Dokumen ini membahas konsep dasar logika, termasuk definisi penalaran, kalimat, dan pernyataan dalam logika matematika. Dijelaskan pula tentang nilai кebenaran, pernyataan majemuk, serta metode pengambilan kesimpulan seperti modus ponens dan modus tollens. Selain itu, terdapat penjelasan tentang berbagai jenis kalimat dan operasi logika yang relevan.

2. Logika adalah suatu metode atau teknik yang diciptakan untuk meneliti ketepatan penalaran. Penalaran adalah suatu bentuk pemikiran yang masuk akal. Untuk menyampaikan pemikiran tersebut seseorang menggunakan kalimat. Kalimat adalah kumpulan kata yang disusun menurut aturan tata bahasa. Kata adalah rangkaian huruf yang mengandung arti. Kalimat berarti rangkaian kata yang disusun menurut aturan tata bahasa dan mengandung arti. Dalam logika matematika hanya dibicarakan kalimat-kalimat berarti yang menerangkan (kalimat deklaratif/indicative sentences).

3. Dalam matematika hanya akan dipelajari kalimat yang mempunyai arti saja. Contoh : 1. 4 kurang dari 5 . 2. Jakarta adalah Ibu Kota Indonesia. 3. 2 adalah bilangan prima yang genap . 4. 3 adalah bilangan genap . Kalimat-kalimat diatas hanya bernilai benar saja atau salah saja, tidak sekaligus benar dan salah pada saat yang sama. Kalimat-kalimat yang berbentuk seperti diatas disebut dengan Pernyataan.

4. Contoh : 5. Berapa umurmu ? (Kalimat tanya) 6. Bersihkan tempat tidurmu ! (Kalimat perintah) 7. Sejuk benar udara di sini ! (Kalimat ungkapan perasaan) 8. Mudah-mudahan terkabul cita-citamu. (Kalimat pengharapan) Kalimat-kalimat diatas tidak menerangkan sesuatu (bukan kalimat deklaratif), sehingga kalimat-kalimat tersebut bukan pernyataan.

5. Untuk pernyataan yang berniali benar dikatakan mempunyai nilai kebenaran B (benar), sedangkan untuk pernyataan yang bernilai salah dikatakan mempunyai nilai kebenaran S (salah).

6. Kalimat Terbuka adalah kalimat yang memuat variabel dan menjadi pernyataan jika variabel tersebut diganti konstanta dalam himpunan semestanya. Contoh : a. Kota A merupakan daerah industri b. 3x + 4 = 10 Variabel adalah lambang untuk menunjukkan anggota sebarang dari himpunan semesta. Contoh : a. + 2 = 9 ( adalah varibel ) b. x - 8 = 12 ( x adalah varibel ) Konstanta adalah lambang untuk menunjukkan anggota tertentu dalam himpunan semesta.

7. Untuk memahami himpunan penyelesaian suatu kalimat terbuka, perhatikan contoh berikut: Contoh : a. 2x – 1 < 5;  {0, 1, 2, 3, 4, 5} Kalimat tersebut menjadi pernyataan yang benar jika x diganti 0, 1, dan 2. Jadi, hp = { 0, 1, 2 } b. x2 + 5x – 24 = 0 Kalimat tersebut menjadi pernyataan yang benar jika x diganti -8 dan 3 Jadi hp = { -8, 3 }

8. Kuantor Ekstensial Ada x  R sedemikian hingga x + 2 = 5 disimbolkan dengan : Kuantor Universal Untuk semua x  R sedemikian hingga x 2 > 0 disimbolkan dengan :  x  R  x + 2 = 5 (pernyataan benar)  x  R  x 2 > 0 (pernyataan salah)

9. Negasi dari suatu pernyataan adalah pernyataan lain yang diperoleh dengan menambahkan kata ”tidak”, atau ”bukan” pada pernyataan semula. Negasi dari suatu pernyataan p disajikan dengan lambang –p atau ~p , dan dibaca: ”tidak p ”. Bila pernyataan p bernilai benar, maka negasinya bernilai salah dan sebaliknya.

10. Tabel Kebenaran : Contoh : p : Hari ini libur ~p : Hari ini tidak libur, atau – p : Tidak benar hari ini libur Nilai kebenaran pernyataan p tergantung realitas, jika p bernilai benar, maka bernilai salah atau sebaliknya p ~p B S S B

11. Ingkaran Kuantor Universal Ingkaran dari semua x bersifat A adalah: ‘ ada (paling sedikit satu) x tidak bersifat A’ Disimbolkan dengan: Contoh : (  x bilangan positif > 0 ) maka, ingkarannya adalah: ~ (  x bilangan positif > 0) = (  x) bilangan positif ≤ 0) ~ [(  x) P (x)] = (  x)[ ~P (x)]

12. Pernyataan Majemuk adalah pernyataan 2 atau lebih pernyataan tunggal yang dihubungkan oleh kata penghubung. Macam-macamnya adalah: 1. Konjungsi 2. Disjungsi 3. Implikasi 4. Biimplikasi

13. Konjungsi merupakan pernyataan majemuk dengan menggunakan kata penghubung ‘ dan ’. Dua pernyataan p dan q yang dinyatakan dalam bentuk ‘p  q’ disebut konjungsi dan di baca ‘p dan q’.

14. Tabel Kebenaran : ‘ p  q ’ bernilai benar hanya apabila p dan q sama-sama bernilai benar. Contoh : p : Hari ini hujan q : Murid-murid diliburkan dari sekolah p  q : Hari ini hujan dan murid-murid diliburkan dari sekolah p q p  q B B B B S S S B S S S S

15. Disjungsi adalah pernyataan yang dibentuk dari 2 pernyataan p dan q yang dirangkai dengan menggunakan kata penghubung ‘ atau ’. Dinotasikan dengan p  q . Dalam Logika Matematika juga dibedakan dua macam ‘atau’ yang pertama disebut Disjungsi Inklusif (dengan lambang ‘  ’) dan yang kedua disebut Disjungsi Eksklusif (dengan lambang ‘  ’ ). Definisi: a. Suatu disjungsi inklusif bernilai benar bila salah satu pernyataan tunggalnya, atau keduanya bernilai benar. b. Suatu disjungsi eksklusif bernilai benar bila salah satu (dan tidak keduanya) dari pernyataan tunggalnya bernilai benar.

16. Tabel Kebenaran Disjungsi Inklusif : Tabel Kebenaran Disjungsi Ekslusif: p q p  q B B B B S B S B B S S S p q p  q B B S B S B S B B S S S

17. Contoh 1 : “ Pintu rumah terbuka ” atau “ jendela rumah terbuka ”. Hal tersebut dapat keduanya. Pernyataan tersebut disebut Disjungsi Inklusif dan disimbolkan dengan ‘  ’. Contoh 2 : “ Suta pergi kekantor naik becak ” atau “ Suta pergi kekantor naik angkot ”. Hal tersebut tidak mungkin keduanya. Pernyataan tersebut disebut Disjungsi Eksklusif dan disimbolkan dengan ‘  ’.

18. Implikasi adalah pernyataan majemuk yang disusun dari 2 buah pernyataan p dan q dalam bentuk p maka q dengan lambang  . p disebut anteseden/ hipotesa/ sebab q disebut konsekuen/ akibat/ konklusi

19. p q p  q B B B B S S S B B S S B

20. Dari suatu implikasi, dapat dibentuk menjadi tiga implikasi baru, yaitu: p  q disebut implikasi q  p disebut konvers ~p  ~q disebut invers ~q  ~p disebut kontraposisi

21. Jadi, kesimpulannya : Implikasi ≡ Kontraposis Konver ≡ Invers p q ~p ~q Implikasi p  q Konvers q  p Invers ~p  ~q Kontraposisi ~q  ~p B B S S B S B S S S B B S B S B B S B B B B S B B B S B B S B B

22. Biimplikasi adalah pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung ‘ Jika dan hanya jika ’ disebut biimplikasi, atau dengan lambang ⇔ .

23. p q p ⇔ q B B B B S S S B B S S B

24. Tautoligi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar. Kontradiksi adalah Pernyataan majemuk yang selalu bernilai salah.

25. Tabel Kebenaran Tautologi : p q p  q ~ ( p  q) p  ~ ( p  q ) B B B S B B S S B B S B S B B S S S B B

26. Tabel Kebenaran Kontradiksi : p q p  q p  q ~ ( p  q ) ( p  q )  ~ ( p  q ) B B B S B S B S S B B S S B S B B S S S S B B S

27. ~ ( p  q ) ≡ ( ~ p  ~ q ) ~ ( p  q ) ≡ ( ~ p  ~ q ) ~ ( p  q ) ≡ ( p  ~ q ) ~ ( p ⇔ q ) ≡ ( p  ~ q )  (q  ~ p)

28. p q ~ p ~ q p  q ~ ( p  q ) ~ p  ~ q B B S S B S B S S S B B S B S B B B B S S S S B S S S B

29. p q ~ p ~ q p  q ~ ( p  q ) ~ p  ~ q B B S S B S B S S S B B S B S B B S S S S B B B S B B B

30. p q ~ p ~ q p  q ~ ( p  q ) ( p  ~ q ) B B S S B S B S S S B B S B S B B S B B S B S S S B S S

31. p q ~ p ~ q p ⇔ q ( p  ~q ) ( q  ~ p ) ~ ( p ⇔ q ) A  B B B S S B S B S S S B B S B S B B S S B S B S S S S B S S B B S S B B S

32. Silogisme adalah penarikan kesimpulan yang mnggunakan sifat transitif, yaitu implikasi p  q dan q  r yang bernilai benar dapat disimpulkan bahwa p  r benar. Silogisme : p  q ………….. premis 1 q  r ……….…. premis 2  p  r ………….. kesimpulan

33. Modus Ponens adalah penarikan kesimpulan yang berdasarkan pada prinsip implikasi p  q bernilai benar dan p benar, maka q benar. Modus Ponens : p  q ………….. premis 1 p ……….…. premis 2  q ………….. kesimpulan

34. Modus Tollens adalah penarikan kesimpulan yang berdasarkan pada prinsip implikasi p  q bernilai benar dan ~q benar, maka ~p benar. Modus Tollens : p  q …………… premis 1 ~q ……….…. . premis 2  ~ p ………….... kesimpulan