Materi Matematika

1. 1 | P a g e
BAB
1
LOGIKA MATEMATIKA
Disusun oleh :
 Bella Timoti Pertiwi
 Fitriyah
 NadyaPutriSetiawati
Belajar logika berarti kita belajar berpikir atau bernalar yang merupakan
kegiatan akal manusia dengan manapengetahuanyang kitaterima melaluipanca
indera diolah dan ditujukan untuk mencapai suatu kebenaran. Dengan berpikir
kita belajar menilai sesuatu sehingga dapat disimpulkan manfaat belajar logika
adalah kita memanifestasikan pikiran sehingga mampu mempertimbangkan,
merenungkan, menganalisis, menunj ukkan al asanal asan, membuktikan
sesuatu, membanding bandingkan, menarik kesimpulan, meneliti suatu jalan
pikiran, mencari kausalitasnya, membahas secara relitas dan lain-lain. Manfaat
mempelajari logika, agar dapat berpikir lebih nalar, kritis, tepat, runtut atau
konsisten, dan benar.
Gunakanlah Pikiran Logikamu ke arah positif.
Don’t negative thinking about everything.
Dibelakang setiap orang yang sukses ada
banyak tahun-tahun yang tidak sukses.

2. 2 | P a g e
PETA KONSEP

3. 3 | P a g e
LOGIKA MATEMATIKA
Logika matematikaadalah sebuah cabang matematika yang merupakan gabungan
dari ilmu logika dan ilmu matematika. Logika matematika akan memberikan landasan
tentang bagaimana cara mengambil kesimpulan. Hal yang paling penting yang akan
didapatkan dengan mempelajari logika matematika adalah kemampuan dalam
mengambil dan menentukan kesimpulan mana yang benar atau salah.
1. Pernyataan
Pernyataan (proposisi/deklarasi/statemen) adalah kalimat yang memiliki
nilai benar saja atau salah saja tetapi tidak sekaligus benar dan salah.
 Contoh a dan c merupakan contoh pernyataan bernilai benar sedangkan b
merupakan pernyataan bernilai salah.
Suatu pernyataan di notasikan dengan huruf kecil seperti p,q,r dan
sebagainya,
misalnya :
p : Semua bilangan prima adalah ganjil
q : Jakarta ibukota Indonesia
Ada 2 dasar untuk menentukan nilai kebenaran sebuah pernyataan
Untuk menunjukkan bahwa sebuah pernyataan itu benaratau salah dapat
digunakan cara sebagai berikut :
i. Dasar empiris, yaitu menunjukkan benar atau salahnya sebuah
pernyataan berdasarkan fakta yang dijumpai dalam kehidupan nyata.
Contoh : rambut adik panjang
ii. Dasar tidak empiris, yaitu menunjukkan benar salahnya sebuah
pernyataan melalui bukti atau perhitungan dalam matematika.
Contoh : jumlah sudut dalam segitiga adalah 180°
2. Ingkarandari suatu pernyataan
a. Hasil Kali 5 dan 4 adlah20
b. Semuaunggasdapat terbang
c. Ada bilanganprimayanggenap
Contoh
a. Semogananti engkaunaikkelas
b. Tolongtutupkanpintuitu
c. Apakahandi sudahmakan ?
Contoh kalimat yang bukan
pernyataan

4. 4 | P a g e
Misalkan p adalah suatu penyataan. Suatu pernyataan lain yang dibentuk
dari pernyataan p dengan cara menuliskan “Adalah salah bahwa....” sebelum
pernyataan p, atau jika mungkin dengan menyisipkan kata “tidak” atau “bukan”
pada pernyataan p dinamakan negasi atau penyangkalan atau ingkaran dari
pernyataan p. Ingkaran dari pernyataan p ditulis : ~ p (dibaca : “tidak benar
bahwa p”).
Sifat : Jika p benar maka ~p salah. Jika p salah maka ~p benar. Dalam tabel
kebenaran, sifat itu disajikan sebagai berikut.
p ~p
B S
S B
Catatan : Ingkaran dari “semua atau setiap” adalah “ada atau beberapa”
Ingkaran dari “ada atau beberapa” adalah “semua atau setiap”
3. Pernyataan Majemuk
Pernyataan majemuk adalah gabungan dari beberapa pernyataan tunggal
yang di hubungkan dengan kata hubung. Ada 4 macam pernyataan
majemuk :
1. Konjungsi
Dua pernyataan yang dirangkaikan dengan kata hubung logika “dan”
untuk membentuk suatu pernyataan majemuk dinamakan konjungsi dari
pernyataan semula. Dalam bentuk lambang konjungsi dari pernyataan p dan q
ditulis p ∧ q (dibaca: “ p dan q”). Nilai kebenaran dari p ∧ q memenuhi sifat
berikut.
Sifat: Jika p benar dan q benar maka p ∧ q benar. Dalam hal lain p ∧ q salah.
Dalam tabel kebenaran, sifat itu disajikan sebagai berikut.
p Q p ∧ q
B B B
B S S
S B S
S S S
p : 3 + 4 = 5 ( Bernilai Salah)
q : 22 – 1 = 3 (Bernilai Benar)
p ∧ q : 3 + 4 = 5 dan 22 – 1 = 3 (Bernilai Salah)
Contoh

5. 5 | P a g e
2. Disjungsi
Dua pernyataan yang dirangkaikan dengan kata hubung logika “atau”
untuk membentuk suatu pernyataan majemuk dinamakan disjungsi dari
pernyataan semula. Dalam bentuk lambang konjungsi dari pernyataan p dan q
ditulis p V q (dibaca: “ p atau q”). Nilai kebenaran dari p V q memenuhi sifat
berikut.
Sifat: Jika p benar atau q benar atau keduanaya benar, maka p V q benar.
Dalam hal lain p V q salah. Ketentuan tentang nilai kebenaran suatu disjungsi
disajikan pada tabel kebeneran sebagai berikut.
p q p V q
B B S
B S B
S B B
S S S
3. Implikasi
Dari pernyataan p dan q dapat dibuat pernyataan majemuk dalam bentuk
“jika p maka q” yang dinamakan implikasi atau pernyataan bersyarat.
Pernyataan p dinamakan alasan atau sebabdan pernyataan q dinamakan
kesimpulan. Implikasi “jika p maka q” dilambangkan dengan p → q juga
dibaca :
a. p hanya jika q c. p syarat cukup bagi q
b. q jika p d. q syarat perlu bagi p
Nilai kebeneran dari implikasi p → q memenuhi sifat sebagai berikut :
Sifat : implikasi p → q selalu benar kecuali dalam kasusu p benar dan q salah
p Q p → q
B B B
B S S
S B B
S S B
p : jumlah dari 2 dan 5 adalah 7(pernyataan bernilai benar)
q: Tugu pahlawan terletak di Jakarta (pernyataan bernilai salah)
pVq:Jumlah dari 2dan5adalah 7atauTugu pahlawan terletak di Jakarta
(pernyataan bernilai benar)
Contoh

6. 6 | P a g e
4. Biimplikasi
Pernyataan bersyarat berbentuk “p jika dan hanya jika q” dinamakan
implikasi (implikasi dwi arah/bikondisional/ekuivalen). Pernyataan ini
adalah gabungan dari p → q dan q → p, karena itu dinamakan dwi arah.
Biimplikasi “p jikadan hanya jika q” dinyatakan dengan lambang p↔q.
Biimplikasi p↔q dapat juga dibaca :
a. Jika p maka q dan jika q maka p
b. p syarat perlu dan cukup bagi q
c. q syarat perlu dan cukup bagi p
Nilai kebeneran dari implikasi p↔q memenuhi sifat sebagai berikut :
p Q p↔q
B B B
B S S
S B S
S S B
4. Konvers, invers, dan kontraposisi
Dari suatu implikasi p → q dapat dibentuk pernyataan majemuk :
a. q→p dinamakan konvers dari p→q
b. ~p → ~q dinamakan invers dari p→q
c. ~q → ~p dinamakan kontraposisi dari p→q
p : 5+ 4 = 7 (pernyataan salah)
q : Indonesia di benua eropa(pernyataan salah)
p → q : Jika 5+ 4 = 7 maka Indonesia di benua eropa
(pernyataanbenar)
Contoh
p : 3+ 10 =14(pernyataan salah)
q : Persegi adalah segitiga(pernyataan salah)
p↔q : 3 + 10 = 14 jika dan hanya jika persegi
adalah segitiga(pernyataan salah)
Contoh

7. 7 | P a g e
Sifat: 1. p→q ≡ ~q → ~p ≡ ~p V q
2. q→p ≡ ~p → ~q
Jadi, implikasi ekuivalen dengan kontraposisi dan konvers dan konvers ekuvalen
dengan invers.
5. Ekuivalen Pernyataan Majemuk
Dua pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen jika untuk semua
kemungkinan nilai kebenaran komponen-komponennya, pernyataan majemuk itu
mempunyai nilai kebenaran yang sama. Lambang ekuivalen adalah ≡ .
Contoh : Buktikan bahwa: p ↔ q≡ (p→ q) ∧(q→ p)
6. Tautologi dan kontradiksi
Kontradiksi adalah sebuah pernyataan majemuk yang selalu salah untuk
semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponen.
Tautologi adalah sebuah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk
semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponen.
Contoh :
Buktikan dengan tabel kebenaran (p ∧~q) → ~(p →q)
7. Penarikan Kesimpulan
Suatu argumen dikatakan sah (valid) jika dan hanya jika konjungsi dan
premis-premisnya benar. Dengan kata lain, jika bentuk konjungsi premis-
premisnya mengakibatkan konklusi , maka argumen itu dikatakan sah.
Sebaliknya, juika konjungsi premis-premis itu tidak mengakibatkan konklusi,
maka argumen itu sesuatu yang palsu atau tidak sah.

8. 8 | P a g e
Bentuk baku cara menuliskan argumen adalah dengan menuliskan
premis-premis tersusun dari atas ke bawah, setiap premis ditulis dalam satu
baris, sedangkan garis datar digunakan untuk membatasi premis dengan
konklusi.
1. Kaidah silogisme
p→q (premis 1)
q→r (premis 2)
Jadi p→r (kesimpulan/konklusi)
Dengan tabel dapat kita lihat sebagai berikut :
Padatabel tersebut tampak bahwa penarikan kesimpulan dengan metode
silogisme dikatakan sah atau valid.
2. Modus Ponens (Kaidah Pengasingan)
p→q (premis 1)
p (premis 2)
Jadi q (kesimpulan/konklusi)
Dengan tabel dapat kita lihat sebagai berikut :
p q p → q
B B B
B S S
S B B
S S B

9. 9 | P a g e
Pada tabel kebenaran tersebut, premis-premis yang bernilai benar diberi tanda,
ternyata mendapatkan konklusi yang diberi tanda juga benar, sehi ngga penari kan
kesi mpul andenganmenggunakan modusponens dikatakan sah atau valid.
3. Modus Tollens (Kaidah Penolakan Akibat)
p→q (premis 1)
~q (premis 2)
Jadi ~p (kesimpulan/konklusi)
Pernyataan p→q adalah premis pertama, pernyataan ~q adalah premis
kedua, sedangkan pernyataan ~p merupakan konklusi atau kesimpulan. Ketiga
pernyataan diatas sama artinya dengan pernyataan implikasi [(p→q ˄ ~q] → ~p
Argumen tersebut dikatan sah, jika pernyataan implikasi [(p→q ˄ ~q] →
~p merupakan suatu tautologi. Jadi, untuk memeriksa apakah suatu argumen sah
atau tidak, kita perlu memeriksa nilai kebenaran pernyataan implikasi itu untuk
semua kemungkinan nilai kebenaran premis. Pernyataan p→q setara atau
ekuivalen dengan kontraposisinya, yaitu ~q→~p. Oleh karena itu, argumen di
atas dapat ditulis menjadi :
~q→~p (premis 1)
~q (premis 2)
Jadi ~p (kesimpulan/konklusi)
Argumen ini adalah suatu modus ponens. Ternyata modus tolens adalah
bentuk khusus dari modus ponens.
Perlu diingat bahwa sah atau tidak sahnya suatu argumen atau penalaran
tidak tergantung pada benar tidaknya suatu kesimpulan sebagai penyataan.
Ada argumen yang kesimpulannya memiliki arti yang wajar, walaupun
cara menarik kesimpulan itu tidak sah. Ada juga kesimpulan yang kelihatannya
tidak masuk di akal, tetapi kesimpulan itu diperoleh dari suatu argumen yang
sah. :
Dapat juga kita lihat dari tabel sebagai berikut :

10. 10 | P a g e
Berdasarkan tabel tersebut, penari kan kesi mpul an dengan metode modus
tollens dikatakan sah.
Contoh :
Tentukan konklusi dari argumen-argumen berikut ini :
1. Premis 1 : Jika sakit maka ibu minum obat
Premis 2 : Ibu sakit
Konklusinya : Ibu minum obat
2. Premis 1:Jika mesinnya rusakmaka mobil itu tidak dapatbergerak
Premis 2 : Mobil itu dapat bergerak
Konklusinya : Mesin mobil itu tidak rusak
3. Premis 1 : Jika BBM naik maka ongkos bis naik
Premis 2:Jika ongkos bis naik maka uang saku naik
Konklusinya : Jika BBM naik maka uang saku naik

11. 11 | P a g e
LATIHAN SOAL LOGIKA MATEMATIKA
1. Coba kalian ubah pasangan-pasangan pernyataan di bawah ini menjadi
pernyataan majemuk dengan operasi majemuk (dan):
A. p : Hari ini surabaya cerah
q : Hari ini surabaya udaranya sejuk
B. p : Gilang mengenakan baju merah
q : Gilang mengenakan topi hitam
C. p : Bejo pandai dalam pelajaran matematika
q : Bejo pandai dalam pelajaran kimia
2. Diketahui p adalah “Hari ini hujan deras” dan q adalah “Hari ini aliran listrik
terputus”. Tulis setiap pernyataan berikut ini dengan menggunakan lambang
logika
a. Hari ini tidak hujan deras dan aliran listrik tidak terputus.
b. Hari ini tidak hujan deras atau aliran listrik terputus.
3. Perhatikan Penyataan Berikut ini :
p : Tahun ini kemarau panj ang.
q : Tahun ini hasil padi meningkat.
Nyatakan dengan kata-kata:
a. p → q
b. ~p → ~q
c. p → ~q
4. Tunjukkan bahwa :
a. ~(p ˄ q) ≡ ~p ˅ ~q
b. ~(p ˅ q) ≡ ~p ˄~q
5. Tulis konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi :
a. “Jika semua bilangan prima adalah bilangan ganjil maka 2 bukan bilangan
prima”
b. “Jika cuaca dingin maka Dinda memakai jaket”
6. Pernyataan yang mempunyai nilai kebenaran sama dengan pernyataan “Jika
bilangan ganjil sama dengan bilangan genap, maka 1 + 2 bilangan ganjil” adalah
….
(Matematika Dasar SNMPTN)
7. Tentukan kesimpulan dari :
Premis 1 : Jika Budi rajin berolahraga maka badannya sehat.
Premis 2 : Budi rajin berolahraga.

12. 12 | P a g e
8. Diketahui pernyataan :
1. Jika hari panas, maka Ani memakai topi.
2. Ani tidak memakai topi atau ia memakai payung.
3. Ani tidak memakai payung.
Dari pernyataan diatas carilah kesimpulan yang sah !
9. Buktikan bahwa argumen yang berbentuk kaidah silogisme berikut ini sah.
p→q (premis 1)
q→r (premis 2)
Jadi p→r
10. Tuliskan ingkaran dari setiap pernyataan berikut ini kemudian sederhanakanlah.
a. Jika cuaca dingin maka dia memakai baju hangat tetapi bukan sweater
b. Jika dia belajar maka dia akan melanjutkan ke perguruan tinggi atau ke
sekolah seni.

13. 13 | P a g e
BAB
2 HIMPUNAN
Disusun oleh :
 Deri Ayu Pramesti
 Ira Marion
 M. Ridho Ratu
Berlian
Kalian tentu pernah pergi ke warung, took, atau
swalayan. Barang-barang yang dijual di tempat tersebut
dikumpulkan atau dikelompokkan dengan aturan
sendiri. Jika kalian perhatikan, barang-barang itu diatur
sehingga membentuk himpunan-himpunan tertentu.
Misalnya, himpunan pakaian, himpunan makanan, dan
himpunan sayur-mayur. Coa kalin bayangkan apa yang
terjadi jika barang-barang itu bercampur.
Alam hanya mampu
memperlihatkan tempat yang
terbatas, tapi buku memberikan
dunia yang tak terbatas

14. 14 | P a g e
PETA KONSEP
HIMPUNAN
KONSEP HIMPUNAN
RELASI HIMPUNAN OPERASI HIMPUNAN
Definisi
Notasi
Jenis-Jenis
Komplemen
Pengurangan
Penjumlahan
GabunganHimpunanSama
Sifat-Sifat Operasi
Himpunan Equivalen
HimpunanBagian
HimpunanKuasa
Sifat Relasi Himpunan

15. 15 | P a g e
HIMPUNAN
1. KONSEP HIMPUNAN
1.1 Pengertian Himpunan
Dalam matematika, himpunan adalah segala koleksi benda-benda tertentu
yang dianggap sebagai satu kesatuan. Walaupun hal ini merupakan ide yang
sederhana, tidak salah jika himpunan merupakan salah satu konsep penting dan
mendasar dalam matematika modern, dan karenanya, studi mengenai struktur
kemungkinan himpunan dan teori himpunan, sangatlah berguna.
1.2 Notasi Himpunan
Himpunan biasanya dinyatakan dalam huruf kapital ; A, B, C, … atau ditandai
oleh dua kurung kurawal, { … } Sedangkan anggota himpunan biasanya dinyatakan
dalam huruf kecil ; a, b, c, … Jika x anggota himpunan A, maka ditulis . Jika y
bukan anggota himpunan B , maka ditulis . Banyaknya anggota himpunan A
ditulis n(A).
Simbol Arti
{} atau ø
Himpunan kosong
Operasi gabungan dua himpunan
∩ Operasi irisan dua himpunan
Subhimpunan, Subhimpunan sejati, Superhimpunan, Superhimpunan sejati
Ac Komplemen
P(A) Himpunan kuasa
1.3 Macam-macam Himpunan
 Himpunan kosong
Himpunan kosong yaitu himpunan yang tidak mempunyai anggota dan ditulis
dengan simbol ø atau { }.
 Himpunan semesta
Himpunan semesta yaitu himpunan yang memuat semua anggota yang sedang
dibicarakan, biasanya ditulis dengan simbol S.
 Himpunan Bilangan
Himpunan Bilangan, terdiri dari :
 Himpunan Bilangan Asli : N = {1, 2, 3, … }
 Himpunan Bilangan Cacah : C = {0, 1, 2, 3, … }
 Himpunan Bilangan Bulat : Z = { … , -1, 0, 1, … }

16. 16 | P a g e
 Himpunan Bilangan Rasional : Q = {p/q : p, q Z, q 0}
 Himpunan Bilangan Real : R
2. RELASI HIMPUNAN
2.1 Relasi Antar Himpunan
 Himpunan sama yaitu dua buah himpunan yang memiliki anggota yang persis
sama, tanpa melihat urutannya.
Contoh :
A ={ c,d,e}
B={ c,d,e } Maka A = B
 Himpunan equivalen yaitu dua buah himpunan yang memiliki anggota yang sama
banyak. Jika A equivalen B, maka ditulis A ≈ B.
Contoh:
A = { w,x,y,z } → n (A) = 4
B = { r,s,t,u } → n (B) = 4
Maka n (A) =n (B) → A≈B
 Himpunan Bagian
Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B jika setiap anggota A
termasuk anggota B, ditulis A ⊂ B
A ⊂ B, dibaca : A himpunan bagian dari B
A ⊂ B, dibaca : A bukan himpunan bagian dari B
B ⊂ A, dibaca : B himpunan bagian dari A
B ⊂ A, dibaca : B bukan himpunan bagian dari A
Contoh :
Misal A = { 1,2,3,4,5 } dan B = { 2,4} maka B ⊂ A. Sebab setiap
elemen dalam B merupakan elemen dalam A, tetapi tidak sebaliknya.
 Himpunan Kuasa yaitu himpunan yang anggotanya adalah himpunan himpunan
bagian dari suatu himpunan.
Contoh Himpunan Kuasa Jika A = {a, b, c}, maka himpunan kuasa dari A adalah :
2A = { ø, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, A} Jika m adalah banyaknya anggota
himpunan A, maka banyaknya anggota himpunan kuasa dari A adalah 2m
Banyaknya anggota yang terkandung dalam himpunan kuasa dari A adalah 2
pangkat banyaknya anggota A.

17. 17 | P a g e
2.2 Diagram Venn
John Venn, seorang ahli matematika dari Inggris yang hidup pada tahun
1834 – 1923 menemukan cara menyatakan suatu himpunan dengan menggunakan
gambar. Selanjutnya, gambar tersebut dinamakan Diagram Venn. Dalam diagram
Venn , himpunan semesta dinyatakan dengan daerah persegi panjang , sedangkan
himpunan lain dalam semesta pembicaraan dinyatakan dengan kurva mulus
tertutup sederhana dan noktah-noktah untuk menyatakan anggotanya. Jika jumlah
anggota suatu himpunan terlalu banyak, untuk menyatakan keanggotaannya tidak
perlu digambar noktah-noktah nya , tetapi cuku dengan kurva sederhana.
Contoh :
Diketahui S = { 1,2,3,4,5,6,…,15} adalah himpunan semesta (semesta
pembicaraan). Jika A = {1,3,5,7,9,11,13} dan B = { x | x adalah bilangan prima
yang kurang dari 10} . gambarlah diagram venn !
2.3 Sifat –sifat Relasi Himpunan
 Sifat Reflekatif
Misalkan R sebuah relasi yang didefinisikan pada himpunan P. Relasi R dikatakan
bersifat refleksif jika untuk p € P berlaku (p,p) € R.
Contoh :
Diberikan Himpunan P = {1,2,3}. Didefinisikan relasi R pada himpunan P
dengan hasil adalah himpunan S = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3), (3,2)}. Relasi R
tersebut bersifat reflektif sebab setiap angggota himpunan P berpasangan atau berelasi
dengan dirinya sendiri.
 Sifat Simetris
Misalkan R sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat
simetris, apabila untuk setiap (x,y) € R berlaku (y,x) € R.
Contoh :
Diberikan himpunan P ={1,2,3}. Didefinisikan relasi R pada himpunan P
dengan R ={(1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (2,1), (3,1), (3,3)}. Relasi R tersebut bersifat
simetris untuk setiap (x,y) € R, berlaku (y,x) € R.
 Sifat Transitif
Misalkan R sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R bersifat transitif,
apabila untuk setiap (x,y) € R dan (y,z) € R maka berlaku (x,z) € R.
A B
 1
 9
 11
 13
 4
 6
 8
 10
 12
 15
 14
 3
 5
 7
S

18. 18 | P a g e
Contoh :
Diberikan himpunan P ={1,2,3}. Didefinisikan relasi pada himpunan P dengan
hasil relasi adalah himpunan R= {(1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (2,1), (3,1), (3,3)}. Relasi R
tersebut bersifat Transitif sebab (x,y) € R din (y,z) € R berlaku (x,z) € R.
 Sifat Antisimetris
Misalkan R sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat
antisimetris, apabila untuk setiap (x,y) € R dan (y,x) € R berlaku x=y.
Contoh :
Diberikan himpunan C = {2,4,5}. Didefinisikan relasi R pada himpunan C
dengan R = {(a,b) € a kelipatan b, ab € C} sehingga diperoleh R = {(2,2), (4,4), (5,5),
(4,2)}. Relasi R tersebut bersifat antisimetris.
 Sifat Ekuivalensi
Misalkan himpunan R sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R disebut
relasi ekivalensi jika dan hanya jika relasi R memenuhi sifat refleksif, simetris,
dan transitif.
Contoh :
Diberikan himpunan P = {1,2,3}. Didefinisikan relasi pada himpunan P dengan
R={(1,1),(1,2),(2,2),(2,1),(3,3)}. Relasi R tersebut bersifat refleksif, simetris dan
transitif. Oleh karena itu relasi R merupakan relasi ekivalensi.
3. OPERASI PADA HIMPUNAN
 Irisan A ∩ B = {x : x A dan x B}
Contoh:
{1, 2} ∩ {1, 2} = {1, 2}.
{1, 2} ∩ {2, 3} = {2}.
{Budi,Cici} ∩ {Dani,Cici} = {Cici}.
{Budi} ∩ {Dani} = ∅.
Operasi irisan A ∩ B setara
dengan A dan B . Irisan
merupakan himpunan baru yang
anggotanya terdiri dari anggota
yang dimiliki bersama antara dua
atau lebih himpunan yang
terhubung. Jika A ∩ B = ∅,
maka A dan B dapat
dikatakan disjoint (terpisah).
Beberapa sifat dasar irisan:
 A ∩ B = B ∩ A.
 A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B)
∩ C.
 A ∩ B ⊆ A.
 A ∩ A = A.
 A ∩ ∅ = ∅.
 A ⊂ B jika and hanya
jika A ∩ B = A.

19. 19 | P a g e
 Gabungan A U B = {x : x A atau x B}
Contoh: {1, 2} ∪ {1, 2} = {1, 2}.
{1, 2} ∪ {2, 3} = {1, 2, 3}.
{Budi} ∪ {Dani} = {Budi, Dani}.
 Penjumlahan A + B = {x : x A, x B , x (A∩B)}
 Pengurangan A – B = A B = {x : x A, x B}
 Komplemen Ac = {x : x A, x S}
A dan B adalah semua elemen yang ada
dalam A atau dalam B atau dalam
kedua-duanya .
A adalah semua anggota himpunan
semesta yang berada di luar A, yaitu
Ac = {x | x ∈ A}.
A dan B adalah semua anggota A
yang bukan anggota B.
A dan B adalah semua eleman
yang ada dalam A atau dalam B
tetapi tidak dalam kedua-duanya.
Beberapa sifat dasar gabungan:
 A ∪ B = B ∪ A.
 A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C.
 A ⊆ (A ∪ B).
 A ∪ A = A.
 A ∪ ∅ = A.
 A ⊆ B jika and hanya
jika A ∪ B = B.

20. 20 | P a g e
Contoh:
 {1, 2} {1, 2} = ∅.
 {1, 2, 3, 4} {1, 3} = {2, 4}.
Sifat-sifat Operasi Himpunan
Beberapa sifat dasar komplemen:
 A B ≠ B A untuk A ≠ B.
 A ∪ A′ = U.
 A ∩ A′ = ∅.
 (A′)′ = A.
 A A = ∅.
 U′ = ∅ dan ∅′ = U.
 A B = A ∩ B′ tersebut.

21. 21 | P a g e
LATIHAN SOAL HIMPUNAN
1. Dari survei di sebuah kelas diketahui bahwa ada 25 siswa yang menyukai membaca
dan 30 yang menyukai Traveling. Ditemukan pula bahwa di kelas itu ada 15 orang
yang suka membaca dan traveling. Ada berapa siswa dalam kelas itu?
2. S = {1,2,3,4,5,…,49,50} dan n (S) = 50
A = {1,3,5,7,9,11,13,15,… } (himpunan bilangan biulat ganjil positif) dan n(A) = 20
B = {2,3,5,7,11,13,…} ( himpunan bilangan prima ) dan n (B) = 15
Tentukan n ( A ∩ B )C !
3.
4.
5. .

22. 22 | P a g e
6. Dari 42 kambing yang ada di kandang milik pak Arman, 30 kambing menyukai
rumput gajah, dan 28 ekor kambing menyukai rumput teki. apabila ada 4 ekor
kambing yang tidak menyukai kedua rumput tersebut, berapa ekor kambing yang
menyukai rumput gajah dan rumput teki ?
7. Di dalam sebuah ruangan terdapat 150 siswa yang baru lulus SMP. Diketahui ada 75
siswa memilih untuk masuk SMA dan 63 siswa memilih untuk masuk SMK
sementara ada 32 siswa yang belum menentukan pilihannya. Lalu, berapakah
banyaknya siswa yang hanya memilih untuk masuk SMA dan SMK saja?
8. Dari 40 orang bayi, diketahui bahwa ada 18 bayi yang gemar memakan pisang, 25
bayi gemar makan bubur, dan 9 bayi menyukai keduanya. Lalu ada berapa bayi yang
tidak menyukai pisang dan bubur?
9. Dari sekelompok atlet diketahui bahwa 17 orang menyukai sepak bola, 13 menyukai
renang, dan 12 orang menyukai keduanya. coba kalian gambarkan diagram venn
dan tentukan pula jumlah keseluruhan dari atlet tersebut.
10. Siswa kelas 7 SMP Tunas Mekar adalah 45. tiap-tiap siswa memilih dua jenis
pelajaran yang mereka sukai. diketahui ada 27 siswa yang menyukai pelajaran
Matematika dan 26 siswa menyukai pelajaran Bahasa Inggris. Sementara siswa yang
tidak menyukai kedua pelajaran tersebut ada 5 orang. Tentukanlah banyaknya
siswa yang menyukai pelajaran bahasa inggris dan matematika serta gambarlah
diagram venn-nya!

23. 23 | P a g e
BAB
3
FUNGSI KOMPOSISI
DAN INVERS
Disusun Oleh :
 Lara Mayangsari
 Sri Ferbriani
 Tania Tri Septiani
Dalam kehidupan sehari-hari, fungsi sering dijadikan
permodelan matematika untuk menyelesaikan permasalah
nyata. Suatu kejadian bila dibuat model matematika akan
menghasilkan suatu fungsi.
If you can’t explain it simply, you
don’t understand it well enough.
-Albert Einstein

24. 24 | P a g e
PETA KONSEP

25. 25 | P a g e
FUNGSI KOMPOSISI DAN INVERS
1. Operasi AljabarPada Fungsi
Definisi 3.1
Jika 𝑓 suatu fungsi dengan daerah asal 𝐷𝑓dan 𝑔 suatu fungsi dengan daerah asal 𝐷 𝑔, maka pada
operasi aljabar penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dinyatakan sebagai
berikut.
a) Jumlah 𝑓 dan 𝑔 ditulis 𝑓 + 𝑔 didefinisikan sebagai
( 𝑓 + 𝑔)( 𝑥) = 𝑓( 𝑥) + 𝑔( 𝑥) dengan daerah asal 𝐷𝑓+𝑔 = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷 𝑔
b) Selisih 𝑓 dan 𝑔 ditulis 𝑓 − 𝑔 didefinisikan sebagai
( 𝑓 − 𝑔)( 𝑥) = 𝑓( 𝑥) − 𝑔( 𝑥) dengan daerah asal 𝐷𝑓−𝑔 = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷 𝑔
c) Perkalian 𝑓 dan 𝑔 ditulis 𝑓 × 𝑔 didefinisikan sebagai
( 𝑓 × 𝑔)( 𝑥) = 𝑓( 𝑥) × 𝑔( 𝑥) dengan daerah asal 𝐷𝑓×𝑔 = 𝐷𝑓 ∩ 𝐷 𝑔
d) Pembagian 𝑓 dan 𝑔 ditulis
𝑓
𝑔
didefinisikan sebagai
(
𝑓
𝑔
) ( 𝑥) =
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
dengan daerah asal 𝐷 𝑓
𝑔
= 𝐷𝑓 ∩ 𝐷 𝑔 − { 𝑥|𝑔( 𝑥) = 0}
Contoh:
Jawab:

26. 26 | P a g e
2. Menemukan KonsepFungsi Komposisi

27. 27 | P a g e
Berdasarkan beberapa hal di atas kita peroleh definisi berikut.
Definisi 3.2
Jika dan fungsi dan , maka terdapat suatu fungsi dari
himpunan bagian ke himpunan bagian yang disebut fungsi komposisi
dan (ditulis: yang ditentukan dengan
daerah asal fungsi komposisi dan adalah,
dengan
daerah asal (domain) fungsi daeraj asal (domain) fungsi g;
= daerah hasil (range) fungsi =daerah hasil (range) fungsi g.

28. 28 | P a g e
Contoh:
Jawab:
Contoh Soal:

29. 29 | P a g e
3. Sifat-Sifat Operasi Fungsi Komposisi
Sifat 3.1
Sifat 3.2
Diketahui dan suatu fungsi. Jika maka
pada operasi komposisi fungsi berlaku sifat asosiatif, yaitu;
Diketahui suatu fungsi dan merupakan fungsi identitas. Jika
maka terdapat sebuah fungsi identitas yaitu
sehingga berlaku sifat identitas, yaitu;

30. 30 | P a g e
Fungsi Invers
PengertianInvers Suatu Fungsi
Pertama, Fungsi 𝑓 memetakan 𝑥 ∈ 𝐴 ke 𝑦 ∈ 𝐵. Jika
fungsi 𝑓 dinyatakan ke dalam bentuk pasangan
berurutan, maka dapat ditulis sebagai berikut.
𝑓 = {( 𝑥, 𝑦)|𝑥 ∈ 𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝑦}. Pasangan berurut ( 𝑥, 𝑦)
merupakan unsur dari fungsi 𝑓.
Kedua, invers fungsi 𝑓 atau 𝑓−1
memetakan 𝑦 ∈ 𝐵 ke
dalam pasangan berurutan, maka dapat ditulis 𝑓−1
=
{( 𝑦, 𝑥) | 𝑦 ∈ 𝐵 𝑑𝑎𝑛 𝑥 ∈ 𝐴}. dan Pasangan berurut(𝑦, 𝑥) merupakan unsur dari invers
fungsi 𝑓.
Definisi 3.3
Definisi untuk invers suatu fungsi adalah sebagai berikut.
Syarat agar Invers Suatu Fungsi MerupakanFungsi (Fungsi Invers)
Sifat 3.3
Definisi 3.4
Jika fungsi 𝑓: 𝐷𝑓 → 𝑅𝑓 adalah fungsi bijektif, maka invers fungsi 𝑓 adalah fungsi yang
didefinisikan sebagai 𝑓−1
: 𝑅𝑓 → 𝐷𝑓 dengan kata lain 𝑓−1
adalah fungsi dari 𝑅𝑓 ke 𝐷𝑓.
Jika fungsi memetakan ke dan dinyatakan dalam pasangan berurutan
maka invers dari fungsi f (dilambangkan ) adalah relasi
yang memetakan ke , dalam pasangan berututan dinyatakan dengan
.
Fungsi memiliki fungsi invers jika dan hanya jika
adalah fungsi bijektif atau himpunan A dan B berkorespondensi satu-
satu.

31. 31 | P a g e
4. Menentukan Invers Suatu Fungsi
Sifat 3.4
Untuk menentukan invers dari suatu fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥)dapat ditempuh prosedur berikut ini.
a. Nyatakan 𝑥 sebagai fungsi 𝑦, yaitu 𝑥 = 𝑓−1( 𝑦).
b. Ganti 𝑦 dengan 𝑥 dan 𝑥 dengan 𝑦, sehingga 𝑦 = 𝑓−1( 𝑥) merupakan invers fungsi dari 𝑦 =
𝑓( 𝑥)
Diberikan beberapa fungsi. Tentukan invers dari fungsi di bawah ini!
1. 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏
𝑦 − 𝑏 = 𝑎𝑥
𝑎𝑥 = 𝑦 − 𝑏
𝑥 =
𝑦 − 𝑏
𝑎
𝑓−1(𝑦) =
𝑦 − 𝑏
𝑎
𝑓−1( 𝑥) =
𝑥 − 𝑏
𝑎
2. 𝑦 =
𝑎𝑥+𝑏
𝑐𝑥+𝑑
𝑦 =
𝑎𝑥 + 𝑏
𝑐𝑥 + 𝑑
𝑦( 𝑐𝑥 + 𝑑) = 𝑎𝑥 + 𝑏
𝑦𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏
𝑦𝑐𝑥 − 𝑎𝑥 = 𝑏 − 𝑑𝑦
𝑥( 𝑦𝑐 − 𝑎) = 𝑏 − 𝑑𝑦
𝑥 =
𝑏 − 𝑑𝑦
𝑦𝑐 − 𝑎
𝑓−1( 𝑦) =
𝑏 − 𝑑𝑦
𝑐𝑦 − 𝑎
𝑓−1( 𝑥) =
−𝑑𝑥 + 𝑏
𝑐𝑥 − 𝑎
Misalkan adalah fungsi invers fungsi Untuk setiap dan
berlaku jika dan hanya jika .

32. 32 | P a g e
3. 𝑦 = 𝑎 𝑐𝑥
𝑦 = 𝑎 𝑐𝑥
𝑐𝑥 = log 𝑎 𝑦
𝑥 =
log 𝑎 𝑦
𝑐
𝑓−1( 𝑦) =
1
𝑐
log 𝑎 𝑦
𝑓−1( 𝑥) =
1
𝑐
log 𝑎 𝑥
4. 𝑦 = log 𝑎 𝑐𝑥
𝑦 = log 𝑎 𝑐𝑥
𝑐𝑥 = 𝑎 𝑦
𝑥 =
𝑎 𝑦
𝑐
𝑓−1( 𝑦) =
𝑎 𝑦
𝑐
𝑓−1( 𝑥) =
𝑎 𝑥
𝑐
5. 𝑦 = 𝑥2
𝑦 = 𝑥2 + 𝑐
𝑥2 = 𝑦 − 𝑐
𝑥 = √ 𝑦 − 𝑐 atau 𝑥 = −√ 𝑦 − 𝑐
𝑓−1( 𝑦) = √ 𝑦 − 𝑐 atau 𝑓−1( 𝑦) = −√ 𝑦 − 𝑐
𝑓−1( 𝑥) = √ 𝑥 − 𝑐 atau 𝑓−1( 𝑥) = −√ 𝑥 − 𝑐
6. 𝑦 = ( 𝑥 + 𝑐)2
𝑦 = 𝑥2
+ 2𝑐𝑥 + 𝑐2
= (𝑥 + 𝑐)2
(𝑥 + 𝑐)2
= 𝑦
𝑥 + 𝑐 = √ 𝑦 atau 𝑥 + 𝑐 = −√ 𝑦
𝑥 = √ 𝑦 − 𝑐 atau 𝑥 = −√ 𝑦 − 𝑐
𝑓−1
(𝑦) = √ 𝑦 − 𝑐 atau 𝑓−1
(𝑦) = −√ 𝑦 − 𝑐
𝑓−1
(𝑥) = √ 𝑥 − 𝑐 atau 𝑓−1
(𝑥) = −√ 𝑥 − 𝑐
7. 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

33. 33 | P a g e
Strategi cerdas:
Contoh:
 f(x) = ax + b; a ≠ 0  f -1(x) =
a
bx 
; a ≠ 0
 f(x) =
dcx
bax


; x ≠ -
c
d
 f -1(x) =
acx
bdx


; x ≠
c
a
 f(x) = acx ; a > 0  f -1(x) =alog x1/c =
c
1 alog x ; c ≠ 0
 f(x) = a log cx ; a > 0; cx > 0  f -1(x) =
c
ax
; c ≠ 0
 f(x) = ax²+bx+c; a≠0  f -1(x)=
2a
x)4a(cbb 2


34. 34 | P a g e
Jawab:
5. Rumus Komposisi ( 𝒇 𝒐 𝒇−𝟏)( 𝒙)dan ( 𝒇−𝟏 𝒐 𝒇)( 𝒙)
Sifat 3.5
Sifat 3.6
Misalkan sebuah fungsi bijektif dengan daerah asal dan daerah hasil
sedangkan merupakan fungsi identitas. Fungsi merupakan fungsi
invers dari fungsi jika dan hanya jika
untuk setiap dan
untuk setiap
Jika sebuah fungsi bijektif dan merupakan invers , maka fungsi invers
dari adalah fungsi itu sendiri, disimbolkan dengan

35. 35 | P a g e
6. Memahami ( 𝒇°𝒈)−𝟏(𝒙) = (𝒇−𝟏°𝒈−𝟏)(𝒙)
Dari gambar diagram di atas 𝑓: 𝐴 → 𝐵, 𝑔: 𝐵 → 𝐶, 𝑓: 𝐴 → 𝑏, 𝑔: 𝐵 → 𝐶, dengan 𝑓 dan 𝑔
berkorespondensi satu-satu sedemkian sehingga ℎ = 𝑔 𝑜 𝑓, maka ℎ−1
= 𝑓−1
𝑜𝑔−1
.
Dalam hal ini (𝑔 𝑜 𝑓)−1
= ℎ−1
disebut fungsi invers dari fungsi komposisi, sehingga
diperoleh sifat-sifat berikut ini.
(𝑔 𝑜 𝑓)−1( 𝑥) = ( 𝑓−1
𝑜 𝑔−1)( 𝑥) dan (𝑓 𝑜 𝑔)−1( 𝑥) = ( 𝑔−1
𝑜𝑓−1)( 𝑥)

36. 36 | P a g e
LATIHAN SOAL FUNGSI KOMPOSISI DAN INVERS
1.) Diketahui 𝑓( 𝑥) =
−(2−3𝑥)
2
, maka 𝑓−1
(𝑥) sama dengan ...
2.) Invers dari fungsi 𝑓( 𝑥) =
7𝑥+5
3𝑥−4
, x ≠ 4/3 adalah ...
3.) Jika 𝑓( 𝑥 − 1) =
𝑥−1
2−𝑥
dan 𝑓−1
adalah invers dari f maka 𝑓−1( 𝑥 + 1)sama dengan ..
4.) Jika ( 𝑓 𝑜 𝑔)( 𝑥) = 4𝑥2
+ 8𝑥 − 3 dan 𝑔( 𝑥) = 2𝑥 + 4, maka 𝑓−1
(𝑥) sama dengan ...
5.) Diketahui 𝑓( 𝑥) =
4𝑥+5
𝑋+3
, dan 𝑓−1
adalah invers dari f, maka sama 𝑓−1( 𝑥) dengan ...
6.) Diketahui 𝑓( 𝑥) = 𝑥2
+ 1 dan 𝑔( 𝑥) = 2𝑥 − 3, maka ( 𝑓 𝑜 𝑔)( 𝑥) =…
(Ebtanas Tahun 1989)
7.) Diketahui fungsi 𝑓( 𝑥) = 3𝑥 − 1 dan 𝑔( 𝑥) = 2𝑥2
+ 3. Nilai dari komposisi fungsi
( 𝑔 𝑜 𝑓)(1) =…
(UN Matematika SMA IPA - 2010 P04)
8. Jika suatu fungsi 𝑓( 𝑥) = 𝑥 + 2dan 𝑔( 𝑥) = 𝑥 + 5 maka (𝑓 𝑜 𝑔)(𝑥) adalah.....
9. Jika 𝑓( 𝑥) = 𝑥 − 2 dan 𝑔( 𝑥) = 2𝑥 + 3 maka g o f(x) adalah...
10. Diberikan dua buah fungsi masing-masing f(x) dan g(x) berturut-turut adalah:
f(x) = 3x + 2
g(x) = 2 − x
Tentukan:
a) (f o g)(x)
b) (g o f)(x)

37. 37 | P a g e
BAB
4
FUNGSI KUADRAT
NAMA KELOMPOK
 Altisya Dilla
 Shera Annisa
 Suci Kumala Sari
Fungsi kuadrat banyak digunakan untuk menyelesaikan
permasalahan yang berhubungan dengan perubahan variabel
yang nilainya naik turun dengan pola simetris
Fungsi kuadrat dalam kehidupan sehari-hari dapat kita jumpai
saat orang memasukkan bola basket ke ring, bermain angry bird,
air mancur, dsb.
Hidup ini tidak selalu sama. Ada
saatnya kita naik, dan ada
saatnya kita turun

38. 38 | P a g e
PETA KONSEP
Fungsi KuadratF(x)=ax2+bx+c, a≠0
Koefisien
Persamaan Fungsi
Kuadrat (a,b,c)
 Y=ax2+bx+c
 Y=a(x-x1) (x-x2)
 Y=a(x-x1)2
 Y=(x-h)2+k
Tabel
Koordinat
Diskriminan
D - b2 - 4ac
a > 0
a<0
D > 0
D = 0
D < 0
Nilai Maks
atau Min
y = -D/4a
Titik Potong
Sumbu absis
Karakteristik
Fungsi Kuadrat
Sketsa
Grafik
Pers. Sumbu
simetri
x = -b/2a
Titik balik maks
atau min
P = (-b/2a, -D/4a)
Menyusun
Fungsi Kuadrat
Grafik Fungsi Kuadrat

39. 39 | P a g e
FUNGSI KUADRAT
Fungsi f: R → R yang dinyatakan dengan f: x → ax2 + bx + c dimana a, b, c R dan a ≠ 0
disebut fungsi derajat dua atau lebih lazim disebut fungsi kuadrat. Fungsi kuadrat f = ax2 +
bx + c mempunyai persamaan y= ax2 + bx + c dan grafiknya berupa parabola.
Fungsi kuadrat merupakan suatu fungsi yang pangkat terbesar variabelnya adalah 2.
Mirip dengan persamaan kuadrat, namun berbentuk suatu fungsi. Fungsi kuadrat
mempunyai bentuk umum: f(x) = ax² + bx + c, dengan a.b.c suatu bilangan real dan a ≠ 0.
Sebuah fungsi selalu berhubungan dengan grafik, begitu pula dengan fungsi kuadrat. Grafik
fungsi kuadrat berbentuk parabola. Untuk menggambar sebuah grafik fungsi kuadrat harus
ditentukan titik potong dengan sumbu kordinat dan titik ekstrimnya.
Sifat-sifat fungsi kuadrat
a. Jika a > 0, kurva terbuka ke atas memiliki nilai min
Jika a < 0, kurva terbuka ke bawah memiliki nilai maks
b. Jika titik puncak disebelah kanan sumbu y, a dan b berlawanan
Jika titik puncak disebleah kiri sumbu y, a dan b sama
c. Jika memotong sumbu y positif, c > 0
Jika memotong sumbu y negatif, c < 0
d. Jika memotong sumbu x di dua titik, D > 0
Jika menyinggung sumbu x, D = 0
Jika tidak memotong sumbu x, D < 0
Tidak memotong sumbu x dan terbuka ke atas (a > 0) disebut definit positif
Tidak memotong sumbu x dan terbuka ke bawah (a < 0) disebut definit
negatif
e. Titik ekstrim
Titik ekstrim pada fungsi kuadrat merupakan koordinat dengan absisnya
merupakan nilai sumbu simetri dan ordinatnya merupakan nilai ekstrim.
Pasangan koordinat titik ekstrim pada fungsi kuadrat 𝑦 = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 adalah
sebagai berikut
−
𝑏
2𝑎
, −
𝐷
4𝑎
Keterangan:
D adalah deskriminan
𝐷 = 𝐵2
− 4𝑎𝑐
Seperti yang sudah disebutkan di atas, 𝑥 = −
𝑏
2𝑎
adalah sumbu
simetri dan −
𝐷
4𝑎
merupakan nilai ekstrim fungsi kuadrat.

40. 40 | P a g e
Sumbu Simetri
Sumbu simetri merupakan garis yang ditarik dari nilai x titik ekstrem sejajar dengan sumbu
y yang membelah parabola menjadi 2 bagian yang sama besar.
Persamaanuntuksumbusimetrisadalah x = -b/2a
Sifat-Sifat Grafik Fungsi Kuadrat
Jika a > 0, maka grafiknya terbuka ke atas dan mempunyai titik balik minimum (titik
puncaknya mempunyai nilai terkecil)
Jika a < 0, maka grafiknya terbuka ke bawah dan mempunyai titik balik maksimum
(titik puncaknya mempunyai nilai terbesar)
Jika D merupakan diskriminan suatu fungsi kuadrat f(x) = ax² + bx + c, maka:
Jika D < 0, maka grafik y= f(x) memotong sumbu pada dua titik yang berbeda
Jika D = 0, maka grafik y= f(x) menyinggung sumbu x pada satu titik.
Jika D > 0, maka grafik y= f(x) tidak memotong sumbu x
Langkah-langkahdalam membuat sketsa grafik fungsi kuadrat/parabola
( y = ax2 + bx + c )
1. menentukan titik potong grafik dengan sumbu x → y = 0
kemudian difaktorkan sehingga diperoleh akar-akarnya yaitu x1 dan x2 . jika
kesusahan dalam memfaktorkan coba di cek dulu nilai D nya.
jika D < 0 maka fungsi tersebut memang tidak mempunyai akar-akar persamaan
fungsi kuadrat sehingga sketsa grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu x
jika D > 0 maka fungsi tersebut mempunyai akar-akar persamaan fungsi kuadrat
namun kita kesulitan dalam menentukannya. bisa jadi karena angkanya yang
susah difaktorkan atau faktornya dalam bentuk desimal. Akar-akarnya dapat kita
cari dengan rumus abc :

41. 41 | P a g e
setelah kita mendapatkan nilai x1 dan x2 maka titik potong grafik fungsi kuadrat
dengan sumbu x :( x1 , 0 ) dan( x2 , 0 )
2. menentukan titik potong grafik dengan sumbu y → x = 0
karena x = 0 maka y = c dan titik potong dengan sumbu y = ( 0 , c )
3. menentukan harga ekstrim atau titik puncak
rumus menentukan harga ekstrem (xp,yp)= (-b/2a, D/4a)
untuk mengetahui apakah itu titik minimum atau maksimum tergantung dari
nilai a. Jika a>0 maka maksimum, jika a<0 maka nilai minimum.
Titikpuncak darifungsikuadrat f(x) = ax2 + bx + c adalahtitik yang
diperolehdenganmengambilkoordinatdaripasangannilaiekstremdenganabsisnya.
Koordinatpuncakdarifungsikuadratadalahtitik P (-b/2a, D/4a). Titik P
dinamakanmaksimumjika a > 0 dandinamakantitik minimum jika a < 0.
dari penentuan sumbu simetri ( xp ) dan nilai eksterm ( yp ) diperoleh titik puncak grafik
fungsi kuadrat/parabola : ( Xp , Yp )
Posisi grafik fungsi kuadrat/parabola terhadap sumbu x:
mengulang pembahasan mengenai titik potong sumbu x → y = 0 ada 3 kemungkinan :
a) Jika nilai D > 0, maka parabola memotong sumbu x di dua titik yang berbeda.
b) Jika nilai D = 0, maka parabola meotong sumbu x di satu titik atau bisa dikatakan
parabola (grafik fungsi kuadrat) menyinggung sumbu x (titik puncak)
c) Jika D < 0, maka parabola tidak memotong di sumbu x (melayang di atas atau di
bawah sumbu x)
 dalam hal D < 0 dan a > 0 maka f(x) = ax2 + bx + c, akan menghasilkan nilai
selalu positif (melayang di atas sumbu x)
 dalam hal D < 0 dan a < 0 maka f(x) = ax2 + bx + c, akan menghasilkan nilai
selalu negatif (melayang di bawah sumbu x)
dengan menggabungkan dengan nilai a nya dapat dibuat sketsa grafik fungsi

42. 42 | P a g e
kuadrat/parabola :
2.5 Persamaan Fungsi Kuadrat / Parabola
a) Diketahui tiga titik sembarang
Rumus : y = ax2 + bx + c
nilai a, b dan c ditentukan dengan eliminasi.
b) Parabola memotong sumbu x di dua titik ( x1 , 0 )dan ( x2 , 0 ) dan melalui satu titik
sembarang.
Rumus : y = a ( x - x1 ).( x - x2 )
nilai a ditentukan dengan memasukkan titik sembarang tersebut ke x dan y.

43. 43 | P a g e
c) Parabola menyinggung sumbu x di satu titik ( x1 , 0 ) dan melalui satu titik
sembarang.
Rumus : y = a ( x - x1 )2
nilai a ditentukan dengan memasukkan titik sembarang tersebut ke x dan y.
d) Parabola melalui titik puncak ( xp , yp ) dan melalui satu titik sembarang.
Rumus : y = a ( x - xp )2 + yp
nilai a ditentukan dengan memasukkan titik sembarang tersebut ke x dan y
1. Menentukanfungsikuadrat yang grafiknyamelalui 3 buahtitik.
Menggunakan y = ax2 + bx +c
Tentukan fungsi kuadrat grafiknya melalui 3 buah titik (-1,0), (2,-9) dan (4,-5)
Penyelesaian:
melalui (-1,0) => y = a(-1)2 + b(-1) + c
0 = a - b + c ... (1)
melalui (2,-9) => y = a(2)2 + b(2) + c
-9 = 4a + 2b + c ... (2)
melalui (4,-5) => y = a(4)2 + b(4) + c
-5 = 16a + 4b + c ... (3)
Dari (1) - (2) => -3a - 3b = 9 ... (4)
Dari (2) - (3) => -12a - 2b = -4 ... (5)
Dari (4) x 4 => -12a - 12b = 36 ... (4)'
Dari (5) - (4)' => 10b = -40
b = -4
Substitusikan b = -4 ke (4)
maka => -3a + 12 = 9
-3a = -3
a = 1
Substitusikan a = 1 dan b = -4
maka => 1 - (-4) + c = 0
5 + c = 0
c = -5

44. 44 | P a g e
Sehingga fungsi kuadratnya => y = x2 - 4x – 5
2. Menentukanfungsikuadratjikakoordinattitikpuncakdiketahui.
Menggunakan y = a(x - p)2 + q titik puncak (p,q)
Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai titik puncak (2,-9)serta melalui titik (-
1,0)
Penyelesaian:
y = a(x - p)2 + q
= a(x - 2)2 - 9
melalui (-1,0) => y = a(x - 2)2 - 9
0 = a(-1 - 2)2 - 9
9 = 9a
a = 1
Jadi, fungsikuadratnya => y = 1(x - 2)2 - 9
= (x2 - 4x + 4) - 9
= x2 - 4x – 5
3. Menentukanfungsikuadrat yang grafiknyamemotongsumbu x di titik (p,0) dan(q,0)
Menggunakan y = a(x - p) (x - q)
Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu x di titik (-1,0) dan (5,0).
sertamelalui (4,-5)
Penyelesaian:
y = a(x - p) (x - q)
= a{x -(-1)}(x - 5)
= a(x + 1) (x - 5)
karenamelalui (4,-5) maka
-5 = a(4 + 1) (4 - 5)
-5 = -5a
a = 1
Jadi, fungsikuadratnya : y = 1(x + 1) (x - 5)
= x2 - 4x – 5

45. 45 | P a g e
LATIHAN SOAL PERSAMAAN KUADRAT
1. Akar-akar persamaan kuadrat 5x2 – 3x + 1 = 0 adalah …
2. Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat 6x2 – 2x + 3 = 0 adalah …
3. 3. Akar-akar persamaan kuadrat x2 + 3x – 2 = 0 adalah x1 dan x2. Nilai + = …
4. Sumbu simetri parabola y = x2 – 5x + 3 diperoleh pada garis …
5. Ordinat titik balik maksimum grafik fungsi y = -x2 – (p – 2)x + (p – 4) adalah 6. Absis
titik balik maksimum adalah …
6. Nilai minimum fungsi f(x) = x2 – 5x + 4 adalah ….
7. Fungsi kuadrat yang grafiknya berpuncak dititik (2, 3) dan melalui titik (-2, 1) adalah
8. Akar-akar persamaan kuadrat 2x2 – 13x + 15 = 0 adalah …
9. Akar-akar persamaan kuadrat x2 – 3x – 2 = 0 adalah x1 dan x2. Persamaan kuadrat
dengan akar-akar (x1 + 2) dan (x2 + 2) adalah …
10. Diketahui x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 + 4x + (a – 4) = 0. Jika x1 =
3x2, maka nilai a yang memenuhi adalah …

46. 46 | P a g e
BAB
5
PERSAMAAN LINGKARAN
Disusun Oleh :
 Feralia Goretti
Situmorang
 Hanifa Zulfitri
 Reno Sutriono
Lingkaran sudah ada sejak jaman prasejarah. Penemuan roda adalah
penemuan mendasar dari sifat lingkaran. Orang-orang Yunani menganggap
Mesir sebagai penemu geometri. Juru tulis Ahmes, penulis dari papirus
Rhind, memberikan aturan untuk menentukan area dari sebuah lingkaran
yang sesuai dengan π = 256 / 81 atau sekitar 3,16.
Teorema pertama yang berhubungan dengan lingkaran yang dikaitkan
dengan Thales sekitar 650 SM. Buku III dari Euclid 's Elements berurusan
dengan sifat lingkaran dan masalah inscribing dan escribing poligon.
lingkaran adalah roda kehidupan, kita tidak
akan tahu kapan roda itu akan berhenti
atau berputar, begitu juga hidup kita tidak
akan tahu dimana kita akan berhenti untuk
menjalani hidup ini. So.. do the best !!!

47. 47 | P a g e
PETA KONSEP

48. 48 | P a g e
PERSAMAAN LINGKARAN
Lingkaran adalah lengkung tertutup yang semua titik – titik pada lengkung itu berjarak
sama terhadap suatu titik tertentu dengan lengkungan itu. Titik tertentu dalam
lengkungan disebut pusat lingkaran dan jarak tersebut disebut jari – jari lingkaran
Unsur – unsur lingkaran :
1) Titik Pusat
Titik pusat lingkaran adalah titik yang terletak di tengah-tengah lingkaran.
2) Jari-Jari (r)
Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, jari-jari lingkaran adalah garis dari titik
pusat lingkaran ke lengkungan lingkaran.
3) Diameter (d)
Diameter adalah garis lurus yang menghubungkan dua titik pada lengkungan
lingkaran dan melalui titik pusat.
4) Busur
Dalam lingkaran, busur lingkaran merupakan garis lengkung yang terletak pada
lengkungan lingkaran dan menghubungkan dua titik sebarang di lengkungan
tersebut.
5) Tali Busur
Tali busur lingkaran adalah garis lurus dalam lingkaran yang menghubungkan dua
titik pada lengkungan lingkaran. Berbeda dengan diameter, tali busur tidak melalui
titik pusat.
6) Tembereng
Tembereng adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh busur dan tali
busur.
7) Juring
Juring lingkaran adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh dua buah
jari-jari lingkaran dan sebuah busur yang diapit oleh kedua jari-jari lingkaran
tersebut.
8) Apotema
Pada sebuah lingkaran, apotema merupakan garis yang menghubungkan titik pusat
lingkaran dengan tali busur lingkaran tersebut. Garis yang dibentuk bersifat tegak
lurus dengan tali busur.

49. 49 | P a g e
1. PERSAMAAN LINGKARAN
Seperti halnya garis lurus atau parabola yang memiliki persamaan, lingkaran
juga memiliki persamaan. Persamaan lingkaran tergantung pada koordinat titik pusat
dan panjang jari – jari. Berikut ini akan dibahas persamaan – persamaan lingkaran
dilihat dari koordinat titik pusat.
1) Persamaan Lingkaran dengan pusat Titik Asal
O(0,0)
Pada lingkaran disamping jari – jari atau r = OP,
OP’ = x dan PP’ = y.
Jarak dari O(0,0) ke P(x,y) adalah
Berdasarkan rumus Pythagoras
OP’2 + PP’2 = OP2 atau x2 + y2 = r2
Jadi persamaan lingkaran yang berpusat O(0,0) da
jari – jari r adalah x2 + y2 = r2
Contoh :
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat O(0,0) dan jari – jari 5.
Jawab :
x2 + y2 = r2
x2 + y2 = 52
x2 + y2 = 25
2) Persamaan lingkaran yang berpusat P(a,b) dan berjari – jari r
Persamaan lingkaran yang berpusat P(a, b) dan berjari-jari r dapat diperoleh dari
persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dan berjari-jari r dengan
menggunakan teori pergeseran. Jika pusat (0, 0) bergeser (a, b) maka titik (x, y)
bergeser ke (x + a, y + b).
Kita peroleh persamaan sebagai berikut :
x’ = x + a x = x’ – a
y’ = y + b y = y’ – b

50. 50 | P a g e
Jadi persamaan lingkaran yang berpusat P(a,b) adalah (x – a)2 + (y – b)2 = r2
Contoh :
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (3,2) dan berjari – jari 4.
Jawab :
Pusat (3, 2) maka a = 3 dan b = 2
Persamaan lingkaran (x- a)2 + (y – b)2 = r2
(x- 3)2 + (y – 2)2 = 42
(x- 3)2 + (y – 2)2 = 16
3) Bentuk umum persamaan lingkaran
Telah kita ketahui bahwa bentuk baku persamaan lingkaran adalah (x-a)2
+ (y-b)2 = R2 dengan pusat (a,b) dan jari – jari R. Bentuk baku tersebut dapat
diubah ke dalam bentuk lain.
(x – a)2 + (y – b)2 = R2
x2 - 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = R2
x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – R2 = 0................................................(1)
Apabila A = -2a, B = -2b, dan C = a2 + b2 – R2, maka persamaan (1) dapat
dinyatakan menjadi :
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
Bentuk tersebut merupakan bentuk umum persamaan lingkaran. Lalu bagaimana
cara menentukan pusat dan jari – jarinya?
A = -2a berarti a = −
1
2
A
B = -2b berarti b = −
1
2
B
C = a2 + b2 – R2 berarti R2 = a2 + b2 – C
R = √𝑎2 + 𝑏2 − 𝐶 = √
1
4
𝐴2 +
1
4
𝐵2 − 𝐶
Sehingga rumus lingkaran dengan persamaan x2 + y2 + Ax + By + C = 0 maka :
Pusat = (−
1
2
A, −
1
2
B)
Jari – jari = √
1
4
𝐴2 +
1
4
𝐵2 − 𝐶
Bukti Lain :

51. 51 | P a g e
Contoh :
Jari-jari dan pusat lingkaran yang memiliki persamaan x2 + y2 + 4x − 6y − 12 =
0 adalah...
Jawab :
x2
+ y2
+ 4x − 6y − 12 = 0
A = 4
B = −6
C = −12
Pusat: Jari – jari :
Sehingga jari-jari dan pusatnya adalah 5 dan (−2, 3).
KEDUDUKAN TITIK TERHADAP LINGKARAN
Kedudukan titik terhadap lingkaran adalah terletak diluar, pada, atau di dalam lingkaran
seperti pada gambar di bawah ini. A, B, dan C berturut – turut terletak di luar, pada, dan
di dalam lingkaran.
Titik C(x1,y1) terletak di dalam lingkaran yang berpusat O(0,0) dan berjari – jari R jika
dan hanya jika :
OP < R
√( 𝑎 − 0)2 + ( 𝑏 − 0)2 < R
a2 + b2 < R2

52. 52 | P a g e
Titik B(x1,y1) terletak pada lingkaran x2 + y2 = R2 jika dan hanya jika x2 + y2 = R2 :
OP = R
√( 𝑎 − 0)2 + ( 𝑏 − 0)2 = R
a2 + b2 = R2
Titik A(x1,y1)terletak di luar lingkaran x2 + y2 = R2 jika dan hanya jika x2 + y2 > R2 :
OA > R
√( 𝑥 − 0)2 + ( 𝑦 − 0)2 > R
x12 + y12 > R2
Dengan demikian, kita peroleh rumusan sebagai berikut.
Kedudukan titik (x1,y1) terhadap lingkaran x2 + y2 = R2 terletak:
Di luar x12 + y12 > R2
Pada x12 + y12 = R2
Di dalam x12 + y12 < R2
Titik A(x1,y1) terletak di luar lingkaran yang berpusat P(a,b) dan berjari – jari R jika dan
hanya jika :
PA > R
√( 𝑥1− 𝑎)2 + ( 𝑦2 − 𝑏)2 > R
(x1 – a)2 + (y1 – b)2 > R
Dengan cara yang sama di dapat :
Kedudukan titik (x1,y1) terhadap lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = R2 terletak :
Di luar (x1 – a)2 + (y1 – b)2 > R
Pada (x1 – a)2 + (y1 – b)2 = R
Di dalam (x1 – a)2 + (y1 – b)2 < R
Jika persamaannya dalam bentuk umum, maka dapat diubah menjadi :
Di luar x2 + y2 + Ax + By + C > 0
Pada x2 + y2 + Ax + By + C = 0
Di dalam x2 + y2 + Ax + By + C < 0

53. 53 | P a g e
Titik A(x1,y1) terletak di luar lingkaran yang berpusat di titik P(a,b), maka untuk
menemukan jarak titik terhadap lingkaran adalah sebagai berikut.
Jarak terjauh titik A(x,y) dengan lingkaran adalah AB = d + R
Jarak terdekat titik A(x,y) dengan lingkaran adalah AC = |d – R|
Dengan d = jarak titik pusat lingkaran dengan titik A(x,y)
d = √( 𝑥 − 𝑎)2 + ( 𝑦 − 𝑏)2
R = jari – jari lingkaran
Contoh :
Diberikan persamaan lingkaran:
x2 + y2 −4x + 2y − 4 = 0
Titik A memiliki koordinat (2, 1). Tentukan posisi titik tersebut, apakah di
dalam lingkaran, di luar lingkaran atau pada lingkaran!
Jawab :
Masukkan koordinat A ke persamaan lingkarannya:
Titik A (2, 1)
x = 2
y = 1
x2 + y2 −4x + 2y − 4
= (2)2 + (1)2 −4(2) + 2(1) − 4
= 4 + 1 − 8 + 2 − 4
= −5
Hasilnya lebih kecil dari 0, sehingga titik A berada di dalam lingkaran.
Aturan selengkapnya:
Hasil < 0 , titik di dalam lingkaran
Hasil > 0 , titik akan berada di luar lingkaran.
Hasil = 0, maka titik berada pada lingkaran.

54. 54 | P a g e
KEDUDUKAN GARIS TERHADAP LINGKARAN
Misalnya diminta untuk menentukan sebuah titik sembarang di luar lingkaran,
misalnya titik P. Melalui titik P diminta untuk menggambar garis 𝑙1 yang memotong
lingkaran di dua titik, yaitu di titik A dan titik B, garis 𝑙2 yang memotong lingkaran di
satu titik saja, yaitu titik C dan garis 𝑙3 yang tidak memotong lingkaran. Sehingga posisi
garis terhadap lingkaran ada 3 macam, yaitu:
1) Garis memotong lingkaran pada dua titik yang berbeda
D > 0 garis memotong pada 2 titik yang berbeda
2) Garis memotong lingkaran pada satu titik ( garis menyinggung lingkaran )
P
Y
X
A
C
B
0
𝒍 𝟏
𝒍 𝟑
𝒍 𝟐
A
B
A

55. 55 | P a g e
D = 0 garis menyinggung pada satu titik
3) Garis tidak memotong lingkaran maupun menyinggung lingkaran
D < 0 maka garis tidak memotong maupun menyinggung lingkaran
Posisi garis terhadap lingkaran dapat juga dilihat dari nilai diskriminan:
𝑫 = 𝒃 𝟐
− 𝟒𝒂𝒄
Jika D < 0 Garis Memotong Lingkaran pada Dua Titik yang Berbeda
D= 0 garis menyinggung pada satu titik
D>0 garis tidak memotong maupun menyinggung lingkaran
Contoh :
Tentukan posisi garis y = 2𝑥 + 3 𝑡𝑒𝑟ℎ𝑎𝑑𝑎𝑝 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 𝑥2
+ 𝑦2
= 49.
Jawab :
y = 2𝑥 + 3 subsitusi pada 𝑥2
+ 𝑦2
= 49
𝑥2
+ (2𝑥 + 3)2
= 49
𝑥2
+ 4𝑥2
+ 12𝑥 + 9 = 49
5𝑥2
+ 12𝑥 − 40 = 0
𝐷 = 𝑏2
− 4𝑎𝑐
=122
− 4(5)(40)
=944
D > 0
Maka garis memotong pada dua titik yang berbeda

56. 56 | P a g e
KEDUDUKAN DUA BUAH LINGKARAN
Dua lingkaran dapat saling berpotongan, bersinggungan, atau tidak
berpotongan sama sekali. Keadaan ini dapat diselidiki dengan membandingkan jarak
titil pusat kedua lingkaran dengan jumlah jari – jarinya atau selisih jari – jarinya.
Misal lingkaran L berjari – jari r1 dan lingkaran M berjari – jari r2. Jika :
1) LM < (r1 + r2) maka kedua lingkaran berpotongan.
2) LM = (r1 + r2) maka kedua lingkaran bersinggungan di luar.
3) LM > (r1 + r2) maka kedua lingkaran tidak berpotongan sama sekali.
4) LM = |r2 – r1| maka kedua lingkaran bersinggungan di dalam.
5) LM < |r2 – r1| maka lingkaran kecil berada di dalam lingkaran besar.
6) LM = 0 maka kedua lingkaran sepusat.
PERSAMAANGARIS SINGGUNG LINGKARAN
1) Definisi Garis Singgung
Garis singgung adalah garis yang memotong lingkaran tepat di satu titik. Titik
tersebut disebut titik singgung. Jari-jari lingkaran yang melalui titik singgung
selalu tegak lurus dengan garis singung. Perhatikan gambar berikut!
g = Garis singgung
A(x1,Y1) titik singgung
𝐴𝑃 ⊥ 𝑔
Persamaan Garis singgung dapat dinyatakan dalam bentuk y = mx + c.
Persamaan Garis singgung lingkaran dapat dibedakan dalam tiga jenis seperti
digambarkan berikut ini:
P(a,b)
9
r
A(x1,y2)
D=0 g =Garis Singgung
O(0,0)

57. 57 | P a g e
Garis singgung melalui satu titik pada lingkaran
Garis singgung bergradien m
Garis singgung melalui satu titik di luar lingkaran
2) Persamaan garis singgung melalui satu titik pada lingkaran
Rumus Persamaan Garis Singgung ini dapat dirangkum sebagai berikut:
Persamaan Lingkaran Persamaan Garis Singgung
𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑟2
𝑥𝑥1 + 𝑦𝑦1 = 𝑟2
(𝑥 − 𝑎)2
+ (𝑦 − 𝑏)2
= 𝑟2 ( 𝑥 − 𝑎)( 𝑥1 − 𝑎) + ( 𝑦 − 𝑏)(𝑦1 − 𝑏) = 𝑟2
𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
𝑥𝑥1 + 𝑦𝑦1 +
1
2
𝐴( 𝑥 + 𝑥1)+
1
2
𝐵( 𝑦 + 𝑦1)
+ 𝐶 = 0
Rumus di atas hanya berlaku untuk Persamaan Garis Singgung melalui titik pada
lingkaran.
Contoh:
Tentukan Persamaan Garis singgung Lingkaran 𝐿 ≡ 𝑥2
+ 𝑦2
= 10 yang melalui
titik (-3,1).
Y=mx+c T(X1,y1)
Y=m+c2
Y=m+c1
Y=m2x+c2
R(x1,y1)
Y=m1x+c1

58. 58 | P a g e
Jawab :
Titik (-3,1)⇒ 𝑥1 = −3 dan 𝑦1 = 1, terletak pada 𝐿 ≡ 𝑥2
+ 𝑦2
= 10
Persamaan garis singgungnya 𝑥𝑥1 + 𝑦𝑦1 = 𝑟2
(−3) 𝑥 + (1) 𝑦 = 10
−3𝑥 + 𝑦 = 10
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran 𝐿 ≡ 𝑥2
+ 𝑦2
= 10 yang melalui titik (-
3,1) adalah −3𝑥 + 𝑦 = 10
3) Persamaan garis singgung bergradien m
Rumus persamaan Garis singgung ini digunakan untuk mencari
persamaan garis singgung yang gradiennya diketahui, sejajar atau tegak lurus
dengan suatu garis atau unsure lain yang berhubungan dengan gradient. Rumus-
rumus yang dapat digunakan ialah
Persamaan Lingkaran Persamaan Garis Singgung
𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑟2
𝑦 = 𝑚𝑥 ± 𝑟√1 + 𝑚2
(𝑥 − 𝑎)2
+ (𝑦 − 𝑏)2
= 𝑟2
𝑦 − 𝑏 = 𝑚(𝑥 − 𝑎) ± 𝑟√1 + 𝑚2
𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 Ubah bentuk persamaan
ke (𝑥 − 𝑎)2
+ (𝑦 − 𝑏)2
= 𝑟2
gunakan rumus
𝑦 − 𝑏 = 𝑚(𝑥 − 𝑎) ± 𝑟√1 + 𝑚2
4) Persamaan Garis singgung melalui titik di luar lingkaran
Ada beberapa metode atau teknik untuk menyelesaikan masalah ini antara
lain: menggunakan rumus, menggunakan garis singgung bergradien m.
a. Menggunakan rumus
Rumus persamaan garis singgung lingkaran melalui titik 𝐴(𝑥1, 𝑦1) pada
lingkaran (𝑥 − 𝑎)2
+ (𝑦 − 𝑏)2
= 𝑟2
adalah 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) adalah
dengan
𝑚 =
( 𝑦1 − 𝑏)( 𝑥1 − 𝑎) ± √( 𝑦1 − 𝑏)2 + ( 𝑥1 − 𝑎)2 − 𝑟2
( 𝑥1 − 𝑎)2 − 𝑟2
b. Menggunakan rumus persamaan garis singgung bergradien m
Teknik nini menggunakan kesamaan garis dari dua persamaan,
persamaan 1 (satu) adalah garis melalui 𝐴(𝑥1, 𝑦1 ) dan persamaan 2 (dua)
adalah persamaan garis singgng bergradien m.
Contoh :
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran, 𝑥2
+ 𝑦2
= 25 yang malalui
(7,1)
Jawab
Persamaan 1 : 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚( 𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 1 = 𝑚 (𝑥 − 7)

59. 59 | P a g e
𝑦 = 𝑚𝑥 − 7𝑚 + 1
Persamaan 2 : 𝑦 = 𝑚𝑥 ± 𝑟√1 + 𝑚2
𝑦 = 𝑚𝑥 ± 5√1+ 𝑚2
𝑦 = 𝑚𝑥 ± 5√1 + 𝑚2 → 𝑦 = 𝑚𝑥 − 7𝑚 + 1
5√1 + 𝑚2 = 7𝑚 + 1
25(1+ 𝑚2 ) = 49𝑚2
− 14𝑚 + 1
25 + 25𝑚2
= 49𝑚2
− 14𝑚 + 1
24 − 14 − 24 = 0
(4𝑚 + 3)(3𝑚 − 4) = 0
𝑚1 = −
3
4
𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑚2 =
4
3
Persamaan Garis singgung 1
𝑚1 = 𝑦 = 𝑚𝑥 − 7𝑚 + 1
𝑦 = −
3
4
𝑥 − 7 (−
3
4
) + 1
4𝑦 = −3𝑥 + 21 + 4
3𝑥 + 4𝑦 = 25
Persamaan Garis singgung ke 2
𝑚2 = 𝑦 = 𝑚𝑥 − 7𝑚 + 1
𝑦 =
4
3
𝑥 − 7 (
4
3
)+ 1
3𝑦 = 4𝑥 − 28 + 3
4𝑥 − 3𝑦 = 25

60. 60 | P a g e
LATIHAN SOAL PERSAMAAN LINGKARAN
1. Tentukan posisi 2 lingkaran berikut.
𝐿1 ≡ 𝑥2
+ 𝑦2
= 9 𝑑𝑎𝑛 𝐿2 ≡ 𝑥2
+ 𝑦2
− 6𝑥 − 6𝑦 + 9 = 0
2. Persamaan lingkaran dengan pusat P (6,2) yang menyinggung garis 3x + 4y = 11
adalah....
3. Diketahui titik A(5,-1) dan B(2,4). Tentukan persamaan lingkaran yang
diameternya melalui titik A dan B !
4. Lingkaran (x+6)2 + (y+1) = 4 menyinggung garis x = -4 dititik....
5. Persamaan lingkaran dengan pusat (-1,1) dan menyinggung garis 3x – 4y + 12 = 0
adalah....
6. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (2,4) dan melalui titik(10,-2)
7. Perhatikan gambar di bawah ini!
Persamaan lingkaran dari gambar di atas adalah ...
8. Diberikan persamaan lingkaran:
(x − 2)2
+ (x + 1)2
= 9
Titik B memiliki koordinat (5, − 1).
Tentukan posisi titik B apakah berada di dalam, luar atau pada lingkaran!
9. Lingkaran yang persamaannya x2
+ y2
− Ax − 10y + 4 = 0 menyinggung sumbu x.
Nilai A yang memenuhi adalah...
10. Persamaan lingkaran dengan pusat P(3, 1) dan menyinggung garis 3x + 4y + 7 = 0
adalah.....

61. 61 | P a g e
BAB
6
TEOREMA
PYTHAGORAS
Disusun oleh:
 Khafifa
 Novi Suryani
 Nety Wahyu Saputri
Konon, bangsa Mesir kuno telah mampu membuat sudut siku-siku
dengan tepat hanya dengan menggunakan seutas tali. Mereka
menggunakan sejenis tali kusut sebagai bantuan untuk membentuk
sudut siku-siku dalam kegiatan pembangunan gedung-gedung
mereka. Tali memiliki panjang 12 knot, yang dapat dibentuk menjadi
sebuah segitiga siku-siku ukuran 3-4-5, sehingga menghasilkan tepat
sudut 90 derajat. Pada tali tersebut dibuat simpul berjarak sama.
Dengan menggunakan cara tersebut, mereka dapat membangun
rumah, taman, hingga piramida yang sangat terkenal dan masih
dapat dilihat hingga saat ini.
Jika engkau tidak sanggup menahan
lelahnya belajar, maka engkau harus
menanggung pahitnya kebodohan.

62. 62 | P a g e
TEOREMA
PYTHAGORAS
Definisi
Dalil
Pembuktian
Dalil
Tripel
Pythagoras
Perbandingan
Sisi-sisi Segitiga
Siku-siku
Istimewa
Perbandingan
Trigonometri
SegitigaSiku-siku
Penggunaan dalam
Matematika
Perhitungan
pada Segitiga
Menemukan
Jenis
Segitiga
Garis
Tinggi
Segitiga
Penerapan pada
Kehidupan
Sehari-hari
Perhitungan
pada
Bangun
Datar
Perhitungan
pada
Bangun
Ruang
Kuadrat dan
Akar Kuadrat
Bilangan
PETA KONSEP

63. 63 | P a g e
TEOREMA PHYTAGORAS
Kuadrat dan Akar Kuadrat Bilangan
Teorema Pythagoras erat kaitannya dengan bentuk kuadrat. Akar kuadrat dari a
(dilambangkan dengan √ 𝑎) adalah suatu bilangan tak negatif yang jika dikuadratkan
sama dengan 𝑎. Perhatikan definisi berikut :
𝐽𝑖𝑘𝑎 𝑥2
= 𝑎 𝑑𝑎𝑛 𝑥 ≥ 0, 𝑚𝑎𝑘𝑎 √ 𝑎 = 𝑥
A. Definisi
Dalam matematika, teorema Pythagoras adalah suatu keterkaitan dalam
geometri Euklides antara tiga sisi sebuah segitiga siku-siku. Teorema ini dinamakan
menurut nama filsuf dan matematikawan Yunani abad ke-6 SM yakni Pythagoras.
Pythagoras sering dianggap sebagai penemu teorema ini meskipun sebenarnya fakta-
fakta teorema ini sudah diketahui oleh matematikawan India (dalam Sulbasutra
Baudhayana dan Katyayana) Yunani, Tionghoa dan Babilonia jauh sebelum Pythagoras
lahir. Pythagoras menjadi terkenal karena ialah yang pertama membuktikan kebenaran
universal dari teorema ini melalui pembuktian matematis.
1. Dalil Pythagoras
Dalil phytagoras mengungkapkan hubungan antara sisi-sisi pada suatu segitiga
siku-siku. Perhatikan bagian-bagian segitiga siku-siku di bawah ini:
a) Sisi di depan sudut siku-siku (sisi AB) merupakan sisi
terpanjang dan disebut sisi miring (hipotenusa).
b) Sisi-sisi lain yang membentuk sudut siku-siku (sisi BC
dan sisi CA) disebut sisi siku-siku.
Bunyi dalil pythagoras adalah :
“Untuk setiap segitiga siku-siku, berlaku kuadrat
panjang sisi miring (hipotenusa) sama dengan jumlah
kuadrat panjang sisi siku-sikunya”
Sehingga jika ABC adalah segitiga siku-siku dengan c
adalah panjang sisi miring (hipotenusa), sedangkan a dan b
adalah panjang sisi siku-sikunya, maka berlaku:
2. Pembuktian TeoremaPythagoras
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2
Maka diperoleh pula :
𝑎2 = 𝑐2 − 𝑏2
𝑏2 = 𝑐2 − 𝑎2

64. 64 | P a g e
Bukti 1:
Gambar di bawah menunjukkan persegi ABCD dengan
sisi (a + b) satuan, yang terdiri dari persegi kecil EFGH dengan sisi c satuan dan empat
buah segitiga kongruen. Dari Gambar tampak bahwa luas persegi ABCD sama dengan
luas persegi EFGH ditambah luas empat segitiga siku-siku (luas daerah berwarna biru),
sehingga diperoleh:
Luas persegi ABCD = Luas persegi EFGH + Luas 4 segitiga siku-siku
( 𝑎 + 𝑏)2
= 𝑐2
+ 4 (
𝑎𝑏
2
)
𝑎2
+ 2𝑎𝑏 + 𝑏2
= 𝑐2
+ 2𝑎𝑏
𝑎2
+ 𝑏2
= 𝑐2
(Terbukti)
Bukti 2:Bukti dari Astronom India Bhaskara (1114 - 1185)
Pada gambar di atas terdapat persegi ABCD dengan panjang sisi “c” . kemudian di dalam
persegi ABCD tersebut dibuat 4 buah segitiga siku-siku yang sama besar dengan panjang
sisi siku-siku adalah “a” dan “b” serta panjang sisi miring adalah “c”.
Dengan memperhatikan gambar di atas, didapatkan :
LABCD = L PQRS + L∆ABQ + L∆BCR + L∆CDS + L∆ADP
KarenaL∆ABQ + L∆BCR + L∆CDS + L∆ADP, maka :
LABCD = L PQRS + 4 (L∆ABQ)
Perhatikan bahwa panjang sisi Persegi PQRS = ( b – a ) , berarti :

65. 65 | P a g e
c2 = ( b – a ) 2 + 4 ( ½ ab)
c2 = ( b2– 2ab + a2 ) + 2 ab
c2 = b2+ a2 – 2ab + 2 ab
c2 = b2+ a2 (Terbukti)
Bukti 3: Menggunakan Garis Tinggi danSifat Segitiga Sebangun (Pembuktian Baskhara
yang Kedua)
Misal, diketahui segitiga ABC siku – siku di C.
AB = c, BC = a, dan AC = b
Buat garis tinggi dari C yang memotong AB di titik D sehingga sudut CDA dan CDB siku –
siku,
Segitiga ACD dengan ABC sebangun, sehingga:
Segitiga BCD dengan segitiga ABC juga sebangun, sehingga:
→
Dari persamaan (1) dan (2), diperoleh:
(Terbukti)

66. 66 | P a g e
3. Tripel Pythagoras
Tripel Pythagoras adalah kelompok tiga bilangan bulat positif yang memenuhi
kuadrat bilangan terbesar sama dengan jumlah kuadrat dua bilangan lainnya
Tiga buah bilangan a, b dan c dimana a, b dan c bilangan asli, dan c merupakan
bilangan terbesar, dikatakan merupakan triple phytagoras jika ketiga bilangan tersebut
memenuhi hubungan:
c² = a² + b², atau b² = c² - a², atau a² = c² - b²
Cara untuk mendapatkan 3 bilangan yang merupakan Tripel Pythagoras yaitu dengan
memilih dua bilangan asli sembarang, misalnya a dan b, dengan ketentuan a > b ,
kemudian perhatikan tabel
A b a2 + b2 a2 - b2 2ab Tripel Pythagoras
2 1 22 + 12 = 5 22 - 12 = 3 2. 2 . 1 = 4 5, 3, 4
3 2 32 + 22 = 13 32 + 22 = 5 2. 3. 2 = 12 13, 5, 12
5 3 52 + 32 = 34 52 + 32 = 16 2. 5. 3 = 30 34, 16, 30
Dst.....
4. Perbandingan Sisi-sisi pada SegitigaSiku-siku dengan Sudut Istimewa
a. Sudut 45°
Jika salah satu sudut dari suatu segitiga siku-siku adalah 45°
maka sudut yang lain juga 45°.Jadi segitiga tersebut adalah
segitiga siku-siku sama kaki.
Perhatikan gambar disamping:
Sudut B siku-siku dengan panjang AB = BC = x cm
dan < A = <C = 45°.
Dengan menggunakan teoema Pythagoras diperoleh
𝐴𝐶2
= 𝐴𝐵2
+ 𝐵𝐶2
𝐴𝐶 = √𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2
= √𝑥2 + 𝑥2
= √2𝑥2 = 𝑥√2
Misal : x = 1
Maka diperoleh perbandingan 𝐴𝐵 ∶ 𝐵𝐶 ∶ 𝐴𝐶 = 𝑥 ∶ 𝑥 ∶ 𝑥√2
= 1 ∶ 1 ∶ √2
b. Sudut 30° dan 60°
Segitiga ABC disamping adalah segitiga sama sisi dengan
AB = BC = AC = 2x cm dan <A = <B = <C = 60°.
Karena CD tegak lurus AB, maka CD merupakan garis tinggi sekaligus
Garis bagi <C, sehingga < ACD = < BCD = 30°.
Titik D adalah titik tengah AB, dimana AB = 2x cm, sehingga panjang
BD = x cm.

67. 67 | P a g e
Perhatikan segitiga CBD
Dengan menggunakan teorema Pythagoras diperoleh
𝐶𝐷2
= 𝐵𝐶2
− 𝐵𝐷2
𝐶𝐷 = √𝐵𝐶2 − 𝐵𝐷2
= √(2𝑥)2 − 𝑥2
= √4𝑥2 − 𝑥2
= √3𝑥2 = 𝑥√3
Misal, x = 1
Maka diperoleh perbandingan 𝐵𝐷 ∶ 𝐶𝐷 ∶ 𝐵𝐶 = 𝑥 ∶ 𝑥√3 ∶ 2𝑥
= 1 ∶ √3 ∶ 2
5. Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-siku
Perhatikan segitiga siku-siku dibawah ini:
Ada tiga sisi unik dalam segitiga tersebut berdasarkan posisi sudut siku-siku dan
sudut yang diketahui. Ketiga sisi tersebut adalah:
a) Sisi yang berhadapan dengan sudut yang diketahui disebut sebagai sisi depan
b) Sisi tempat menempelnya sudut siku-siku dan sudut yang diketahui disebut
sebagai sisi samping
c) Sisi yang berhadapan dengan sudut siku-siku disebut sebagai sisi miring.
Pada perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku terdapat sebuah definisi
yang menyatakan bahwa:
Dalamsuatusegitigasiku-sikuberlaku :
1) Sinus suatusudutadalahperbandingansisisiku- siku di
hadapansudutitudengansisimiringnya.
2) Cosinussuatusudutadalahperbandingansisisiku- siku yang
mengapitsudutitudengansisimiringnya
3) Tangensuatusudutadalahperbandingansisisiku-siku di
hadapansudutitudengansisisiku-siku yang lainnya.
4) Cotangenssuatusudutadalahperbandingansisisiku -siku yang
mengapitsudutitudengansisisiku - siku yang lainya.
5) Sekanssuatusudutadalahperbandingansisi miring dengansisisiku-siku yang
mengapitsudutitu
6) Cosekanssuatusudutadalahperbandingansisi miring dengansisisiku-siku di
hadapansudutitu.

68. 68 | P a g e
Dari definisi diatas, maka perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku
dapat dirumuskan sebagai berikut:
𝒔𝒊𝒏 𝜶 =
𝒅𝒆𝒑𝒂𝒏
𝒎𝒊𝒓𝒊𝒏𝒈
=
𝒅𝒆
𝒎𝒊
=
𝒚
𝒓
𝒄𝒐𝒔 𝜶 =
𝒔𝒂𝒎𝒑𝒊𝒏𝒈
𝒎𝒊𝒓𝒊𝒏𝒈
=
𝒔𝒂
𝒎𝒊
=
𝒙
𝒓
𝒕𝒂𝒏 𝜶 =
𝒅𝒆𝒑𝒂𝒏
𝒔𝒂𝒎𝒑𝒊𝒏𝒈
=
𝒅𝒆
𝒔𝒂
=
𝒚
𝒙
𝒄𝒔𝒄 𝜶 =
𝒎𝒊𝒓𝒊𝒏𝒈
𝒅𝒆𝒑𝒂𝒏
=
𝒎𝒊
𝒅𝒆
=
𝒓
𝒚
𝒔𝒆𝒄 𝜶 =
𝒎𝒊𝒓𝒊𝒏𝒈
𝒔𝒂𝒎𝒑𝒊𝒏𝒈
=
𝒎𝒊
𝒔𝒂
=
𝒓
𝒙
𝒄𝒐𝒕 𝜶 =
𝒔𝒂𝒎𝒑𝒊𝒏𝒈
𝒅𝒆𝒑𝒂𝒏
=
𝒔𝒂
𝒅𝒆
=
𝒙
𝒚
B. Penggunaan TeoremaPythagorasdalam Matematika
1. Perhitunganpada Segitiga
a. MenentukanJenis Suatu Segitiga
Menentukan jenis suatu segitiga yaitu dengan menggunakan kebalikandari
teorema Pythagoras. Kebalikan teorema Pythagoras menyatakan bahwa:
“Untuk setiap segitiga jika jumlah kuadrat panjang dua sisi yang saling tegak lurus sama
dengan kuadrat panjang sisi miring maka segitiga tersebut merupakan segitiga siku-
siku.”
Perhatikan gambar (i). Misalkan ∆ABC dengan panjang sisi-sisinya AB =c cm,
BC= a cm, dan
AC = b cm. Sehingga berlaku 𝑏2
= 𝑎2
+ 𝑐2
................................(1)
Akan dibuktikan bahwa ∆ ABC siku-siku di B.
Pada gambar (ii), ∆ PQR siku-siku di Q dengan panjang PQ = c cm, QR = a cm, dan
PR = q cm. Karena ∆ PQR siku-siku, maka berlaku 𝑞2
= 𝑎2
+ 𝑐2
...................................(2)
Berdasarkan persamaan (1) dan (2) kita peroleh
𝑏2
= 𝑎2
+ 𝑐2
= 𝑞2
𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑏2
= 𝑞2
Sehingga, b = q
Jadi, ∆ ABC dan ∆ PQR memiliki sisi-sisi yang sama panjang. Dengan
mengimpitkan sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua segitiga, diperoleh sudut-sudut yang

69. 69 | P a g e
bersesuian sama besar. Dengan demikian, <ABC = <PQR = 90°. Jadi, ∆ ABC adalah
segitiga siku-siku di B.
Kebalikan teorema Pythagoras juga dapat digunakan untuk menentukan apakah
sebuah segitiga merupakan segitiga siku-siku, segitiga lancip, atau segitiga tumpul.
Misalnya, sisi c adalah sisi terpanjang pada ∆ABC.
 Jika 𝑎2
+ 𝑏2
= 𝑐2
, maka ∆ABC merupakan segitiga siku-siku.
 Jika 𝑎2
+ 𝑏2
> 𝑐2
, maka ∆ABC merupakan segitiga lancip.
 Jika 𝑎2
+ 𝑏2
< 𝑐2
, maka ∆ABC merupakan segitiga tumpul.
Maka dapat disimpulkan bahwa, pada suatu segitiga berlaku:
a) Jika kuadrat sisi miring = jumlah kuadrat sisi yang lain maka segitiga tersebut
siku-siku.
b) Jika kuadrat sisi miring < jumlah kuadrat sisi yang lain maka segitiga tersebut
lancip.
c) Jika kuadrat sisi miring > jumlah kuadrat sisi yang lain maka segitiga tersebut
tumpul.
b. Menghitung Garis Tinggi pada Segitiga
Garis tinggi pada segitiga adalah garis yang ditarik dari sudut segitiga dan tegak
lurus terhadap
sisi yangada di hadapan sudut segitiga tersebut. Sekarang bagaimana cara menghitung
garis tinggi pada suatu segitga? Ada rumus umum yang dapat kamu gunakan untuk
menghitungnya. Untuk lebih jelasnya pelajari uraian berikut secara saksama.
Misalkan diketahui segitiga sebarang ABC dengan panjang
AB = c cm, AC = b cm dan BC = a cm. Serta CD adalah garis tinggi
pada segitiga ABC. Misalkan panjang AD adalah x, dengan demikian
panjang DB adalah c – x.
 Pada ∆ ADC berlaku teorema Pythagoras, yaitu:
𝐶𝐷2
= 𝑏2
− 𝑥2
...................(i)
 Pada ∆ DBC juga berlaku teorema Pythagoras, yaitu:
𝐶𝐷2
= 𝑎2
− (𝑐 − 𝑥)2
.........................(ii)
 Dari persamaan (i) dan (ii) diperoleh hubungan :
𝑏2
− 𝑥2
= 𝑎2
− (𝑐 − 𝑥)2
𝑏2
− 𝑥2
= 𝑎2
− ( 𝑐2
− 2𝑐𝑥 + 𝑥2)
𝑏2
− 𝑥2
= 𝑎2
− 𝑐2
+ 2𝑐𝑥 − 𝑥2
𝑏2
= 𝑎2
− 𝑐2
+ 2𝑐𝑥
𝑥 =
𝑏2
−𝑎2
+𝑐2
2𝑐
............................(iii)
 Substitusikan persamaan (iii) ke persamaan (i), maka diperoleh
𝐶𝐷2
= 𝑏2
− 𝑥2

70. 70 | P a g e
𝐶𝐷2
= 𝑏2
− (
𝑏2
− 𝑎2
+ 𝑐2
2𝑐
)
2
𝐶𝐷 = √ 𝑏2 − (
𝑏2 − 𝑎2 + 𝑐2
2𝑐
)
2
Dari uraian diatas diperoleh bahwa panjang garis tinggi segitiga ABC yaitu CD, adalah :
𝐶𝐷 = √ 𝑏2 − (
𝑏2 − 𝑎2 + 𝑐2
2𝑐
)
2
2. Perhitunganpada BangunDatar
Selain dimanfaatkan pada segitiga siku-siku, teorema Pythagoras juga dapat
digunakan pada bangun datar dan bangun ruang matematika yang lain untuk mencari
panjang sisi-sisi yang belum diketahui.
Perhatikan contoh soal berikut:
Perhatikan gambar persegi panjang ABCD disamping.
Diketahui ukuran panjang dan lebar persegi panjang tersebut
Berturut-turut adalah 15 cm dan 8 cm.
Tentukan :
a. Luas persegi panjang ABCD.
b. Panjang diagonal BD
c. Panjang BE
Penyelesaian:
a. Luas persegi panjang ABCD dapat dihitung sebagai berikut
Luas peresegi panjang = panjang x lebar
= 15 x 8
= 120
Jadi, Luas ABCD adalah 120 cm2
b. Dengan menggunkan teorema Pythagoras beraku hubungan
BD2 = AB2 + AD2
BD2 = 152 + 82
= 225 + 64
= 289
BD = √289 = 17
Jadi, panjang BD = 17 cm.
c. Perhatikan gambar. Panjang garis BE adalah ½ kali panjang diagonal BD, sehingga:
Panjang BE = ½ x panjang diagonal BD’
= ½ x 17 = 8 ½
Jadi, panjang BE = 8 ½ cm.

71. 71 | P a g e
3. PerhitunganPada Bangun Ruang
Perhatikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk a cm pada gambar di
samping. Dapatkah kalian menyebutkan diagonal sisi kubus ABCD.EFGH?
Diagonal sisi adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut
yang berhadapan pada suatu bidang datar. Diagonal sisi kubus tersebut
antara lain 𝐴𝐹, 𝐵𝐷, 𝐶𝐻, 𝑑𝑎𝑛 𝐷𝐸. . Misalkan kita akan menentukan
panjang diagonal sisi 𝐵𝐷. Perhatikan persegi ABCD. 𝐵𝐷
adalah salah satu diagonal sisi bidang ABCD. Sekarang,
perhatikan ∆ ABD. Karena ∆ ABD siku-siku di A,
maka dengan menggunakan teorema Pythagoras diperoleh:
𝐵𝐷
2
= 𝐴𝐷
2
+ 𝐴𝐵
2
= 𝑎2
+ 𝑎2
= 2𝑎2
𝐵𝐷 = √2𝑎2
= 𝑎√2
Selanjutnya, dapatkah kalian menyebutkan diagonal ruang kubus ABCD.EFGH?
Diagonal ruang adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik sudut yang berhadapan
dalam suatu bangun ruang.
Diagonal ruang kubus ABCD.EFGH antara lain 𝐻𝐵 dan 𝐹𝐷. Perhatikan ∆ BDH
siku-siku di titik D, maka untuk menentukan panjang diagonal ruang 𝐻𝐵 dapat dicari
dengan menggunakan teorema Pythagoras.
𝐻𝐵
2
= 𝐵𝐷
2
+ 𝐷𝐻
2
= (𝑎√2)2
+ 𝑎2
= 2𝑎2
+ 𝑎2
= 3𝑎2
𝐻𝐵 = √3𝑎2 = 𝑎√3
C. Penerapan Teorema Pythagoras dalam Kehidupan
Sehari-hari
Banyak permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang disajikan dalam soal
cerita dan dapat diselesaikan dengan menggunakan teorema Pythagoras. Untuk
memudahkan menyelesaikannya diperlukan bantuan gambar (sketsa). Pelajari contoh
berikut.
Contoh:

72. 72 | P a g e
Seorang anak menaikkan layang-layang dengan benang yang panjangnya 100
meter. Jarak anak di tanah dengan titik yang tepat berada di bawah layang-layang adalah
60 meter. Hitunglah ketinggian layang-layang.
Penyelesaian:
Tinggi layang-layang = BC, berdasarkan teorema Pythagoras diperoleh:
𝐵𝐶2
= 𝐴𝐶2
− 𝐴𝐵2
= 1002
− 602
= 10.000 – 3600
= 6400
𝐵𝐶 = √6400 = 80 𝑚
Jadi, tinggi layang-layang adalah 80 m.

73. 73 | P a g e
LATIHAN SOAL TEOREMA PHYTAGORAS
1. Perhatikan gambar disamping. Tentukan
panjang DE jika diketahui panjang AB = 21 cm.
2. Perhatikan gambar layang-layang ABCD di bawah ini
Jika panjang AC = 24 cm, panjang AB = 13 cm dan panjang AD = 20 cm. Hitunglah
luas bangun layang-layang di atas!
3. Diketahui balok ABCD.EFGH memiliki panjang 12 cm, lebar 4 cm dan tinggi
8cm.Hitunglah diagonal ruang balok tersebut.
4. Diketahui lingkaran dengan pusat O dan mempunyai
diameter AB. Segitiga CDE siku-siku di D,
DE pada diameter AB sehingga DO = OE dan CD = DE
untuk suatu titik C pada lingkaran. Jika jari-jari lingkaran
adalah 1 cm, maka luas segitiga CDE = ....cm2
5. Jika segitiga ABC siku-siku di B, AB = 6, AC = 10, dan AD adalah garis bagi sudut BAC,
maka panjang AD adalah....
6. Serangkaian bendera dihubungkan oleh tali
pada dua ujung tongkat. Kedua tongkat tersebut
ditancapkan disebuah taman yang berbentuk
persegi panjang. Panjang bentangan tali yang
diperlukan untuk merangkai bendera tersebut
A
A
D
A
B
A
C
A
E
A
O
A

74. 74 | P a g e
adalah....m
7. Perhatikan gambar disamping. Tentukan
panjang BD jika diketahui panjang AC = 50 cm.
8. Dua buah tiang berdampingan berjarak 24 m. Jika tinggi tiang masing-masing adalah
22 m dan 12 m, hitunglah panjang kawat penghubung antara ujung tiang tersebut.
9. Carilah ruas garis x, y, z dan w yang belum
diketahui dari gambar disamping!
10. Perhatikan gambar berikut!
Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 2 cm. Sudut antara bidang ABCD dan
bidang ACF adalah ⍺ maka cos ⍺ adalah........

75. 75 | P a g e
BAB
7
ARITMATIKA
SOSIAL
Disusun oleh:
 Aisyah Turidho
 Shely Maulinda
 Wahyu Adi Negara
Dalam kehidupan sosial takkan pernah telepas dari yang
namanya “hitung”. Dari mulai perhitungan bunga, diskon, untung,
rugi hingga pajak. Tentunya perhitungan tersebut sangat membantu
dalam kegiatan sehari-hari. Oleh karena itu, penting bagi kita untuk
mempelajari perhitungan bunga, diskon, untung, rugi, dan
sebagainya. Materi tersebut tercantum dalam materi Aritmatika
Sosial.
Keuntungan akan didapat dengan
adanya usaha yang giat jika tidak
maka kerugianlah yang akan didapat

76. 76 | P a g e
Aritmatika
Sosial
Definisi
Bunga
Tabungan
Bunga
Tunggal
Bunga
Majemuk
Harga Penjualan
dan Pembelian
Untung
dan Rugi
Rabat, Bruto,
Tara, Neto
dan Pajak
Rabat
Bruto
Tara
Neto
Pajak
Implementasi
Aritmatika Sosial
PETA KONSEP

77. 77 | P a g e
ARITMATIKA SOSIAL
Aritmatika merupakan bagian dari matematika yang disebut Ilmu Hitung. Kata
“sosial” dapat diartikan sebagai hal-hal yang berkenaan dengan masyarakat. Jadi
Aritmatika sosial adalah cabang ilmu matematika yang mempelajari tentang matematika
pada kehidupan sehari-hari. Dahulunya pengertian ini hanya berlaku untuk matematika
yang sifatnya berada dalam kehidupan ekonomi, namun sekarang aritmatika digunakan
dalam kehidupan sosial.
A. BUNGA TABUNGAN
Apabila kita menyimpan di bank, maka kita akan mendapatkan tambahan uang
yang disebut bunga. Bunga adalah imbalan atas terjadinya transaksi simpan pinjam.
Perhitungan bunga dilakukan selang interval waktu tertentu sesuai kesepakatan. Bunga
tabungan dihitung berdasarkan persen nilai. Bunga tabungan dihitung secara priodik
biasanya dihitung dalam persen yang berlaku untuk jangka waktu 1 tahun, bunga 15%
pertahun artinya tabungan akan mendapat bunga 15% jika telah disimpan dibank
selama 1 tahun.
Bunga 1 tahun = % bunga x modal
Bungan Bulan =
𝒏
𝟏𝟐
x % bunga x modal
=
𝒏
𝟏𝟐
x bunga 1 tahun
Ada dua jenis bunga tabungan yaitu
1. Bunga Tunggal
Bunga tunggal adalah perhitungan jangka waktu tertentu dan jika pada waktu
yang telah disepakati tidak diambil maka bunga tidak diperhitungkan pada periode
berikutnya berlaku pada deposito.
b = s x M
Keterangan:
b = Pinjam bunga pokok
s = suku bunga
M= Modal pokok
2. Bunga Majemuk

78. 78 | P a g e
Bunga majemuk adalah bunga yang tidak diambil kemudian terkena bunga di
periode selanjutnya. Jatuh tempo adalah selesainya waktu peminjaman. Jumlah total
majemuk adalah jumlah modal dan semua bunga majemuk selama 1 masa peminjaman.
Suku bunga nominal adalah suku bunga yang diperhitungkan untuk satu periode
peminjaman.
Keterangan:
Mt = total modal bunga majemuk
Po = modal asli/ awal sebelum ditambah dengan bunga
bo = bunga majemuk
n = jumlah periode perhitungan bunga
B. HARGA PEMBELIAN DAN HARGA PENJUALAN
Dalam suatu kegiatan jual beli atau perdagangan ada dua pihak yang yang saling
berkempentingan, yaitu penjual dan pembeli. Penjual adalah orang yang menyerahkan
barang kepada pembeli dengan menerima imbalan berupa sejumlah uang dari
pembeli.Pembeli adalah orang yang menerima barang dari penjual dengan
menyerahkan sejumlah uang kepada penjual sebaga pembayarannya.
Untuk mendapatkan barang yang akan dijual, seorang pedagang terlebih dahulu
harus membelinya dari pedagang lain dengan mengeluarkan sejumlah uang yang
disebut Harga Pembelian Modal. Setalah barang itu didapatkan, kemudian dijual kembali
kepada pembeli. Iang yang diterima pedagang dari pembeli atas barang yag dijualnya
disebut Harga Penjualan.
Dalam perdagangan, keuntungan dapat diperoleh apabial harga penjualan lebih
tinggi daripada harga pembelian. Karena harga penjualan lebih tinggi daripada harga
pembelian, dan besar untung sama dengan harga penjualan dikurangi harga pembelian
maka diperoleh hubungan berikut ini.
Hargabeli tiapsatuan barang =
𝒉𝒂𝒓𝒈𝒂 𝒑𝒆𝒎𝒃𝒆𝒍𝒊𝒂𝒏
𝒃𝒂𝒏𝒚𝒂𝒌𝒏𝒚𝒂 𝒃𝒂𝒓𝒂𝒏𝒈
Mt = Po(𝟏 + 𝒃𝒐) 𝒏
Hargajual tiap satuan barang =
𝒉𝒂𝒓𝒈𝒂 𝒑𝒆𝒏𝒋𝒖𝒂𝒍𝒂𝒏
𝒃𝒂𝒏𝒚𝒂𝒌𝒏𝒚𝒂 𝒃𝒂𝒓𝒂𝒏𝒈

79. 79 | P a g e
C. UNTUNG RUGI
Dalam perdagangan, terdapat dua kemungkinan yang akan dialami oleh
pedagang, yaitu untung atau rugi tergantung pada beberapa hal, seperti besarnya harga
jual, kondisi barang yang dijual (mengalami kerusakan atau tidak), dan situasi.
a. Pengertian Untung
Seorang pedagng dikatakan mendapat untung apabila ia berhasil menjual barang
dagangannya dengan harga penjualan yang lebih tinggi daripada harga pembeliannya.
Besarnya selisih antara harga penjualan dan harga pembelian itu merupakan besarnya
untung yang diperoleh pedagang tersebut.
Keuntungan yang diperoleh seorang pedagang dapat dirumuskan sebagai berikut:
Hargapenjualan = harga pembelian + untung
Atau
Hargapembelian = harga penjualam - untung
Untung= Harga penjualan – harga pembelian
b. Pengertian Rugi
Seorang pedagang dikatakan mendapat rugi apabila ia menjual barang
dagangannya dengan harga penjualan yang lebih rendah daripada harga pembelian.
Besar selisih antar yang diderita oleh pedagang tersebut.
Besarnya kerugian yang diderita oleh pedagang dapat dirumuskan sebagai berikut:
Hargapenjualan = harga pembelian – Rugi
Atau
Hargapembelian = harga penjualan + Rugi
Rugi = Harga pembelian – hargapenjualan
D. PERSENTASE UNTUNGDAN RUGI
Dalam dunia perdagangan untung dan rugi dapat dinyatakan dengan %.
Misalnya, bila kita sedang tawar-menawar suatu barang dipasar (karena harganya
dirasakan terlalu mahal bagi kita), kadang-kadang pedagang itu berkilah dengan
mengatakan bahwa ia hanya mengambil keuntungan sedikit, beberapa % saja.

80. 80 | P a g e
Dengan menyatakn keuntungan atau kerugian dalam bentuk %, kita dapat
melihat apakah keuntungan atau kerugian yang diperoleh pedagang tersebut berada
dalam tingkat yang wajar atau tidak. Kemudian juga, kita dapat membandingkan
besarnya keuntungan atau kerugian yang diperoleh oleh dua buah barang yang berbeda.
Apakah keuntungan atau kerugian yang diperoleh oleh barang yang satu lebih besar
atau lebih kecil daripada yang diperoleh oleh barang yang lain.
a. Menyatakanpersentasekeuntungan
Persentase keuntungan biasanya dihitung dari bunga pembelian. Jadi, jika kita
mendengar ada seorang pedagang yang mengambil keuntungan 10%, itu berarti bahwa
pedagang tersebut mengambil keuntungan 10% dari harga pembelian barang itu.
Menyatakan persentase keuntungan dari harga pembelian dirumuskan sebagai
berikut:
Persentase keuntungan (%) =
𝒌𝒆𝒖𝒏𝒕𝒖𝒏𝒈𝒂𝒏
𝒉𝒂𝒓𝒈𝒂 𝒑𝒆𝒎𝒃𝒆𝒍𝒊𝒂𝒏
x 100%
b. MenyatakanPersentase kerugian
Besarnya kerugian yang diderita seorang pedagang juga dapat dinyatakn dalam
persentase yang dihitung dari harga pembelian. Jadi, jika seseorang menderita sebesar
5%, itu artinya orang tersebut menderita kerugian 5% dari harga pembelian. Persentase
kerugian ini dapat dinyatakan dalam rumus sebagai berikut:
Persentase kerugian (%) =
𝒌𝒆𝒓𝒖𝒈𝒊𝒂𝒏
𝒉𝒂𝒓𝒈𝒂 𝒑𝒆𝒎𝒃𝒆𝒍𝒊𝒂𝒏
x 100%
E. RABAT(DISKON), BRUTO, TARA, DAN NETO, PAJAK
 Rabat
Rabat artinya potongan harga atau lebih dikenal dengan istilah diskon. Rabat
biasanya diberikan kepada pembeli dari suatu grosir atau toko tertentu.
Rabat (diskon) seringkali dijadikan alat untuk menarik para pembeli. Misalnya
ada toko yang melakukan obral dengan diskon dri 10% sampai 50%, sehingga para
pembeli menjadi tertarik untuk berbelanja ditoko tersebut, karena harga terkesan
menjadi murah.
Hargabersih = harga kotor – rabat(diskon)

81. 81 | P a g e
Pada rumus diatas, harga kotor adalah harga sebelum dipotong diskon, dan harga
bersih adalah harga setelah dipotong diskon.
 Bruto, Tara dan Neto
Bruto = Berat Kotor, Tara = Berat Wadah, Neto = Berat Bersih
Jadi, hubungan bruto, tara dan neto dapat dirumuskan sebagai berikut:
Neto = bruto – tara
Jika diketahui persen tara dan bruto, maak untuk mencari tara digunakan rumus sebagai
berikut:
Untuk setiap pembelian yang mendapatkan potongan berat (tara) dapat
dirumuskan sebagai berikut:
Hargabersih = neto x harga persatuan berat
 Pajak
Pajak merupakan suatu kewajiban dari warga negara untuk menyerahkan
sebagian kekayaan kepada negara menurut peraturan-peraturan yang ditetapkan oleh
pemerintah, tetapi tanpa mendapatkan jasa balik dari negara secara langsung. Hasil dari
pajak digunakan untuk kesejahteraan umum. Pegawai tetap dari perusahaan swasta
atau pegawai negeri dikenakan pajak penghasilan kena pajaknya yang disebut dengan
Pajak Penghasilan (PPh).
IMPLEMENTASI ARITMATIKA SOSIAL
Aritmatika sosial sangat erat kaitannya dalam kehidupan sehari-hari. Seperti halnya
bunga yang sering digunakan dalam bank. Untung dan rugi yang sangat membantu
proses jual-beli. Diskon dimana kita akan mendapat potongan harga saat belanja. Bruto,
Neto dan Tara yang selalu menjadi pertimbangan dalam pengemasan suatu prosuk.
Pajak yang seperti kita ketahui sebagai warga negara kita wajib membayar pajak yang
sudah ditetapkan pemerintah contohnya Pajak Bumi dan Bangunan (PBB) dan Pajak
Tara = % tara x bruto

82. 82 | P a g e
Penghasilan (PPh). Untuk tahu lebih detailnya tentang implementasi pajak, simak
contoh soal berikut:
Contohsoal bunga tunggal
Diketahui suatu modal sebesar Rp 3.000.000,- dengan suku bunga 15% pertahun.
Tentukan besarnya bunga tunggal tersebut.
a. untuk jangka waktu 8 bulan
b. untuk jangka waktu 20 bulan
Penyelesaian:
Karena besarnya suku bunga pertahun adalah 15%, maka besarnya bunga tunggal
pertahun adalah :
B = 15/100 x Rp 3.000.000,- = Rp 450.000,-
Sehingga diperoleh:
a. Besarnya bunga tunggal untuk jangka waktu 8 bulan adalah 8/12 x Rp 450.000,- =
Rp.300.000,-
b. Besarnya bunga tunggal untuk jangka waktu 20 bulan adalah 20/12 x Rp 450.000,-
= Rp. 750.000,-
Contoh soal bunga majemuk
1. Soal : Sutisna meminjam uang di bank sebesar Rp 200.000,-. Apabila modal itu
diperbungakan atas dasar bunga majemuk 5% setahun, menjadi berapa besarkah
modal yang harus dikembalikan sutisna pada akhir tahun ke-IV ?
Jawaban :
Modal tahun adalah Rp 200.000,-
Bunga tahun pertama 5% dari Rp 200.000,- Rp 10.000,-
Modal tahun ke-2 Rp 210.000,-
Bunga tahun ke-2 dari Rp 210.000,- Rp 10.500,-
Modal tahun ke-3 Rp 220.500,-
Bunga tahun ke-3 dari Rp 220.500,- Rp 11.025,-
Modal tahun ke-4 Rp 231.525,-

83. 83 | P a g e
Bunga tahun ke-4 dari Rp 231.525,- Rp 11.576,25
Jadi modal yang harus dikembalikan Sutisna adalah Rp 231.525,- + Rp 11.576,25
= Rp 243.101,25
2. Agung menyimpan uang Rp 200.000,- digunakan dengan dasar bunga majemuk
10% perbulan. Berapa nilai akhir modal tersebut jika diperbungakan selama 10
bulan 15 hari.
Jawaban :
M10 : Rp 200.000,- ( 1+0,1)10
: Rp 200.000,- (0,1)10
: Rp 200.000,-( 2,59374)
: Rp 518.748,50
M : X 0,1 X M10
: 0,05 (Rp 518.748,50)
: Rp 25.937,425
M10 : Rp 518.748,50 + Rp 25.937,425
: Rp 544.685,925
Contoh soal untung dan rugi
1. Seorang peternak ayam membeli seekor ayam dengan harga Rp.200.000,-.
Kemudian ayam tersebut dijual dengan harga Rp.250.000,-. Berapa keuntungan
yang didapat peternak tersebut...

84. 84 | P a g e
Jawab :
Harga beli = Rp.200.000,-
Harga jual = Rp.250.000,-
Besarnya keuntungan = harga jual - harga beli
= 250.000 - 200.000
= Rp. 50.000,-
2. Seorang pedagang kelinci membeli kelinci lokal sebanyak 100 ekor dengan harga
Rp. 4.000.000,-. Dalam perjalanan, terdapat 10 kelinci yang mati. 30 ekor laku
dijual dengan harga Rp. 50.000,- per ekor, sedangkat sisanya dengan harga Rp.
40.000,-. Berapa besar keuntungan dan kerugian yang didapat pedagang?
Jawab :
Harga pembelian = Rp. 4.000.000,-
Harga jual 30 ekor = 30 x Rp. 50.000,- = Rp. 1.500.000,-
Sisa kelinci yang dijual = 100 - 30 - 10 ( 10 kelinci yang mati )
= 60 ekor
Harga jual 60 ekor = 60 x Rp. 40.000,-

85. 85 | P a g e
= Rp. 2.400.000,-
Harga penjualan = Rp. 2.400.000,- + Rp. 1.500.000,-
= Rp. 3.900.000,-
Ternyata harga penjualan < harga pembelian maka pedagang mengalami kerugian.
Besar kerugian = harga beli - harga jual
= 4.000.000 - 3.900.000
= Rp. 100.000,-
Contohsoal diskon
Ani membeli sebuah baju di Toko Makmur Jaya seharga Rp 80.000,-. Namun, toko
tersebut tengah berbagi diskon sebesar 30% untuk setiap pembelian. Jadi, berapa
jumlah uang yang harus dibayar Ani?
Jawab :
Harga Barang = Rp 80.000,-
Besar Diskon
Diskon 30% = 30/100 x Harga Barang
= 30/100 x 80.000 = Rp 24.000,-
Uang yang harus dibayar Ani = Harga Barang - Harga setelah didiskon

86. 86 | P a g e
= 80.000 - 24.000 = Rp 56.000,-
ContohSoal Bruto, Tara dan Neto
1. Ibu membeli 5 kaleng susu. Disetiap kaleng tertulis neto 1 kg. Setelah ditimbang
ternyata berat kaleng susu tersebut 6 kg. Berapakah bruto dan tara setiap kaleng?
Jawab :
Bruto setiap kaleng = 6 kg : 5
= 1,2 kg
Tara setiap kaleng = Bruto - Neto
= 1,2 kg - 1 kg
= 0,2 kg
2. Peti buah berisi apel tertulis bruto 25 kg dan tara 2%. Hitunglah neto buah tersebut!
Jawab :
Tara = 2%
Tara = Persen Tara x Bruto
= 2% x 25 kg
= 2/100 x 25 kg
= 0,5 kg
Maka neto bisa dicari dengan, Neto = Bruto - Tara = 25 kg - 0,5 kg = 24,5 kg

87. 87 | P a g e
Contohsoal Pajak
- CONTOH PENGHITUNGAN ANGSURAN PPh PASAL 25 WAJIB PAJAK ORANG
PRIBADI
Si A adalah Pengusaha Warung Makan di Jogjakarta yang memiliki penjualan
pada tahun 2010 sebesar Rp180.000.000,-. Si A statusnya kawin dan mempunyai
2 (dua) orang anak. Si A menyelenggarakan pencatatan untuk menghitung
pajaknya. Besarnya Pajak Penghasilan Pasal 25 yang harus dibayar sebagai
angsuran dalam tahun berjalan dihitung sebagai berikut:
 Jumlah peredaran setahun Rp180.000.000,-
 Presentase penghasilan norma (lihat daftar presentase norma) = 20%
 Penghasilan neto setahun = 20% x Rp 180.000.000,- = Rp 3.000.000,-
 Penghasilan Kena Pajak = penghasilan neto dikurangi PTKP Rp
36.000.000,- – Rp 19.800.000,- = Rp 6.200.000,-
 Pajak Penghasilan yang terutang : 5% x Rp 6.200.000,- = Rp 310.000,-
 PPh Pasal 25 (angsuran) yang harus dibayar si A setiap bulan: Rp 310.000,-
: 12 = Rp 25.833,-
- CONTOH PENGHITUNGAN PELUNASAN PPh PASAL 29 WAJIB ORANG PRIBADI
Si A adalah pengusaha restoran (UMKM) di Jakarta yang tergolong sebagai Wajib
Pajak Orang Pribadi Pengusaha Tertentu dan menggunakan pencatatan dalam
penghitungan besarnya PPh.
 Jumlah peredaran usaha (omzet) selama setahun adalah Rp 510.500.000,-
 PPh Pasal 25 (WP OPPT) yang sudah dilunasi (0,75 x Rp 510.500.000,-)
adalah Rp 3.828.750,-
 Setelah dihitung PPh yang terutang selama setahun adalah Rp
10.975.750,-
 PPh Pasal 29 yang harus dilunasi oleh si A adalah sebesar : Rp
10.975.750,- – Rp 3.828.750,- = Rp 7.147.000,-

88. 88 | P a g e
LATIHAN SOAL ARITMATIKA SOSIAL
1. Seorang pedagang telur membeli telur sebanyak 72 butir dengan harga Rp.
1.500,00 tiap butir. Separuhnya dijual Rp. 1.750,00 tiap butir, dan sisanya dijual
Rp. 100 per butir. Tentukan untung dan ruginya!
2. Suatu barang dibeli dengan harga Rp. 2.000,00 dan dijual Rp. 2.500,00.
Berapakah persentase keuntungannya?
3. Sebuah penerbit buku menitipkan dua jenis buku masing-masing sebanyak 200
dan 500 buah. Pemilik toko harus membayar hasil penjualan buku kepada
penerbit setiap 3 bulan. Harga buku jenis pertama Rp. 7.500,00 sebuah,
sedangkan buku jenis kedua Rp. 10.000,00. Rabat untuk setiap buku pertama
30% sedang untuk buku kedua hanya 25%. Jika pada akhir 3 bulan pertama toko
itu berhasil memasarkan 175 buku jenis pertama dan 400 buku jenis kedua,
berapa:
a. Rabat yang diterima pemilik toko buku?
b. Uang yang harus disetorkan kepada penerbit?
4. Seorang pengecer buah mangga menerima kiriman dua kotak buah manga
“arumanis” dengan harga total Rp. 160.000,00. Pada setiap kotak tertera
Pengecer menjual kembali buah mangga itu dengan harga per kilo gramnya Rp.
3000,00. Tanpa memperhatikan biaya lainnya, tentukan:
a. Keuntungan yang diperoleh pengecer tersebut
b. Persentase keuntungan itu
5. Pak.Jono pinjam uang di koperasi “SUKSES“ dengan bunga tunggal 8% pertahun.
Selama 9 bulan Pak Jono melunasi pinjaman tersebut sebesar Rp10.600.000,00.
Besar pinjaman Pak Jono di koperasi tersebut adalah ....
6. Lia menyimpan uang di bank dengan bunga tunggal 18% pertahun. Setelah
menyimpan selama 8 bulan jumlah uang jadi Rp. 1.792.000,00. Besar tabungan
awal Lia adalah ...
7. Mas Shinyo menjual sebuah Laptop laku Rp. 5.100.000,00 ternyata setelah
dihitung rugi 15%, jika mas Shinyo menginginkan untung 8 % seharusnya mas
Shinyo menjual Laptop seharga …

89. 89 | P a g e
8. Dimas menabung uang sebesar Rp 900.000,00 di bank dengan mendapat bunga
6% per tahun. Untuk memperoleh bunga sebesar Rp 36.000,00 Dimas harus
menabung selama ….
9. Pak Amir membeli 15 lusin buku dengan harga Rp. 17.500,00 per lusin. Untuk
biaya trasnportasi ia mengeluarkan uang sebesar Rp. 35.000,00. Jika ia
memperoleh uang sebesar Rp. 372.500,00. Dari hasil penjualan seluruh buku
tersebut, maka ia mendapatkan keuntungan/kerugian? Jika untung berapa
keuntungannya dan jika rugi berapa kerugiannya?
10. Seorang pemilik dealer membeli sebuah mobil bekas. Untuk memperbaiki mobil
tersebut ia harus mengeluarkan biaya sebesar Rp. 400.000,00. Setelah beberapa
bulan mobil tersebut laku terjual dengan harga Rp. 21.160.000,00. Jika dari
penjualan tersebut pemilik dealer mendapat keuntungan 15%. Maka berapa
harga pembelian mobil bekas tersebut ?

90. 90 | P a g e
BAB
8
Disusun oleh:
 Atikarani Noer
Saleha
 Djoko Abimanyu
 Yuliana Novita Sar
Banyak permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang
menggunakan konsep-konsep perbandingan. Contohnya saat kita
membandingkan banyak teman laki-laki dengan teman perempuan.
Misalkan banyak teman laki-laki = a dan banyak teman perempuan = b,
maka perbandingannya dapat ditulis dengan a:b atau ab dengan b≠0.
Pada dasarnya, perbandingan merupakan penyederhanaan pecahan.
Beberapa konsep dalam perbandingan telah dibahas pada topik-topik
sebelumnya, antara lain perbandingan senilai, berbalik nilai, skala, faktor
perbesaran, dan pengecilan. Konsep-konsep ini sangat berguna dalam
pemecahan masalah dalam kehidupan sehari-hari. Oleh karena itu,
siswadiharapkan memahami konsep-konsep tersebut.
There is no ambition that is too
high, there is only the effort
that doesn’t as high as ambition.
PERBANDINGAN

91. 91 | P a g e
Perbandingan
PETA KONSEP
Skala Perbandingan
senilai
Perbandingan
berbalik nilai
- Macam-
macam skala
- Rumus skala
- Ilustrasi
perbandingan
senilai
- Grafik
perbandingan
senilai
- Ilustrasi
perbandingan
berbalik nilai
- Grafik
perbandingan
berbalik nilai
Aplikasi dalam
kehidupan sehari-hari

92. 92 | P a g e
PERBANDINGAN
A. Perbandingan
Perbandingan adalah bentuk kata benda dari kata banding atau perbandingan
adalah membandingkan dua nilai atau lebih dari suatu besaran yang sejenis yang
dinyatakan dengan cara yang sederhana. Kita dapat menggunakan perbandingan atau
Rasio untuk membandingkan besaran suatu benda dengan benda lain. Notasi
perbandingan (rasio) sering menggunalan “ : ”, atau dalam penulisannya “ a∶ 𝑏 =
𝑎
𝑏
”.
dan dibaca “ a berbanding b”.
Perbandingan dapat digunakan untuk membandingkan besaran-besaran yang
sejenis. Apabila besaran-besaran itu belum sejenis maka harus diubah menjadi besaran
sejenis. Perbandingan antara besaran-besaran sejenis, misalnya panjang dengan
panjang, masa dengan masa, waktu dengan waktu, dan nilai uang dengan nilai uang.
Contoh dua besaran sejenis:
 Perbandinagn 4 kg terhadap 2 kg, ditulis 4 : 2
 Perbandigan antara 10 menit dengan 6 menit, ditulis 10 : 6
 Perbandingan antara 20 m2 dengan 5 m2, ditulis 20 : 4
 Perbandingan 16 tahun terhadap 6 tahun, ditulis 16 : 6
Contoh dua besaran berlainan jenis:
 Perbandingan 6 kg terhadap 100 gram, ditulis 6 kg : 100 gram.
Bila diubah ke dalam satuan gram, diperoleh 6 kg = 6.000 gram sehingga
perbandingan itu menjadi 6000 : 100 atau 60 : 1.
Bila diuabha ke dalam satuan kg, diperoleh 100 gram = 0.1 kg sehingga
perbandingan itu menadi 6 : 0.1 atau 60 : 1.
Perbandingan Untuk dua besaran sejenis a dan b dengan m adalah FPB dari a dan b
maka
B. PerbandinganSenilai
Apabila dua benda selalu mempunyai rasio yamg sama dalam setiap keadaan,
maka kedua besaran itu dikatakan berbanding langsung atau terdapat perbandingan
senilai. Kedua besaran itu akan bertambah atau berkurang secara bersama pada setiap
perubahan. Contohny: Pernahkah kalian membeli buku di toko buku? Kalian dapat
membeli sejumlah buku sesuai dengan jumlah uang yang kalian punya. Jika harga 1 buah
buku Rp 2.500,00 maka harga 5 buah buku = 5 x Rp 2.500,00
= Rp12.500,00.
Makin banyak buku yang dibeli, makin banyak pula harga yang harus dibayar.
Perbandingan seperti ini disebut perbandingan senilai.
𝒂
𝒃
=
𝒂 ∶ 𝒎
𝒃 ∶ 𝒎

93. 93 | P a g e
Misalkan terdapat dua besaran A={a1, a2, a3,...,an} B={b1,b2, b3,...,bn} yang
berkorespondensi satu-satu, maka A dan B disebut berbanding senilai. Jika untuk
ukuran A semakin besar maka ukuran B semakin besar pula
Menyelesaikan perbandingan senilai:
A B
a1 b1
a2 b2
a3 b3
... ...
an bn
𝒂𝟏
𝒂𝟐
=
𝒃𝟏
𝒃𝟐
Sifat-sifat perbandingansenilai
1. Perbandingan senilai tidak berubah nilai apabila masing-masing suku dari
perbandingan dikalikan dengan bilangan bukan nol yang sama. Secara
matematis ditulis: Apabila a : b = c : d maka
(i) at : bt = c : d, t ≠ 0
(ii) a : b = cp : dp, p ≠ 0
(iii) at : bt = cp : dp, t ≠ o. p ≠ 0
𝒂𝟏
𝒂𝟐
=
𝒃𝟏
𝒃𝟐
Hasil kali silang
a1xb2=a2xb1
Perbandingan senilai
a1=
𝒃𝟏
𝒃𝟐
x a2

94. 94 | P a g e
2. Apabila a : b = c : d maka b : a = d : c
3. Apabila a : b = c : d maka ( a + b ) : b = ( c + d ) : d
4. Apabila a : b = c : d maka (a – b ) : b = ( c – d ) : d
5. Apabila a : b = c : d maka :
(i) (a + b) : (a - b) = (c + d) : (c – d) dan
(ii) (a - b) : (a + b) = (c – d) : (c + d)
Grafik perbandingan senilai
Tabel berikut menunjukkan hubungan antara jarak yang dapat ditempuh
dan waktu yang diperlukan oleh seorang siswa yang mengendarai sepeda.

95. 95 | P a g e
Gambar di atas menunjukkan grafik dari tabel di atas. Tampak bahwa
grafik perbandingan senilai berupa garis lurus. Jika jarak bertambah (makin
jauh), waktu yang dibutuhkan bertambah (makin lama).
C. Perbandinganberbalik nilai
Apabila dua dua besaran selalu mempunyai hasil kali rasio sama dengan satu
dalam setiap keadaan, maka kedua besaran ini memiliki perbandingan berbalik nilai.
Ilustrasi dari perbandingan berbalik nilai salah satunya adalah jika seorang ibu ingin
membagikan 100 permen kepada anak-anaknya, semakin banyak jumlah anak ibu maka
akan semakin sedikit jumlah permen yang diterima oleh setiap anaknya. Contoh Soal :
Seorang peternak mempunyai per sediaan makanan untuk 30 ekor kambing
selama 15 hari. Jika peternak itu menjual 5 ekor kambing, berapa hari
persediaan makanan itu akan habis?
Berdasarkan contoh di atas, makin sedikit jumlah kambing, makin lama
persediaan makanan akan habis. Perbandingan antara banyak kambing dengan lama
hari persediaan makanan habis adalah salah satu contoh perbandingan berbalik nilai.

96. 96 | P a g e
Jadi, pada perbandingan berbalik nilai berlaku hal berikut. Jika nilai suatu barang
naik maka nilai barang yang dibandingkan akan turun. Sebaliknya, jika nilai suatu
barang turun, nilai barang yang dibandingkan akan naik.
Misal terdapat dua besaran A={a1, a2, a3,..., an} dan B={b1, b2, b3,...,bn} yang
berkorespondensi satu-satu maka A dan B disebut berbalik nilai jika untuk ukuran A
semakin besar tetapi B semakin kecil.
Menyelesaikan perbandingan berbalik nilai
Grafik perbandingan berbalik nilai
Agar kalian mudah dalam membuat grafik perbandingan, buatlah tabel atau
daftar terlebih dahulu. Contoh Soal:
Jarak antara dua kota dapat ditempuh dengan mobil selama 1 jam dengan kecepatan
rata-rata 90 km/jam. Buatlah tabel dari data tersebut, kemudian gambarlah grafiknya.
Dari grafik di atas, dapat disimpulkan bahwa grafik perbandingan berbalik nilai
berupa kurva mulus. Jika waktu bertambah (makin lama), kecepatan berkurang
(makin turun). Sebaliknya, jika waktu berkurang (makin cepat), kecepatan bertambah
(makin naik)
𝒂𝟏
𝒂𝟐
=
𝒃𝟏
𝒃𝟐
Hasil kali
silang
a1xb1=a2xb2
Perbandingan
senilai
a1=
𝒃𝟐
𝒃𝟏
x a2

97. 97 | P a g e
D. Skala
Skala adalah perbandngan antara jarak pada gambar dengan jarak sesungguhnya.
Skala biasanya digunakan pada denah lokasi, peta, dan rancangan benda. Istilah skala
sering kita jumpai kalau kita membuka peta/atlas. Skala pada peta yang sering kita
jumpai menunjukkan skala pengecilan. Artinya, ukuran pada peta lebih kecil dari ukuran
sebenarnya. Hal ini disebut faktor skala. Faktor skala dapat berupa perbesaran atau
pengecilan. Contohnya, foto benda. Pada foto tampak kesamaan bentuk antara foto
dengen benda sebenarnya, foto dapat diperbesar atau diperkecil. Pada gambar berskala
selalu berlaku hal berikut:
a. Mengubah ukuran tetapi tidak mengubah bentuk
b. Ukuran dapat diperbesar atau diperkecil
Macam-macam skala:
 Skala angka
Jika pada peta tertulis skala 1 : 5.000.000, berarti :
 1 cm pada peta mewakili 5.000.000 cm jarak yang sebenarnya,
atau
 1 cm pada peta mewakili 50.000 m jarak yang sebenarnya, atau
 1 cm pada peta mewakili 50 km jarak yang sebenarnya
Skala adalah perbandingan ukuran pada gambar (cm) dengan
ukuran sebenarnya (cm) Tampak bahwa skala menggunakan satuan cm
untuk dua besaran yang dibandingkan Perlu diingat bahwa : 1 km = 1.000
m = 100.000 cm.
Contoh
1. Skala 1 inchi: 4 mil
Berarti
1 inchi pada peta = 4 mil pada jarak sebenarya
= 4 x 63.360