Sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) membahas sejarah, pengertian, metode penyelesaian, dan aplikasi SPLTV. Dokumen ini memberikan contoh-contoh soal dan penyelesaian masalah yang melibatkan tiga variabel."

1. KELOMPOK 6
1. Emira Nurfutri S
2. Fitri Aprillia K
3.Heni Susilawati
4.Ida Farida
5. Lina Hanipah

2. SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA
VARIABEL (SPLTV)
SEJARAH SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA
VARIABEL (SPLTV)
PENGERTIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR
TIGA VARIABEL (SPLTV)
METODE PENYELESAIAN SISTEM
PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL
(SPLTV)
APLIKASI SISTEM PERSAMAAN LINEAR
TIGA VARIABEL (SPLTV)

3. Sejarah Perkembangan
Aljabar Linear
• Istilah aljabar berasal dari kata bahasa Arab al-jabr yang artinya reduksi.
• Istilah ini pertama kali digunakan oleh Mohammed al-Khowarizmi, yang hidup
sekitar tahun 800 Masehi di Bagdad.
• Aljabar linier digunakan untuk memecahkan sistem persamaan linier.
• Cara penyelesaian sistem persamaan linier juga pernah dijelaskan dalam teks
matematika kuno bahasa Cina yang berjudul: Chiu-Chang Suan-Shu (Sembilan
Bab Seni Matematika) dalam bentuk berikut ini:
1 ikat gd jelek + 2 ikat gd sedang + 3 ikat gd baik = 39 tou
1 ikat gd jelek + 3 ikat gd sedang + 2 ikat gd baik = 34 tou
3 ikat gd jelek + 2 ikat gd sedang + 1 ikat gd baik = 26 tou
Berapa tou tiap ikat gd jelek, sedang dan buruk? Tou adalah ukuran mangkok
perunggu di zaman Dinasti Chou.

4. Sistem persamaan linear dengan tiga
variabel terdiri atas tiga persamaan linear
yang masing-masing memuat tiga variabel.
Sistem persamaan linear dengan tiga
variabel disingkat dengan SPLTV.
Pengertian Sistem Persamaan
Linear Tiga Variabel (SPLTV)

5. Secara umum bentuk persamaan linear
tiga variabel adalah sebagai berikut:
a1x+b1y+c1z=d1
a2x+b2y+c2z=d2
a3x+b3y+c3z=d3
dengan ai, bi, ci, dan di untuk i= 1, 2, 3
merupakan konstanta.

6. Metode Penyelesaian Persamaan
Linear Tiga Variabel
1. Metode Substitusi
2. Metode Eliminasi
3. Metode Gabungan
4. Metode Determinan

7. 1. Metode Substitusi
x – y + z = 6
x + 2y – z = -3
2x + y + z = 6
SPLTV diatas dapat diselesaikan dengan metode
substitusi melalui langkah-langkah sebagai berikut :

8. Langkah 1:
Pilihlah salah satu persamaan yang
sederhana, kemudian nyatakan x sebagai
fungsi y dan z, atau y sebagai fungsi x dan
z, atau z sebagai fungsi x dan y

9. Dari persamaan
x - y + z = 6 ↔ z = 6- x + y
(z sebagai fungsi x dan y)

10. Langkah 2:
Substitusikan x atau y atau z yang
diperoleh pada langkah 1 kedalam dua
persamaan lainnya sehingga
membentuk SPLDV

11. Substitusi z = 6 – x + y ke persamaan
x + 2y – z = -3 dan 2x + y + z = 6, diperoleh :
x + 2y – (6 – x + y) = -3
2x + 2y = 3.................(1)
dan
2x + y + (6 –x + y) = 6
x + 2y = 0.....................(2)
Persamaan (1) dan (2) membentuk SPLDV :
2x + y = 3
x + 2y = 0

12. Langkah 3:
Selesaikan SPLDV yang diperoleh pada langkah 2
Dari persamaan x + 2y = 0
↔ x = -2y.
Substitusi x= -2y ke persamaan 2x + y = 3, diperoleh :
2 (-2y) + y =3
↔ -3y = 3
↔ y = -1

13. Substitusi y = -1 ke persamaan x = -2y,
sehingga diperoleh:
↔ x = -2 (-1)
↔ x = 2
Nilai x = 2 dan y = -1 disubstitusikan ke persamaan z=
6-x+y, diperoleh :
↔ z = 6- (2) + (-1)
↔ z = 3
Jadi himpunan penyelesaian SPLTV itu adalah:
{(2,-1,3)}

14. 2. Metode Eliminasi
x – y + z = 6 ...(1)
x + 2y – z = -3 ...(2)
2x + y + z = 6 ...(3)
SPLTV ini akan kita selesaikan dengan metode
eliminasi melalui langkah-langkah sebagai berikut :

15. Langkah 1:
Eliminasi salah satu peubah x atau y atau z
sehingga diperoleh SPLDV
Mengeliminasi peubah z :
Dari persamaan pertama dan kedua :
x – y + z = 6 .............. (1)
x + 2y – z = -3 ............. (2) +
2x + y = 3 .............. (4)

16. Dari persamaan kedua dan ketiga :
x + 2y – z = -3.............(2)
2x + y + z = 6..............(3) +
3x + 3y = 3
x + y = 1..............(5)

17. Langkah 2 :
Selesaikan SPLDV yan didapat pada langkah 1.
Persamaan (4) dan (5) membentuk SPLDV x dan
y :
2x + y = 3 ................ (4)
x + y = 1 .................(5)
Nilai x dicari dengan mengeliminasi peubah
y:
2x + y = 3 ................ (4)
x + y = 1 .................(5)
x = 2

18. Nilai y dicari dengan mengeliminasi
peubah x :
2x + y = 3 x 1 2x + y = 3
x + y = 1 x 2 2x + 2y = 2
-y = 1
y = -1

19. Nilai z di cari dengan,
mengeliminasi peubah x yaitu
dari persamaan pertama dan kedua:
x – y + z = 6
x + 2y – z = -3
-3y + 2z = 9……..(6)
dari persamaan kedua dan ketiga:
x + 2y – z = -3 x2 2x + 4y - 2z = -6
2x + y + z = 6 x1 2x + y + z = 6
3y – 3z = -12
y – z = -4 ……. (7)

20. Nilai z dicari dengan mengeliminasi persamaan
keenam dan ketujuh:
-3y + 2z = 9 x 1 -3y + 2z = 9
y – z = -4 x 3 3y – 3z = -12 +
-z = -3
z = 3
jadi himpunan penyelesaian SPLTV di atas
adalah {(2,-1,3)}

21. 3. Metode Gabungan
x – y + z = 6 .......(1)
x + 2y – z = -3 ....(2)
2x + y + z = 6 .....(3)
SPLTV ini akan kita selesaikan dengan metode
gabungan melalui langkah-langkah sebagai
berikut :

22. Langkah 1:
Eliminasi salah satu peubah x atau y atau z
sehingga diperoleh SPLDV.
Mengeliminasi peubah z dari persamaan
pertama dan kedua :
x – y + z = 6 .............. (1)
x + 2y – z = -3 ............. (2) +
2x + y = 3 ...............(4)

23. Dari persamaan kedua dan ketiga :
x + 2y – z = -3.............(2)
2x + y +z = 6................(3) +
3x + 3y = 3
x + y = 1................(5)

24. 24
Langkah 2 :
Selesaikan SPLDV yan didapat pada langkah 1.
Persamaan (4) dan (5) membentuk SPLDV x dan y
:
2x + y = 3 ................ (4)
x + y = 1 .................(5)
Nilai x dicari dengan mengeliminasi peubah y:
2x + y = 3 ................ (4)
x + y = 1 .................(5)
x = 2

25. Nilai y dicari dengan mensubstitusi
nilai x= 2 ke persamaan kelima:
↔ x + y = 1
↔ 2 + y = 1
↔ y = 1 – 2
↔ y = -1

26. Langkah 3:
Nilai x = 2 dan y = -1 disubstitusikan ke
persamaan z = 6 – x + y, diperoleh :
z = 6- (2) + (-1)
z = 3
Jadi himpunan penyelesaian SPLTV itu
adalah {(2,-1,3)}

27. 4. Metode Determinan
a1 b1 c1 a1 b1 c1 a1 b1
D = a2 b2 c2 = a2 b2 c2 a2 b2 = (a1b2c3+b1c2a3+c1a2b3) -
a3 b3 c3 a3 b3 c3 a3 b3 (a3b2c1+b3c2a1+c3a2b1)
- - - + + +
d1 b1 c1 a1 d1 c1 a1 b1 d1
Dx= d2 b2 c2 ; Dy= a2 d2 c2 ; Dz= a2 b2 d2
d3 b3 c3 a3 d3 c3 a3 b3 d3
x= Dx y= Dy z= Dz
D D D

28. Aplikasi Sistem Persamaan
Linear Tiga Variabel
Bidang Ekonomi
Perbankan Perdagangan
Bidang Kependudukan
Bidang Kesehatan
Bidang Industri
Bidang geometri

29. 1. Bidang Industri
Sebuah pabrik memiliki tiga buah mesin A, B,
C yang digunakan untuk membuat koper. Jika
ketiganya bekerja, dihasilkan 222 koper per
hari. Jika A dan B bekerja, tetapi C tidak,
dihasilkan 159 koper per hari. Jika B dan C
bekerja, tetapi A tidak, dihasilkan 147 koper
per hari. Berapa produksi harian tiap mesin ?

30. Jawab :
Misalkan produksi mesin A = x koper, mesin B = y koper, dan
mesin C = z koper. Model matematika dari masalah tersebut
terdiri atas tiga persamaan linear, yaitu :
• Jika ketiganya bekerja, dihasilkan 222 koper per hari
x + y + z = 222 ...........(1)
• Jika A dan B bekerja tetapi C tidak, dihasilkan 159 koper per
hari
x + y = 159 .................(2)
• Jika B dan C bekerja tetapi A tidak, dihasilkan 147 koper per
hari
y + z = 147.......................(3)

31. Dengan menggunakan metode substitusi, diperoleh :
x + y = 159 ↔ x = -y + 159........... (4)
y + z = 147 ↔ z = -y + 147 ...........(5)
Kemudian substitusi x= -y + 159 dan z = -y + 147 kedalam
persamaan (1) sehingga diperoleh suatu persamaan tunggal
dalam y.
x + y + z = 222
(-y + 159) + y + (-y + 147) = 222
-y + 306 = 222
-y = 222 – 306
-y = -84
y = 84

32. Substitusi kembali y = 84 ke dalam persamaan (4) dan
(5) sehingga diperoleh nilai x dan z.
x = -y + 159.........(4)
= -84 + 159
= 75
z = -y + 147...........(5)
= -84 + 147
= 63
Dengan demikian , produksi harian mesin A, B, dan C
masing-masing adalah 75, 84, dan 63 koper.

33. 2. Bidang Geometri
Dalam suatu segitiga, sudut terbesarnya adalah 80°
lebih besar daripada sudut kecilnya dan 30° lebih
besar daripada dua kali sudutnya. Tentukan ukuran-
ukuran sudut dalam segitiga tersebut.
Jawab :
Misalkan ukuran sudut terkecil = x, ukuran sudut
menengah = y, dan ukuran sudut terbesar = z.
• Sudut terbesarnya adalah 80° lebih besar dari
sudut terkecilnya
z = x + 80............(1)

34. • Sudut terbesarnya adalah 30° lebih besar dari
2 kali sudut sisanya
x = 30 + 2y............(2)
• Jumlah sudut dalam segitiga adalah 180°
x + y + z = 180.......(3)
Dengan menggunakan metode substitusi
diperoleh :
z = x + 80 ↔ x = z – 80.........(4)
z = 30 + 2y ↔ 2y = z – 30
↔ y = ½ (z - 30)...(5)

35. Kemudian substitusi x = z – 80 dan y = ½ (z - 30)
kedalam persamaan (3) sehingga diperoleh :
x + y + z = 180
2 (z - 80) + (z - 30) + 2z =360
2z – 160 + z – 30 + 2z = 360
5z = 550
z = 110
Substitusi kembali z = 110 kedalam persamaan (4) dan
(5) sehingga diperoleh nilai x dan y.

36. x = z – 80...........(4)
= 110 – 80
= 30
y = ½ (z - 30).......(5)
= ½ (110 - 30)
= ½ (80)
= 40
Jadi, ukuran etiap sudut pada segitiga tersebut
adalah 30°, 40°, dan 110°.

37. 3. Bidang kependudukan
Hasil sensus menunjukan bahwa penduduk suatu
kota berjumlah 2juta orang. Penduduk tersebut
terdiri atas wanita dewasa 10 ribu orang lebih
banyak daripada jumlah pria dewasa. Sedangkan
pria dewasa 40 ribu lebih sedikit dari jumlah anak
anak yang belum dewasa. Berapa jumlah anak-anak
yang belum dewasa?

38. Jawab :
Misalkan wanita dewasa = x, pria dewasa = y, dan
anak-anak = z.
• Wanita dewasa 10 ribu orang lebih banyak
daripada jumlah pria dewasa
x = y + 10.000..........(1)
• Pria dewasa 40 ribu lebih sedikit dari jumlah
anak-anak
y = z – 40.000..........(2)
• Jumlah penduduk kota 2.000.000 orang
x + y + z = 2.000.000...(3)

39. Dengan menggunakan metode substitusi, diperoleh :
x = y + 10.000........(3)
y = z – 40.000 z ↔ z = y + 40.000......(4)
Kemudian substitusi x = y + 10.000 dan z = y + 40.000 kedalam
persamaan (3) sehimgga diperoleh suatu persamaan tunggal
dalam y.
x + y + z = 2.000.000
(y + 10.000) + y + (y + 40.000) = 2.000.000
3y + 50.000 = 2.000.000
3y = 2.000.000 – 50.000
3y = 1.950.000
y = 650.000

40. Substitusi kembali y = 650.000 kedalam persamaan
(3) dan (4) sehingga diperoleh nilai x dan z.
x = y + 10.000.......(3)
= 650.000 + 10.000
= 660.000
z = y + 40.000.......(4)
= 650.000 + 40.000
= 690.000
Jadi, jumlah anak-anak yang belum dewasa adalah
690.000 orang

41. 4. Bidang Kesehatan
Pak Ahmad menderita suatu penyakit. Oleh karena itu Pak
Ahmad harus memperhitungkan jumlah makanan yang
dikonsumsi dari 3 menu yang tersedia. Satu porsi menu A
berisi 1 gram lemak, 2 gram kabohidrat, dan 3 gram
protein. Satu porsi menu B berisi 2 gram lemak, 1 gram
kabohidrat, dan 3 gram protein. Sedangkan satu porsi menu
C berisi 2 gram lemak, 4 gram kabohidrat, dan 3 garm
protein. Jumlah zat gizi yang dianjurkan nadalah 15 gram
lemak, 24 gram kabohidrat, dan 30 gram protein. Tentukan
komposisi menu A, B dan C agar terpenuhi kebutuhan zat
gizi Pak Ahmad?

42. Jawab:
Langkah 1
Menu Lemak Kabohidrat Protein
A 1 2 3
B 2 1 3
C 2 4 3
Jumlah zat gizi
yang dianjurkan
15 24 30
Misal
Menu A=X , Menu B=Y , dan Menu C=Z
Kalimat Matematika x + 2y + 2z =15 ….......... (1)
2x + y + 4z =24 ……….. (1)
3x + 3y + 3z =30 ………...(3)

43. Langkah 2:
Eliminasi persamaan 1 dan 2
x + 2y + 2z=15 x2 2x + 4y + 4z = 30
2x + y + 4z=24 x1 2x + y + 4z = 24
3y = 6
y = 2
Eliminasi persamaan 1 dan 3
x + 2y + 2z = 15 x3 3x + 6y + 6z = 45
3x+ 3y +3z = 30 x1 3x + 3y + 3z = 30
3y + 3z = 15
y + z = 5
z = 3
Substitusikan y = 2 dan z = 3 kepersamaan 1
x + 2(2) + 2(3) = 15
x = 5
Jadi, komposisi menu makanan agar terpenuhi kebutuhan zat gizi Pak
Ahmad adalah menu A = 5, menu B = 2, dan menu C = 3

44. 5. Bidang Ekonomi
▪ Perbankan
Lena meminjam Rp80.000.000,00 dalam tiga kategori
pinjaman berbeda untuk memulai menjalankan
bisnisnya. Ia meminjam dari dua bank sejumlah
Rp70.000.000 masing-masing dengan bunga 11% dan
10%. Sisa lainnya dipinjam dari lembaga keuangan
dengan bunga 13%.berapa besar pinjaman Lena pada
tiap kategori jika bunga tahunan yang harus dibayarnya
adalah Rp8.500.000,00 ?

45. Jawab:
Diketahui :
Misalkan kategori I=x , kategori II = y , dan kategori III = z
kalimat matematika :
x + y = Rp70.000.000,00 …………..(1)
11%x + 10%y + 13%z = Rp8.500.000,00 …………..(2)
z = Rp10.000.000,00 …………..(3)
Substitusikan persamaan 3 kepersamaan 2
11%x + 10%y + 13%(10.000.000) = Rp8.500.000
11%x + 10%y + 1.300.000) = Rp8.500.000
11% + 10% = Rp7.200.000
0,11x + 0,1y = Rp7.200.000
0,1x + 0,1y = Rp7.000.000
0,01x = 200.000
x = 20.000.000

46. Substitusikan x = 20.000.000 kepersamaan 1
20.000.000 + y = 70.000.000
y = 50.000.0000
Jadi, besar pinjaman Lena pada tiap kategori adalah:
kategori I = Rp20.000.000,00
kategori II = Rp50.000.000,00
kategori III = Rp10.000.000,00

47. ▪ Perdagangan
Campuran 3 kg beras A, 2 kg beras B, dan 2 kg beras C
dijual seharga Rp 56.500,00. campuran 2 kg beras A, 1 kg
beras B, dan 2 kg beras C dijual Rp 40.000,00. sedangkan
campuran 2 kg beras A, 3 kg beras B, dan 1 kg beras C
dijual seharga Rp 48.500,00. hitunglah harga tiap kg beras
A, B, dan C ?

48. Jawab:
Misalkan beras A=a , beras B=b, dan beras C=c
Kalimat Matematika:
3a + 2b + 2c = 56.500 ………..(1)
2a + b + 2c = 40.000 ………..(2)
2a + 3b + c = 48.500 ………..(3)
Eliminasi peubah c dari persamaan (1) dan (2)
3a + 2b + 2c = 56.500
2a + b + 2c = 40.000
a + b = 16.500 ………..(4)
Eliminasi peubah c dari persamaan (2) dan (3)
2a + b + 2c = 40.000 x1 2a + b + 2c = 40.000
2a + 3b + c = 48.500 x2 4a + 6b + 2c = 97.000
-2a – 5b = -57.00.......(5)

49. Eliminasi peubah a dari persamaan (4) dan (5)
a + b = 16.500 x2 2a + 2b = 33.000
-2a – 5b = -57.000 x1 -2a – 5b = -57.000 +
-3b = -24.000
b = 8.000
Substitusikan b = 8.000 kepersamaan (4)
a + 8.000 = 16.500
a = 8.500
Substitusikan a=8.500 dan b= 8.000 kepersamaan (2)
2(8.500) + 8.000 + 2c = 40.000
2c = 15.000
c = 7.500
Jadi,harga tiap kg beras A = 8.500 , beras B = 8.000 dan beras C
= 7.500

50. Wassalamu’alaikum