Dokumen tersebut membahas tentang determinan matriks, yang meliputi fungsi determinan, cara menghitung determinan dengan menggunakan kofaktor dan invers matriks, serta sifat-sifat fungsi determinan seperti hubungan antara determinan matriks dengan keberadaan inversnya.
Dokumen tersebut membahas tentang sifat-sifat determinan matriks. Beberapa sifat penting yang dijelaskan adalah nilai determinan bernilai nol jika terdapat baris atau kolom yang berisi semua nol, nilai determinan tidak berubah jika baris dan kolom dipertukarkan, dan determinan hasil kali matriks sama dengan hasil kali determinan masing-masing matriks. Diberikan juga contoh soal untuk menghitung nilai determinan beber
Matriks eselon dan matriks eselon tereduksi merupakan bentuk matriks khusus yang memenuhi syarat-syarat tertentu, dimana matriks eselon tereduksi merupakan bentuk lebih sederhana dari matriks eselon. Eliminasi Gauss dan Gauss-Jordan merupakan metode untuk mengoperasikan matriks menjadi bentuk eselon atau eselon tereduksi sehingga dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan linear.
Dokumen tersebut membahas tentang ekspansi kofaktor dan aturan Cramer untuk menyelesaikan sistem persamaan linier. Definisi ekspansi kofaktor menjelaskan cara menghitung determinan matriks dengan mengalikan entri baris/kolom dengan kofaktornya. Aturan Cramer menyatakan bahwa solusi sistem persamaan linier dengan determinan matriks tidak nol adalah rasio antara determinan matriks dan determinan matriks yang kolomnya diganti dengan vektor
Dokumen tersebut membahas berbagai metode pembuktian dalam matematika seperti pembuktian langsung, tidak langsung, kontradiksi, contoh penyangkal, dan induksi yang dapat digunakan untuk menyelesaikan soal-soal olimpiade sains nasional dan internasional. Metode-metode tersebut dijelaskan dengan contoh-contoh soal beserta pembahasannya.
Dokumen tersebut membahas relasi rekurensi, yang merupakan persamaan yang menghubungkan suatu fungsi numerik dengan dirinya sendiri atau fungsi sebelumnya. Relasi rekurensi dapat berupa linier atau non-linier, homogen atau non-homogen, dan metode penyelesaiannya bergantung pada akar karakteristik dari persamaan terkait. Contoh relasi rekurensi dan cara penyelesaiannya juga diberikan.
Dokumen tersebut memberikan penjelasan tentang ruang vektor umum, ruang bagian, dan beberapa contohnya. Ruang vektor didefinisikan sebagai himpunan dengan operasi penjumlahan vektor dan perkalian skalar yang memenuhi 10 sifat tertentu. Ruang bagian adalah ruang vektor yang merupakan bagian dari ruang vektor lain dengan operasi yang sama.
Dokumen tersebut membahas tentang sifat-sifat determinan matriks. Beberapa sifat penting yang dijelaskan adalah nilai determinan bernilai nol jika terdapat baris atau kolom yang berisi semua nol, nilai determinan tidak berubah jika baris dan kolom dipertukarkan, dan determinan hasil kali matriks sama dengan hasil kali determinan masing-masing matriks. Diberikan juga contoh soal untuk menghitung nilai determinan beber
Matriks eselon dan matriks eselon tereduksi merupakan bentuk matriks khusus yang memenuhi syarat-syarat tertentu, dimana matriks eselon tereduksi merupakan bentuk lebih sederhana dari matriks eselon. Eliminasi Gauss dan Gauss-Jordan merupakan metode untuk mengoperasikan matriks menjadi bentuk eselon atau eselon tereduksi sehingga dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan linear.
Dokumen tersebut membahas tentang ekspansi kofaktor dan aturan Cramer untuk menyelesaikan sistem persamaan linier. Definisi ekspansi kofaktor menjelaskan cara menghitung determinan matriks dengan mengalikan entri baris/kolom dengan kofaktornya. Aturan Cramer menyatakan bahwa solusi sistem persamaan linier dengan determinan matriks tidak nol adalah rasio antara determinan matriks dan determinan matriks yang kolomnya diganti dengan vektor
Dokumen tersebut membahas berbagai metode pembuktian dalam matematika seperti pembuktian langsung, tidak langsung, kontradiksi, contoh penyangkal, dan induksi yang dapat digunakan untuk menyelesaikan soal-soal olimpiade sains nasional dan internasional. Metode-metode tersebut dijelaskan dengan contoh-contoh soal beserta pembahasannya.
Dokumen tersebut membahas relasi rekurensi, yang merupakan persamaan yang menghubungkan suatu fungsi numerik dengan dirinya sendiri atau fungsi sebelumnya. Relasi rekurensi dapat berupa linier atau non-linier, homogen atau non-homogen, dan metode penyelesaiannya bergantung pada akar karakteristik dari persamaan terkait. Contoh relasi rekurensi dan cara penyelesaiannya juga diberikan.
Dokumen tersebut memberikan penjelasan tentang ruang vektor umum, ruang bagian, dan beberapa contohnya. Ruang vektor didefinisikan sebagai himpunan dengan operasi penjumlahan vektor dan perkalian skalar yang memenuhi 10 sifat tertentu. Ruang bagian adalah ruang vektor yang merupakan bagian dari ruang vektor lain dengan operasi yang sama.
Makalah ini membahas tentang Aljabar Linear Elementer yang merupakan rangkuman dari buku karya Howard Anton. Makalah ini terdiri dari bab pendahuluan, sistem persamaan linear dan matriks, determinan, dan penutup. Pembahasan mencakup konsep dasar sistem persamaan linear, eliminasi Gauss, matriks dan operasi matriks, serta determinan.
Determinan Matriks ( Aljabar Linear Elementer )Kelinci Coklat
Dokumen tersebut membahas tentang materi Aljabar Linear Elementer yang terdiri dari 8 bab yang mencakup operasi matriks, determinan matriks, sistem persamaan linear, vektor, ruang vektor, transformasi linear, ruang eigen. Dokumen selanjutnya lebih spesifik membahas tentang determinan matriks, permutasi, definisi determinan, dan cara menghitung determinan dengan operasi baris elemen dan ekspansi kofaktor.
Makalah ini membahas tentang pencerminan (refleksi) pada bidang datar. Definisi pencerminan dijelaskan sebagai fungsi yang memetakan titik ke titik lain sehingga membentuk sudut yang sama dengan sumbu refleksi. Sifat-sifat pencerminan seperti surjektif, injektif, dan melestarikan jarak juga dibuktikan sehingga pencerminan merupakan transformasi isometri. Contoh soal pencerminan juga diberikan unt
Dokumen tersebut membahas beberapa metode untuk menentukan akar persamaan non linier, yaitu metode tabel, biseksi, regula falsi, iterasi sederhana, Newton-Raphson, dan secant. Metode-metode tersebut dibedakan berdasarkan pendekatan yang digunakan, yakni metode tertutup dan terbuka. [/ringkasan]
Menyederhanakan fungsi boolean dengan menggunakan metode quin1BAIDILAH Baidilah
Dokumen tersebut membahas tentang metode Quine-McCluskey untuk menyederhanakan fungsi Boolean. Metode ini lebih tepat digunakan untuk fungsi Boolean dengan jumlah variabel lebih dari empat karena metode aljabar dan peta Karnaugh sulit menyederhanakannya. Metode Quine-McCluskey melibatkan dua langkah yaitu menentukan prime implicant dan memilih prime implicant inti untuk mendapatkan hasil penyederhanaan.
Dokumen tersebut membahas tentang transformasi linear dari satu himpunan ke himpunan lain. Secara singkat, dibahas mengenai definisi fungsi dan transformasi linear, jenis-jenis transformasi linear seperti rotasi, refleksi, ekspansi, dan komposisi dari beberapa transformasi linear. Representasi geometris dan matriks standar dari berbagai transformasi linear pun dijelaskan.
Dokumen tersebut merupakan catatan kuliah tentang Teori Bilangan (MX 127) yang mencakup beberapa bab seperti aksioma dasar bilangan bulat, bukti dengan induksi, keterbagian, kongruensi, faktorisasi, algoritma Euclid, dan fungsi-fungsi bilangan teoritik."
Modul ini membahas persamaan Diophantine linier dan non linier. Persamaan Diophantine linier dapat diselesaikan dengan cara biasa, reduksi, dan kongruensi. Metode penyelesaian persamaan Diophantine non linier meliputi triple Pythagoras dan bilangan jumlah kuadrat. [/ringkuman]
Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan operasi baris elementerAna Sugiyarti
Dokumen tersebut menjelaskan tentang penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode Operasi Baris Elementer (OBE) yang meliputi Metode Gauss dan Metode Gauss-Jordan. Kedua metode tersebut mengubah matriks keseluruhan sistem persamaan linear menjadi bentuk eselon dengan menggunakan aturan-aturan OBE.
Aturan Cramer digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan menentukan nilai-nilai variabelnya berdasarkan penentuan determinan. Aturan ini diterapkan pada sistem persamaan linear dua variabel maupun tiga variabel dengan menghitung nilai variabel x, y, atau z secara berurutan melalui penentuan determinan matriks koefisien dan konstanta yang sesuai.
Makalah ini membahas tentang Aljabar Linear Elementer yang merupakan rangkuman dari buku karya Howard Anton. Makalah ini terdiri dari bab pendahuluan, sistem persamaan linear dan matriks, determinan, dan penutup. Pembahasan mencakup konsep dasar sistem persamaan linear, eliminasi Gauss, matriks dan operasi matriks, serta determinan.
Determinan Matriks ( Aljabar Linear Elementer )Kelinci Coklat
Dokumen tersebut membahas tentang materi Aljabar Linear Elementer yang terdiri dari 8 bab yang mencakup operasi matriks, determinan matriks, sistem persamaan linear, vektor, ruang vektor, transformasi linear, ruang eigen. Dokumen selanjutnya lebih spesifik membahas tentang determinan matriks, permutasi, definisi determinan, dan cara menghitung determinan dengan operasi baris elemen dan ekspansi kofaktor.
Makalah ini membahas tentang pencerminan (refleksi) pada bidang datar. Definisi pencerminan dijelaskan sebagai fungsi yang memetakan titik ke titik lain sehingga membentuk sudut yang sama dengan sumbu refleksi. Sifat-sifat pencerminan seperti surjektif, injektif, dan melestarikan jarak juga dibuktikan sehingga pencerminan merupakan transformasi isometri. Contoh soal pencerminan juga diberikan unt
Dokumen tersebut membahas beberapa metode untuk menentukan akar persamaan non linier, yaitu metode tabel, biseksi, regula falsi, iterasi sederhana, Newton-Raphson, dan secant. Metode-metode tersebut dibedakan berdasarkan pendekatan yang digunakan, yakni metode tertutup dan terbuka. [/ringkasan]
Menyederhanakan fungsi boolean dengan menggunakan metode quin1BAIDILAH Baidilah
Dokumen tersebut membahas tentang metode Quine-McCluskey untuk menyederhanakan fungsi Boolean. Metode ini lebih tepat digunakan untuk fungsi Boolean dengan jumlah variabel lebih dari empat karena metode aljabar dan peta Karnaugh sulit menyederhanakannya. Metode Quine-McCluskey melibatkan dua langkah yaitu menentukan prime implicant dan memilih prime implicant inti untuk mendapatkan hasil penyederhanaan.
Dokumen tersebut membahas tentang transformasi linear dari satu himpunan ke himpunan lain. Secara singkat, dibahas mengenai definisi fungsi dan transformasi linear, jenis-jenis transformasi linear seperti rotasi, refleksi, ekspansi, dan komposisi dari beberapa transformasi linear. Representasi geometris dan matriks standar dari berbagai transformasi linear pun dijelaskan.
Dokumen tersebut merupakan catatan kuliah tentang Teori Bilangan (MX 127) yang mencakup beberapa bab seperti aksioma dasar bilangan bulat, bukti dengan induksi, keterbagian, kongruensi, faktorisasi, algoritma Euclid, dan fungsi-fungsi bilangan teoritik."
Modul ini membahas persamaan Diophantine linier dan non linier. Persamaan Diophantine linier dapat diselesaikan dengan cara biasa, reduksi, dan kongruensi. Metode penyelesaian persamaan Diophantine non linier meliputi triple Pythagoras dan bilangan jumlah kuadrat. [/ringkuman]
Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan operasi baris elementerAna Sugiyarti
Dokumen tersebut menjelaskan tentang penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode Operasi Baris Elementer (OBE) yang meliputi Metode Gauss dan Metode Gauss-Jordan. Kedua metode tersebut mengubah matriks keseluruhan sistem persamaan linear menjadi bentuk eselon dengan menggunakan aturan-aturan OBE.
Aturan Cramer digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan menentukan nilai-nilai variabelnya berdasarkan penentuan determinan. Aturan ini diterapkan pada sistem persamaan linear dua variabel maupun tiga variabel dengan menghitung nilai variabel x, y, atau z secara berurutan melalui penentuan determinan matriks koefisien dan konstanta yang sesuai.
Dokumen tersebut membahas tentang integral fungsi rasional. Secara singkat, dibahas bahwa untuk menghitung integral fungsi rasional yang sebenarnya, fungsi tersebut harus diubah menjadi bentuk pecahan sederhana terlebih dahulu, dengan mempertimbangkan bentuk penyebutnya. Kemudian diberikan contoh perhitungan integral fungsi rasional tertentu beserta penjelasan langkah-langkah penyelesaiannya.
Makalah ini membahas cara mengintegralkan fungsi rasional dengan menggunakan metode pecahan parsial. Metode ini melibatkan pembagian fungsi rasional menjadi jumlah pecahan yang lebih sederhana dengan menyamakan penyebut. Terdapat empat kasus yang dijelaskan tergantung pada bentuk faktorisasi penyebut polinom.
Dokumen tersebut membahas tentang pengertian matriks, jenis-jenis matriks, operasi-operasi aljabar pada matriks seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian matriks dengan skalar dan perkalian matriks, serta penyelesaian persamaan linier menggunakan matriks dan determinan matriks.
Materi bab 2 terdiri dari persamaan linear dua variabel dan tiga variabel, cara menyesaikan sistem persamaan linear metode substitusi, eliminasi, dan grafik, serta aplikasi persamaan linear.
Materi bab 3 terdiri dari pengertian matriks, operasi matriks, minor, kofaktor, adjoin, determinan, invers, serta cara menyelesaikan sistem persamaan linear dengan matriks.
Sistem persamaan linear dapat ditulis dalam bentuk matriks A x = b, dimana A adalah matriks koefisien, x adalah vektor variabel tidak diketahui, dan b adalah vektor konstanta. Penyelesaian sistem persamaan linear meliputi metode eliminasi Gauss, eliminasi Gauss-Jordan, dan aturan Cramer. Determinan digunakan untuk menentukan apakah suatu matriks dapat diinverskan.
Teks tersebut membahas tentang matriks dan determinan. Matriks didefinisikan sebagai susunan bilangan berbentuk persegi yang terdiri atas baris dan kolom, sedangkan determinan adalah nilai karakteristik suatu matriks bujur sangkar. Determinan diperlukan untuk menentukan apakah suatu matriks singular atau tidak.
Aljabar linear mempelajari sistem persamaan linear, vektor, dan transformasi linear. Metode penting dalam aljabar linear antara lain penyelesaian persamaan linear menggunakan matriks, operasi matriks seperti penjumlahan dan perkalian matriks, konsep balikan matriks, dan konsep vektor dalam ruang Euklide.
Dokumen tersebut membahas tentang transpose matriks dan determinan matriks. Transpose matriks adalah matriks yang diperoleh dengan menukar posisi baris dan kolom pada suatu matriks. Sedangkan determinan matriks adalah nilai yang diperoleh dari matriks kuadrat dengan menghitung elemen-elemennya berdasarkan aturan tertentu. Dokumen ini juga menjelaskan sifat-sifat dan cara menghitung transpose serta determinan pada matriks berukuran 2x
Dokumen tersebut membahas tentang matriks dan determinan. Matriks adalah susunan bilangan berbentuk persegi yang terdiri atas baris dan kolom, sedangkan determinan adalah nilai karakteristik untuk setiap matriks bujur sangkar. Dokumen ini juga menjelaskan beberapa operasi pada matriks seperti penjumlahan, perkalian, dan transposisi serta beberapa jenis matriks khusus seperti matriks diagonal dan matriks satuan.
Matriks adalah jajaran bilangan berbentuk persegi panjang yang terdiri dari baris dan kolom. Terdapat beberapa jenis matriks seperti matriks bujur sangkar, matriks segitiga, matriks skalar, dan matriks identitas. Operasi aljabar pada matriks meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian matriks dengan bilangan, dan perkalian matriks. Determinan matriks digunakan untuk menentukan sifat-sifat matriks
Dokumen tersebut membahas tentang pengertian matriks, notasi matriks, ordo matriks, beberapa jenis matriks khusus, operasi-operasi dasar matriks seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian bilangan real dengan matriks, perkalian dua matriks, dan pengertian determinan matriks.
1. Dokumen tersebut membahas tentang matriks dan determinan.
2. Matriks adalah susunan bilangan berbentuk persegi yang terdiri atas baris dan kolom.
3. Determinan merupakan nilai karakteristik untuk setiap matriks bujur sangkar.
Matriks adalah susunan berbentuk persegi panjang dari elemen-elemen yang diatur berdasarkan baris dan kolom. Bab ini membahas pengertian matriks, operasi matriks seperti penjumlahan, pengurangan, dan perkalian matriks, serta konsep determinan dan invers matriks. Sistem persamaan linier dapat didefinisikan menggunakan notasi matriks.
Matriks adalah susunan elemen-elemen dalam bentuk baris dan kolom. Terdapat beberapa jenis matriks seperti matriks diagonal, matriks identitas, matriks segitiga atas/bawah, matriks transpose, matriks simetris, dan matriks nol-satu. Dua buah matriks dapat dijumlahkan dan dikalikan jika ukurannya sama, dengan memperhatikan sifat-sifat operasi matriks. Matriks juga dapat d
Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Terdapat beberapa jenis matriks seperti matriks bujur sangkar, matriks diagonal, dan matriks identitas. Operasi yang dapat dilakukan pada matriks antara lain penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar, dan perkalian matriks.
Modul 01 Modul1 Matriks dan Operasinya-1 (1).pdfAdamGaul
Silabus mata kuliah Aljabar Linier mencakup bab-bab tentang matriks dan operasinya, determinan matriks, sistem persamaan linear, vektor di bidang dan ruang, ruang vektor, ruang hasil kali dalam, dan transformasi linear. Referensi utama meliputi buku-buku tentang aljabar linier dan matematika lanjutan.
Matriks adalah susunan angka atau bilangan yang berbentuk empat persegi. Matriks memiliki baris dan kolom, serta elemen yang posisinya ditentukan oleh baris dan kolom. Terdapat berbagai jenis matriks seperti matriks persegi, diagonal, identitas, dan lainnya. Operasi pada matriks meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian bilangan real dengan matriks, serta perkalian antar matriks.
Matriks adalah susunan angka atau bilangan yang berbentuk empat persegi. Matriks memiliki baris dan kolom, serta elemen yang posisinya ditentukan oleh baris dan kolom. Terdapat berbagai jenis matriks seperti matriks persegi, diagonal, identitas, dan lainnya. Operasi pada matriks meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian bilangan real dengan matriks, serta perkalian antar matriks.
Matriks adalah susunan angka atau bilangan yang berbentuk empat persegi. Matriks memiliki baris dan kolom, serta elemen yang posisinya ditentukan oleh baris dan kolom. Terdapat berbagai jenis matriks seperti matriks persegi, diagonal, identitas, dan lainnya. Operasi pada matriks meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian bilangan real dengan matriks, serta perkalian antar matriks.
Determinan matriks dapat diperoleh dengan mendekomposisikan matriks menjadi matriks segitiga bawah dan atas. Metode Doolittle adalah salah satu cara untuk melakukan dekomposisi tersebut dengan elemen diagonal matriks atas bernilai 1. Determinan diperoleh dari perkalian elemen diagonal matriks hasil dekomposisi. Makalah ini membahas cara menentukan determinan matriks dengan menggunakan metode Doolittle.
Workshop "CSR & Community Development (ISO 26000)"_di BALI, 26-28 Juni 2024Kanaidi ken
Dlm wktu dekat, Pelatihan/WORKSHOP ”CSR/TJSL & Community Development (ISO 26000)” akn diselenggarakan di Swiss-BelHotel – BALI (26-28 Juni 2024)...
Dgn materi yg mupuni & Narasumber yg kompeten...akn banyak manfaat dan keuntungan yg didpt mengikuti Pelatihan menarik ini.
Boleh jga info ini👆 utk dishare_kan lgi kpda tmn2 lain/sanak keluarga yg sekiranya membutuhkan training tsb.
Smga Bermanfaat
Thanks Ken Kanaidi
Universitas Negeri Jakarta banyak melahirkan tokoh pendidikan yang memiliki pengaruh didunia pendidikan. Beberapa diantaranya ada didalam file presentasi
Laporan Pembina Pramuka SD dalam format doc dapat anda jadikan sebagai rujukan dalam membuat laporan. silakan download di sini https://unduhperangkatku.com/contoh-laporan-kegiatan-pramuka-format-word/
Ppt landasan pendidikan Pai 9 _20240604_231000_0000.pdffadlurrahman260903
Ppt landasan pendidikan tentang pendidikan seumur hidup.
Prodi pendidikan agama Islam
Fakultas tarbiyah dan ilmu keguruan
Universitas Islam negeri syekh Ali Hasan Ahmad addary Padangsidimpuan
Pendidikan sepanjang hayat atau pendidikan seumur hidup adalah sebuah system konsepkonsep pendidikan yang menerangkan keseluruhan peristiwa-peristiwa kegiatan belajarmengajar yang berlangsung dalam keseluruhan kehidupan manusia. Pendidikan sepanjang
hayat memandang jauh ke depan, berusaha untuk menghasilkan manusia dan masyarakat yang
baru, merupakan suatu proyek masyarakat yang sangat besar. Pendidikan sepanjang hayat
merupakan asas pendidikan yang cocok bagi orang-orang yang hidup dalam dunia
transformasi dan informasi, yaitu masyarakat modern. Manusia harus lebih bisa menyesuaikan
dirinya secara terus menerus dengan situasi yang baru.
Paper ini bertujuan untuk menganalisis pencemaran udara akibat pabrik aspal. Analisis ini akan fokus pada emisi udara yang dihasilkan oleh pabrik aspal, dampak kesehatan dan lingkungan dari emisi tersebut, dan upaya yang dapat dilakukan untuk mengurangi pencemaran udara
Materi ini membahas tentang defenisi dan Usia Anak di Indonesia serta hubungannya dengan risiko terpapar kekerasan. Dalam modul ini, akan diuraikan berbagai bentuk kekerasan yang dapat dialami anak-anak, seperti kekerasan fisik, emosional, seksual, dan penelantaran.
Defenisi Anak serta Usia Anak dan Kekerasan yang mungki terjadi pada Anak
20100104 fungsi determinan
1. Determinan
1. Fungsi determinan
Sebelum memepelajari fungsi determinan, harus kenal terlebih dahulu tentang permutasi.
Perhatikan definisi dibawah ini
DEFINISI 2.1.1 Permutasi suatu himpunan bilangan bulat {1, 2, 3, …., n} adalah suatu
susunan bilangan-bilangan bulat dalam suatu urutan tanpa pengulangan
Akan lebih jelas, perhatikan contoh dibawah ini
CONTOH 2.1.1 Ada enam permutasi yang berbeda dari himpunan bilangan bulat {1, 2, 3}
permutasi tersebut adalah
(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1)
CONTOH 2.1.2 Ada 24 permutasi yang berbeda dari himpunan bilangan bulat {1, 2, 3, 4},
permutasi tersebut adalah
(1, 2, 3, 4), (1, 2, 4, 3), (1, 3, 2, 4), (1, 3, 4, 2), (1, 4, 2, 3), (1, 4, 3, 2)
(2, 1, 3, 4), (2, 1, 4, 3), (2, 3, 1, 4), (2, 3, 4, 1), (2, 4, 1, 3), (2, 4, 3, 1)
(3, 1, 2, 4), (3, 1, 4, 2), (3, 2, 1, 4), (3, 2, 4, 1), (3, 4, 2, 1), (3, 4, 1, 2)
(4, 1, 2, 3), (4, 1, 3, 2), (4, 2, 3, 1), (4, 2, 1, 3), (4, 3, 2, 1), (4, 3, 1, 2)
Metode yang lebih mudah, yaitu dengan menggunakan pohon permutasi, seperti pada Gambar
2.1
2. Dari contoh diatas, ada 24 permuatasi dari {1, 2, 3, 4}. Hasil tersebut merupakan perkalian dari
posisi, yaitu posisi pertama terdiri dari empat, posisi kedua terdiri dari tiga, posisi ketiga terdiri
dari dua dan posisi ke-empat hanya satu atau dapat ditulis
permutasi - empat = 4.3.2.1 = 4! = 24
Untuk permutasi n bilangan yang berbeda, dapat dicari dengan cara yang sama, yaitu
Selanjutnya akan dibahas tentang pembalikan. Pembalikan adalah suatu urutan bilangan besar
mendahului bilangan yang lebih kecil. Sedangkan jumlah pembalikan adalah banyaknya
bilangan yang lebih besar menadahuli bilangan yang lebih kecil. Lebih lengkapnya perhatikan
contoh dibawah ini.
CONTOH 2.1.3 Hasil permutasi adalah
(6, 1, 4, 3, 2, 5)
• bilangan 6, mendahului bilangan 1, 2,3,4, dan 5, sehingga ada 5 pembalikan.
• bilangan 5, tidak mendahului
• bilangan 4, mendahului 3,2,, sehingga ada 2 pembalikan
• bilangan 3, mendahului 2, sehingga ada satu pembalikan
• bilangan 2, tidak mendahului, begitu juga bilangan 1
jadi jumlah pembalikannya adalah 5 + 2 + 1 = 8 pembalikan
Perhatikan definisi dibawah ini
DEFINISI 2.1.2 Jika dalam suatu permutasi terdapat jumlah pembalikan yang genapmaka
permutasi tersebut disebut permutasi genap, begitu juga jika terjadi jumlah pembalikan yang
ganjil maka disebut dengan permutasi ganjil
CONTOH 2.1.4 Dari Contoh 2.1.1 hasil permutasi tercantum dalam tabel berikut
3. Hasil kali dasar dari suatu matriks persegi yaitu perkalian dari semua elemen matriks terhadap
elemen matriks yang lain dengan mengikuti aturan tertentu. Jika matriks tersebut berukuran n x
n, maka perkalian dasarnya terdiri dari n elemen yaitu
a1_a2_ a3 … an_
sedangkan banyaknya perkalian dasar adalah n! yaitu banyaknya permutasi yang diisikan pada
tanda setrip dan tanda positif atau negatif tergantung dari hasil pembalikan, jika permutasi genap
bertanda positif dan sebaliknya permutasi ganjil betanda negatif.
Perhatikan definisi fungsi determinan berikut ini
DEFINISI 2.1.3 Pandang matriks A matriks persegi. Fungsi determinan A atau biasanya
disingkat dengan determinan A dinyatakan dengan det(A) sebagai jumlahan hasil kali dasar
beserta tanda dari A.
Akan lebih jelas perhatikan contoh-contoh berikut
CONTOH 2.1.5 Hitung determinan dari matriks persegi A berukuran 2 x 2, misalkan
Sekarang perhatikan contoh untuk matriks berukuran 3 x 3 berikut ini
CONTOH 2.1.6 Hitung determinan dari matriks persegi A berukuran 3 x 3, misalkan
5. 2. Cara Lain Menghitung Determinan
Pada bagian ini akan dikenalkan cara menghitung determinan dari suatu matriks. Cara ini
merupakan gabungan dari modul sebelumnya yaitu mereduksi suatu matriks sedemikian hingga
matriks tersebut menjadi bentuk baris eselon tereduksi. Metode ini akan mempermudah mencai
nilai determinan untuk ukuran yang besar. Perhatikan teorema berikut ini
TEOREMA 2.2.1 Pandang matriks persegi A,
a. Jika A mempunyai sebuah atau lebih baris (kolom) nol semua, maka det(A) = 0
b. det(A) = det( )
Bukti:
(a) Untuk mencari nilai dari suatu determinan, hasil kali dasar selalu memuat salah satu
elemen dari baris atau kolom, sehingga perkalian dasaarnya selalu memuat nol. Jadi
nilai determinannya selalu nol
(b) Sesaui dengan (a) pada hasil kali dasar selalu memuat salsh satu elemen, maka dengan
6. demikian nilai determinan dari A akan sama dengan .
Teorema dibawah ini akan mempermudah perhitungan dari suatu matriks, yaitu
TEOREMA 2.2.2 Jika matriks persegi A adalah matriks segitiga atas atau bawah,maka det(A)=
hasil kali elemen pada diagonalnya
Bukti:
telah dijelaskna diatas bahwa nilai determinan merupakan perkalian dasar yang selalu memuat
salah satu elemen pada setiap baris atau kolom, oleh karena itu pada matriks segitiga atas atau
bawah untuk baris dan kolom yang tidak sama nilai elemennya nol, sedangkan pada baris atau
kolom yang sama elemennya tidak sama dengan nol, sehingga nilai determinan dari matriks
segitiga atas atau bawah hanyalah perkalian elemen pada diagonal utamanya saja.
CONTOH 2.2.1 Hitung determinan dari
Teorema dibawah ini menunjukkan bagaimana peran dari OBE yang sudah dibahas pada modul
sebelumnya memunyai peran untuk menentukan nilai determinan
TEOREMA 2.2.3 Pandang matriks persegi A berukuran n x n
• Jika B adalah matriks yang dihasilkan dari matriks A yang dilakukan dengan OBE
tunggal yaitu dengan mengalikan dengan k pada salah satu baris atau kolom dari A,
maka det(B) = kdet(A)
• Jika B adalah matriks yang dihasilkan dari matriks A dengan OBE yaitu menukarkan
baris atau kolom dari A, maka det(B) = -det(A)
• Jika B adalah matriks yang dihasilkan dari matriks A dengan OBE yaitu penggandaan
dari baris atau kolom dari A kemudian ditambah atau dikurang pada baris atau kolom
yang lain, maka det(B) = det(A)
7. CONTOH 2.2.2 Hitung matriks B yang merupakan baris kedua dari matriks A dikalikan dengan
tiga dengan matriks.
Jadi det(B) = 3det(A)
CONTOH 2.2.3 matriks C adalah matriks A pada Contoh 2.2.2 dengan menukarkan baris 1
dengan baris 3, maka
Atau det(C) = -det(A).
8. CONTOH 2.2.4 matriks D adalah matriks A pada Contoh 2.2.2 dengan baris kedua dikurangi dua
kali baris pertama, maka.
atau det(D) = det(A).
Dengan berpedoman pada Teorema 2.2.3 dan beberapa contoh, maka untuk menghitung
determinan dari suatu matriks, lakukan OBE sehingga menjadi bentuk baris eselon, kemudian
gunakan Teorema 2.2.2, maka akan mudah mencari nilai dari suatu determinan. Perhatikan
teorema dibawah ini, yang akan memudahkan perhitungan determinan.
TEOREMA 2.2.4 Jika matriks persegi A mempunyai dua baris atau dua kolom yang sebanding,
maka det(A) = 0
CONTOH 2.2.5 Hitung determinan dari
untuk menghitung determinan dari matriks A, lakukan OBE, sedemikian hingga matriksnya
menjadi bentuk baris eselon, seperti
9. Contoh lain dengan menggunakan teorema yang terakhir
CONTOH 2.2.6 Hitung determinan dari
untuk menghitung determinan dari matriks A, lakukan OBE, sedemikian hingga matriksnya
menjadi bentuk baris eselon, seperti
karena ada satu baris yaitu baris terakhir mempunyai nilai nol semua sesuai dengan Teorema
2.2.1, maka
det(A) = 0
10. 2. Sifat Fungsi Determinan
Pada bagian ini akan dibahas tentang sifat dari fungsi determinan, dari sifat fungsi determinan
tersebut diharapkan wawasan mengenai hubungan antara matriks persegi dan determinannya.
salah satunya adalah ada tidak suatu invers matriks persegi dengan menguji determinannya.
Perhatikan teorema dibawah ini
TEOREMA 2.3.1 Misal A, B dan C adalah matriks persegi berukuran n x n yang berbeda di
salah satu barisnya, misal di baris ke-r yang berbeda. Pada baris ke-r matriks C merupakan
penjumlahan dari matriks A dan B, maka
det(C) = det(A) + det(B)
Begitu juga pada kolomnya
CONTOH 2.3.1 Perhatikan matriks-matriks
perhatikan, hanya pada baris ketiga saja yang berbeda. Dengan menggunakan Teorema 2.3.1,
maka
Contoh diatas adalah penjumlahan dari suatu determinan dengan syarat tertentu, sekarang,
bagaimana dengan perkalian.
11. Perhatikan lemma dibawah ini
LEMMA 2.3.2 Jika matriks persegi A dan matriks dasar E dengan ukuran yang sama,maka
berlaku
det(EB) = det(E)det(B)
Bukti:
Telah dipelajari pada modul sebelumnya, bahwa matriks dasar E, jika dikalikan dengan suatu
matriks, maka seolah matriks tersebut dilakukan dengan OBE yang sama, jadi
B B’ = EB
dalam hal ini ada beberapa kasus, yang pertama, jika OBEnya adalah mengalikan salah satu baris
dengan k, maka
det(EB) = det(E)det(B) = kdet(B)
sedangkan kasus yang lain, menukarkan baris atau menambah pada baris yang lain akan
menghasilkan seperti kasus pertama.
Perhatikan teorema dibawah ini
TEOREMA 2.3.3 Suatu matriks persegi A mempunyai invers jika dan jika det(A) 0
Bukti:
12. Dengan memperhatikan, bahwa suatu matriks persegi jika dilakukan OBE, maka ada dua
kemungkinan yaitu mengandung baris yang nol semua atau matriks identitas. Jika matriks
elementer dikalikan dengan suatu matriks persegi hasil sama dengan matriks tersebut dilakukan
satu OBE. Dan suatu matriks jika mengandung baris atau kolom yang nol semua, maka
determinan matriks tersebut adalah nol. Jadi yang mempunyai invers pasti nilai determinannya
tidak nol.
Perhatikan teorema dibawah yang mendukung Lemma 2.3.2, yaitu
TEOREMA 2.3.4 Jika A dan B dua matriks persegi berukuran sama, maka
det(AB) = det(A)det(B)
Bukti: Dengan mengasumsikan salah satu matriks tersebut sebagai perkalian dari matriks
elementer, misal matriks A, yaitu
A = E1E2E3 …..Er
sedangkan dengan menggunakan Lemma 2.3.2, menjadi
AB = E1E2E3 …..ErB
maka
det(AB) = det(E1)det(E2)det(E3) …… det(Er)det(B)
jadi
det(AB) = det(A)det(B)
CONTOH 2.3.3 Pandang matriks dibawah ini
dengan menghitung, maka
det(A) = -1; det(B) = -7; maka det(AB) = 7
sesuai dengan Teorema 2.3.4
Dari beberapa teorema diatas, jika dihubungkan akan menghasilkan teorema berikut
TEOREMA 2.3.5 Jika matriks persegi A mempunyai invers, maka
13. Bukti:
Karena A = I, maka det( A) = det(I), sedangkan menurut Teorema 2.3.4, maka
det( )det(A) = det(I) = 1 dan det(A) 0, sehingga teorema tersebut terbukti.
3. Kofaktor dan Matriks Invers
Pada bagian ini akan dibahas tentang kofaktor dan cara mencari invers dengan kofaktor. Ada
beberapa hal yang harus diperhatikan sebelumnya, seperti minor, perluasan kofaktor dan invers
dari suatu matriks.
Perhatikan definisi dibawah ini
DEFINISI 2.4.1 Jika matriks persegi A, maka minor anggota aij dinyatakan dengan Mij dan
didefinisikan sebagai determinan dari sub-matriks dari matriks awal dengan menghilangkan baris
ke-i dan kolom ke-j, sedangkan kofaktor anggota aij ditulis
Mij
CONTOH 2.4.1 Pandang matriks persegi
14. Perluasan kofaktor adalah salah satu cara untuk menghitung determinan dengan menggunakan
,bantuan kofaktor, perhatikan definisi berikut
CONTOH 2.4.2 Hitung determinan dari matriks pada Contoh 2.4.1
15. Sedangkan yang dimaksud dengan adjoint matriks dapat dilihat pada definisi berikut ini
CONTOH 2.4.3 Cari Adj(A) dari matriks A pada conoth diatas Kofaktor dari A, adalah
C11 = 6 , C12 = -6, C13 = 2
C21 = -5 , C22 = 8, C23 = -3
C31 = 1, C32 = -2, C33 = 1
sehingga matriks kofaktornya adalah
16. Untuk mencari invers dari matriks persegi yang menggunkan matriks adjoint, perhatikan teorem
berikut ini
Bukti:
Dengan menggunakan perluasan kofaktor dapat dengan mudah dibuktikan.
CONTOH 2.4.4 Dari contoh sebelumnya, bahwa persegi,
17. Dengan menggunakan dari pencarian invers dan perluasan kofaktor dapat dicari penyelesaian
SPL dengan menggunakan determinan, perhatikan teorema dibawah ini
Bukti:
Dengan menggunakan definisi invers yang menggunakan adjoint matriks, maka nilai setiap
variabel sesuai dengan teorema di atas.
CONTOH 2.4.5 Gunakan aturan Carmer untuk menyelesaikan SPL berikut
x1 + x2 + x3 = 6
x1 + 2x1 + 3x3 = 14
x1 + 4x1 + 9x3 = 36
Karena ada tiga varibel bebas, maka ada matriks A, A1, A2 dan A3, yaitu