-persamaan linier MATEMATIKA KELAS 12 SMA

2. PENGERTIAN GRADIEN
 Gradien adalah suatu
bilangan yang
menyatakan kemiringan
suatu garis.
 Jika Gradien Positif ,
maka garisnya miring ke
kanan dan bila Gradien
Negatif , maka garisnya
miring ke kiri.
 Gradien suatu garis
tergantung kepada
persamaan garis atau
gambar garis tersebut.

3. Garis dan Gradien
 Garis dengan persamaan ax+by = c
gradien m=
 Garis dengan persamaan y = ax + c gradien m = a
 Garis dengan persamaan y-y1 = p (x-x1) gradien m = p
 Garis dengan persamaan
gradien m =
b
a

12
12
1
1
xx
yy
xx
yy





12
12
xx
yy



4. Catatan :
Dua buah garis K dan L dengan gradien masing-masing m1
dan m2, memiliki sifat :
 Jika K sejajar L, maka : m1=m2
 Jika K tegak lurus L, maka : m1.m2 = -1

5. MENENTUKAN NILAI GRADIEN
SUATU GARIS LURUS
(i). Menurut Persamaannya
Contoh 1 :
Tentukanlah Gradien Garis jika persamaannya:
a. y = 3x + 1 b. y = 3x – 1
c. 2y = 8x d. ½y = -4x – 1
Jawab :
a. Gradien = m = 3
b. Gradien = m = 3
c. Gradien = m = 8/2 = 4
d. Gradien = m = -4 : ½
= -8

6. Contoh 2 :
Tentukan gradien garis jika persamaannya :
a. 5x + 2y = 8 b. y – 7x = 4 c. 4x – 3y + 2 = 0
Jawab :
Cara I : Dengan merubah bentuk persamaannya
a. 5x + 2y = 8
 2y = 8 – 5x
 2y = -5x + 8
 y = -21/2x + 4
Maka Gradien = m = -21/2
b. y – 7x = 4
 y = 4 + 7x
 y = 7x + 4
Maka Gradien = 7
c. 4x – 3y + 2 = 0
 -3y = -4x – 2
 y = 4/3x – 2/3
Maka Gradien = m = 4/3

7. Cara II : Menggunakan Rumus
a. 5x + 2y = 8
a = 5 , b = 2
Gradien = m = - a/b
= - 5/2
= -21/2
b. y – 7x = 4
-7x + y = 4
a = -7 , b = 1
Gradien = m = - a/b
= - (-7)/1
= 7
c. 4x – 3y + 2 = 0
a = 4 , b = -3
Gradien = m = - a/b
= - 4/-3
= 4/3

8. (ii). Menentukan Gradien Garis Lurus dari Grafiknya
Bila persamaan suatu garis :
y = 2x – 6 ,
maka grafiknya adalah seperti
gambar di kanan ini
Gradien garis itu = m = 2
Gradien menurut Grafik :
Kita tentukan 2 titik sembarang
pada garis tersebut , misalnya titik
A dan B , lalu dikanan A , tepat
dibawah B kita buat titik C.
Maka Panjang AC = 3 = Komponen x
dan panjang CB = 6 = komponen y
Jadi Gradiennya adalah :
m =
X
0 3
(0,-6)
(3,0)
Y
-6
3
6
A
B
C
6
3 = 2

9. Untuk Menentukan Gradien Suatu Garis yang grafiknya
diketahui adalah : Gradien = m =
Contoh 1 :
Perhatikan gambar dikanan ini!
Tentukan gradien masing-
masing garis tersebut!
Jawab :
mg = 4/1 = 4
ml = 5/-2 = -21/2
Mk = 2,5/-1 = -21/2
g
l k
x
y
1
4
-2
5
Komponen y
Komponen x
0
Dua garis sejajar
selalu mempunyai
gradien yang sama.

10. Contoh 2 :
a. Tentukanlah Gradien masing-masing garis dibawah ini!
b. Tentukan hasil dari : mPQ x mRS !
Jawab :
a. (i). mAB =
(ii). mCD =
(iii). mKL =
(iv). mMN =
(v). mPQ =
(vi). mRS =
b. mPQ x mRS =
= -1
A B
C D
K
L
M
N
P
Q
R
S
-2
3
3
2
2
3
3
-2 = - 3
2
3
2
x (- )2
3
0
4 = 0
0
7 = 0
5
0 = ~
3
0 = ~

11. Catatan :
 Gradien suatu garis tidak dipengaruhi oleh
panjang garis tersebut tetapi tergantung
kepada kemiringannya
 Setiap Garis yang Mendatar (Horizontal)
Gradiennya selalu 0 (nol).
 Setiap Garis yang Vertikal Gradiennya tidak
terdefinisikan.
 Jika Dua Garis Saling Tegak Lurus , maka Hasil
Kali Gradien Kedua garis itu selalu = -1

12. Jika suatu garis melalui titik (x1,y1) dan (x2,y2) , maka
Gradien garis itu dapat ditentukan dengan cara :
Gradien = m =
y2 – y1
x2 – x1

13. (iii). Menentukan persamaan garis
Contoh 1 :
Diketahui suatu garis dengan gradien = 2 dan melalui titik (0,4).
Tentukanlah persamaan garis itu!
Jawab :
Misalkan persamaan itu :
y = mx + c → Gradien = m dan berpotongan dengan sb y
di titik (0,c)
Gradien = m = 2 dan melalui titik (0,4)
Maka persamaangaris itu adalah :
y = 2x + 4

14. Jika suatu garis melalui titik (x1 ,y1) dan gradien = m ,
maka persamaan garis itu dapat dientukan dengan
rumus :
y – y1 = m(x – x1)
Contoh 2 :
Tentukanlah Persamaan garis yang melalui titik (2,1)
dan (3,5)!

15. Jawaban Contoh 2 :
Garis melalui titik (2,1) dan (3,5)
Maka : x1 = 2 , y1 = 1
x2 = 3 , y2 = 5
Gradien = m =
=
m = 4
y – y1 = m(x – x1)
y – 1 = 4(x – 2)
y – 1 = 4x – 8
y = 4x – 7
y2 – y1
x2 – x1
5 – 1
3 – 2
Jadi persamaan garis itu
Adalah :
y = 4x – 7

16. Contoh 3 :
Tentukanlah persamaan garis yang grafiknya dibawah ini!
Jawab :
Misalkan garis itu : y = mx + c
Garis melalui titik (0,6) , maka c = 6
Gradien = m = - 3/2
Maka persamaan garis itu adalah :
y = - 3/2x + 6 atau 2y = -3x + 12
Cara lain adalah :
X
y
-2 -1 1 2 4 530
2
1
3
4
5
6
7
-2
-1
6x + = 244y
↔ 3x + 2y = 12