Dokumen ini membahas tentang konvergensi dan divergensi barisan, termasuk kondisi-kondisi tertentu yang melibatkan penjumlahan dan perkalian barisan. Contoh-contoh diberikan untuk menunjukkan barisan yang divergen tetapi hasil penjumlahan atau perkaliannya dapat konvergen. Selain itu, dokumen juga memberikan batasan pada barisan yang tidak terbatas dan konvergensi bilangan real.

1. Latihan Bagian 2.2 (Hal : 43)
1. Selidikilah barisan 𝒳 = (𝒳n) berikut divergen/konvergen jika:
(a) xn =
n
n+1
(b) xn =
(−1)n
n
n+1
(c) xn =
n2
n+1
(d) xn =
2n2
+3
n2+1
Penyelesaian:
(a) lim
n→∞
xn = lim
n→∞
n.
1
n
n=1.
1
n
= lim
n→∞
1
1 +
1
n
=
lim 1
lim 1 + lim
1
n
=
lim 1
lim 1
= 1
Maka divergen
(b) lim
n→∞
xn = lim
(−1)n
.n
n+1
N genap xn =
n
n+1
= 1
N ganjil xn = −
n
n+1
= −1
Karena punya 2 nilai yaitu 1 dan (-1) maka barisan dikatakan divergen
(c) lim
n→∞
xn = lim
n2
n+1
= lim
n2
.
1
n2
(n + 1).
1
n2
= lim
1
1
n
+
1
n2
= lim
1
0 + 0
= lim ∞
Maka Divergen
(d) lim
n→∞
xn = lim
2n2
+3
n2+1
= lim
(2n2
+ 3).
1
n2
n2 + 1.
1
n2
= lim
2 +
3
n2
1 +
1
n2
=
lim 2 + lim
3
n2
lim 1 + lim
1
n2

2. =
lim 2 + lim o
lim 1 + lim o
=
lim 2 + o
lim 1 + o
= lim 2
Maka Konvergen
2. Berikan contoh dua barisan divergen X, Y, tetapi X + Y konvergen.
Contoh:
X =
(−n)n
(n+1)
= (−
1
2
,
2
3
, −
3
4
,
4
5
, … ) divergen
Y =
n(−1)n−1
+n
(n+1)
= (1,0,
6
4
, 0, … ) divergen
X + Y =
(−n)n
+ n(−1)n−1
+ n
(n + 1)
= (
1
2
,
2
3
,
3
4
,
4
5
, … ) konvergen
dan
X = (−1)n
+ 1 = (0, 2, 0,2, … ) divergen
Y = (−1)n−1
+ 1 = (2, 0,2, 0, … ) divergen
X + Y = (−1)n
+ (−1)n−1
+ 2 = (2, 2, 2,2, … ) konvergen
3. Berikan contohdua barisan divergen X, Y, tetapi X ∙ Y konvergen.
Contoh:
X = (−1)n−1
= (1, −1, 1,−1, … ) divergen
Y =
(−n)n
(n + 1)
= (−
1
2
,
2
3
, −
3
4
,
4
5
, … )divergen
X + Y = (−1)n−1
∙
(−n)n
(n + 1)
= (−
1
2
, −
2
3
, −
3
4
, −
4
5
, … ) konvergen
dan
X = (−1)n
+ 1 = (0, 2, 0,2, … ) divergen
Y = (−1)n−1
+ 1 = (2, 0,2, 0, … ) divergen
X + Y = ((−1)n
+ 1)((−1)n−1
+ 1) = (0,0, 0, 0, … ) konvergen
4. MisalkanX, Y dua barisan sehingga X konvergen dan X + Y konvergen, tunjukkan bahwa Y konvergen.
Bukti:
5. Misalkan𝑋, 𝑌 dua barisan sehingga 𝑋 konvergen dan 𝑋 ∙ 𝑌 konvergen, apakah 𝑌 konvergen?
Bukti:

3. 6. Misalkan ( 𝑥 𝑛) barisan bilangan real tak nol dan 𝑦 𝑛 =
𝑥 𝑛−𝑥
𝑥 𝑛+𝑥
, 𝑥 ∈ ℝ . Jika ( 𝑦 𝑛) konvergen ke 0 ,
tunjukkan bahwa ( 𝑥 𝑛) konvergen. Hitung limitnya.
Bukti:
Kita asumsikan bahwa ( 𝑥 𝑛) konvergen kesuatu nilai, tetapi kita belum tahu berapa nilai tersebut
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
( 𝑦 𝑛) = 0
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(
𝑥 𝑛 − 𝑥
𝑥 𝑛 + 𝑥
) = 0
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
( 𝑥 𝑛 − 𝑥)
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
( 𝑥 𝑛 + 𝑥)
= 0
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
( 𝑥 𝑛 − 𝑥)
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
( 𝑥 𝑛 + 𝑥)
× 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
( 𝑥 𝑛 + 𝑥) = 0 × 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
( 𝑥 𝑛 + 𝑥)
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
( 𝑥 𝑛 − 𝑥) = 0
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
( 𝑥 𝑛) − 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
( 𝑥) = 0
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
( 𝑥 𝑛) − 𝑥 = 0
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
( 𝑥 𝑛) = 𝑥
Kemudian kita harus menunjukkan bahwa untuk setiap 𝜀 > 0, terdapat bilangan bulat 𝐾 sehingga
kapanpun 𝑛 ≥ 𝐾 berlaku | 𝑥 𝑛 − 𝑥| < 𝜀.
Diberikan sebarang 𝜀 > 0, karena𝑦 𝑛 konvergen ke 0 atau dengan kata lain 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
( 𝑦 𝑛) = 0, berarti
terdapat 𝐾𝑦 ∈ ℕ sehingga kapanpun 𝑛 ≥ 𝐾𝑦 berlaku |
𝑥 𝑛−𝑥
𝑥 𝑛+𝑥
| <
𝜀
| 𝑥 𝑛+𝑥|
pilih 𝐾 = 𝐾𝑦 , sehinnga
kapanpun𝑛 ≥ 𝐾 berlaku
| 𝑥 𝑛 − 𝑥| <
𝜀
| 𝑥 𝑛 + 𝑥|
| 𝑥 𝑛 + 𝑥| = 𝜀
Yang membuktikan bahwa ( 𝑥 𝑛)konvergen ke𝑥 atau 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
( 𝑥 𝑛) = 𝑥
7. Jika 𝑃( 𝑥) = 𝑎𝑥3
+ 𝑏𝑥2
+ 𝑐𝑥 + 𝑑, 𝑎 ≠ 0. Jika 𝑧 𝑛 =
𝑃( 𝑛+1)
𝑃( 𝑛)
, 𝑛 ∈ ℕ, buktikan bahwa ( 𝑧 𝑛) konvergen.
Hitung limitnya.
Bukti:
𝑧 𝑛 =
𝑎( 𝑛 + 1)3
+ 𝑏( 𝑛 + 1)2
+ 𝑐( 𝑛 + 1) + 𝑑
𝑎𝑛3 + 𝑏𝑛2 + 𝑐𝑛 + 𝑑
𝑧 𝑛 =
𝑎 + 𝑏 (
1
𝑛+1
) + 𝑐 (
1
𝑛+1
)
2
+ 𝑑 (
1
𝑛+1
)
3
𝑎 (
𝑛
𝑛+1
)
3
+ 𝑏(
𝑛
𝑛+1
)
2
(
1
𝑛+1
) + 𝑐 (
𝑛
𝑛+1
)(
1
𝑛+1
)
2
+ 𝑑 (
1
𝑛+1
)
3
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
( 𝑧 𝑛) = 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(
𝑎 + 𝑏(
1
𝑛+1
) + 𝑐 (
1
𝑛+1
)
2
+ 𝑑 (
1
𝑛+1
)
3
𝑎 (
𝑛
𝑛+1
)
3
+ 𝑏 (
𝑛
𝑛+1
)
2
(
1
𝑛+1
) + 𝑐 (
𝑛
𝑛+1
)(
1
𝑛+1
)
2
+ 𝑑 (
1
𝑛+1
)
3)

4. Karena 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(
𝑛
𝑛+1
) = 1 𝑑𝑎𝑛 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(
1
𝑛+1
) = 0 , dengan menggunakan teorema-teorema limit
barisan kita dapatkan:
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
( 𝑧 𝑛) =
𝑎 + 𝑏(0)+ 𝑐(0)2
+ 𝑑(0)3
𝑎(1)3 + 𝑏(1)2(0)+ 𝑐(1)(0)2 + 𝑑(1)3
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
( 𝑧 𝑛) = 1
Jadi terbukti bahwa ( 𝑧 𝑛)konvergen.
8. Tunjukkan bahwa barisan (4 𝑛) tidak konvergen.
Bukti :
Akan ditunjukkan bahwa barisan (4 𝑛) tidak konvergen ?
Bukti :
Cukup kita tunjukkan bahwa (4 𝑛) tidak terbatas. Misalkan ( 𝑥 𝑛) = (4 𝑛) , dengan Ketaksamaan
Bernoulli | 𝑥 𝑛| = (4 𝑛) = (1 + 3) 𝑛
> 1 + 3𝑛 > 𝑛
karena > 0 , dengan sifat Archimides terdapat bilangan asli 𝑛 sehingga 𝑛 ≥ 𝑀 akibatnya | 𝑥 𝑛| ≥ 𝑀
Yang menyatakan bahwa (4 𝑛) tidak terbatas. Karena (4 𝑛) tidak terbatas maka (4 𝑛) tidak konvergen.
9. Jika ( 𝑥 𝑛) konvergan ke 0 dan ( 𝑦 𝑛) terbatas, tunjukkan bahwa ( 𝑥 𝑛 𝑦 𝑛) konvergen ke 0.
Bukti:
Kita harus menunjukkan bahwa:
∀𝜀 > 0, ∃𝐾 ∈ ℕ,∋ 𝑛 ≥ 𝐾 ⟹ | 𝑥 𝑛 𝑦 𝑛 − 0| < 𝜀
Periksa bentuk nilai mutlak
| 𝑥 𝑛 𝑦 𝑛| = | 𝑥 𝑛|| 𝑦 𝑛|
Karena ( 𝑦 𝑛) terbatas, menurut definisi terdapat 𝑀 > 0 sehingga | 𝑦 𝑛| < 𝑀, yagn mengakibatkan
| 𝑥 𝑛 𝑦 𝑛| = | 𝑥 𝑛|| 𝑦 𝑛| < | 𝑥 𝑛| 𝑀
Diberikan sebarang 𝜀 > 0 , dari kekonvergenan ( 𝑥 𝑛), terdapat 𝐾𝑥 sehingga kapanpun 𝑛 ≥ 𝐾𝑥
berlaku | 𝑥 𝑛 − 0| <
𝜀
𝑀
Pilih𝐾 = 𝐾𝑥, sehingga kapanpun 𝑛 ≥ 𝐾 berlaku
| 𝑥 𝑛 𝑦 𝑛| < | 𝑥 𝑛| 𝑀 <
𝜀
𝑀
𝑀 = 𝜀
Jadi terbukti bahwa jika( 𝑥 𝑛) konvergan ke 0 dan ( 𝑦 𝑛) terbatas, maka( 𝑥 𝑛 𝑦𝑛) konvergen ke 0.
10. Berikan contoh barisan( 𝑥 𝑛) yang tidak terbatas tetapi 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(
𝑥 𝑛
𝑛
) = 0.
Contoh:
a) ( 𝑥 𝑛) = √ 𝑛
( 𝑥 𝑛)tidakterbatas, bukti :
| 𝑥 𝑛| = |√ 𝑛| = √ 𝑛 = 𝑛 ∙
1
√ 𝑛

5. Kita lihat bahwa
1
√ 𝑛
merupakan bilangan real positif untuk semua 𝑛 ∈ ℕ. Oleh karena 𝑀 juga
bilangan real positif, dengan sifat Archimides terdapat 𝑛 ∈ ℕsehingga 𝑛 ∙
1
√ 𝑛
> 𝑀. Akibatnya
| 𝑥 𝑛| > 𝑀
Yang berarti bahwa ( 𝑥 𝑛) = √ 𝑛 tidak terbatas.
𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(
√ 𝑛
𝑛
) = 0, bukti :
Kita harus menunjukkan bahwa ∀𝜀 > 0, ∃𝐾 ∈ ℕ, ∋ 𝑛 ≥ 𝐾 ⟹ |
√ 𝑛
𝑛
− 0| < 𝜀.
Diberikan 𝜀 > 0, periksa dan sederhanakan bentuk nilai mutlak berikut |
√ 𝑛
𝑛
− 0| =
1
√ 𝑛
Pilih 𝐾 >
1
𝜀2, sehingga kapanpun 𝑛 ≥ 𝐾 berlaku|
√ 𝑛
𝑛
− 0| < 𝜀
Yang membuktikan bahwa 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(
√ 𝑛
𝑛
) = 0.
Jadi terbukti bahwa ( 𝑥 𝑛) = 𝑙𝑛 𝑛 tidak terbatas, tetapi 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(
𝑙𝑛 𝑛
𝑛
) = 0.
12. Tentukan limit dari barisan berikut:
( 𝑎) 𝑥 𝑛 = (2 +
1
𝑛
) 2 ( 𝑏) 𝑥 𝑛 =
(−𝑛) 2
𝑛 + 2
( 𝑐) 𝑥 𝑛 =
√ 𝑛 − 1
√ 𝑛 + 1
( 𝑑) 𝑥 𝑛 =
𝑛 + 1
𝑛√ 𝑛
Penyelesaian :
( 𝑎) 𝑥 𝑛 = (2 +
1
𝑛
) 2
𝑥 𝑛 = (4 +
4
𝑛
+
1
𝑛2
)
= 𝑙𝑖𝑚 4 +
4
𝑛
+
1
𝑛2
= 𝑙𝑖𝑚 4 + 𝑙𝑖𝑚 4. 𝑙𝑖𝑚
1
𝑛
+ 𝑙𝑖𝑚
1
𝑛2
= 𝑙𝑖𝑚 4 + 𝑙𝑖𝑚 4.0 + 0
= 𝑙𝑖𝑚 4
( 𝑏) 𝑥 𝑛 =
(−𝑛) 2
𝑛 + 2
= 𝑙𝑖𝑚
(−𝑛) 2
𝑛 + 2
= 𝑙𝑖𝑚
( 𝑛) 2
.
2
𝑛
( 𝑛 + 2).
1
𝑛
= 𝑙𝑖𝑚
1
1
𝑛
+
2
𝑛2
=
𝑙𝑖𝑚 1
𝑙𝑖𝑚
1
𝑛
+
2
1
𝑛
=
𝑙𝑖𝑚 1
𝑙𝑖𝑚 0 + 0
=
1
0
𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑡𝑒𝑟𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑠𝑖

6. (c) 𝑥 𝑛 =
√ 𝑛 − 1
√ 𝑛 + 1
= 𝑙𝑖𝑚
√ 𝑛 − 1
√ 𝑛 + 1
= 𝑙𝑖𝑚 (
√ 𝑛 − 1
√ 𝑛 + 1
) .
1
𝑛
= 𝑙𝑖𝑚
√1 −
1
𝑛
√1 +
1
𝑛
= 𝑙𝑖𝑚
√1 − 0
√1 + 0
= 𝑙𝑖𝑚
√1
√1
= 1
( 𝑑) 𝑥 𝑛 =
𝑛 + 1
𝑛√ 𝑛
= 𝑙𝑖𝑚
𝑛 + 1
𝑛√ 𝑛
= 𝑙𝑖𝑚
𝑛 + 1
𝑛√ 𝑛
.
1
𝑛
= 𝑙𝑖𝑚
1 +
1
𝑛
1.
√ 𝑛
𝑛
=
𝑙𝑖𝑚 1 + 𝑙𝑖𝑚
1
𝑛
𝑙𝑖𝑚 1 . 𝑙𝑖𝑚
√ 𝑛
𝑛
=
𝑙𝑖𝑚 1
𝑙𝑖𝑚
√ 𝑛
𝑛
13. Jika 𝑥 𝑛 dan 𝑦 𝑛 berturut - turut konvergen ke 𝑥 dan 𝑦 dengan 𝑥 𝑛 ≤ 𝑦 𝑛 untuk semua 𝑛 ∈ ℕ, buktikan
bahwa 𝑥 ≤ 𝑦
Penyelesaian :
Diberikan 𝑧 𝑛 = 𝑦 𝑛 − 𝑥 𝑛 sehingga 𝑍 = ( 𝑧 𝑛) = 𝑌 − 𝑋 dan 𝑋 𝑛 ≥ 0, untuk semua 𝑛 ∈ ℕ.
Menggunakan teorema 2.2.5 dan teorema 2.2.4 diperoleh bahwa 0 < lim 𝑧 = lim( 𝑦 𝑛) − lim( 𝑥 𝑛)
atau lim( 𝑥 𝑛) ≤ lim( 𝑦 𝑛) , jadi terbukti bahwa 𝑥 ≤ 𝑦
14. Jika ( 𝑥 𝑛) konvergen ke 𝑥 dan 𝑎 ≤ 𝑥 𝑛 ≤ 𝑏 untuk semua 𝑛 ∈ ℕ, buktikan bahwa 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
Penyelesaian :
Diberikan 𝑌 barisan konstan (𝑏, 𝑏, 𝑏, … ). Menggunakan teorema 2.2.6 seperti pada no 13 diatas,
Teorema 2.2.6
Jika ( 𝑥 𝑛) dan ( 𝑦 𝑛) berturut – turut konvergen ke 𝑥 dan 𝑦, dengan 𝑥 𝑛 ≤ 𝑦 𝑛 untuk semua 𝑛 ∈ ℕ.
maka 𝑥 ≤ 𝑦diperoleh bahwa 𝑎 ≤ lim 𝑋, jadi terbukti bahwa 𝑎 ≤ lim 𝑋 ≤ 𝑏 atau 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
17. Jika 𝑥 𝑛 = ∑ 1
𝑛2 +𝑘
𝑛
𝑘=1 , tunjukkan bahwa (𝑥 𝑛) konvergen.
Bukti:
untuk 𝑛 = 1, 𝑘 = 1 →
1
𝑛2+𝑘
=
1
12+1
=
1
1+1
=
1
2
untuk 𝑛 = 2, 𝑘 = 1 →
1
𝑛2+𝑘
=
1
22+1
=
1
4+1
=
1
5
untuk 𝑛 = 3, 𝑘 = 1 →
1
𝑛2+𝑘
=
1
32+1
=
1
9+1
=
1
10
untuk 𝑛 = 4, 𝑘 = 1 →
1
𝑛2+𝑘
=
1
42 +1
=
1
16+1
=
1
17

7. 𝑥 𝑛 = (
1
2
,
1
5
,
1
10
,
1
17
, … . . )
0
1
17
1
10
1
5
1
2
Karena untuk nilai n yang membesar maka suku-suku barisanya mendekati 0 maka dalam hal ini
barisanya dikatakan konvergen. Sesuai dengan Teorema 2.2.4 jika barisan bilangan real yang
konvergen dijumlahkan maka barisanya akan konvergen. Jadi terbukti bahwa:
𝑥 𝑛 = ∑
1
𝑛2 +𝑘
𝑛
𝑘=1 == (
1
2
+
1
5
+
1
10
+
1
17
+, … . . ) barisan konvergen.
21. Jika ( 𝑥 𝑛) 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠𝑎𝑛 bilangan real positif sehingga 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
(
𝑥 𝑛+1
𝑥 𝑛
) = 𝑙 > 1. Tunjukan bahwa ( 𝑥 𝑛 ) tidak
terbatas dan sehingga tidak konevergen.
Bukti:
Pilih 𝑟 ∈ 𝑅 sehingga 𝐿 > 1 ambil 𝜀 = 𝑟 − 𝑙 < 0 karena (
𝑥 𝑛−1
𝑥 𝑛
) = 𝐿 maka terdapat 𝐾 ∈
𝑁 sehingga untuk n ≥ k [
xn+1
xn
− L] < ε oleh karena itu untuk n ∈ k berlaku:
xn+1
xn
< L + ε = L + (r − L) = r
Dengan teorema apit ambil xn =
3n
n
kita peroleh
xn+1
xn
=
3n+1
n + 1
.
n
3n
=
3n+1
. n
3n(n + 1)
=
3n
.3. n
3n(n + 1)
=
3. n
n + 1
= 3 (
n
n + 1
)
sehingga lim
n→∞
(
xn+1
xn
) = 3 > 1 𝑚𝑎𝑘𝑎 xn tidak terbatas
23. (a) Berikan contoh bsan bilangan real positif (Xn) yang konvergen sehingg lim
n→∞
(Xn
1
n ) = L
(b) Berikan contoh barisan divergen dengan sifat ini.
Penyelesaian :
(a) lim
x→1
(
1
4
X2
)
1
2
= (
1
4
. 12
)
1
2
= (
1
4
. 1)
1
2
= (
1
4
)
1
2
=
1
16
; −1 < 𝑟 < 1
(b) Misal : lim
x→∞
x
x+1
Ambil : L > 0 ,∝=
𝐿
2
Sehingga : lim
x→∞
x
x+1
=
1
2
1
2
+2
=
1
2
3
2
=
2
6
=
1
3
;
1
3
<
x
x+1
<
2
3