Bab 9. Teknik Pengintegralan ( Kalkulus 1 )

BAB 9 TEKNIKBAB 9 TEKNIK
PENGINTEGRALANPENGINTEGRALANMetoda Substitusi
Integral Fungsi Trigonometri
Substitusi Merasionalkan
Integral Parsial
Integral Fungsi Rasional
Universitas PadjadjaranUniversitas Padjadjaran
BandungBandung
Fakultas MIPAFakultas MIPA -- UNPADUNPAD

PendahuluanPendahuluan
 Operasi turunan turunan sifatnya algoritmik. Apabila semua
aturannya telah diketahui, maka dapat dapat disusun ‘resep
turunan’. Dalam banyak hal operasi turunan tidak terlalu
menuntut keratifitas.
 Tidak demikian halnya dengan operasi integral. Seringkali
integral yang berbeda menuntut kombinasi teknik-metoda
pengintegralan yang berbeda: pengintegralan lebih
merupakan seni.
 Banyak masalah dalam engineering yang melibatkan integral
dari fungsi yang sangat rumit, sehingga kita memerlukan
Tabel Integral.
 Beberapa metoda yang sangat esensial adalah :
 Metoda Substitusi
 Metoda Integral Parsial
 Integral Pecahan Parsial (Partial Fraction)

1. Integral dengan Subtitusi1. Integral dengan Subtitusi
Rumus dan Aturan Pengintegralan yang sudah kita kenal sejauh
ini cukup bermanfaat dan penting, namun scope-nya masih
terbatas. Sebagai contoh dengan Aturan Pangkat kita dapat
menyelesaikan . Namun tidak berdaya untuk menyelesaikan
integral yang ‘serupa’ yaitu
Integral dengan mudah diselesaikan dengan menggunakan teknik
substitusi. Ide dasar metoda substitusi datang dari Aturan Rantai.
Teknik adalah ‘kebalikan’ dari Aturan Rantai.
x dx∫
2 1+∫ x dx

Penjelasan Aturan SubstitusiPenjelasan Aturan Substitusi
Misalkan F adalah antiturunan dari f . Jadi, F’(u) = f (u), dan
(1)
Bila u = g(x) sehingga diferensial du = g’(x)dx, diperoleh
Prosedur ini disebut metoda pengintegralan dengan substitusi
atau metoda substitusi. Maka, jika integrand tampak sebagai
komposisi fungsi dikalikan turunan fungsi ‘dalam’nya, maka
disarankan menggunakan metoda ini.
Perhatikan pula bahwa metoda merupakan proses balikan/inverse
dari Aturan Rantai.
( ) ( )f u du F u C= +∫
( ) ( )( ) '( ) ( ) ( ) ( )f g x g x du f u du F u C F g x C= = + = +∫ ∫

Dari manakah ide metoda substitusi ini?Dari manakah ide metoda substitusi ini?
Perhatikan bahwa F(g(x)) adalah antirunan dari
jika F adalah antiturunan dari .
Menurut Aturan Rantai
Teorema
Diberikan fungsi g terturunkan dan F adalah antiturunan dari f .
Jika , maka
( )( ) '( )f g x g x×
( )'( ) ( )f F u f u=
( ) ( ) ( )( ) ' ( ) '( ) ( ) '( )
d
F g x F g x g x f g x g x
dx
= × = ×
( )u g x=
( ) ( )( ) '( ) ( ) ( ) ( )f g x g x dx f u du F u C F g x C= = + = +∫ ∫

Menggunakan Teknik SubtitusiMenggunakan Teknik Subtitusi
Contoh Hitunglah
Misalkan u = (2x+3) dengan du = 2dx. Maka setelah disubtitusikan
Contoh Hitunglah
Ingat kembali bahwa 1/cos2
2x = sec2
2x.
Misalkan u = 2x, sehingga du = 2dx atau . Maka,
21
(2 3)x dx+∫
21 21 22 221 1 1
(2 3) (2 3)
2 2 22 44
du
x dx u u x C
 
+ = = = + + ÷
 
∫ ∫
2
cos 2
dx
x∫
12 2
2 2
1 1 1
sec . sec tan tan2
cos 2 2 2 2
dx
u du udu u C x C
x
= = = + = +∫ ∫ ∫
1
2
dx du=

Contoh : Hitunglah
a. b. c.
Jawab:
a. Misalkan u = 2x dan a = . Maka du = 2dx. Jadi,
b. Misalkan dan a = 2. Maka . Jadi,
c. : silahkan dicoba sebagai Latihan
dengan
2
2
3 4
dx
x−
∫ 2
4
x
x
e dx
e +∫
3 4
5x x dx+∫
1 1
2 2 2
2 2
sin sin
33 4
du u x
dx C C
ax a u
− −   
= = + = + ÷  ÷
   − −
∫ ∫
3
x
u e= x
du e dx=
1 1
2 2 2
1 1
tan tan
4 2 2
x x
x
e dx du u e
C C
e u a a a
− −   
= = + = + ÷ ÷
+ +    
∫ ∫
3 4
5x x dx+∫

Sebelum SubstitusiSebelum Substitusi
Seringkali sebelum substitusi diputuskan, kita perlu
memanipulasi fungsi integrand agar lebih memudahkan.
Perhatikan contoh berikut, dimana bentuk kuadrat dilengkapkan
dahulu sebelum menggunakan metoda substitusi.
Contoh
Tentukan 2
4 9
dx
x x− +∫

Contoh
Tentukan
= x - tan-1
x + c
2
2
1
x dx
x +∫

2. Integral Fungsi Trigonometri2. Integral Fungsi Trigonometri
Pada pasal ini kita akan melihat bagaimana menkombinasikan
metoda substitusi dengan kesamaan- kesamaan trigonometri
menjadi metoda yang sangat efektif untuk menyelesaikan
beragam integral trigonometri. Beberapa tipe integral yang akan
dibahas adalah bentuk-bentuk berikut :
a.
b.
c.
sin , cosn n
xdx xdx∫ ∫
sin cosm n
x xdx∫
sin cos , sin sin , cos cosmx nxdx mx nxdx mx nxdx∫ ∫ ∫

Tipe 1Tipe 1
Kasus 1: n genap
Turunkan pangkat dengan substitusi menggunakan kesamaan
setengah sudut dan
Contoh
dengan menggunakan hasil sebelumnya kita peroleh
sin , cosn n
xdx xdx∫ ∫
12
2
sin (1 cos2 )x x= − 12
2
cos (1 cos2 )x x= +
1 12 1
2 22
1 1
2 4
cos (1 cos2 ) cos2
sin 2
xdx x dx dx xdx
x x C
= + = +
= + +
∫ ∫ ∫ ∫
[ ]
21 14 2
2 4
1 1 1 2
4 8 4
sin 2 (1 cos4 ) 1 2cos4 cos 4
sin 2 cos 4
xdx x dx x x dx
x x xdx
 = − = − + 
= − +
∫ ∫ ∫
∫
1 1 1 12 2
2 4 2 4
cos 4 cos (4 ) (4 ) (4 ) sin2(4 )xdx x d x x x C = = + + ∫ ∫

Jadi,
Kasus 2:Kasus 2: n ganjil.
Setelah sin x atau cos x difaktorkan, gunakan kesamaan
Pythagoras
Contoh
1 1 1 14
4 8 8 64
3 1 1
8 8 64
cos 2 sin 2 sin8
sin 2 sin8
xdx x x x x C
x x x C
= − + + +
= − + +
∫
2 2
sin cos 1x x+ =

Tipe 2Tipe 2
Kasus 1: m atau n bilangan ganjil positif.
Setelah sin x atau cos x difaktorkan, gunakan kesamaan
Pythagoras
Contoh
sin cosm n
x xdx∫
2 2
sin cos 1x x+ =

Kasus 2: m dan n bilangan genap positif.
Gunakan kesamaan setengah sudut
untuk mengurangi pangkat dalam integrand.
Contoh
2 21 cos2 1 cos2
sin cos
2 2
x x
x x
− +
= =
2
4 2 2 2
2
2 2 3
2 3
1 cos2 1 cos2
sin cos (sin 2 ) cos
2 2
1
(1 2cos2 cos 2 )(1 cos2 )
8
1
(1 2cos2 cos 2 cos2 2cos 2 cos 2 )
8
1
(1 cos2 cos 2 cos 2 )
8
x x
x xdx x xdx dx
x x x dx
x x x x x dx
x x x dx
− +   
= =  ÷  ÷
   
= − + +
= − + + − +
= − − +
∫ ∫ ∫
∫
∫

2 3
2
2
2
3
1
(1 cos2 cos 2 cos 2 )
8
1 1
1 cos2 (1 cos4 ) (1 sin 2 )cos2
8 2
1 1 1
cos4 sin 2 cos2
8 2 2
1 1 1
cos4 sin 2 cos2
8 2 2
1 sin 4 sin 2
8 2 8 6
x x x dx
x x x x dx
x x x dx
dx xdx x xdx
x x x
C
= − − +
 
= − − + + − ÷
 
 
= − − ÷
 
 
= − − 
 
 
= − − + 
 
∫
∫
∫
∫ ∫ ∫

Tipe 3Tipe 3
Kesamaan-kesamaan yang dibutuhkan:
1.
2.
3.
Dengan kesamaan ini perkalian fungsi dapat diubah menjadi
jumlah fungsi yang jelas lebih mudah ditangani.
Contoh:
sin cos , sin sin , cos cosmx nxdx mx nxdx mx nxdx∫ ∫ ∫
[ ]1
2
sin cos sin( ) sin( )mx nx m n x m n x= + + −
[ ]1
2
sin cos cos( ) cos( )mx nx m n x m n x−= + − −
[ ]1
2
cos cos cos( ) cos( )mx nx m n x m n x= + + −

Latihan:
1. Hitunglah untuk kasus m = n
2. Hitunglah
( )1
2
sin sin cos( ) cos( )
sin( ) sin( )
,
2( ) 2( )
mx nxdx m n x m n x dx
m n x m n x
C jika m n
m n m n
= − + − −
+ −
=− + + ≠
+ −
∫ ∫
sin sinmx nxdx∫
cos cos ,
L
L
m x n x
dx m n
L L−
π π
≠∫

1sectan 22
−= xx 1csccot, 22
−= xx
tan sec cot cscdanm n m n
x x dx x xdx∫ ∫
.
Bentuk
Gunakan identitas
serta turunan tangen dan kotangen
2
(tan ) secd x xdx= dxxxd 2
csc)(cot, −=
Contoh :
∫ xdx4
tan
∫= dxxx 22
tantan ∫ −= dxx )1(sectan 22
∫ ∫−= xdxxdxx 222
tansectan
∫ ∫ −−= dxxxxd )1(sec)(tantan 22
Cxxx ++−= tantan3
3
1

Soal Latihan
∫ dxx4
sec
∫
4/
0
24
sectan
π
dttt
Hitung
dxxx∫
54
cossin1.
2.
3.

3. Substitusi Merasionalkan3. Substitusi Merasionalkan
Metoda yang akan dipelajari di sini juga sering disebut
substitusi trigonometrik. Integral yang akan dibahas mempunyai
integrand memuat bentuk-bentuk
Umumnya metoda ini bertujuan untuk meng’eliminasi’ tanda
akar.
Dalam hal integrand memuat bentuk , maka substitusi
dapat mengeliminasi tanda akar.
2 2 2 2 2 2
, , ,n
ax b a x a x x a+ + − −
n
ax b• +
n
ax b+
n
u ax b= +

Substitusi Bentuk Akar
xu =
ax bn +
n
baxu +=
dx
x2 2+∫
∫ ∫ +
=
+
= du
u
u
u
udu
122
2
( )= − + +x x Cln 1
Integran memuat , maka misalkan
Contoh: Hitung
Misal xu =2
Dengan turunan implisit
12 =
dx
du
u dx=2udu
Jawab : dx
x2 2+∫
du
u
u
∫ +
−+
=
1
11 du
u
)
1
1
1(∫ +
−=
Cuu ++−= )1ln(

Soal Latihan
x x dx+∫ 43
x x
x
dx
2 2
1
+
+∫
t
t
dt
+∫ 1
∫ +
dt
t
t
43
∫ + dxxx 1
∫ − dxxx 3/2
)1(
Hitung
1.
2.
3.
4.
5.
6.

Contoh
Hitunglah
Misalkan u = 3t +4 sehingga du = 3dt dan
Hitunglah
Misalkan u = x + π sehingga du = 3dx dan x = u – π
3 4
tdt
t +
∫
1
3
( 4)t u= −
1 1
3 3
3 1 3 1
2 2 2 2
( 4) 1 4 1 4
9 93 4
1 2 2 8
8 (3 4) (3 4)
9 3 27 9
u dutdt u
du u du
t u u u
u u C t t C
− −  
= = = − ÷
+  
 
= − + = + − + + 
 
∫ ∫ ∫ ∫
3
x x dx+ π∫
4 1
3 3 3 3
7 4
3 3
( )
3 3
( ) ( )
7 4
x x dx u udu u du u du
x x C
+ π = − π = − π
π
= + π − + π +
∫ ∫ ∫ ∫

Di sini kita akan menyelesaikan integral-intgeral yang memuat
bentuk-bentuk dan dengan asumsi a >
0.
Jika memuat maka coba ,
2 2 2 2 2 2
, ,a x a x x a• + − −
2 2 2 2
, ,a x a x+ − 2 2
x a−
2 2
,a x−
2 2
,a x+
2 2
,x a−
sinx a= θ /2 /2−π ≤ θ ≤ π
tanx a= θ /2 /2−π < θ < π
secx a= θ 0 , / 2≤ θ ≤ π θ ≠

Mengapa pembatasan nilai θ perlu dilakukan?
Pada integral tentu kita setelah substitusi, dan kemudian
menyelesaikan integral, kita perlu kembali ke variabel semula.
Oleh karena itu, nilai θ perlu dibatasi agar substitusi sin θ , tan θ ,
dan sec θ mempunyai inverse. Setelah melakukan subtitusi,
beberapa penyederhanaan dapat dilakukan, dengan tujuan
mengeliminasi tanda akar.
Catatan : Karena maka
Jadi, . Berikan justifikasi untuk hasil lainnya.
2 2 2 2 2 2 2
sin cos cos cosa x a a a a a− = − θ = θ = θ = θ
2 2 2 2 2 2 2
tan sec sec seca x a a a a a+ = + θ = θ = θ = θ
2 2 2 2 2 2 2
sec tan tan tanx a a a a a a− = θ − = θ = θ = θ
/ 2 / 2−π ≤ θ ≤ π cos 0.θ ≥
cos cosa aθ = θ

Contoh Hitunglah
Pilih substitusi sehingga Maka
Selanjutnya, karena maka .
2
4 x
dx
x
−
∫
2sin ,u t= 2cos .du tdt=
22 2
4(1 sin )4 4 4sin
2cos 2 cos
sin sin
tx t
dx tdt tdt
x t t
−− −
= =∫ ∫ ∫
( )
2
2(cos )(cos ) 1 sin
2 4 4 csc sin
sin sin
4ln csc cot cos
t t t
dt dt dt tdt
t t
t u t C
−
= = = −
= − + +
∫ ∫ ∫ ∫
2sin ,x t= sin / 2t x=
2
2 2
2
2
4
cos 1 sin 1 ( / 2)
4
1 2 cos 2 1 4
csc cot 4
sin sin 2
x
t t x
t x
t t x
t x t x x
−
= − = − =
− 
= = = = − = ÷
 

Dengan demikian,
Contoh Hitunglah
Agar lebih memudahkan, integral dipecah menjadi dua bagian
Untuk integral pertama, pilih substitusi , sehingga
Maka
2 2 2
4 2 4 4
4ln
x x x
dx C
x x x x
− − −
= − + +∫
0 2 2
1x
dx
x
π π −
− π
∫
0 2 2 0 2 2 0 2 2
1x x dx
dx dx
x x x
π π ππ − π
= −
− π − π − π
∫ ∫ ∫
2 2
u x= + π 2 .du xdx=
00 2 2 0 2 2 0
2 2 2
0
1 2
2 2
( 2 ) ( 2 1)
x
x
x xdx du
dx u
ux x
x
π π π
=π
=
π
π − π π
= = = π
− π − π
= π − π = π π − π = π −
∫ ∫ ∫

Untuk integral kedua pilih substitusi sehinggatanx v= π
2
secdx vdv= π
( )
2
0
0 2 2 0 0
2
0
2
0 2 2
sec
sec ln sec tan
sec
ln 1 ln 2 1 ln 1 0 ln 2 1
, 2 1 ln 2 1
x x
x
x
x x
dx vdv
dx dx vdv v v
vx
x x
dx
jadi dx
x
π =π =π
=π
=
= =
π
π
π
= − = +
π− π
 
= + + = + − − = + ÷
π π 
= π − − +
− π
∫ ∫ ∫
∫

Soal Latihan
Hitung
dx
x
dxx
∫ − 2
2
9
2 3
4 2
x
x
dx
−
−
∫
∫
− 22
4 xx
dx
dx
x x2 9+
∫
∫
− 1622
xx
dx
( )
dx
x2 3 2
9+
∫ /
3
2 52
x dx
x x+ +
∫
5 4 2− −∫ x x dx
2 1
2 22
x
x x
dx
+
+ +
∫
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.

Melengkapkan kuadratMelengkapkan kuadrat
Bila bentuk kuadratik dibawah tanda akar masih dalam bentuk
ax2
+bx+c maka perlu dilakukan melengkapkan kuadrat sebelum
menggunakan metoda substitusi trigonometrik.
Contoh Tentukan
Selanjutnya, substitusi sehingga Maka
2
16 6
dx
x x− −
∫
( )2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
16 6 ( 6 16) ( 6 9 25) ( 3) 5
, . 3. ,
16 6 5 ( 3)
16 6 5
x x x x x x x
dx dx
jadi Misalkan v x Maka
x x x
dx dv
x x v
+ − = − − − = − − + − = − − −
= = −
+ − − −
=
+ − −
∫
∫ ∫
5sin ,v w= 5cos .dv wdw=

Latihan: Selesaikan
1
2 2 2 2 2
1
5cos 5cos
sin
5cos 55 5 5 sin
3
sin
5
dv wdw wdw v
dw C
wv w
x
C
−
−
 
= = = = + ÷
 − −
− 
= + ÷
 
∫ ∫ ∫
2
3
2 5
xdx
x x+ +
∫

4. Integral Parsial4. Integral Parsial
Bila metoda substitusikan sebenarnya adalah balikan dari
Aturan Rantai, maka metoda integral parsial didasarkan pada
aturan turunan untuk perkalian:
Diberikan u = u(x) dan v = v(x) mempunyai turunan
atau
Apabila kedua ruas diintegralkan

Catatan : Diferensial dan
( )( ) ( ) '( ) ( ) ( ) '( )D u x v x u x v x u x v x= +
( )( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( )u x v x D u x v x u x v x= −
( )( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( ) '( )
d
u x v x dx u x v x v x u x dx uv v x u x dx
dx
= − = −∫ ∫ ∫ ∫
'( )dv v x dx= '( )du u x dx=

Teorema Integral ParsialTeorema Integral Parsial
Jika fungsi-fungsi             dan             mempunyai turunan,
maka


Sedangkan integral parsial untuk integral tentu adalah
Misalkan
Sehingga

Catatan: pilihlah u dan v  sehingga
mudah dihitung
( )u u x= ( )v v x=
udv uv vdu= −∫ ∫
[ ] [ ]( ) ( ) ( ) ( )
x bx b x b x b
x a x a x ax a
udv uv vdu u b v b u a v a vdu
== = =
= = ==
= − = − −∫ ∫ ∫
1 2 1 2( ), ( ), ( ), ( ),u u a u b v v a v v b= = = =
[ ]2 2 1 2
x b x b
x a x a
udv u v u v vdu
= =
= =
= − −∫ ∫
vdu∫

Formula Integral Parsial :
Caranya : pilih u yang turunannya lebih sederhana
Contoh : Hitung
     misal u = x, maka du=dx

    sehingga
u dv uv v du= − ∫∫
∫ dxex x

dxedv x
=

∫ ==⇒ xx
edxev
Ceexdxeexdxex xxxxx
+−=−= ∫∫

Integral parsial dapat dilakukan lebih dari satu kali
Contoh: Hitung
∫ dxxx sin2
Jawab
2
xu =(i) Misal du = 2xdx
dv = sinxdx v=-cosx
2
cos 2 cosx x x xdx= − + ∫
Integral parsial
(ii) Misal u = 2x du = 2dx
dv = cosx dx v = sinx
2
cos (2 sin 2sin )x x x x xdx= − + − ∫
2
cos 2 sin 2cosx x x x x C= − + + +

Contoh Hitunglah
Misalkan                          sehingga              dan              . Maka

Untuk integral ke dua, misalnya                                Maka
dan                  Diperoleh
Dengan demikian
Pindahan                     pada ruas kiri. Akhirnya diperoleh
cosx
e xdx∫
, cos ,x
ue dv dx= x
du e dx= sinv x=
cos sin sinx x x
e xdx e x e xdx= −∫ ∫
, sin .x
w e dv xdx= = x
dw e dx=
cos .v x= −
cos cos cosx x x
e xdx e x e xdx= +∫ ∫
cosx
e xdx∫
sin cos
cos
2
x x
x e x e x
e xdx
−
=∫
cos sin cos cosx x x x
e xdx e x e x e xdx = − +
 ∫ ∫

Pada contoh di atas, perhatikan bahwa kita dapat
menyelesaikan                  karena integral tersebut kembali
muncul pada ruas kanan.
Contoh  Hitunglah
Misalkan                        sehingga                      , maka

Rumus Reduksi
Formula atau rumus berbentuk
disebut rumus reduksi, karena nilai pangkat f mengalami
penurunan. Formula semacam ini biasa ditemukan dalam
integral parsial.
cosx
e xdx∫
2
1
ln xdx∫
ln , ,u x dv dx= =
1
,du dx v x
x
= =
( ) ( ) ( ) ,n k
f x dx g x f x dx k n= + <∫ ∫
[ ]
2 2 22
11 1 1
1
ln ln 2ln 2 2ln 2 1xdx x x x dx dx
x
= − = − = −∫ ∫ ∫

Contoh   Tentukan rumus reduksi untuk
Misalkan                                   , maka
                        Jadi
Apabila               pada ruas kanan dipindahkan ke ruas kiri
dan bila diselesaikan, diperoleh

sinn
dx∫
1
sin , sinn
u x dv xdx−
= =
2
( 1)sin cos ,n
du n x xdx−
= −
cos .dan v x= −
1 2 2
1 2 2
1 2
sin sin cos ( 1) sin cos
sin cos ( 1) sin (1 sin )
sin cos ( 1) sin ( 1) sin
n n n
n n
n n n
dx x x n x xdx
x x n x x dx
x x n xdx n xdx
− −
− −
− −
= − + −
= − + − −
= − + − − −
∫ ∫
∫
∫ ∫
sinn
xdx∫
1 2
sin sin cos ( 1) sinn n n
n xdx x x n xdx− −
= − + −∫ ∫
1
2sin cos ( 1)
sin sin
n
n nx x n
xdx xdx
n n
−
−−
= − +∫ ∫

5. Integral Fungsi Rasional5. Integral Fungsi Rasional
Metoda Pecahan Parsial
Metoda pecahan parsial adalah tehnik untuk mengintegralkan
fungsi-fungsi rasional, yaitu fungsi-fungsi berbentuk
Ide dasar adalah metoda ini adalah menuliskan fungsi rasional
sebagai jumlah dari fungsi pecahan yang lebih sederhana.
Contoh Tentukan
Perhatikan bahwa
( )
( ) , ( ) ( )
( )
p x
R x p x dan q x adalah polinomial
q x
=
2
5 1
1
x
dx
x
−
−∫
2
5 1 5 1
1 ( 1)( 1) 1 1
x x A B
x x x x x
− −
= = +
− − + − +

Langkah berikutnya adalah menentukan koefisien A dan B  .
Ini dilakukan  dengan mengalikan kedua ruas dengan
                  sehingga
Maka haruslah                dan                 . Dengan menyelesaikan
sistem persamaan ini diperoleh  A = 2 dan B = 3

( 1)( 1)x x− +
5 1 ( 1) ( 1) ( ) ( )x A x B x A B x A B− = + + − = + + −
5A B+ = 1A B− = −
2
2 3
5 1 2 3 2 3
1 1 1 1 1
( 1) ( 3)
2 3 2ln 1 3ln 1
1 1
ln 1 1
x
dx dx dx dx
x x x x x
d x d x
dx x x
x x
x x C
−   
= + = + ÷  − − + − +   
− +
= + = − + +
− +
= − + +
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫

Integral Fungsi Rasional
• Integran berbentuk fungsi rasional :                        , der (P) <
der(Q)
  Ada 4 kasus dari pemfaktoran penyebut ( Q(x) )  yaitu :
1. Faktor linear tidak berulang.
2. Faktor linear berulang.
3. Faktor kuadratik tidak berulang.
4. Faktor kuadratik berulang.
Kasus 1. ( linear tidak berulang )
Misal
       maka,
       dengan                           konstanta yang dicari.
( )
( )
( )
f x
P x
Q x
=

( ) ( ) ( ) ( )Q x a x b a x b a x bn n= + + +1 1 2 2 ...

( )
( )
P x
Q x
A
a x b
A
a x b
A
a x b
n
n n
≡
+
+
+
+ +
+
1
1 1
2
2 2
...

A A An1 2, , ... ,


∫ −
+
dx
x
x
9
1
2

( ) ( ) )3)(3(
)3()3(
339
1
2
+−
++−
=
−
+
+
=
−
+
xx
xBxA
x
B
x
A
x
x

( ) ( )331 ++−=+⇔ xBxAx

( ) ( )BAxBA 33 +−++=

( ) ( )∫ ∫∫ −
+
+
=
−
+
dx
x
dx
x
dx
x
x
3
3
2
3
3
1
9
1
2






Contoh: Hitung
Jawab:
Faktorkan penyebut : )3)(3(92
+−=− xxx
Samakan koefisien ruas kiri dan ruas kanan
A   +B  =1
-3A+3B=1
x3
x1
3A +3B=3
-3A+3B=1 +
6B=4 B=2/3 ,A=1/3Sehingga
Cxx +−++= |3|ln
3
2
|3|ln
3
1

( ) ( )
1
2 1
2
x x
dx
+ −
∫
( ) ( )Q x a x bi i
p= +
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )p
ii
p
p
ii
p
iiii bxa
A
bxa
A
bxa
A
bxa
A
xQ
xP
+
+
+
++
+
+
+
≡ −
−
1
1
2
21
...
pp AAAA ,,...,, 121 −
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2
1
2 12 1 2
A B C
x xx x x
= + +
+ −+ − +
Kasus 2. Linear berulang
Misal
Maka
dengan konstanta akan dicari
Contoh: Hitung
Jawab :

( ) ( ) ( ) ( )12
)2()1()1)(2(
12
1
2
2
2
−+
++−+−+
=
−+ xx
xCxBxxA
xx
2
)2()1()1)(2(1 ++−+−+= xCxBxxA
)24()4()(1 2
BACxCBAxCA −−+++++=
Penyebut ruas kiri =
penyebut ruas kanan
A+C=0
A+B+4C=0
-2A-B+4C=1
A+B+4C=0
-2A-B+4C=1 +
-A+8C=1
A+C=0
-A+8C=1
+
9C=1 C=1/9
A=-1/9
B=-1/3
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
dx
x
dx
x
dx
x
dx
xx ∫∫∫∫ −
+
+
−
+
−
=
−+ 1
1
9
1
2
1
3
1
2
1
9
1
12
1
22
Cx
x
x +−+
+
++−= |1|ln
9
1
)2(3
1
|2|ln
9
1

( ) ( ) ( ) ( )Q x a x b x c a x b x c a x b x cn n n= + + + + + +1
2
1 1 2
2
2 2
2...
   ( )
( )
P x
Q x
A x B
a x b x c
A x B
a x b x c
A x B
a x b x c
n n
n n n
≡
+
+ +
+
+
+ +
+ +
+
+ +
1 1
1
2
1 1
2 2
2
2
2 2
2
...
nn BBBAAA ,...,,dan,,...,, 2121


Kasus 3. Kuadratik tak berulang
Misal
Maka
dengan   konstanta yang akan dicari

Contoh :Hitung
( )∫ + 12
xx
dx
( ) ( )11
1
22
+
+
+=
+ x
CxB
x
A
xx
( )
( )1
)(1
2
2
+
+++
=
xx
xcBxxA
Jawab:
( ) xcBxxA )(11 2
+++= AcxxBA +++= 2
)(1
A+B=0
C=0
A=1
B=-1
( ) ( ) dx
x
x
dx
x
dx
xx ∫∫∫ +
−=
+ 1
1
1
1
22
( ) ∫∫
+
+
=
+ x
xd
x
x
dx
x
x
2
)1(
11
2
22
∫ +
+
=
1
)1(
2
1
2
2
x
xd
Cxx ++−= )1ln(
2
1
||ln 2

( ) ( )Q x a x b x ci i i
p
= + +2
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )p
iii
pp
p
iii
pp
iiiiii cxbxa
BxA
cxbxa
BxA
cxbxa
BxA
cxbxa
BxA
xQ
xP
++
+
+
++
+
++
++
+
+
++
+
≡ −
−−
212
11
22
22
2
11
...
pppp BBBBdanAAAA ,,...,,,,...,, 121121 −−
Kasus 4. Kuadratik berulang
Misal
Maka
Dimana konstanta yang akan dicari

Contoh: Hitung
( )( )
6 15 22
3 2
2
2 2
x x
x x
dx
− +
+ +
∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 222 2
6 15 22
3 23 2 2
x x A B x C Dx E
x xx x x
− + + +
= + +
+ ++ + +
( ) ( )( )
( )( )22
222
23
)3)((32)(2
++
++++++++
=
xx
xEDxxxCxBxA
Jawab :
( ) ( )( ) )3)((32)(222156 2222
++++++++=+− xEDxxxCxBxAxx
++++++++=+− 2342
)324()3()(22156 xDCBAxCBxBAxx
)364()326( ECAxEDCB ++++++

Dengan menyamakan koefisien ruas kiri dan kanan diperoleh
A+B=0
3B+C=0
4A+2B+3C+D=6
6B+2C+3D+E=-15
4A+6C+3E=22
Dengan eliminasi : A=1,B=-1, C=3
D=-5, E=0
( )( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ∫∫ +
−
+
−
−
+
=
++
+−
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
dx
xx
xx
22222
2
2
5
2
3
3
1
23
22156
∫ ∫∫∫ +
−
+
+
+
−
+
= dx
x
x
x
dx
dx
x
x
x
dx
2222
)2(
2
2
5
2
3
2
2
2
1
3
.
)2(2
5
2
tan
2
3
)2ln(
2
1
|3|ln 2
12
C
x
x
xx +
+
+





++−+= −
Sehingga

Contoh selesaikan
Kalikan kedua ruas dengan , sehingga
Maka koefisien kedua polinomial haruslah sama. Ini
memberikan sebuah sistem persamaan
yang penyelesaiannya adalah A = 1/4, B = -1 4, C= 3/2. Maka,
3 2
1
4 4
x
dx
x x x
+
− +∫
3 2 2 2 2
1 1 1
4 4 ( 4 4) ( 2) 2 ( 2)
x x x A B C
x x x x x x x x x x x
+ + +
= = = + +
− + − + + − −
2
( 2)x x +
2
2
( 1) ( 2) ( 2)
1 ( ) ( 4 2 ) 4
x A x Bx x Cx
x A B x A B C x A
+ = + + + +
+ = + + − − + +
0, 4 2 1, 4 1A B A B C A= = − − + = =
3 2 2
1 1 1 3
4 4 4 4 2 2 ( 2)
x dx dx dx
dx
x x x x x x
+
= − +
− + − −∫ ∫ ∫ ∫

Dua integral terakhir diselesaikan dengan substitusi u = x – 2.
Contoh Tentukanlah
Setelah kedua ruas dikalikan dengan penyebut. maka diperoleh
Kesamaan kedua polinomial berarti koefisiean-koefisien harus
sama. Maka 2 = A + B ,1 = C , -1 = 4A . Penyelesaian sistem
persamaan ini adalah
2
1 1 ( 2) 3 ( 2)
ln
4 4 2 2 ( 2)
1 1 3 1
ln ln 2
4 4 2 2
d x d x
x
x x
x x
x
− −
= − +
− −
= − − −
−
∫ ∫
2
3
2 1
4
x x
dx
x x
+ −
+∫
2 2
3 2 2
2 1 2 1
4 ( 4) 4
x x x x A Bx C
x x x x x x
+ − + − +
= = +
+ + +
2 2 2
2 1 ( 4) ( ) ( ) 4x x A x Bx C x A B x Cx A+ − = + + + = + + +

Apabila digunakan pada integral di atas, kita peroleh
Untuk integral kedua, gunakan substitusi sehingga
Jadi,
1/ 4, 9/ 4, 1A B C= − = =
2 2
3 2
2 2
1
2
2 1 1 1 9 4
4 4 4 4
1 9
ln
4 4 4 4
1 9 1
ln tan
4 4 4 2 2
x x dx x
dx dx
x x x x
xdx dx
x
x x
xdx x
x
x
−
+ − +
= − +
+ +
= − + +
+ +
= − + +
+
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫
2
4w x= + 2dw xdx=
2
2 2
1 2 1 1
ln 4
4 2 4 2 2
dx xdx dw
x
x x x
= = = +
+ +∫ ∫ ∫
2
2 1
3
2 1 1 9 1
ln ln 4 tan
4 4 8 2 2
x x x
dx x x C
x x
−+ −
= + + + +
+∫

Contoh Selesaikan
Kalikan kedua ruas dengan sehingga
Maka koefisien kedua polinomial haruslah sama. Ini
memberikan sebuah sistem persamaan
2 2
(1 )( 1)
x
dx
x x− +∫
2
2 2 2 2 2
, 1
(1 )( 1) 1 1 ( 1)
x A Bx C Dx E
x irreducible
x x x x x
+ +
= = = +
− + − + +
2 2
(1 )( 1)x x− +
2 2 2
4 3 2
( 1) ( )(1 )( 1) ( )(1 )
( ) ( ) (2 ) ( ) ( )
x A x Bx C x x Dx E x
x A B x B C x A B C D x B C D E x A E C
= + + + − + + + −
= − + − + − + − + − + − + + +
0, 0, 2 0, 1, 0A B B C A B C D B C D A C E− = − = − + − = − + = + + =

Penyelesaiannya adalah A = B = C = 1/4, D = 1/2,
E = -1/2. Maka,
Substitusi dan maka
2 2 2 2 2
1 1 ( 1) 1 ( 1)
(1 )( 1) 4 1 4 1 2 ( 1)
x dx x dx x dx
dx
x x x x x
+ −
= + +
− + − + +∫ ∫ ∫ ∫
1u x= − 2
1,v x= + , 2 .du dx dv xdx= − =
2 2
2 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
1 1 ( 1) 1 1 1
4 1 4 1 4 4 2 1
1 1 1
ln 1 ln 1 tan
4 8 4
1 ( 1) 1 1 1 1 1
2 ( 1) 2 ( 1) 2 ( 1) 2 2 2 ( 1)
1 1
4( 1) 2 ( 1)
dx x dx du dv dx
x x u v x
x x x
x dx xdx dx dv dx
x x x v x
dx
x x
−
+  
+ = − + + ÷
− + + 
= − − + + +
−  
= − = − ÷
+ + + + 
= − −
+ +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫

Untuk menyelesaikan integral terakhir, misalkan
dan2
tan , sec ,x dx d= θ = θ θ 2 2 2
1 tan 1 sec .x + = θ + = θ
( )( )
2
2
2 2 2
2 2
1 1
1
2
sec 1 sin2
cos (1 cos2 )
4 (sec ) 2 2 4
2 1 1 1tan 2sin cos tan
2 4 2 4
tan
2 2( 1)
dx d
d d
x
x x xx x
x x
x
− −
−
θ θ θ θ
= = θ θ = + θ θ = +
+ θ
+ +θ θ
= + = +
= +
+
∫ ∫ ∫

Jadi,
2 1
2 2
1
2 2
2
2
1 1 1
ln 1 ln 1 tan
(1 )( 1) 4 8 4
1 1 tan
4( 1) 2 2 2( 1)
1 1 1 1
ln 1 ln 1
4 8 4 ( 1)
x
dx x x x
x x
x x
C
x x
x
x x C
x
−
−
= − − + + +
− +
 
− − + + ÷
+ + 
+
= − − + + − +
+
∫

ALGORITMA DEKOMPOSISI PECAHAN PARSIALALGORITMA DEKOMPOSISI PECAHAN PARSIAL
Langkah 1 : Lakukan pembagian sehingga diperoleh polinom
dan sehingga
Jika derajat dengan maka dan
Langkah 2 : Faktorkan dengan suku perkalian dari bentuk
atau dengan yaitu
tidak mempunyai akar.
Langkah 3 : Tulis sebagai jumlah dari fungsi pecahan
yang lebih sederhana, disebut pecahan parsial, sebagai berikut:
( )P x ( )r x
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
p x r x
R x P x
q x q x
= = +
( )( )p x < ( )( )q x ( ) 0P x = ( ) ( )r x p x=
( )q x
( )n
ax b+
2
( )n
ax bx c+ + 2
ax bx c irreducible+ +
2
0ax bx c+ + =
( )
( )
r x
q x

a. Untuk setiap faktor diperoleh
b. Untuk setiap faktor diperoleh
Langkah 4 : Kalikan kedua ruas dengan sehingga
diperoleh polinom dengan koefisien memuat Ai, Bi, Ci
Dari kesamaan di atas, semua konstanta Ai, Bi, dan Ci dapat
ditentukan.
( )k
x a+
1 2
2
...
( ) ( )
k
k
AA A
x x x
+ + +
+ α + α + α
2
( )k
ax bx c+ +
1 1 2 2
2 1 2 2 2
...
( ) ( ) ( )
k k
k
B x CB x C B x C
ax bx c ax bx c ax bx c
++ +
+ + +
+ + + + + +
( )q x
( ) ( )R x q x =

Soal Latihan
2 1
6 182
x
x x
dx
−
− +
∫
dx
xx∫ −+ )1()5(
1
2
∫ +
−+
dx
xx
xx
23
2
2
235
∫ + 22
)1(xx
dx
( )( )
2 3 36
2 1 9
2
2
x x
x x
dx
− −
− +
∫
dx
xx
xx
∫ ++
+
5
2
23
2
43
2
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Hitung

Bab 9. Teknik Pengintegralan ( Kalkulus 1 )

More Related Content

What's hot

Similar to Bab 9. Teknik Pengintegralan ( Kalkulus 1 )

More from Kelinci Coklat

Recently uploaded

Bab 9. Teknik Pengintegralan ( Kalkulus 1 )