Dokumen tersebut membahas beberapa aplikasi persamaan diferensial orde pertama dalam berbagai bidang seperti pertumbuhan bakteri, pendinginan/pemanasan, benda jatuh, pengenceran larutan, dan rangkaian listrik RL-RC. Beberapa contoh soal dan penyelesaiannya juga diberikan untuk masing-masing aplikasi.

2. PERTEMUAN - 4
Aplikasi Nyata
Persamaan Diferensial Orde-Pertama

3. Aplikasi-Aplikasi PDL Orde Pertama
• Pertumbuhan dan Peluruhan
• Suhu (Pendinginan/Pemanasan)
• Benda Jatuh
• Pengenceran Larutan
• Rangkaian Listrik RL-RC

5. Aplikasi-Aplikasi PDL Orde Pertama
Pertumbuhan dan Peluruhan
Misalkan 𝑁 𝑡 melambangkan jumlah zat (atau
populasi) yang bertumbuh atau luruh. Jika kita
mengasumsikan bahwa 𝑑𝑁/𝑑𝑡, laju perubahan
jumlah zat ini, proporsional terhadap jumlah zat
yang ada, maka dN/dt = 𝑘𝑁 ; (k adalah
konstanta), atau :
𝑑𝑁
𝑑𝑡
− 𝑘𝑁 = 0 , → 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑠𝑖 ∶ 𝑁 𝑡 = 𝑐𝑒 𝑘𝑡

6. Soal 4.1
Suatu kultur bakteri dari tanaman kentang
diketahui berkembang dengan laju yang
proporsional. Setelah 1 jam pengamatan ,
jumlah bakteri berkembang menjadii 1,000 , dan
setelah 4 jam menjadi 3,000. Tentukan :
a) Ekspresi matematis perkiraan jumlah bakteri
yang berkembang pada setiap waktu t
b)Perkirakan jumlah awal bakteri dalam kultura
yang diamati.
𝑵 𝒕 = 𝟔𝟗𝟒𝒆 𝟎.𝟑𝟔𝟔𝒕
, 𝑵 𝟎 = 𝟔𝟗𝟒 𝑩𝒂𝒌𝒕𝒆𝒓𝒊,

7. Aplikasi-Aplikasi PDL Orde Pertama
Suhu (Pendinginan/Pemanasan)
Hukum Pendinginan Newton “Laju perubahan
temperatur suatu benda adalah proporsional terhadap
perbedaan temperatur antara benda tersebut dan
medium sekitarnya”.
𝑇 = 𝑆𝑢𝑕𝑢 𝐵𝑒𝑛𝑑𝑎 , 𝑇 𝑚 = 𝑆𝑢𝑕𝑢 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑢𝑚
, 𝑑𝑇/𝑑𝑡 = 𝐿𝑎𝑗𝑢 𝑝𝑒𝑟𝑢𝑏𝑎𝑕𝑎𝑛 𝑠𝑢𝑕𝑢 𝑏𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑕𝑎𝑑𝑎𝑝 𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= −𝑘 𝑇 − 𝑇 𝑚 , 𝑎𝑡𝑎𝑢
𝑑𝑇
𝑑𝑡
+ 𝑘𝑇 = 𝑘𝑇 𝑚
𝑃𝑒𝑛𝑑𝑖𝑛𝑔𝑖𝑛𝑎𝑛 ∶ 𝑇 > 𝑇 𝑚 ; 𝑃𝑒𝑚𝑎𝑛𝑎𝑠𝑎𝑛 ∶ 𝑇 < 𝑇 𝑚

8. Soal 4.2
Sebuah karkas daging dari dalam lemari pembeku
dikeluarkan dan diletakkan pada ruangan dengan
suhu konstan 30 celcius. Jika setelah 10 menit suhu
daging tersebut menjadi 0 celcius dan setelah 20
menit menjadi 15 celcius. Tentukan berapa suhu
awal karkas daging tersebut ?
𝑻 𝟎 = −𝟑𝟎 𝒐
𝑪𝒆𝒍𝒄𝒊𝒖𝒔

9. Aplikasi-Aplikasi PDL Orde Pertama
Benda Jatuh
Hukum II Newton : “Gaya netto yang bekerja pada
benda sebanding dengan laju perubahan momentum
benda tersebut (untuk massa dan gravitasi konstan)”.
𝐹 = 𝑔𝑎𝑦𝑎 𝑛𝑒𝑡𝑡𝑜 , 𝑣 = 𝑘𝑒𝑐𝑒𝑝𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑏𝑒𝑛𝑑𝑎 , 𝑚 = 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎, 𝑡 = 𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢
𝐹 = 𝑚
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝐽𝑖𝑘𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑑𝑎𝑝𝑎𝑡 𝑔𝑒𝑠𝑒𝑘𝑎𝑛 𝑢𝑑𝑎𝑟𝑎 −𝑘 ∶
𝑑𝑣
𝑑𝑡
+
𝑘
𝑚
𝑣 = 𝑔𝑚𝑔 − 𝑘𝑣 = 𝑚
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑘 = 0 ;
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 𝑔 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑘 > 0 ;
𝑚𝑔
𝑘
= 𝑣1

10. Soal 4.3
Sebuah benda seberat 64 lb dijatuhkan dari ketinggian
100 ft dengan kecepatan awal 10 ft/det dengan
hambatan udara yang proporsional terhadap kecepatan
benda tersebut. Jika v limit diketahui sebesar 128 ft/det,
dan g sebesar 32 ft/𝑑𝑒𝑡2
tentukan :
a) Ekspresi matematis untuk kecepatan benda pada
setiap waktu t
b) Ekspresi matematis untuk posisi benda pada setiap
waktu t
𝒗 = −𝟏𝟏𝟖𝒆−
𝒕
𝟒 + 𝟏𝟐𝟖 𝒙 = 𝟒𝟕𝟐𝒆−𝒕/𝟒
+ 𝟏𝟐𝟖𝒕 − 𝟒𝟕𝟐

11. Aplikasi-Aplikasi PDL Orde Pertama
Pengenceran
Larutan
𝑉0 𝑙𝑖𝑡𝑒𝑟
𝑒 𝑙𝑖𝑡𝑒𝑟/𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡
𝑓 𝑙𝑖𝑡𝑒𝑟/𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡
𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑚
𝑏 𝑔𝑟𝑎𝑚
𝑄= Jumlah zat dalam tangki pada setiap waktu 𝑡
Laju perubahan 𝑑𝑄/𝑑𝑡 sama dengan laju
masuknya zat kedalam tangki dikurangi dengan
laju keluarnya zat dari tangki.
Volume larutan pada setiap waktu :
𝑉0 + 𝑒𝑡 − 𝑓𝑡
Konsentrasi zat didalam tanki pada setiap
waktu adalah :
𝑓
𝑄
𝑉0 + 𝑒𝑡 − 𝑓𝑡
𝑄
𝑉0 + 𝑒𝑡 − 𝑓𝑡
Zat keluar dari tangki dengan laju :
𝑑𝑄
𝑑𝑡
+
𝑓
𝑉0 + 𝑒 − 𝑓 𝑡
𝑄 = 𝑏𝑒
atau :

12. Soal 4.4
Sebuah tanki awalnya menampung 100 liter larutan pemanis
yang mengandung 1 kg gula. Pada t = 0 larutan pemanis lainnya
yang mengandung 1 kg gula per liter dituangkan kedalam tanki
tersebut dengan laju 3 liter/menit, sementara campuran
pemanis yang sidah teraduk sempurna keluar dari tanki dengan
laju yang sama. Tentukan ;
a) Jumlah gula dalam tanki pada setiap waktu t dalam
persamaan matematis
b) Waktu yang dibutuhkan sehingga campuran dalam tanki
mengandung 2 kg gula.

13. Soal 4.4
Sebuah tanki awalnya menampung 100 liter larutan pemanis
yang mengandung 1 kg gula. Pada t = 0 larutan pemanis lainnya
yang mengandung 1 kg gula per liter dituangkan kedalam tanki
tersebut dengan laju 3 liter/menit, sementara campuran
pemanis yang sidah teraduk sempurna keluar dari tanki dengan
laju yang sama. Tentukan ;
a) Jumlah gula dalam tanki pada setiap waktu t dalam
persamaan matematis
b) Waktu yang dibutuhkan sehingga campuran dalam tanki
mengandung 2 kg gula.
𝑸 = −𝟗𝟗𝒆−𝟎.𝟎𝟑𝒕
+ 𝟏𝟎𝟎 𝒕 = 𝟎. 𝟑𝟑𝟖 𝒎𝒆𝒏𝒊𝒕

14. Soal 4.5
Sebuah tanki dengan kapasitas 50 liter awalnya menampung 10
liter air tawar. Pada t = 0, suatu larutan air asin yang
mengandung 1 kg garam per liter dituangkan ke dalam tanki
dengan laju 4 liter/menit, sementara campuran yang sudah
teraduk sempurna keluar dari tanki dengan laju 2 liter/menit.
Tentukan :
a) Waktu yang diperlukan sampai terjadi luapan tanki
b) Jumlah garam dalam tanki sampai terjadi luapan

15. Soal 4.5
Sebuah tanki dengan kapasitas 50 liter awalnya menampung 10
liter air tawar. Pada t = 0, suatu larutan air asin yang
mengandung 1 kg garam per liter dituangkan ke dalam tanki
dengan laju 4 liter/menit, sementara campuran yang sudah
teraduk sempurna keluar dari tanki dengan laju 2 liter/menit.
Tentukan :
a) Waktu yang diperlukan sampai terjadi luapan tanki
b) Jumlah garam dalam tanki sampai terjadi luapan
𝑸 = 𝟒𝟖 𝒌𝒈𝒕 = 𝟐𝟎 𝒎𝒆𝒏𝒊𝒕

16. Aplikasi-Aplikasi PDL Orde Pertama
Pengenceran Larutan
A gram B gram
C liter/menit
D liter/menit
X1 X2
𝑑𝑥
𝑑𝑡
: Laju perubahan jumlah garam di tanki = jumlah
laju garam yang masuk – laju jumlah garam keluar

17. A gram B gram
C liter/menit
D liter/menit
X1 X2
Dua buah tanki yang masing-masing mempunyai volume 100 liter
berisi larutan garam dengan konsentrasi yang berbeda. Pada
permulaanya, tanki I berisi garam sebesar 20 gram dan tangki II
sebesar 10 gram. Pada waktu awal (t=0), air murni dialirkan ke tangki I
dengan debit 2 liter/menit. Campuran dari tanki I masuk ke tangki II.
Campuran di tangki II dialirkan keluar dengan debit sama 2 liter/menit.
Tentukan banyaknya garam dimasing-masing tanki setiao saat (pada
waktu t) setelah proses berlangsung.
E liter/menit

18. Aplikasi-Aplikasi PDL Orde Pertama
Rangkaian Listrik RL
𝑑𝐼
𝑑𝑡
+
𝑅
𝐿
𝐼 =
𝐸
𝐿
𝐷𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎,
𝐼 = 𝐴𝑟𝑢𝑠 𝐴𝑚𝑝𝑒𝑟𝑒
𝑅 = 𝐻𝑎𝑚𝑏𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑜𝑕𝑚
𝐿 = 𝐼𝑛𝑑𝑢𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑕𝑒𝑛𝑟𝑦
𝐸 = 𝑇𝑒𝑔𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 (𝑣𝑜𝑙𝑙𝑡)

19. Aplikasi-Aplikasi PDL Orde Pertama
Rangkaian Listrik RC
𝑑𝑞
𝑑𝑡
+
1
𝑅𝐶
𝑞 =
𝐸
𝑅
𝐷𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎,
q= 𝑀𝑢𝑎𝑡𝑎𝑛 (𝑐𝑜𝑢𝑙𝑜𝑚𝑏)
𝑅 = 𝐻𝑎𝑚𝑏𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑜𝑕𝑚
𝐶 = 𝐾𝑎𝑝𝑎𝑠𝑖𝑡𝑎𝑛𝑠𝑖 (𝑓𝑎𝑟𝑎𝑑)
𝐸 = 𝑇𝑒𝑔𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 (𝑣𝑜𝑙𝑙𝑡)
; 𝐼 =
𝑑𝑞
𝑑𝑡

20. Soal 4.6
Sebuah rangkaian RL memiliki tegangan 5 volt, resistansi 50
ohm, induktansi 1 henry dan tanpa arus awal. Tentukanlah
nilai arus awal dalam rangkaian tersebut pada setiap waktu t.
Sebuah rangkaian RC memiliki tegangan (volt) yang
dinyatakan dalam 400 , resistansi 100 ohm dan kapasitansi
0.02 farad. Awalnya tidak ada muatan dalam kapasitor.
Carilah arus dalam rangkaian tersebut pada setiap waktu t.
(a)
(b)
𝑰 = −
𝟏
𝟏𝟎
𝒆−𝟓𝟎𝒕
+
𝟏
𝟏𝟎
𝑰 = 𝟒𝒆−𝟎,𝟓𝒕

21. PERTEMUAN - 4
Terima Kasih