x – 3y = 13 × 4
8x – 12y = 52
2x + 4y = 6 × 3
6x + 12y = 18
+
14 x = 70
x =5

12. Untuk mencari nilai y, substitusikan x = 5 ke dalam
salah satu persamaan semula (boleh dipilih
persamaan yang pertama atau kedua).
Misalnya, dipilih persamaan 2x – 3y = 13 sehingga
diperoleh
2(5) – 3y = 13
–3y = 3
y=1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(5, –1)}.

13. Sistem Persamaan Linear Tiga
Variabel
Sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV)
terdiri atas tiga persamaan dengan tiga variabel.
SPLTV memiliki bentuk umum sebagai berikut.
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
dengan a1 ,a2 ,a3 ,b1 ,b2 ,b3 ,c1 ,c2 ,c3 ,d1 ,d2 ,dan d3
bilangan-bilangan real. Variabelnya x, y, dan z.

14. Menyelesaikan SPLTV dengan
Metode Substitusi
Perhatikan SPLTV berikut.
4x + 3y + z = 21 ................................................... (1)
2x + y + 2z = 15 ................................................... (2)
3x + 2y – 3z = 0 ................................................... (3)
SPLTV di atas dapat diselesaikan dengan metode
substitusi dengan langkah-langkah sebagai berikut:
Dari persamaan (1), yaitu 4x + 3y + z = 21, diperoleh
z = 21 – 4x – 3y.
Substitusi z = 21 – 4x – 3y ke persamaan (2) dan (3).

15. Substitusi ke persamaan (2):
2x + y + 2z = 15
2x + y + 2(21 – 4x – 3y) = 15
2x + y + 42 – 8x – 6y = 15
–6x – 5y = –27 .................................................. (4)
Substitusi ke persamaan (3):
3x + 2y – 3z = 0
3x + 2y – 3(21 – 4x – 3y) = 0
3x + 2y – 63 + 12x + 9y = 0
15x + 11y = 63 .................................................. (5)

16. Langkah-langkah menyelesaikan SPLTV
dalam variabel x, y, dan z dengan metode
substitusi:
1.
Pilihlah salah satu persamaan yang sederhana,
kemudian nyatakan x sebagai fungsi y dan z, atau y
sebagai fungsi x dan z, atau z sebagai fungsi x dan y
2.
Substitusikan x atau y yang diperoleh pada
langkah pertama ke dalam dua persamaan
yang lain sehingga diperoleh SPLDV.
3.
Selesaikan SPLDV yang diperoleh pada langkah
kedua.

17. Menyelesaikan SPLTV dengan
Metode Eliminasi
Prinsip utama metode eliminasi adalah
menghilangkan variabel satu demi satu
untuk memperoleh nilai variabel yang lain.
Perhatikan langkah-langkah berikut.
• Eliminasi salah satu variabel x atau y atau z sehingga
diperoleh SPLDV.
• Selesaikan SPLDV yang diperoleh pada langkah
pertama.
• Substitusikan nilai-nilai variabel yang diperoleh pada
langkah kedua ke dalam salah satu persamaan
semula untuk mendapatkan nilai variabel yang lain.

18. Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem
persamaan linear dengan metode eliminasi.
x – 3y + z = –1
5x + y – z = 5
8x – 6y – z = 1
Jawab:
x – 3y + z = –1.................................................... (1)
5x + 5y – z = 5 ................................................... (2)
8x – 6y – z = 1 ................................................... (3)
Eliminasi variabel z pada persamaan (1) dan (2),
diperoleh persamaan (4).
x – 3y + z = –1
5x + y – z = 5
–––––––––––– +
6x – 2y = 4
3x – y
= 2 .................................... (4)

19. Eliminasi variabel z pada persamaan (1) dan
(3), diperoleh persamaan (5).
x – 3y + z = –1
8x – 6y – z = 1
–––––––––––– +
9x – 9y = 0
x – y = 0 ...........................(5)
Persamaan (4) dan (5) membentuk SPLDV
dan penyelesaian dari SPLDV ini adalah
3x – y = 2
x–y=0
–––––––– –
2x = 2
x=1

20. Untuk memperoleh nilai y, eliminasikan x
3x – y = 2 × 1
3x – y = 2
x– y=0 ×3
3x – 3y = 0
––––––––– –
2y = 2
y=1
Untuk menentukan nilai z, eliminasikan salah
satu variabel x atau y sehingga kalian
memperoleh SPLDV yang mengandung
variabel z. Sehingga akan memperoleh z = 1.
Dengan demikian, himpunan penyelesaian
yang dimaksud adalah {(1, 1, 1)}.

21. SEKIAN
DAN
TERIMAKASIH
