2018年 99課綱版本 中華民國 Republic of china 高中物理教材

1. 阿 Samn 的物理課本 http://mysecretpark.blogspot.com/
8 磁場 Magnetic field
電流的磁效應
MAGNETIC FIELDS DUE TO CURRENTS
相關版權說明：
 笑話集中的圖片來自彎彎的部落
格，Mr. Pig 漫畫集來自
http://godpig.com/blog/
 內頁部分圖片來自各版本教科書
或網路，版權仍屬原創者所有
 講義內容採用創用授權，不得商
業化(印給學生工本費除外)
本章的目的
在介紹過靜電及電流之後，本章要介紹電與磁之間的關係-現在
我們已經知道移動中的電荷(電流)在其周圍會產生磁場。因此，
早期的磁性材料，比方說磁帶，就是利用電流的磁效應來紀錄
資料。
然而，隨科學進展也發現帶電粒子在磁場中在某些條件下將會
受磁力作用
可是卻是許多同學覺得困難的地方，原因就在於公式很多並且
代數也很多，更需要有很強的數學背景，所以在這一章不僅要
認真聽講，更要自行整理公式，消化成為自己的東西才行。

2. 8-2 磁場 Magnetic field
REVIEW AND SUMMARY

3. 8-3磁場 Magnetic field
8.0 磁場與磁力線
學習目標
閱讀完這節，你應該能夠…
1. 理解磁場是可由「磁性」材料造成的空間分佈 2. 理解磁場是向量，同時包含「量值」與「方向」
磁的庫侖定律(補充資料)
1.在 1785 年庫侖由實驗確定，對應於萬有引力的質量及電力的電
量，磁力也必須有一個基本量稱為 磁極強度 m （因為磁是 N、
S 及必須同時存在的）
 靜磁的庫侖定律如下： 1 2
2
Km m
F
r

 上式中的 K 和電學中的 k 不一樣，m 也和質量 m 意義不同，
請不要混淆了。
2.磁極 Magnetic poles：為磁鐵之磁性最強處同性極 相斥 ，
而異性極 相吸 。
 N 極(指北極)：指向北方的磁極
 S 極(指南極)：指向南方的磁極
磁場 Magnetic Field1
1. 說明：磁力作用所及的區域，高中物理習慣以 B 來表示
2. 定義：單位磁極在真空中所受的力
3. 單位：特士拉(Tesla) or 韋伯/公尺 2
(weber/m2
)
BF
B
m

4. 虛擬的磁力線(Magnetic lines of force)：來描述空間中的磁場形
狀與強度。
 在磁鐵外部由 N 極射出，指向 S 極；磁鐵內部由 S 極射向 N
極
 磁力線是一條封閉曲線在磁鐵外部是 平滑的曲線 。
 磁力線密度愈大，磁場愈 強
 任兩磁力線間有排斥的作用磁力線之間不會相交。
5. 磁場 B 單位
 特士拉(tesla 或 T)(M.K.S.制)
 高斯(Gauss 或 G)(C.G.S.制)
 1 Tesla = 10,000 gauss
1
磁場的觀念源自於法拉第，只注重它的物理意義
圖 8-1
兩磁棒平行放置且同極相鄰
時，磁力線
圖 8-2
兩磁棒平行放置且異極相鄰
時，磁力線

4. 8-4 磁場 Magnetic field
6. 常見物質的磁場大小
 在地球表面的地球磁場約為 0.5 高斯(0.5×10-4
特士拉)
 一般小磁鐵棒的磁場約為 100 高斯
 大型的電磁鐵可達 20,000 高斯的磁場
 超導磁鐵可產生更強的磁場：MRI 臨床所用超導磁鐵，磁場
強度有 0.2T 到 7.0T（特斯拉），常見的為 1.5T 和 3.0T。
7. 磁場方向的表示法（重要）
 磁力線 切線方向 就是該點的 磁場方向
 磁場的方向向外垂直於
紙面
 磁場的方向向內垂直於
紙面
圖 8-4 表示磁場穿出紙面 圖 8-5 表示磁場穿入紙面
地球磁場 The Earth’s Magnetic Field 補充資料
1. 地球的磁軸(即磁棒的中心線)方向和地球的極軸(即地理南北極
的連線)方向之間的夾角約為 11°。
2. 若磁針可在水平面上自由轉動，則當磁針靜止時，其 N 極指示
的方向稱為地磁北方。地磁北方和地理北方的方向並不一致，
兩者之間的夾角 θ 稱為 磁偏角 ，其值隨地球表面上的位置
而異。
3. 磁棒的 S 極靠近地理北極，而其 N 極靠近地理南極，地球外部
的磁力線方向由地理的南方指向北方。
4. 若磁針可在鉛直面上自由轉動，則磁針將靜止在地球磁力線的
方向上。
5. 地磁強度 B 在水平方向的分量，稱為水平地磁強度。
磁針和水平面之間的夾角 ψ 稱為 磁傾角 。
圖 8-6 磁偏角
圖 8-3 磁力線的切線方向，
就是該點磁場方向

5. 8-5磁場 Magnetic field
8.1 電流的磁效應
學習目標
閱讀完這節，你應該能夠…
1. 理解電荷移動時候，其周遭將有磁場產生
2. 理解磁場也是向量場，同時具備方向與量值。
3. 針對極短載流導線外的任一點，能夠應用必歐沙
伐定則，推估出該點的磁場。
4. 針對載流長直導線外的一點，能夠應用安培右手定
則判斷該點磁場方向。
電流磁效應的發展簡史
1.1820 年，丹麥物理學家厄司特發現通有電流的導線附近有磁場
圖 8-8 電路形成通路之後，導線附近磁場 產生變化,From 龍騰版課本
2.必歐(Biot)-沙伐(Savart)的實驗：兩人於 1820 年發現：當長直
導線有電流通過時，在相關空間某點之磁場幾全為鄰近之導線
所產生，而遠處導線對該點所建立之磁場則甚微弱。
3.安培的發現：1820 年，提出右手定則，1822 年發現了數學定
律，並在 1826 年推出兩電流之間的作用力的公式。
4.亨利.奧古斯塔斯.羅蘭 Henry Augustus Rowland 實驗：
 公元 1876 年，羅蘭使一個直徑約 20 公分的硬橡皮盤帶上儘
可能多的電荷，然後，將盤以每秒 60 轉的速率迥轉。
 結果：測出盤的附近有一個微弱的磁場
 結論： 運動中的電荷 可以產生磁場。
圖 8-7 漢斯‧克海斯提安‧厄
斯特（丹麥語：Hans Christian
Ørsted），是一位丹麥物理學
家、化學家和文學家。

6. 8-6 磁場 Magnetic field
必歐-沙伐定律 Biot-Savart law
1. 實驗定律：
 法國物理學者必歐(Jean-Baptiste Biot,1774 –1862)與沙伐(Félix
Savart,1791–1841)共同以實驗確立了通有電流的長直導線周
遭磁場的性質
 法國數學家拉普拉斯(Pierre-Simon Laplace,1749–1827)指出
必歐-沙伐的實驗結果可以看成是導線上每一小段的電流在遠
處產生了一個與距離平方成反比的磁場。
 必歐再以精巧的實驗更進一步確立、並拓展了建立了拉普拉
斯的說法。
 在靜磁學裏，必歐-沙伐定律 (Biot-Savart Law)方程式用以描
述電流在其周圍所產生的磁場，且由公式可看出磁場與
電流的大小 、 方向 、以及 距離 有關。
2. 定義：一小段導線（長 Δs）通以電流 i 時，會在距導線 r 的 P
點產生磁場 ΔB
向量式： 0
2
ˆ
4
i r
B
r


 
 

 
純量式：
0
2
sin
4
i
B
r
 


  
磁場方向可用安培右手定則來判定
磁導率 μ0：物質因外加磁場而產生的磁化程度
μ0 是真空中的磁導率(magnetic permeability)，
其值為 4π×10-7
特士拉-公尺/安培(T-m/A)
圖 8-10 菲利克斯·沙伐
（法語：Félix Savart ）
是法國一位物理學家和醫
生。他與讓-巴蒂斯特·必
歐共同創建了必歐-沙伐
定律。
From wiki
圖 8-9 讓-巴蒂斯特·必歐
（法語：Jean-Baptiste
Biot）是法國的一位物理
學家、天文學家和數學
家。在電磁學研究中曾提
出知名的必歐-沙伐定
律。

7. 8-7磁場 Magnetic field
8.2 載流導線的磁場
學習目標
閱讀完這節，你應該能夠…
1. 理解載流長直導線產生的磁力線是呈現圓形分佈。
2. 針對載流長直導線外的一點，依據電流、與載流長
直導線距離，計算出磁場量值
3. 依據電流流動方向描述載流螺線管線圈產生的磁
場方向並能畫出磁力線。
4. 能依據電流、單位長度線圈數，計算螺線管線圈產
生的磁場量值。
安培定律
1.安培 (André-Marie Ampère) 在 1826 年所發現
2.意義：載流導線所載有的電流，與磁場沿著環繞導線的封閉迴
路的路徑積分，兩者之間的關係為
3.載流長直導線中電流為 i 在距離導線 r 處的磁場：
0
2
i
B
r



 磁場量值與導線的垂直距離成反比
 磁場方向沿導線為中心軸的圓週的切線方向：右手定則
簡易證明：可從(屬補充資料，需要微積分的基礎蓋概念)
0
2
sin
4
i
B
r
 

   積分形式 0
2
sin
4
i
dB dy
R
 



式子中的 Δℓ 因為我們取無限長的導線，
從-∞積到+∞，對應的也因為所取的角度從-π 到 π：
2 2
R r y  
2 2
sin sin( )
R
y r
    

可 以 知 道 導 線 上 半 部 與 下 半 部 產 生 的 磁 場 完 全 相 同
0 0
2 2 2 3/2
0 0
0sin
2
4 2 ( 2)
ii r
B dB dy dy
R
i
y r r
 



 

   

  
圖 8-12 載流長直導線產生
的磁場，也可由必歐沙伐
定律進行積分來解釋
圖 8-11 安德烈-馬里·安培
（法語：André-Marie Amp
ère，FRS，1775 年 1 月 20
日－1836 年 6 月 10 日
[1]）是法國物理學家、數
學家，古典電磁學的創始
人之一。為了紀念他的貢
獻，國際單位制中電流的
單位「安培」以他的姓氏
命名。
0B L I  

8. 8-8 磁場 Magnetic field
例題1.：長直導線的磁場-標準題
兩根很長之導線，彼此平行，相隔 10cm。其中一導線上有 10 安
培之電流，另一導線有 20 安培之電流（如圖所示），試求圖上
P、Q、R 三點處磁場 B 之量值及方向。
解：
答：P：6.7×10-5
T，穿出紙面；Q：4.0×10-5
T，穿出紙面；R：
9.3×10-5
T，穿入紙面
類題：二長直導線平行排列，相距 0.20 公尺，各載電流 10 安
培，方向相同，如右圖所示。試求圖中 A、B、C 三點，磁場的
量值和方向。(設三點與二導線均在同一平面內)。答：A：
2.7×10-5
T，垂直穿出紙面；B：0；C：1.5×10-5
T，垂直穿入紙面
類題：二長直導線相互平行， 距離為 a，各載電流 i，但方向相
反，如圖所示。試證在與二導線等距離之 P 點的磁場大小為
)4(
2
22
0
ar
ia
B




。
類題：四條長銅線互相平行，且排成邊長 2 cm 的正方形，P、Q、
S 通過 20 A 的電流，電流方向如圖所示，R 流入 40 A，求正方形
中心處的磁場大小和方向？ 答： 6 2 ×10−4
T，OS 方向
範例 演練
B
CA
0.2m0.1m 0.1m
I1=10(A) I2=10(A)
0.1m
Q
R
P
5cm
5cm
5cm
5cm I1=10(A)
I2=20(A)

9. 8-9磁場 Magnetic field
載流圓線圈的線圈中心軸的磁場
1. 半徑為 a 的圓線圈通以電流 i 時，則在圓線圈對稱軸上距離
線圈平面為 R 的 P 點，其磁場 B 的量值
 
2
0
3
2 2 2
2
ia
B
a R



簡易說明：
Δℓ1 所產生的磁場 ΔB1，由於對稱的原因水平分量會互相抵
銷，我們指取它的垂直分量
0
1 2
cos cos
4
i
B
r

 


 

又
r
a
cos
當我們取 Δℓ 來積分時會得到直接將 Δℓ 代入 2a：
 
2 2
0 0 0
32 3
2 2 2
2
4 2 2
ia iai a a
B
r r r a R
  

  

2. 延伸整理
 在圓心處，則可寫成： 0
2
i
B
a


 僅半圓時： 0
4
i
B
a


 圓心角為 θ 之一段圓弧： 0
2 2
i
B
a
 

 
3. 磁場單位的由來：
取半徑 r＝2π 公分之圓形線圈一圈，通以 10 安培的電流，線
圈中心之磁場強度即為 1 高斯
圖 8-13 載流圓形線圈在圓心的垂直
線上產生磁場必然垂直圓形平面

10. 8-10 磁場 Magnetic field
例題2.：圓形導線的磁場-基礎題
氫原子中，電子之軌道半徑為 5.3×10−11
m，電子迴轉之頻率為
6.8×1015
次/秒，則
(1)由於電子之轉動，在其軌道中心處所造成之磁場強度為若干？
(2)若氫原子改為重氫原子，而其他條件皆不變，則答案又為何？
答：(1)13 N/A-m (2)13 N/A-m
類題：一金屬圓環，半徑為 10cm，環上帶有 2×10−5
庫侖之電荷，
此環繞其中心軸每秒轉動 100 次， 則環中心處之磁場強度為若干？
答：4π ×10−9
N/A-m
例題3.：圓形導線的磁場-標準題
如左列四圖所示，環中心 O 點處的磁場 B 之量值為何？
解：
答： 0 0 0 ( )1 1
(1) ( ) (2)0 (3) (4)
2 2 2 4
i i i b a
B
r r ab
  


 
範例 演練
O r
i
rO
rO
O
ab

11. 8-11磁場 Magnetic field
載流螺線管內的磁場分佈 Magnetic Field of a Solenoid
1.緊密纏繞之理想螺線管，纏繞圈數 N 匝，管長 L。
產生的磁場：
管外與邊界-弱而不均勻，
管內-磁場強且均勻： 0B i n  
N
n
L

2.說明：(需用安培定律)
 螺線管可視為由許許多多個單一圓線圈所組成 在內部，由
於每一段導線所產生的磁場在內部的總和會是均勻且平行管
的中心軸
 在外部，因為各導線所產生的磁場有互相抵消的趨勢，所以
不去討論它。
1.下列三圖中 O 點之磁場量值。(其中 O 為三角形之重心，導線
電流均為 I )
a
a
X
O
X
2.兩平行長直導線 A、B，各負載同向電流
2I、3I，且兩導線相距為 d，則在距離 A 導
線多遠處磁場強度為零？
3.一形狀如右圖所示之封閉線圈，兩半圓的半
徑各為 a 和 b。若通以逆時鐘方向的電流 i
課後 練習題
i
i
rO
圖 8-14 螺線管外側的磁場極弱，但管內
磁場極為均勻。而磁場方向可由安培右手
定則決定。
a
b
O

12. 8-12 磁場 Magnetic field
時，則圓心處 O 點的磁場為何?
4.如左圖所示為一測量水乎地磁強度的方法。一長直導線鉛直懸
掛，在導線的正北方，距離導線 2.0cm 處水平放置一磁針。今
導線由下而上通以 3.0A 的電流時，量得磁針的偏轉角度為
37°，則由此推算該處地磁的水平分量為何?
5.兩單匝圓形線圈如右圖，半徑皆為 a，
電流皆為 I，且同軸並立，電流方向相
同，圓心相距亦為 a，求在兩圓心中點
之磁場。
6.有兩個單匝線圈，其半徑均為 2π cm，
兩者圓心重合，但圈面互相垂直，如左
圖所示。設 I1=3 A，I2=4 A，求中心處之磁場之量值。
7.半徑 R 的圓形電阻線，中心處有一電動勢 ε
的電池，用兩條導線分別接於 A、B 兩點，
再分別接到電池兩極，則中心處磁場為若
干？
8.一細長直導線載有電流 i，被彎成如圖之形
狀，其中兩直線部份互相垂直，圓弧部份半徑為 a，則在圓心
O 處磁場之量值為?
9.兩長度相等之同種導線截面積比 2：1，今將之繞成管長 2：1，
管截面半徑比亦為 2：1 之螺線管，
欲使兩螺線管內之磁場大小相等，
則其所需電功率之比為何?
10. 三條長直導線，分別與 x 軸、y
軸及 z 軸重疊，各載有電流 i，分別
流向＋x、＋y 及＋z 方向，則在 xy
平面上的一點 p(其坐標如圖所示)的磁場為何？（答案以 i、d
及真空中的磁導率 μo 等表示之）
練習題答案
1.
a
I
xa
Ia
r
I



 0
22
00 3
)3(
)(
)2(
4
)1(

2. d
5
2
3.
ab
bai
4
)(0 
4.410-5
T 5.
a
I
125
8 0
，向左 6. 510-5
T 7. 0 8.
a
i
8
0
9. 8：1 10. 0
4
i
d


(- ˆx＋ ˆy )
O
a
i
i

13. 8-13磁場 Magnetic field
8.3 載流導線在磁場中所受的力
學習目標
閱讀完這節，你應該能夠…
1. 在導線內部電流垂直外部磁場時，能夠描繪電流、
外部磁場及施於導線上的磁力方向
2. 在已知導線內電流、外加磁場的方向時候，能應用
右手定則找出導線所受磁力的方向。
3. 在載流導線放在外部磁場時，能夠藉由導線長度及
外部磁場的向量外積，計算出載流導線受力量值。
4. 嘗試在非長直導線或非均勻磁場下的，描述及計算
載流導線的磁力量值及方向。
載流導線在磁場中所受的力
Magnetic Force on Current-Carrying Wire
1.1825 年，安培發表的論文中記載：由於電流的磁效應使載流導
線周圍產生磁場，此磁場與外加磁場產生磁力的交互作用導
致金屬導線受力偏移。
圖 8-16 當電流方向改變時候，導線受力方向也不同
2.長度 L 導線，若帶有電流 i 在磁場 B 中，而電流與磁場方向相
互垂直，則會有受力量值為 F i L B  
3.用這個方法的條件是電流與磁場必須垂直，但若不是垂直呢？
這裡還可以用另一種向量的記法（外積）： F i L B  
 
圖 8-18 載流長直導線在磁場中的磁力方向是磁場、電流的外積
圖 8-17
受力的方向可以用安培右手掌定
則 Right-hand Rule (RHR)來決定
拇指方向為電流方向，四指（伸
直）為磁場方向，手掌方向為導
線的受力方向
Author: J.fmelero
圖 8-15 電流方向不相同時候，導
致導線偏移方向也不同
From,Halliday 普物

14. 8-14 磁場 Magnetic field
應用：兩載流平行長直導線受力 Magnetic Force Between Wires
1.1825 年安培研究發現兩導線之間的力量與下列相關：
0 1 2
2
i i L
F
r


 
 
說明：
先假設兩導線的電流為同方向（分別為 i1、i2），距離為 d，導
線長為 L，則導線 1 在導線 2 的位置產生了磁場大小為：
0 1
2
i
B
d



該磁場對導線 2 的作用力，運用安培定律可以得到：
0 1 0 1 2
2 1 2'
2 2
i i i
F i L B i L L
d d
 
 
  
      
 相反的討論，B 導線對 A 導線的施力大小也是相同，只是
方向都是吸引的，所以上式也滿足牛頓第三運動定律。
 若導線所帶的電流方向相反，則推論得到其間的作用力為
排斥力 。
2.結論：當兩條導線接通以電流時會產生相互排斥或吸引的作用
力
 這個作用力並不受金屬的 屏蔽作用 影響，
 事實上也證實兩導線雖然有電流通過，卻不代表本身會帶電
 這個作用力並非靜電的庫侖作用力磁力作用
例題4.：導線在均勻磁場中受力→純量形式
一導線長 0.020 m，質量 0.0060 kg，通以 100A 的電流，若置放於
與導線垂直的均勻磁場中，磁場 B＝0.30 T，則導線所受磁力及加
速度為何？
答：0.6N，100m/s2
類題：重量為 0.25 公斤重/公尺之導線東西向置於有效強度
2.0N/A-m，向北之磁場中，則其電流大小及方向為何方可使導線
"失重"？ (A)0.2A 向西 (B)0.5A 向東 (C)l.0A 向西(D)l.25A 向
東 (E)2.25A 向西。 答：D
範例 演練
圖 8-19 兩載流平行長直導
線的受力圖
補充說明：
前面第七章時介紹過電流的
單位為安培，卻沒有真正定
義安培，在這裡可以用上面
的公式來定義：兩載有相同
電流的平行長直導線，在真
空中相距 1 公尺，而導線上
每公尺所受的作用力為 2×
10-7 牛頓，則導線上的電流
稱為 1 安培。

15. 8-15磁場 Magnetic field
例題5.：平行導線的磁力
兩平行直導線，各載有 10 安培的電流，二電流方向相反。若兩導
線間單位長度有 1.0×10-4
牛頓的排斥力，則兩者間的距離應為何？
解：
類題：.有兩長平行導線，以 4cm 長之線從一共同軸下懸。兩導線
之質量為 50g/m，帶同量而反向之電流，如果懸線與垂線成 30°角，
則電流為若干？ (A)238 (B)23 (C)38 (D)328 (E)823 安培。
類題：右圖表示一載流 i1 的長直導線與一載流 i2 之長方形線圈的
長邊平行，則長直導線施以線圈之淨磁力大小為何？
答： 0
1 2
2 ( )
b
i i L
a a b


   

例題6.：任意形狀導線在均勻磁場中受力
如右圖，一段導線載有 I 之電流，所受磁力為多少？(半徑為 R)
答： 3IRB
i2i1
a b
L

16. 8-16 磁場 Magnetic field
類題：.導線 ACDE 置於垂直紙面的均勻磁場 B
中，導線上通有電流 i，AC、DE 為直導線， CD
為 1/4 圓弧，AC＝DE＝r，圓弧半徑亦為 r，如
圖所示，則導線 ACDE 所受之磁力量值為?答：
10irB
例題7.：帶電滑動軌道的處理
質量 m(kg) 之金屬線橫跨於水平面上之兩線相距 d 公尺，若強度
為 B 特士拉之磁場垂直向上，依如圖方向流入 i 安培之電流，則
不計摩擦力時，由靜止起第 t 秒的速度為若干 m/s？
(A)iBdt2
/m 向左 (B)idBt/m 向右 (C)idt/mB 向左 (D)idt/mB 向右。
※類題：右圖中 ab、cd 為平行導線相距 d，與水平夾角 θ，bc
段質量 m，可自由滑動，問靜止時鉛直向下之磁場 B 之強度為
何？
1.一長為 ，質量為 m 之均勻導線懸掛於一
均勻磁場 B(由紙前向紙後)內。設每條勾線
可耐住張力 T，則通過導線的電流大小應為
多少?方向為何?才恰可使懸線斷裂
2.a、b、c 三平行導線，載有相同方向、相同
大小之電流，相距 d 成一字排列如上方
右圖所示，則 (A) b 導線所受磁力方向
為向上 (B) a 導線所處磁場之磁場強度
為
d
I


4
3 0
(C)c 導線單位長度所受磁力
為
d
I


4
2
0
(D)a、c 兩導線間之磁力為斥
力 (E)a、b 兩導線間之磁力為斥力。
課後 練習題
B
i

17. 8-17磁場 Magnetic field
3.垂直紙面之四平行長直導線，分別穿過紙
面上邊長為 a 的正方形四頂點 A、B、C 及
D(如右圖)。導線上各通以電流 i。A、B 及
C 導線之電流方向穿入紙內，D 導線之電流
方向穿出紙外。求： (1)中心軸線上一點
P 其磁場之量值及方向。 (2)在 D 導線上單位長度所受磁力之
量值及方向
4.如右上圖，邊長為 0.50m 之正立方
體， 置於大小為 0.80T、方向向右的
均勻磁場中。立方體表面繞有曲折之
導線 abcde，若導線上電流為 0.30A，
則(1)ab (2)bc (3)cd 導線所受的磁力
為何?
5.有一導線彎成如圖所示，將其置於
垂直射出紙面的磁場 B 中，若導線
中之電流為 i，則此導線所受的磁力
為何?
6.載電流 i 的圓形導線，其上半圓與下半圓，跨於
磁場量值相同，但方向不同的兩個區域內，如右
圖所示。已知磁場為 B，則此線圈所受的磁力量
值為若干？
練習題答案
1. 

B
mgT

2
2.(B) 3. (1)


a
i02
， CD// (2)
a
i


4
23 2
0
，
BD// 4. (1)0.12N ad// (2)0.12N cd// (3)0.12N da// 5.
2iB( +R)↓ 6. 2RiB 7. (D)

18. 8-18 磁場 Magnetic field
電動機原理-導線在磁場中受力所產生的力矩
1.將一個矩形的線圈放置於固定磁場 B 中，線圈面積為 A
向量表示： i A B   
 
A 的方向為法線方向
力矩量值為 sini B A    
若線圈共繞總數 N 匝，則每匝都受到相同的力矩，總力矩
為： N i A B    
 
簡易證明：
 ef 段及 cd 段皆受力： F i B b  
 兩個力方向相反，對 O 點會產生相同方向（順時針）的力
矩，且力矩的大小皆為： sin
2
a
F 
 總和的力矩為： 2 sin sin
2
a
F i B a b          
 ab 為矩形的面積 A，所以上式可以改寫成：
sini B A    
2.公式的記法：
 力矩與 線圈匝數 、 線圈面積 、 電流 、 磁場
都成正比，
 最重要的是要判斷面積與磁場的 夾角 。
 也可以擴展到其他非規則性線圈，只要把 A 代入線圈的總面
積即可，這就可以利用到螺線管的題目上了。
說明：一任意形狀的線圈，可視為許多細小的長方形
構成，電流 i 可看成為許多細小長方形的導線圈組
成，每相鄰兩小圈的共同邊內的電流，方向相反，效
應互相抵消，故所有的小線圈的總效應和原來的線圈
相等。

19. 8-19磁場 Magnetic field
應用：直流電動機 Direct-Current (DC)Motor
1.作用：將電能轉換成力學能的裝置。
2.構造
 磁場鐵：產生磁場的裝置。可用永久磁鐵，亦可用電磁
鐵。
 電樞：可轉動的線圈，係繞在圓柱形鐵心上。
 整流子：使線圈轉動半周後電流方向自動反轉的裝置，為
二半圓形金屬，當線圈轉動時，兩環隨之轉動，經由電刷
交替與電源的正、負極連接。
3.原理
 電流流經導線 4 時所產生的力向下，流經導線 3 所產生的力
向上，使得矩形線圈作時針方向的旋轉，
 當轉過 1/4 週期後，由於電刷的作用使得導線上沒有電流通
過，此時線圈依靠慣性繼續逆時針旋轉
 當兩段導線互換位置後，電流卻又與原來方向相同，使線圈
繼續以順時針方向旋轉，於是線圈便一直旋轉下去，將電能
轉換為功而輸出。
電流計原理
1.構造：如圖所示，當電流流入匝數甚多之長方形線圈時，線圈
即繞一固定軸轉動。鐵心和外部永久磁鐵之空隙間有一輻射形
磁場，在此種磁場中，各點之強度幾為均勻不變。
圖 8-20 直流發電機

20. 8-20 磁場 Magnetic field
例題8.：載流線圈在磁場中所受的力矩
一長度為 0.1 m、寬度為 0.05 m 之矩形線圈，緊密纏繞 20 匝，置
於 0.5 T 的均勻磁場中，圈面與磁場方向夾角為 60?。當線圈通以
電流 0.1 A 時，此線圈瞬間所受力矩大小為何？
解：
答：2.510-3
(m-N)
類題：如圖長方形迴線中，ab＝6 ㎝，bc＝8 ㎝，線的質量是每長
1 厘米為 0.1 克，並以 ab 邊作一無摩擦的支樞，線中的電流是 10
安培，方向如圖所示。若欲使此迴線上擺至與 y－z 平面成 37°角
停止，問應加一與 y 軸平行的磁場其量值如何？指向如何？答：
1.7510-2
(T)，指向+y
例題9.：載流線圈在磁場中所受的力矩
如圖所示為一質量 m、半徑 r、長度 L 的圓柱木頭，其上有 N 匝
之線圈(圈面平行斜面)，將其放在斜角 θ 的斜面上，今將此裝置加
以鉛直向上之均勻磁場 B，若此圓柱恰不轉動、不移動，則其上之
電流大小 i 為______
答：
2
mg
i
NLB

範例 演練

21. 8-21磁場 Magnetic field
1.如圖所示，一長度為 0.25m、寬
度為 0.20m 之矩形線圈，緊密纏
繞 100 匝，置於 0.5T、方向向右
的均勻磁場中，圖面與磁場方向
夾角為 60o
。當線圈通以電流
0.4A 時，此線圈瞬間所受力矩大
小為何?
2.由二直線段和半徑 a、b 的二同心半圓構成的導線，載電流 i，
(1)由半圓 AED 部分導線在圓心 O
點產生的磁場為? (2)外加一垂直紙
面向內的磁場 B，則導線 AB 所受磁
力的量值為? (3)導線 BFC 所受磁力
的量值為? (4)整個導線 ABFCDEA
所受磁力的量值為? (5)若外加磁場 B 為平行紙面向上，則整個
導線所受力矩的量值為?
3.一長方形線圈長 15 公分，寬 10 公分，置於一強度為 0.5 特士
拉的均勻磁場中。如線圈的平面與磁場方向(1)垂直平行，(2)平
行時，則線圈所受的轉矩之量值各為若干?假設線圈的電流為
10 安培。
4.平面上有一長直導線與一個線圈，其上
的電流如右圖所示，則下列何者正確？
(A)線圈所受磁力為零 (B)線圈所受磁力
為
2
0
2
i L

(
1
r
-
1
r L
) (C)導線所受磁力為
零 (D)線圈的磁矩為 iL，垂直離開紙面
(E)線圈所受磁力矩為零。
5.載電流 i 的正方形線圈，擺在均勻
磁場內，如右圖所示。在圖中所示
的四個軸中（虛線所示），此線圈
可繞幾個軸轉動？
6.一柔軟的線圈接上交流電源後 (A)
會使線圈包圍面積增大 (B)會使線
圈包圍面積變小 (C)會使線圈包圍面積時而大、時
而小 (D)加入外來的磁場時，會使線圈包圍面積增
大 (E)加入外來的磁場時，會使線
圈包圍面積變小。
課後 練習題

22. 8-22 磁場 Magnetic field
7.傾斜角為 30°的斜面上，有一個質量為 m
的均勻圓柱體，該圓柱體的截面半徑為
R，長度為 L，如右圖所示（此圖為圓柱體
橫截面的側視圖）。今在圓柱體的表面上固
定一條載流線圈，且線圈面與光滑斜面平
行。已知在垂直於地面的方向施加一均勻磁場 B 時，恰可使圓
柱靜止不動，(1)外加磁場的方向為向上或是向下？(2)外加磁場
的量值為何？
練習題答案
1. 0.5 mN  2.(1)
R
I
4
0
(2)IB(a-b) (3)2Ibb (4)0 (5)
)(
2
1 22
baIB  3. (1)0 (2) 2
105.7 
 mN  4.(C)(E) 5.
2 6.(A) 7. (1)由上而下 (2)
iL
mg
2
科學故事：安德烈-馬里·安培（ANDRÉ-MARIE AMPÈRE，FRS）傳
奇
安培家境富裕，他父親因深受盧梭教育理論的影響，特別為他設立一個藏書
豐富的私人圖書館，所以他從小就博覽群書。
安培根據厄司特的發現的「電流的磁力效應」，對電磁作用的研究-安培定則、
電流的相互作用規律..等，結束早年大家對於電、磁分離的概念。
經典電動力學(古典電磁學)奠基人麥克斯韋對安培工作的評價很高，稱安培的
研究是「科學史上最輝煌的成就之一」。後人又稱安培是「電學中的牛頓」
參考資料
1. Wiki, http://en.wikipedia.org/wiki/
2. 邱韻如,前人的足跡,
3. 郭奕玲、沈慧君著：物理學演義，凡異出版社。

23. 8-23磁場 Magnetic field
8.4 帶電質點在磁場中的運動
學習目標
閱讀完這節，你應該能夠…
1. 在導線內部電流垂直外部磁場時，能夠描繪電流、
外部磁場及施於導線上的磁力方向
2. 在已知導線內電流、外加磁場的方向時候，能應用
右手定則找出導線所受磁力的方向。
3. 在載流導線放在外部磁場時，能夠藉由導線長度及
外部磁場的向量外積，計算出載流導線受力量值。
4. 嘗試在非長直導線或非均勻磁場下的，描述及計算
載流導線的磁力量值及方向。
帶電質點在磁場中的受力-洛仁茲力 Lorentz Force
1.在電子尚未發現之前，勞侖茲已經提出理論來解釋具有速率的
電荷，在磁場中的受力現象。
說明：帶電質點（電量 q）在磁場 B 中以速度 v 運動時，所受
到的力為： sinF q v B    
向量式： F q v B  
 
方向：依 右手開掌定則 或 右手螺旋定則 判定
圖 8-22 磁力的方向可依右手掌定則或右手螺旋定則判定
2.前面所討論的是載流導線在磁場中受力情形：
sinF i B    
3.現在要討論帶電質點在磁場中的運動情形：將上式作一個技巧
性的改變
sin sin sin
q
F i B l B q v B
t
             


4.將上式解釋為：帶電質點（電量為 q）在磁場 B 中以速度 v 運
動時，所受到的力為：
sinF q v B    
圖 8-21 亨德里克·安東·勞
侖茲（荷蘭語：Hendrik
Antoon Lorentz，1853 年 7
月 18 日－1928 年 2 月 4
日），荷蘭物理學家，曾與
彼得·塞曼共同獲得 1902
年諾貝爾物理學獎，並於
1881 年當選荷蘭皇家藝術
與科學學院院士，同時還
曾擔任多國科學院外籍院
士。wiki

24. 8-24 磁場 Magnetic field
帶電質點在均勻磁場中，常見的運動模式
1.帶電質點 做 直線運動
磁場方向始終與質點速度方向 平行
磁力=0  等速度運動
2.帶電質點在均勻磁場中作 等速率圓周運動
 磁場方向與質點速度方向 垂直
 若質點質量為 m，則作以下計算：
2
v
F qvB m
r
 
 迴旋半徑：
2 kmEmv
r
qB qB
 
 迴旋週期：
2 2r m
T
v qB
 
  、
 迴旋頻率：
1
2
qB
f
T m
 
3.帶電質點在均勻磁場中作 螺旋運動 Helical Motion
 質點之速度與磁場交一角度 θ：可將分為與磁場平行及垂直
之兩分量
 垂直磁場方向：受力為 sinF q v B     ，質點在這方向作
圓週運動
 平行磁場方向：受力為 0 ，質點在這方向做 直線運動
 綜合上述兩點：質點進行「螺旋運動」
在相同磁場下，任何帶電粒子的 相同的話，則運動週期與
頻率必然 相同 ，與速度無關
圖 8-23 帶電粒子在磁場，進行
等速率圓週運動

25. 8-25磁場 Magnetic field
 圓周半徑：
sinmv
r
qB


 週期：
2 2
sin
r m
T
v qB
 

 
 螺距(質點旋轉一週時，在平行磁場方向行進之距離)：
//
2 cosmv
d v T
qB
 
 
應用：速度選擇器
1.右圖中，當電量為 q(q＞0)的質點，以速度 v 水平射入均勻電
場 E 中，如不計重力作用時，靜電力會使質點向上偏
2.在平行板間再加入垂直離開紙面的均勻磁場 B 時(Z 軸)，則帶
電質點會同時受到磁力作用(方向向下)
靜磁力與靜電力達成力平衡，帶電質點將沿水平方向(即 x
軸)移動
qvB qE
質點的速度 v、電場 E 與磁場 B 的關係：
E
v
B

3.這樣的裝置可用於測量帶電粒子的速度，故稱為「速度選擇
器」。
x
y
q
+ + + ++ ++ + + + +
- - - - - - - - - - - -
x
y
q
+ + + ++ ++ + + + +
- - - - - - - - - - - -
圖 8-24 速度選擇器

26. 8-26 磁場 Magnetic field
應用：質譜儀 Mass Spectrometer
1.質譜儀是近代物理實驗中，用以分析帶電粒子種類的儀器，右
圖為該裝置的原理示意圖。
2
2.說明：
 當質量 m、電量 q 的質點，以速度 v 直線通過速度選擇器
時：
E
v
B

 質點進入均勻磁場 B'後，在磁場中作半徑 R 、速率 v 的等
速率圓周運動：
2
v
q v B m
R
   
測量離子的圓週運動的半徑 R，則可以求出離子質量
q B R q B B R
m
v E
    
 
3.離子電量、電性不同，則有不同圓週運動的軌跡與位置，可以
用來分析「離子的種類及相關性質」
應用：迴旋加速器 cyclotron
1.原理：利用磁場使運動中之帶電粒子迴轉，並利用電極間交錯
變換之正負電場，使粒子於迴轉中不斷地獲得能量
3
2
From: hyperphysics，我做適當修改
3
圖片來自大英百科全書

27. 8-27磁場 Magnetic field
例題10.：基礎題
若一電子以 6 6ˆ ˆ2.0 10 3.0 10v i j   

，進入一磁場 B = 0.03iˆ −
0.15 ˆj 內，(1)求出作用在此電子上的力和方向？(2)若對質子以相
同速度射入磁場，求其所受作用力和方向為何？
答：(1) 6.2×10−14
kˆ ；(2) − 6.2×10−14
kˆ
例題11.：帶電粒子在磁場中的運動週期
如下圖所示，在大區域的均勻磁場 B 中，一質量為 m、電量為-q
的電荷以大小為 v、方向與 ＋x 軸夾成 30 度角的速度，垂直於磁
場自原點 O 射出，則(1)經過多久時間此電荷首次通過 y 軸？(2)此
時其與原點之間的距離為何
答：
2 3
(1) (2)
m mv
qB qB

類題：一個質量 m、電量－e 的電子，進入一個均勻磁場 B 中，
恰好離開磁場時，運動方向與磁場邊緣夾 60°角，如附圖所示，則
電子穿越此均勻磁場的時間為多少？ 答：
3
m
eB
 
類題：電量為 q 的電荷自靜止經電位差 V 加速後，垂直射入均勻
的水平磁場 B 中，在射出磁場時，其運動方向與入射方向夾
30°，如圖示，測出其軌道半徑為 R。(1)求此電荷的質量。(2)求此
電荷在磁場中運動所經歷的時間。(3)在磁場所在的區域，另加一
均勻電場，使電荷進入後作直線運動，求此電場強度的大小及方
向各如何？答：
2 2 2
2
(1) (2) (3)
2 12
qB R BR V
V V R

範例 演練

28. 8-28 磁場 Magnetic field
例題12.：質譜儀
將質子與 α 粒子經相同電壓加速後垂直射入磁場中，求：(1)動能
比(2)動量比(3)速度比(4)旋轉半徑比(5)旋轉週期比各為若干？
答：(1)1: 2 (2) 2 :1 (3)1: 2 (4)1: 2
類題：電子以某一動能在與其運動方向垂直之均勻磁場中，以頻
率 f 作等速率圓周運動，若將電子的動能增為原來的 4 倍，則
運動頻率為 答：f 倍
1.在 x=0 至 x=d 之間有均勻磁場 B 朝 y 方向(垂直進入紙面)，一
質量為 m 的粒子，帶電荷 Q，以速度 v
由左方進入磁場區。此粒子剛進入磁場區
時，運動方向與 x 軸夾角為 θ，當粒子穿
過磁場區後，其運動方向與 x 軸的夾角也
為 θ，則(1)sinθ=? (2)在磁場中所經歷的時
間？(m，Q，B，d，v 表示)
2.兩粒子的電荷相等，但質量相差一倍，較
輕的粒子動能為 5000 電子伏特，另一粒子動能為 400 電子伏
特;今兩粒子分別在相同的均勻磁場中做圓周運動，較輕粒子的
軌道半徑與較重粒子的軌道半徑之比值約為?
3.如圖所示，yy'之兩側有強度 B 及 2B 之兩
個均勻磁場，將質量 m 及電量 q 之帶電
粒子，自二磁場之交界線上 A 點以速度 v
進入右方磁場迴轉半週後，又進入左方磁
場後再迴轉半週時恰過 D 點，則(1)A、D
二點之間的距離為何?(2)又帶電粒子通過
D 點時的速率為何?
4.將一質子及 α 粒子，以相同速率及方
向，分別射入相同之均勻磁場中。由於入射速度不與磁場方向
垂直，因此質子及 α 粒子均做螺線形運動。設質子及 α 粒子所
課後 練習題

29. 8-29磁場 Magnetic field
做螺線運動之螺距分別為 d1 及 d2，則 d1/d2 之值為?
5.如右圖所示，一長直的絕緣細棒沿鉛直方向固
定放置；在一質量為 m、帶正電荷 q 的小球的
直徑上穿孔，使其可以套在細棒上滑動；整個
系統置於均勻、不變、沿水平方向的電磁場
中，電場 E

向右，磁場 B

垂直進入紙面。假如
小球與細棒的動摩擦係數為  ，且電場的量
值、靜摩擦係數以及  都夠小，可以讓小球沿細棒由靜止起向
下滑，試求 (1)所有施於小球的力（包括量值及方向）。 (2)小
球的最大加速度。 (3)小球的最大速度。
6.一粒子質量 m，帶電荷 q，以速度 v 進入均勻磁場 B 和均勻電
場 E 的交叉區內，同時受電力及磁力的作用而保持等速度運
動，則下列何者正確? (A) v 與 B 必定互相垂直 (B) E 與 B
必定互相垂直 (C)如將電荷加倍，其他不變，則粒子仍能維持
等速度運動 (D)如將電場與磁場同時加倍，其他不變，則粒子
仍能維持等速度運動 (E)如粒子由交叉區另一端，以-v 的速度
進入，其他不變，則粒子也能維持等速度運動。
7.右圖為「迴旋加速器」的示意圖。當質
量 m、電量－e 的電子，由中心 O 垂直
射入磁場 B 中（只分布於兩個半圓區域
內），在磁場中作圓運動。當電子通過兩
半圓間的空隙帶時，會受到電場作用而
加速，則 (1)此圖中的磁場方向為何？
(2)交流電源的頻率為何值時，才能使電子持續加速？
8.一個射入均勻磁場的電子，速度垂直於磁場方向，在磁場中作
圓周運動，半徑為 R。入射的動能增為原來動能的 9 倍，以原
來的方向進入磁場，其圓周運動的半
徑為多少？
9.有 5 種粒子以相同之速度垂直進入均
勻磁場 B，其軌跡如圖所示。設此 5
種粒子為：碳原子(12
C)，氧離子
(16
O2－
)，鈉離子(23
Na
＋
)，鎂離子
(24
Mg2＋
)及氯離子(35
Cl
－
)。若不考慮重
力因素，則圖中 1、2、3、4 及 5 之
示意軌跡分別代表何種粒子？
10. 如圖所示，一束帶電荷＋q 的正離
子受到電位差 V 加速後，進入一相互
垂直的電場及磁場中，電場為均勻向
下，磁場則為均勻射入紙面。如正離子通過電磁場後有點向下
偏斜，欲使正離子沿水平方向筆直通過電磁場，則下列作法何

30. 8-30 磁場 Magnetic field
者正確？ (A)適當的減小磁場的量值 (B)適當的減小電場的量
值 (C)適當的增大加速電壓 V 的量值 (D)適當增強電場同時減
小加速電壓 V 的量值 (E)適當的將電場及磁場的量值等比例增
大。
11. 將兩個相同的帶電粒子以相同的初速，分別射入兩均勻磁場
中，作圓周運動。設甲粒子進入之磁場量值為 B，乙粒子進入
之磁場量值為 2B，則下列敘述何者為正確？ (A)乙粒子所受磁
力的量值為甲粒子所受磁力量值的兩倍 (B)乙粒子的動能為甲
粒子動能的兩倍 (C)乙粒子的迴旋頻率為甲粒子迴旋頻率的兩
倍 (D)乙粒子的軌道半徑為甲粒子軌道半徑的兩倍 (E)乙粒子
對其軌道中心的角動量量值為甲粒子對其軌道中心角動量量值
的兩倍。
12. 一電子槍將電子（質量 m，電量-
e）加速為動能 K 後，垂直射向一面
積為無限大之絕緣平板，槍口與絕緣
平板之距離為 d。如果想避免電子打
到絕緣平板，可在電子經過區域如一
均勻磁場，則 (1)該此磁場的量值至少應大於多少？ (2)承問題
(1)，電子在磁場中運動的時間為何？
13. 有甲、乙兩質點，其質量比為 1：2、電量比為 1：2，以相
同的速率，垂直射入均勻磁場 B 中，則其半徑比為若干？
14. 質量為 m，荷電量為 e 之電子以 p 之動量進入均勻磁場
B 內，其速度與 B 成 53°時路徑將為螺旋線，若軸在 B 之
方向，則(1)螺旋線半徑 r；(2)螺旋線之螺距；(3)t 秒內電子
所經路徑長。
練習題答案
1.
mv
QBd
2
2.
2
5
3.(1)
qB
mv3
(2)v 4.
2
1
5. (1)重力mg(↓)、電力
qE(→)、磁力qvB(→)、正向力N(＝qE＋qvB)(←)、摩擦力
(qE＋qvB)(↑) (2)g-
qE
m

(3)
mg
qB
-
E
B
6.BCD 7. (1)垂直離開
紙面 (2)
2
eB
m
8.3R 9. 23
Na
＋
，24
Mg2＋
，12
C，16
O2－
及35
Cl
－
10.BC 11.AC 12.(1)
2mK
ed
(2)
m
eB

13. 1：1 14.
4 6
(1) (2) (3)
5 5
p p pt
eB eB m


31. 8-31磁場 Magnetic field
勵志集：面對失敗–歐普拉
全美收視率最高的電視主持人，紅遍全球的歐普拉，是個大學都
沒唸畢業的黑人女性。她在受邀到史丹佛大學畢業典禮的演講，
分享了她剛進電視圈被嫌棄，甚至差點被開除的失敗經歷。但她
卻因為這個失敗找到自己真正想走的路，他說「整個世界就像個
大教室，等著我們一個學分、一個學分去學習，有時必須重修、
補考，甚至被當掉了。我的祕訣是，毫不遲疑的打開試卷，用真
正的我去面對，從中學到自我改進，追求更深層次的理解、被理
解，與成長。」