Al-Khawarizmi adalah tokoh penting dalam sejarah matematika yang dikenal sebagai ahli aljabar dan hisab. Ia memperkenalkan konsep dasar aljabar, metode pemfaktoran, dan rumus kuadratik yang masih digunakan hingga kini. Selain itu, ia memiliki kontribusi signifikan dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan lainnya pada masa kejayaannya di abad ke-9 M.

1. Nama: FAJAR MIFTAKHURROHMAN
NPM: 13310287
Kelas: 3J
Blog: fajarcoeg.blogspot.com
DO YOU KNOW????????
Nama Asli dari al-Khawarizmi ialah Muhammad
Ibn Musa al-khawarizmi. Selain itu beliau
dikenali sebagai Abu Abdullah Muhammad bin
Ahmad bin Yusoff. Al-Khawarizmi dikenal di
Barat sebagai al- Khawarizmi, al-Cowarizmi, al-
Ahawizmi, al-Karismi, al-Goritmi, al-Gorismi dan beberapa cara ejaan lagi. Beliau
dilahirkan di Bukhara.Tahun 780-850M adalah zaman kegemilangan al-Khawarizmi. al-
Khawarizmi telah wafat antara tahun 220 dan 230M. Ada yang mengatakan al-Khawarizmi
hidup sekitar awal pertengahan abad ke-9M. Sumber lain menegaskan beliau hidup di
Khawarism, Usbekistan pada tahun 194H/780M dan meninggal tahun 266H/850M di
Baghdad. Dalam pendidikan telah dibuktikan bahawa al- Khawarizmi adalah seorang tokoh
Islam yang berpengetahuan luas. Pengetahuan dan keahliannya bukan hanya dalam bidang
syariat tapi di dalam bidang falsafah, logika, aritmatika, geometri, musik, ilmu hitung,
sejarah Islam dan kimia. AL KHAWARIZMI SEBAGAI GURU BESAR ALJABAR DI
EROPA Beliau telah menciptakan pemakaian Secans dan Tangen dalam penyelidikan
trigonometri dan astronomi. Dalam usia muda beliau bekerja di bawah pemerintahan
Khalifah al-Ma’mun, bekerja di Bayt al-Hikmah di Baghdad. Beliau bekerja dalam sebuah
observatory yaitu tempat belajar matematika dan astronomi. Al-Khawarizmi juga dipercaya
untuk memimpin perpustakaan khalifah. Beliau pernah memperkenalkan angka-angka India
dan cara-cara perhitungan India pada dunia Islam. Beliau juga merupakan seorang penulis
Ensiklopedia dalam berbagai disiplin. Al-Khawarizmi adalah seorang tokoh yang pertama
kali memperkenalkan aljabar dan hisab. Banyak lagi ilmu pengetahuan yang beliau pelajari
dalam bidang matematika dan menghasilkan konsep-konsep matematika yang begitu
populer yang masih digunakan sampai sekarang.

3. A. PERSAMAAN KUADRAT
a) Bentuk Umum Persamaan Kuadrat
Masih ingatkah kalian tentang bentuk Persamaan Linear Satu variabel (PLSV)?
PLSV adalah suatu persamaan yang variabelnya memiliki pangkat tertinggi 1, contoh a :
2x + 3 = 0, 2q − 11 = 0, 3x + 21 = 0
Nah sekarang coba perhatikan contoh b berikut:
a. 𝑥2
+ 3𝑥 = 7
b. 2𝑥2
+ 9𝑥 = 11
c. 𝑥2
+ 3𝑥 = 3
AYO BERFIKIR !
Dari yang kalian amati, apa perbedaan dari contoh a dan b yang terlihat?
Jelas terlihat bahwa perbedaannya terletak pada pangkat dari variabel. Pada contoh a
pangkat tertinggi dari variabel adalah 1, sedangkan pada contoh b pangkat tertinggi dari
variabel adalah 2.
Lalu apa yang dapat kita simpulkan dari kedua contoh tersebut?
PERSAMAAN KUADRAT adalah suatu persamaan yang memiliki pangkat
tertinggi 2 seperti pada contoh 1.2. secara umum persamaan kuadrat dituliskan sebagai
berikut :
𝒂𝒙 𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟎 𝒅𝒂𝒏 𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ ℝ
konstanta
Konstantaadalahsymbol yangmenunjukan
bilangantertentu.Konstantayangterletakdi
depanvariabel jugabiasdisebut koefisien.

4. Contoh 1a :
Ubahlah persamaan berikut ke dalam bentuk umum persamaan kuadrat :
2𝑥2
+ 23𝑥 − 9 = 𝑥2
− 7𝑥 + 3
Penyelesaian :
2𝑥2
+ 23𝑥 − 9 = 𝑥2
− 7𝑥 + 3
↔ 2𝑥2
+ 23𝑥 − 11 = 𝑥2
− 7𝑥
↔ 2𝑥2
+ 30𝑥 − 11 = 𝑥2
↔ 𝑥2
+ 30𝑥 − 11 = 0
Jadi bentuk umum persamaan kuadrat 2𝑥2
+ 23𝑥 − 9 = 𝑥2
− 7𝑥 + 3 adalah 𝑥2
+ 30𝑥 −
11 = 0.
b) Menentukan Akar Persamaan Kuadrat
Cara menentukan akar persamaan kuadrat ada tiga cara yaitu :
1. Memfaktorkan
2. Melengkapkan Kuadrat Sempurna
3. Rumus ABC
1) Memfaktorkan
REMIND ME
Masih ingatkah kalian dengan perkalian bentuk aljabar?
Mari kita perhatikan contoh berikut ini.

5. Perkalian bentuk aljabar
𝑥( 𝑥 + 9) = 𝑥2
+ 9𝑥 ( 𝑥 + 2)( 𝑥 − 5) = 𝑥2
− 5𝑥 + 2𝑥 − 10
( 𝑥 + 2)( 𝑥 − 5) = 𝑥2
− 3𝑥 − 10
Bagaimana jika sebaliknya ????
𝑥2
+ 9𝑥 = 𝑥( 𝑥 + 9) 𝑥2
− 3𝑥 − 10 = ( 𝑥 + 2)( 𝑥 − 5)
Nah bentuk diatas yang disebut memfaktorkan.
AYO KITA AMATI
 Berikut adalah langkah untuk memfaktorkan persamaan kuadrat jika 𝒂 = 𝟏.
Jika kita mempunyai persamaan kuadrat 𝒂𝒙 𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎, dan p,q adalah bilangan bulat
maka hasil pemfaktorannya adalah ( 𝑥 + 𝑝)( 𝑥 + 𝑞).
( 𝑥 + 𝑝)( 𝑥 + 𝑞) = 𝑥2
+ 𝑝𝑥 + 𝑞𝑥 + 𝑝𝑞
= 𝑥2
+ ( 𝑝 + 𝑞) 𝑥 + 𝑝𝑞
Sehingga persamaan kuadrat 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ekivalen dengan 𝑥2
+ ( 𝑝 + 𝑞) 𝑥 + 𝑝𝑞.
Jadi dapat kita simpulkan bahwa 𝑝 + 𝑞 = 𝑏 𝑑𝑎𝑛 𝑝. 𝑞 = 𝑐.
Contoh 1.b :
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat dari 𝑥2
+ 6𝑥 + 8 = 0.
Penyelesaian :
Mencari dua bilangan yang merupakan faktor dari 8 dan jika kedua bilangan dijumlahkan
menghasilkan 6. Jika bilangan itu p dan q maka 𝑝. 𝑞 = 8 𝑑𝑎𝑛 𝑝 + 𝑞 = 6.
Jadi kita peroleh 𝑝 = 2 𝑑𝑎𝑛 𝑞 = 4
Sehingga persamaan kuadrat 𝑥2
+ 6𝑥 + 8 = 0
dapat difaktorkan sebagai berikut :
𝑥2
+ 6𝑥 + 8 = 0
𝑥2
+ 6𝑥 + 8 = 0
P Q 𝑝 + 𝑞 𝑝. 𝑞
1 8 9 8
2 4 6 8
-1 -8 -9 8
-2 -4 -6 8

6. ( 𝑥 + 2)( 𝑥 + 4) = 0
𝑥 = −2 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = −4
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {−4, −2}.
Contoh 2.b :
Selesaikan x2 – 4 x + 3 = 0
Jawab: x2 – 4 x + 3 = 0
(x – 3) (x – 1) = 0
x – 3 = 0 atau x – 1 = 0
x = 3 atau x = 1
Jadi, penyelesaian dari x2 – 4 x + 3 = 0
adalah 3 dan 1.
Contoh 3.b :
Tentukan himpunan penyelesaian dari (x –
2)2 = x – 2.
Jawab: (x – 2)2 = x – 2
x2 – 4 x + 4 = x – 2
x2 – 5 x + 6 = 0
(x – 3) (x – 2) = 0
x – 3 = 0 atau x – 2 = 0
x = 3 atau x = 2
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {3
, 2}.
Contoh 4.b :
Tentukan penyelesaian dari 2 x2 + 7 x + 6
= 0.
Jawab: 2 x2 + 7 x + 6 = 0
2 x2 + 4 x + 3 x + 6 = 0
2 x (x + 2) + 3 (x + 2) = 0
(x + 2) (2 x + 3) = 0
x +2 = 0 atau 2 x + 3 = 0
x = –2 atau x = – 1
Jadi, penyelesaiannya adalah –2 dan –1.
 Cara memfaktorkan persamaan kuadrat jika 𝒂 ≠ 𝟏.
Untuk mengetahui bagaimana caranya mencari akar-akar persamaan kuadrat jika 𝑥2
+ 𝑏𝑥 +
𝑐 = 0, 𝑎 ≠ 1. Perhatikan contoh berikut.
Contoh 5.b :
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat dari 2𝑥2
+ 𝑥 − 3 = 0 !
Penyelesaian :
Kita mencari dua bilangan jika dikalikan hasilnya 𝑎. 𝑐 dan jika dijumlahkan hasilnya b.
Didalam soal 𝑎. 𝑐 = 2. (−3) = −6 𝑑𝑎𝑛 𝑏 = 1.
Kita peroleh kedua bilangan tersebut adalah −2 𝑑𝑎𝑛 3.

7. 2𝑥2
+ 𝑥 − 3 = 2𝑥2
+ ⋯− 3
= 2𝑥2
− 2𝑥 + 3𝑥 − 3 jabarkan x menjadi −𝟐𝒙 + 𝟑𝒙
= (2𝑥2
− 2𝑥) + (3𝑥 − 3) beri tanda kurung
= 2𝑥(𝑥 − 1) + 3(𝑥 − 1) faktokan bentuk aljabar didalam kurung
= (2𝑥 + 3)(𝑥 − 1) gunakan sifat distributif
Sehingga dapat diselesaikan sebagai berikut :
2𝑥2
+ 𝑥 − 3 = 0
(2𝑥 + 3)( 𝑥 − 1) = 0
𝑥 = −
3
2
𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = 1
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {−
3
2
, 1}.
2) Melengkapkan Kuadrat Sempurna
Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dapat diselesaikan dengan mengubahnya menjadi
Ada beberapa langkah, yaitu :
1. Koefisien x2 harus 1
2. Konstanta pindah ke ruas kanan x2 + mx = n
3. Diubah ke bentuk kuadrat sempurna (x + p)2 = q
Contoh 6.b :
Tentukan himpunan penyelesaian dari 𝑥2
+ 8𝑥 + 12 = 0!
(x + p)2
= q

8. Penyelesaian :
𝑥2
+ 8𝑥 + 12 = 0
𝑥2
+ 8𝑥 = −12
𝑥2
+ 8𝑥 + (
1
2
. 8)
2
= −12 + (
1
2
. 8)
2
𝑥2
+ 8𝑥 + 16 = −12 + 16
( 𝑥 + 4)2
= 4
( 𝑥 + 4) = ±√4
( 𝑥 + 4) = ±2
𝑥 = 2 − 4 = −2 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = −2 − 4 = −6
Jadi himpunan penyelesaiannya {−6,−2}
Contoh 7.b :
Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 – 6 x + 5 = 0.
Jawab: x2 – 6 x + 5 = 0
x2 – 6 x + 9 – 4 = 0
x2 – 6 x + 9 = 4
(x – 3)2 = 4
x – 3 = 2 atau x – 3 = –2
x = 5 atau x = 1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah{ 1 , 5}.
3) Menggunakan Rumus Kuadratik
Selain menggunakan pemfaktoran, mencari akar-akar persamaan kuadrat 𝒂𝒙 𝟐
+ 𝒃𝒙 +
𝒄 = 𝟎 adalah dengan menggunakan rumus kuadratik atau biasa disebut rumus abc. Rumus
kuadrat dapat diturunkan dengan cara melengkapkan kuadrat sempurna sebagai berikut :
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐
kedua ruas ditambah –c, maka menjadi :
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐

9. Kedua ruas dibagi dengan a
𝑎𝑥2
𝑎
+
𝑏𝑥
𝑎
=
−𝑐
𝑎
↔ 𝑥2
+
𝑏𝑥
𝑎
=
−𝑐
𝑎
Lengkapkan kuadrat pada ruas kiri, dengan cara menambahkan (
𝑏
2𝑎
)
2
pada kedua ruas, maka
diperoleh:
𝑥2
+
𝑏𝑥
𝑎
+ (
𝑏
2𝑎
)
2
=
−𝑐
𝑎
+ (
𝑏
2𝑎
)
2
Nyatakan ruas kiri ke dalam bentuk kuadrat sempurna, yaitu :
(𝑥 +
𝑏
2𝑎
)
2
=
−𝑐
𝑎
+
𝑏2
4𝑎2
(𝑥 +
𝑏
2𝑎
)
2
= −
4𝑎𝑐
4𝑎2
+
𝑏2
4𝑎2
(𝑥 +
𝑏
2𝑎
)
2
=
𝑏2
− 4𝑎𝑐
4𝑎2
𝑥 +
𝑏
2𝑎
= ±√
𝑏2 − 4𝑎𝑐
4𝑎2
𝑥 +
𝑏
2𝑎
= ±
√𝑏2 − 4𝑎𝑐
√4𝑎2
𝑥 +
𝑏
2𝑎
= ±
√𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 = −
𝑏
2𝑎
±
√𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎

10. Jadi rumus akar-akar persamaan kuadrat 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 adalah
Contoh 8.b :
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara menggunakan rumus kuadrat 6𝑥2
− 5𝑥 +
1 = 0.
Penyelesaian :
6𝑥2
− 5𝑥 + 1 = 0
𝑎 = 6, 𝑏 = −5, 𝑐 = 1
𝒙 𝟏,𝟐 =
−𝒃 ± √𝒃 𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
𝑥1,2 =
−(−5) ± √(−5)2 − 4.6.1
2.6
𝑥1,2 =
5 ± √25 − 24
12
𝑥1,2 =
5 ± √1
12
𝑥1,2 =
5 ± 1
12
Jadi diperoleh 𝑥1 =
5+1
12
=
6
12
=
1
2
dan 𝑥2 =
5−1
12
=
4
12
=
1
3
. Himpunan penyelesaian {
1
3
,
1
2
}
Contoh 9.b :
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara menggunakan rumus kuadrat 11𝑥2
+
9𝑥 − 17 = 0.
Penyelesaian :
11𝑥2
+ 9𝑥 − 17 = 0
𝑎 = 11, 𝑏 = 9, 𝑐 = −17
𝒙 𝟏,𝟐 =
−𝒃 ± √𝒃 𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
𝑥1,2 =
−(9) ± √(9)2 − 4.11.17
2.11
𝑥1,2 =
−9 ± √81 − 748
22
𝒙 𝟏,𝟐 =
−𝒃 ± √𝒃 𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂

11. 𝑥1,2 =
−9 ± √667
22
Jadi diperoleh 𝑥1 =
−9+√667
22
dan 𝑥2 =
−9−√667
22
. Himpunan penyelesaian {
−9+√667
22
,
−9−√667
22
}

12. Latihan 1
1. Tentukan penyelesaian persamaan kuadrat berikut ini:
a. x2 – 3x + 2 = 0
b. 3x2 – 9x = 0
c. 6x2 – 13x + 6 = 0
d. 5p2 + 3p + 2 = 0
e. 9x2 – 3x + 25 = 0
2. Nyatakan persamaan-persamaan kuadrat berikut dalam bentuk umum, kemudian
tentukanlah akar-akarnya!
a. 2x – x(x + 3) = 0
b. (x – 3) (x + 2) – 2x2 + 12 = 0
c. (x – 3)2 + 2(x – 3) – 3 = 0
3. Salah satu akar x2 – mx + 12 = 0 adalah 3. Hitunglah nilai m dan akar yang lain!
4. Jika x = 1 memenuhi persamaan (a – 1)x2 + (3a – 1)x = 3a, hitunglah a dan akar yang
lain!
5. Untuk percetakan kartu nama, diperlukan kertas yang berbentuk persegi panjang
dengan panjang dan lebar berselisih 4 cm, sedangkan luasnya 45 cm2. Hitunglah
panjang dan lebar kartu nama itu!

13. c) Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat
Dari rumus kuadratik tampak bahwa akar-akar persamaan kuadrat sangat ditentukan oleh
nilai 𝒃 𝟐
− 𝟒𝒂𝒄. Bentuk 𝒃 𝟐
− 𝟒𝒂𝒄 disebut diskriminan (pembeda) dari persamaan kuadrat
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 dan dilamangkan dengan huruf D, sehingga 𝐷 = 𝒃 𝟐
− 𝟒𝒂𝒄.
Pemberian nama/istilah diskriminan 𝐷 = 𝒃 𝟐
− 𝟒𝒂𝒄, dikarenakan nilai 𝐷 = 𝒃 𝟐
− 𝟒𝒂𝒄 ini
yang mendiskriminasikan (membedakan) jenis-jenis akar persamaan kuadrat. Jadi kegunaan
diskriminan adalah untuk menentukan jenis akar-akar persamaan kuadrat sebagai berikut :
Contoh 1.c :
Tanpa menyelesaikan persamaan lebih dahulu, tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat x2
+ 5 x + 2 = 0
Penyelesaian :
x2 + 5 x + 2 = 0
a = 1 , b = 5 , c = 2
D = b2 – 4ac = 52 – 4 . 1 . 2 = 25 – 8 = 17
Ternyata D > 0. Jadi, persamaan x2 + 5 x + 2 = 0 mempunyai dua akar real berlainan
Contoh 2.c :
Tentukan nilai k agar persamaan kuadrat kx2 + 3x + k = 0 mempunyai 2 akar sama/kembar
1) 𝐷 > 0 maka D merupakan bilangan real positif, sehingga persamaan kuadrat
mempunyai dua akar real berlainan.
2) 𝐷 = 0 maka nilai D sama dengan nol, sehingga persamaan kuadrat mempunyai dua
akar real yang sama (akar kembar).
3) 𝐷 < 0 maka D merupakan bilangan yang tak real (imajiner),maka persamaan kuadrat
tidak mempunyai akar real atau persamaan kuadrat mempunyai akar tidak real
(imajiner).

14. Penyelesaian :
Syarat akar kembar D = 0, maka
𝑏2
− 4𝑎𝑐 = 32
− 4𝑘𝑘
0 = 9 − 4𝑘2
4𝑘2
= 9
𝑘 = ±√
9
4
𝑘 = ±
3
2
Jadi agar persamaan kuadrat mempunyai akar kembar 𝑘 = ±
3
2
Contoh 3.c :
Tentukan m agar persamaan kuadrat berikut x2
− 2x + (m + 1) = 0 Tidak mempunyai
akar nyata.
Penyelesaian :
Syarat tidak mempunyai akar nyata D < 0, maka
b2
− 4ac < 0
22
− 4.1. (m + 1) < 0
4 − 4𝑚 − 4 < 0
−4𝑚 < 0
𝑚 < 0
jadi agar persamaan kuadrat tidak mempunyai akar nyata 𝑚 < 0.

15. Latihan 2
1. Tanpa menyelesaikan persamaannya, tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat
berikut ini:
a. x2 + 6x + 6 = 0
b. x2 + 2x + 1 = 0
c. 2x2 + 5x + 5 = 0
d. –2x2 – 2x – 1 = 0
e. 6t2 – 5t + 1 = 0
f. 4c2 – 4c + 3 = 0
2. Tentukan nilai p agar persamaan kuadrat berikut mempunyai akar yang sama
(kembar)!
a. 4x2 + 8px + 1 = 0
b. 4x2 – 4px + (4p – 3) = 0
c. px2 – 3px + (2p + 1) = 0
3. Persamaan x2 – 4px – (p – 1) = 0 akar kembar, tentukan persamaan kuadrat tersebut!
4. Buktikan bahwa persamaan x2 – px – (p + 1) = 0 mempunyai dua akar real berlainan!
5. Buktikan bahwa mempunyai dua akar real berlainan!

16. d) Jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat
Persamaan kuadrat 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 mempunyai akar 𝑥1 𝑑𝑎𝑛 𝑥2 dari rumus kuadratik
𝑥1 =
−𝑏+√𝑏2
−4𝑎𝑐
2𝑎
dan 𝑥2 =
−𝑏−√𝑏2
−4𝑎𝑐
2𝑎
dapat di tentukan :
a. Jumlah akar-akar persamaan kuadrat
𝑥1 + 𝑥2 =
−𝑏+√𝑏2
−4𝑎𝑐
2𝑎
+
−𝑏−√𝑏2
−4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥1 + 𝑥2 =
−𝑏 + √𝑏2 − 4𝑎𝑐 − 𝑏 − √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑥1 + 𝑥2 =
−2𝑏
2𝑎
𝑥1 + 𝑥2 =
−𝑏
𝑎
b. Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat
𝑥1 . 𝑥2 = (
−𝑏 + √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
) (
−𝑏 − √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
)
𝑥1 . 𝑥2 =
(−𝑏)2
+ √𝑏2 − 4𝑎𝑐 − 𝑏√𝑏2 − 4𝑎𝑐 − (𝑏2
− 4𝑎𝑐)
4𝑎2
𝑥1 . 𝑥2 =
𝑏2
−𝑏2
+4𝑎𝑐
4𝑎2
𝑥1 . 𝑥2 =
4𝑎𝑐
4𝑎2
𝑥1 . 𝑥2 =
𝑐
𝑎
𝑗𝑎𝑑𝑖
𝑥1 + 𝑥2 =
−𝑏
𝑎
𝑗𝑎𝑑𝑖
𝑥1 . 𝑥2 =
𝑐
𝑎

17. Contoh 1.d :
Akar-akar 2𝑥2
− 5𝑥 + 4 = 0 adalah 𝑥1 dan 𝑥2. Dengan tanpa menyelesaikan persamaan
tersebut hitunglah 𝑥1
2
+ 𝑥2
2
.
Penyelesaian :
𝑥1 + 𝑥2 =
−𝑏
𝑎
=
−(−5)
2
=
5
2
, 𝑥1 . 𝑥2 =
𝑐
𝑎
=
4
2
= 2
𝑥1
2
+ 𝑥2
2
= (𝑥1 + 𝑥2)2
− 2𝑥1 . 𝑥2 = (
5
2
)
2
− 2.2 =
25
4
− 4 =
25 − 16
4
=
9
4
=
3
2
Contoh 2.d :
Persamaan kuadrat −2𝑥2
+ 4𝑥 − 5 mempunyai akar-akar 𝛼 𝑑𝑎𝑛 𝛽.
Tentukan :
a. 𝛼 + 𝛽
b. 𝛼. 𝛽
c. 𝛼2
+ 𝛽2
d. 𝛼3
+ 𝛽3
e.
1
𝛼
+
1
𝛽
f.
1
(𝛼+2)
+
1
(𝛽+2)
Penyelesaian :
−2𝑥2
+ 4𝑥 − 5
𝑎 = −2 , 𝑏 = 4 , 𝑐 = −5
a. 𝛼 + 𝛽 =
−𝑏
𝑎
=
−4
−2
= 2
b. 𝛼. 𝛽 =
𝑐
𝑎
=
−5
−2
=
5
2
c. 𝛼2
+ 𝛽2
= (𝛼 + 𝛽)2
− 2𝛼. 𝛽
= 22
− 2.
5
2
= 4 − 5
= −1
d. 𝛼3
+ 𝛽3
= (𝛼 + 𝛽)3
− 3𝛼. 𝛽(𝛼 +
𝛽)
= 23
− 3.
5
2
. 2
= 8 − 15
= −7

18. e.
1
𝛼
+
1
𝛽
=
𝛼+𝛽
𝛼.𝛽
=
2
5/2
=
4
5
f.
1
(𝛼+2)
+
1
(𝛽+2)
=
( 𝛽 + 2) + (𝛼 + 2)
(𝛼 + 2)(𝛽 + 2)
=
( 𝛼 + 𝛽) + 4
𝛼. 𝛽 + 2𝛼 + 2𝛽 + 4
=
( 𝛼 + 𝛽) + 4
𝛼. 𝛽 + 2(𝛼 + 𝛽) + 4
=
2 + 4
5
2
+ 2(2) + 4
=
6
21
2
=
12
21
=
4
7

19. e) Menyusun Persamaan Kuadrat Baru
1. Menyusun persamaan kuadrat dengan menggunakan perkalian faktor
Pada bahasan terdahulu, persamaan kuadrat x2 + p x + q = 0 dapat dinyatakan sebagai (x
– x1) (x – x2) = 0 sehingga diperoleh akar-akar persamaan itu x1 dan x2. Dengan demikian jika
akar-akar persamaan kuadrat x1 dan x2 maka persamaannya adalah (x – x1) (x – x2) = 0.
Contoh 1.e :
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan -2.
Penyelesaian :
(x – x1) (x – x2) = 0
(x – 3) (x – (-2)) = 0
(x – 3) (x + 2) = 0
x2 – 3 x + 2 x – 6 = 0
x2 – x – 6 = 0.
Jadi persamaan kuadrat yag terbentuk adalah x2 – x – 6 = 0.
Contoh 2.e :
Susunlah Persamaan kuadrat baru (PKB) yang akar-akarnya adalah
a. 2 dan 7 => PKB = (x - 2) (x -7)
= x2
- 9x +14
b. -3 dan -4 => PKB = {x-(-3)} {x-(-4)}
= (x+3) (x+4)
= x2
+ 7x + 12
c. -7 dan 2 => PKB = {x-(-7)} (x-2)
= (x+7) (x-2)
= x2
+ 5x – 14

20. 2. Menyusun persamaan kuadrat baru dengan menggunakan jumlah dan hasil kali
akar-akar persamaan kuadrat
Dengan menggunakan 𝑥1 + 𝑥2 =
−𝑏
𝑎
dan 𝑥1 . 𝑥2 =
𝑐
𝑎
maka akan diperoleh persamaan sebagai
berikut :
Contoh 3.e :
Susunlah persamaan kuadrat baru yang akarnya 2 kali akar persamaan 2x2 – 3x + 1 = 0.
Penyelesaian :
𝑎 = 2 , 𝑏 = −3 , 𝑐 = 1
𝑥1 + 𝑥2 =
−𝑏
𝑎
=
−(−3)
2
=
3
2
𝑥1 . 𝑥2 =
𝑐
𝑎
=
1
2
• Misalkan akar-akar persamaan 2x2 – 3x + 1 = 0 adalah x1 dan x2 serta persamaan
kuadrat baru adalah a dan b, maka a = 2x1 dan b = 2x2
a + b = 2(x1 + x2) = 2.
3
2
= 3
a. b = 2x1 . 2x2 = 4x1 x2 = 4 .
1
2
= 2
Persamaan kuadrat yang akarnya a dan b adalah:
x2 – (a + b)x + ab = 0.
Persamaan kuadrat baru adalah x2 – 3x + 2 = 0.
𝒙 𝟐
− ( 𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐) 𝒙 + 𝒙 𝟏 . 𝒙 𝟐 = 𝟎

21. Contoh 4.e:
1. Susunlah Persamaan Kuadrat baru yang akar2nya adalah 2+√5 dan 2-√5!
Jawaban : x1 + x2 = (2+√5) +(2-√5) = 4
x1.x2 = (2+√5) (2-√5) = -1
Jadi, PKB => x2 - (x1 + x2)x + x1.x2 = 0
=> x2 - 4x - 1 = 0
2. x1 dan x2 adalah akar2 persamaan kuadrat x2 - 2x + 5 = 0. Susunlah persamaan kuadrat
baru yang akar2nya 3 lebihnya dari akar2 persamaan kuadrat yang diletahui.
Jawaban : x1 + x2 = -b/a = 2 dan x1.x2 = c/a = 5
x1 = (x1 + 3) dan x2 = (x2 + 3)
maka, x1 + x2 = (x1 + 3) + (x2 + 3) dan x1.x2 = (x1 + 3) (x2 + 3)
= (x1 + x2) + 6 = x1.x2 + 3(x1+x2) + 9
= 2 + 6 = 5 + 3.2 + 9
= 8 = 20
Jadi, PKB => x2 - (x1 + x2)x + x1.x2 = 0
=> x2 - 8x + 20 = 0

22. LATIHAN 3
1. Akar-akar x2 – 3x + 4 = 0 adalah x1 dan x2. Dengan tanpa menyelesaikan persamaan
tersebut, hitunglah nilai:
a. x1 + x2
b. x1.x2
c. x1
2 + x2
2
d. x1
3 + x2
3
2. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya –2 dan –3.
3. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3 lebih dari akar-akar
persamaan x2 – 2x + 3 = 0.
4. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akarnya 2 kali akar persamaan 2x2 – 3x + 1 =
0 .

23. B. FUNGSI PERSAMAAN KUADRAT
Domain (Daerah Asal), Kodomain (Daerah Kawan) , dan Range (Daerah Hasil)
a) Pengertian Domain, Kodomian, Range
Misalkan fungsi f memetakan setiap anggota himpunan A ke himpunan B.
a. Himpunan A disebut dengan daerah asal atau domain atau prapeta fungsi f
b. Himpunan B disebut dengan daerah kawan atau kodomain fungsi f
c. Himpunan yang beranggotakan himpunan B yang dipasangkan dengan anggota
himpunan A disebut dengan daerah hasil atau range atau peta fungsi f.
Contoh 1:
Tentukan domain (daerah asal) fungsi-fungsi berikut.
a. F(x) = 4x+1
b. F(x) =√ 𝑥 − 16
c. F(x) =
5
5−𝑥
Jawab :
a. Untuk sembarang x bilangan real , f(x) = 4x+1 akan bernilai real atau terdefinisi.
Jadi domainnya adalah x € R atau DF = { X | X € R }
b. Fungsi f(x) = √ 𝑥 − 16 akan terdefinisi jika bilangan di dalam tanda akar tidak bernila
negatif
x-16 ≥ 0 x ≥ 16
dengan demikian , domain dari f adalah Df = {x | x ≥ 16}
c. Fungsi pecahan akan terdefinisi jika penyebutnya tidak sama dengan nol. Oleh karena
itu,

24. 5 – x ≠ 0 atau x ≠5
Jadi domainnya {x |x € R, x ≠5}
b) Pengertian Fungsi Kuadrat
Fungsi f pada himpunan bilangan real R yang ditentukan oleh rumus 𝑓( 𝑥) = 𝑎𝑥2
+
𝑏𝑥 + 𝑐, dengan 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 𝑑𝑎𝑛 𝑎 ≠ 0 dinamakan fungsi kuadrat dengan peubah x. Jika f(x) =
0 maka diperoleh persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0. Nilai-nilai x yang memenuhi
persamaan itu disebut nilai pembuat nol fungsi f.
Nilai fungsi f untuk x = p ditulis f(p) = ap2 + bp + c.
c) Bentuk Umum Fungsi Kuadrat
Contoh 2:
Ditentukan: f(x) = x2 – 6x – 7
Ditanyakan:
1. nilai pembuat nol fungsi f
2. nilai f untuk x = 0 , x = –2
3. Jawab:
Nilai pembuat nol fungsi f diperoleh jika f(x) = 0
x2 – 6 x – 7 = 0
(x – 7) (x + 1) = 0
Bentukumumfungsi kuadrat:
𝑓( 𝑥) = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑑𝑎𝑛 𝑎 ≠ 0

25. x = 7 atau x = –1
Jadi pembuat nol fungsi f adalah 7 dan –1
Untuk x = 0 maka f(0) = –7
x = –2 maka f(–2) = (–2)2 – 6 (–2) – 7 = 9
d) Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat
Langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat adalah sebagai berikut:
i. titik potong grafik dengan sumbu x dan sumbu y.
ii. titik balik atau titik puncak parabola.
iii. Persamaan sumbu simetri.
Berikut ini adalah penjelasan dari langkah-langkah di atas :
i. Titik potong Grafik dengan Sumbu X dan Sumbu y
a) Titik Potong Grafik dengan Sumbu X
Titik potong grafik dengan sumbu x diperoleh jika y= 0, sehingga 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
merupakan kuadrat dalam x.
Akar-akar persamaan kuadrat itu merupakan absis titik-titik potongnya dengan sumbu
x. Nilai diskriminan persamaan kuadrat 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 ,yaitu 𝐷 = 𝑏2
− 4𝑎𝑐 menentukan
banyak titik potong grafik dengan sumbu x.
b) Titik Potong Grafik dengan Sumbu y
Titik potong grafik dengan sumbu y diperoleh jika 𝑥 = 0, sehingga
1. Jika D > 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu x di dua titik yang berlainan.
2. Jika D = 0, maka grafik fungsi f memotong sumbu x di dua titik yang berimpit.
Dalam hal ini, grafik fungsi f dikatakan menyinggung sumbu x.
3. Jika D < 0, maka grafik fungsi f tidak memotong maupun menyinggung sumbu
x.

26. 𝑦 = 𝑎(0)2
+ 𝑏(0) + 𝑐 ↔ 𝑦 = 𝑐
Jadi titik potong grafik dengan sumbu y adalah (0, 𝑐).
c) Titik balik atau titik puncak dan persamaan sumbu simetri
Cara 1 :
 Mencari nilai 𝑥 𝑝 menggunakan 𝑥 𝑝 =
−𝑏
2𝑎
 Untuk mencari 𝑦 𝑝, substitusikan nilai 𝑥 𝑝 =
−𝑏
2𝑎
ke 𝑦 = 𝑓( 𝑥) = 𝑎𝑥2
𝑏𝑥 + 𝑐
Cara 2 :
 Menggunakan rumus untuk menentukan titik (𝑥 𝑝, 𝑦 𝑝) = (
−𝑏
2𝑎
,
𝑏2
−4𝑎𝑐
−4𝑎
) atau (𝑥 𝑝, 𝑦 𝑝) =
(
−𝑏
2𝑎
,
𝐷
−4𝑎
)
Cara 3 : menggunakan turunan (titik puncak = titik stationer)
d) Pilih beberapa nilai x kemudian carilah nilai y nya dengan menstubstitusikan nilai x
pada fungsi
e) Buat daftar nilai f dalam table seperti dibawah ini :
x
y
(x,y)
f) Gambarlah titik-titik (x,y) pada bidang koordinat.
Dengan memperlihatkan nilai D dari suatu fungs kuadrat 𝑦 = 𝑓( 𝑥) = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐, ada 6
kemungkinan kedudukan grafik fungsi kuadrat terhadap sumbu x, yaitu sebagai berikut :

27. Contoh :
Gambarlah sketsa grafik −𝑥2
+ 2𝑥 − 1 !
Penyelesaian :
Grafik fungsi kuadrat 𝑦 = 𝑓( 𝑥) = −𝑥2
+ 2𝑥 − 1 adalah sebuah parabola.
𝑎 = −1 , 𝑏 = 2 , 𝑐 = −1
Titik potong grafik dengan sumbu x dan sumbu y
a) Titik potong grafik jika 𝑦 = 0
−𝑥2
+ 2𝑥 − 1 = 0
Kedua ruas dikalikan dengan −1, menjadi :
−𝑥2
− 2𝑥 + 1 = 0
( 𝑥 − 1)( 𝑥 − 1) = 0
𝑥 = 1
Jadi diperoleh titik potong (1,0) atau grafiknya menyinggung sumbu x di (1,0)
b) Titik potong grafik jika 𝑥 = 0
Ini berarti 𝑦 = −(0)2
+ 2(0) − 1 = −1
Jadi diperoleh titik potong (0, −1)
c) Koordinat titik balik
𝑥 𝑝 =
−𝑏
2𝑎
=
−2
2(−1)
= 1
Oleh karena 𝑎 = −1 < 0, maka p merupakan titik balik maksimum, sehingga
parabolanya terbuka ke bawah.
d) Persamaan sumbu simetri adalah 𝑦 𝑝
𝑏2
−4𝑎𝑐
−4𝑎
=
22
−4 (−1)(−1)
−4(−1)
= 0
e) 𝑦 = 𝑓( 𝑥) = −𝑥2
+ 2𝑥 − 1
x 0 1 2
y -1 0 -1
(x,y) (0,−1) (1,0) (2,−1)

28. f) Jadi sketsa grafiknya sebagai berikut :