SlideShare a Scribd company logo
1
TUGAS MATRIKULASI
ALJABAR LINEAR
MERENTANG (SPANNING)
(Disusun dalam rangka memenuhi tugas akhir matrikulasi mata kuliah
Aljabar Linear di Universitas Negeri Makassar)
Disusun Oleh:
Kelompok I
Kelas E/05
1. MUH. ALFIANSYAH
2. SUHARYADI SUWAKBUR
3. IWAN SETIAWAN
4. ASMAUN
5. DARWAN
6. FITRI NUR ANINGSIH
PENDIDIKAN MATEMATIKA
PROGRAM PASCASARJANA
UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR
MAKASSAR
2016
2
MERENTANG (SPANNING)
A. Definisi
Definisi 1
Misalkan adalah ruang vektor di dan adalah subset dari .
merentang suatu himpunan di jika setiap vektor di dapat ditulis sebagai
kombinasi linear dari vektor-vektor di . Hal ini disebut merentang ( spans
.
Definisi 2
Misalkan adalah ruang vektor di dan adalah subset dari .
Ruang yang direntang dari adalah himpunan semua kombinasi linear dari
vektor-vektor di (misalkan himpunan tersebut adalah ).
(
1. Rentang dinotasikan oleh ( atau
2. Jika ( maka dikatakan sebagai ruang yang direntang oleh
atau merentang .
Definisi 3
Jika adalah himpunan vektor-vektor pada suatu ruang vektor
, maka subruang dari yang terdiri dari semua kombinasi linear vektor-
vektor pada disebut sebagai ruang yang direntang (space spanned) oleh
, dan merentang (span) . Untuk menyatakan adalah
ruang yang direntang oleh vektor-vektor pada himpunan di
kita menuliskan:
(
3
B. Contoh
1. Himpunan vektor yang merentang di
Contoh soal:
a. ( (
b. ( (
Solusi:
a. Misalkan ̅ ( ̅ (
Misalkan ̅ ̅
Ambil sebarang skalar
Ambil sebarang ̅
Pandang ̅ (
Akan dibuktikan merentang
Untuk membuktikan merentang harus ditunjukkan bahwa ̅ ̅
̅ ̅ membentuk kombinasi linear.
Dengan menyatakan persamannnya dalam bentuk komponen-
komponennya diperoleh:
( ( (
( ( (
Dengan menyetarakan komponen-komponen yang bersesuaian diperoleh
... (i)
... (ii)
 Dari persamaan (ii) diperoleh
 Subtitusi ke persamaan (i)
(
Diperoleh dan ( tunggal atau konsisten,
sedemikian sehingga
( ( [ ( ] (
Membentuk kombinasi liner, artinya merentang
4
b. Misalkan ̅ ( ̅ (
Misalkan ̅ ̅
Ambil sebarang skalar
Ambil sebarang ̅
Pandang ̅ (
Akan dibuktikan merentang
Untuk membuktikan merentang harus ditunjukkan bahwa ̅ ̅
̅ ̅ membentuk kombinasi linear.
Dengan menyatakan persamannnya dalam bentuk komponen-
komponennya diperoleh:
( ( (
( ( (
Dengan menyetarakan komponen-komponen yang bersesuaian diperoleh
... (i)
... (ii)
 Dari persamaan (ii) diperoleh ... (iii)
 Subtitusi ke persamaan (i)
(
(
 Subtitusi ( ke persamaan (iii)
[ ( ]
Diperoleh dan ( tunggal atau
konsisten, sedemikian sehingga
( ( ) ( [ ( ] (
Membentuk kombinasi liner, artinya merentang
5
2. Himpunan vektor yang merentang di
Contoh soal:
a. (1,0,0), (2,2,0), (3,3,3)
b. (3,1,-4), (2,5,6), (7,4,8)
Solusi:
a. Misalkan ̅ ( ̅ ( ̅ (
Misalkan ̅ ̅ ̅
Ambil sebarang skalar
Ambil sebarang ̅
Pandang ̅ (
Akan dibuktikan merentang
Untuk membuktikan merentang harus ditunjukkan bahwa ̅ ̅
̅ ̅ membentuk kombinasi linear.
Dengan menyatakan persamannnya dalam bentuk komponen-
komponennya diperoleh:
( ( ( (
( ( ( (
Dengan menyetarakan komponen-komponen yang bersesuaian diperoleh
... (i)
... (ii)
... (iii)
 Dari persamaan (iii) diperoleh
 Subtitusi ke persamaan (ii)
( )
(
 Subtitusi ( dan ke persamaan (i)
[ ( ] [ ]
6
Diperoleh , ( dan tunggal atau
konsisten, sedemikian sehingga
( ( ( [ ( ] ( ( ) (
Membentuk kombinasi liner, artinya merentang
b. Misalkan ̅ ( ̅ ( ̅ (
Misalkan ̅ ̅ ̅
Ambil sebarang skalar
Ambil sebarang ̅
Pandang ̅ (
Akan dibuktikan merentang
Untuk membuktikan merentang harus ditunjukkan bahwa ̅ ̅
̅ ̅ membentuk kombinasi linear.
Dengan menyatakan persamannnya dalam bentuk komponen-
komponennya diperoleh:
( ( ( (
( ( ( (
Dengan menyetarakan komponen-komponen yang bersesuaian diperoleh
... (i)
... (ii)
... (iii)
Akan diselesaikan menggunakan OBE (eliminasi gauss)
( ) ( )
( )
Dengan menyetarakan komponen-komponen yang bersesuaian diperoleh
... (i)
... (ii)
... (iii)
7
 Dari persamaan (iii) diperoleh
 Subtitusi ke persamaan (ii)
( )
 Subtitusi dan ke
persamaan (i)
( ) ( )
Diperoleh , dan
tunggal atau konsisten, sedemikian sehingga
( ( ) (
( ) ( ( ) (
Membentuk kombinasi liner, artinya merentang
3. Himpunan polinomial yang merentang di
Contoh soal:
a.
b.
Solusi:
a. Misalkan ̅ ̅ ̅
Misalkan ̅ ̅ ̅
Ambil sebarang skalar
Ambil sebarang ̅
Pandang ̅
Akan dibuktikan merentang
8
Untuk membuktikan merentang harus ditunjukkan bahwa ̅ ̅
̅ ̅ membentuk kombinasi linear.
Dengan menyatakan persamannnya dalam bentuk komponen-
komponennya diperoleh:
( ( ( (
( ( ( (
Dengan menyetarakan komponen-komponen yang bersesuaian diperoleh
... (i)
... (ii)
... (iii)
 Dari persamaan (i) diperoleh
 Subtitusi ke persamaan (ii)
 Subtitusi dan ke persamaan (iii)
Diperoleh , dan tunggal atau konsisten,
sedemikian sehingga
( ( ( ( ( (
Membentuk kombinasi liner, artinya merentang
4. Matriks yang merentang
Contoh Soal:
( ) ( ) ( ) ( )
Solusi:
Misalkan: ( ) ( ) ( ) ( )
Misalkan
Ambil sebarang skalar
Ambil sebarang
9
Pandang ( )
Akan dibuktikan merentang
Untuk membuktikan merentang harus ditunjukkan bahwa
membentuk kombinasi linear.
Dengan menyatakan persamannnya dalam bentuk komponen-komponennya
diperoleh:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Dengan menyetarakan komponen-komponen yang bersesuaian diperoleh
... (i)
... (ii)
... (iii)
... (iv)
Akan diselesaikan menggunakan OBE
( ) ( )
( )
( )
Diperoleh:
... (i)
... (ii)
... (iii)
... (iv)
 Dari persamaan (iii) diperoleh (
10
 Dari persamaan (iv) diperoleh (
 Subtitusi ( & ( ke persamaan (ii)
[ ( ] [ ( ]
 Subtitusi ( ke persamaan (i)
(
Diperoleh , ,
( dan ( tunggal atau konsisten, sedemikian
sehingga
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Membentuk kombinasi liner, artinya merentang
C. Bukan Contoh
1. Himpunan vektor yang tidak merentang di
Contoh soal:
a. ( (
b. ( (
Solusi:
2. Himpunan vektor yang tidak merentang di
Contoh soal:
a. (2,-3,1), (4,1,1), (0,-7,1)
b. (1,6,4), (2,4,-1), (-1,2,5)
Solusi:
3. Himpunan polinomial yang tidak merentang di
Contoh soal:
a.
11
b.
Solusi:
b. Misalkan ̅ ̅ ̅
Misalkan ̅ ̅ ̅
Ambil sebarang skalar
Ambil sebarang ̅
Pandang ̅
Akan dibuktikan merentang
Untuk membuktikan merentang harus ditunjukkan bahwa ̅ ̅
̅ ̅ membentuk kombinasi linear.
Dengan menyatakan persamannnya dalam bentuk komponen-
komponennya diperoleh:
( ( ( (
( ( ( (
Dengan menyetarakan komponen-komponen yang bersesuaian diperoleh
... (i)
... (ii)
... (iii)
matriks koefisiennya adalah ( )
Akan ditentukan determinannya menggunakan OBE
| | | | ( ( (
Diperoleh determinan matriks koefisiennya adalah 0 akibatnya tidak
merentang di .
4. Matriks yang tidak merentang
Contoh Soal:
( ) ( ) ( )
Solusi:
12
D. Teorema
Jika dan adalah dua himpunan vektor-
vektor pada suatu ruang vektor , maka
Jika dan hanya jika setiap vektor pada adalah suatu kombinasi linear dari
vektor-vektor pada dan setiap vektor pada adalah suatu kombinasi linear dari
vektor-vektor pada .
Proof:
Diketahui: ruang vektor, dan
dan
sehinggga
akan ditunjukkkan adalah suatu kombinasi linear dari vektor-vektor pada dan
setiap vektor pada adalah suatu kombinasi linear dari
vektor-vektor pada .
Bukti :
Berdasarkan definisi merentang yakni:
karena
maka
akibatnya
(
Hal tersebut menunjukkan bahwa setiap vektor pada dapat dinyatakan sebagai
kombinasi linear dari vektor-vektor pada .
13
Begitupun sebaliknya
(
Hal tersebut menunjukkan bahwa setiap vektor pada dapat dinyatakan sebagai
kombinasi linear dari vektor-vektor pada .
Jadi, Jika maka
setiap vektor pada adalah suatu kombinasi linear dari vektor-vektor pada dan
setiap vektor pada adalah suatu kombinasi linear dari vektor-vektor pada ....
terbukti.
Diketahui: ruang vektor, dan
dan
sehinggga adalah suatu kombinasi linear dari vektor-vektor pada dan setiap
vektor pada adalah suatu kombinasi linear dari vektor-vektor pada .
akan ditunjukkkan
Bukti :
Jika setiap vektor adalah suatu kombinasi linear dari vektor-vektor pada maka
( (
dan setiap vektor pada adalah suatu kombinasi linear dari vektor-vektor pada .
Maka
( (
dan akibatnya
( (
Akan ditunjukkan menggunakan kontradiksi
Misalkan setiap vektor di tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear
dari vektor-vektor di , sedemikian sehinggga
Jika
maka ( tetapi ( akibatnya ( (
oleh sebab itu jika
14
maka harus ( dan ( sedemikian sehingga (
(
begitupun sebaliknya
Misalkan setiap vektor di tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear
dari vektor-vektor di , sedemikian sehinggga
Jika
maka ( tetapi ( akibatnya ( (
oleh sebab itu jika
maka harus ( dan ( sedemikian sehingga (
( .
Jadi, jika setiap vektor pada adalah suatu kombinasi linear dari vektor-
vektor pada dan setiap vektor pada adalah suatu kombinasi linear dari
vektor-vektor pada maka
.... terbukti.
Jadi, Jika dan adalah dua himpunan
vektor-vektor pada suatu ruang vektor , maka
Jika dan hanya jika setiap vektor pada adalah suatu
kombinasi linear dari vektor-vektor pada dan setiap vektor pada adalah suatu
kombinasi linear dari vektor-vektor pada .

More Related Content

What's hot

Teori bilangan bab ii
Teori bilangan bab iiTeori bilangan bab ii
Teori bilangan bab ii
Septian Amri
 

What's hot (20)

Homomorfisma grup
Homomorfisma grupHomomorfisma grup
Homomorfisma grup
 
Modul Kalkulus Lanjut
Modul Kalkulus LanjutModul Kalkulus Lanjut
Modul Kalkulus Lanjut
 
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.1
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.1Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.1
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.1
 
Kuasa lingkaran, titik kuasa, garis kuasa ppt
Kuasa lingkaran, titik kuasa, garis kuasa pptKuasa lingkaran, titik kuasa, garis kuasa ppt
Kuasa lingkaran, titik kuasa, garis kuasa ppt
 
Teori bilangan bab ii
Teori bilangan bab iiTeori bilangan bab ii
Teori bilangan bab ii
 
Geometri analitik ruang
Geometri analitik ruangGeometri analitik ruang
Geometri analitik ruang
 
Modul 2 keterbagian bilangan bulat
Modul 2   keterbagian bilangan bulatModul 2   keterbagian bilangan bulat
Modul 2 keterbagian bilangan bulat
 
Analisis real-lengkap-a1c
Analisis real-lengkap-a1cAnalisis real-lengkap-a1c
Analisis real-lengkap-a1c
 
Sub grup normal dan grup fakto
Sub grup normal dan grup faktoSub grup normal dan grup fakto
Sub grup normal dan grup fakto
 
Fungsi Pembangkit
Fungsi PembangkitFungsi Pembangkit
Fungsi Pembangkit
 
Analisis Real (Barisan dan Bilangan Real) Latihan bagian 2.5
Analisis Real (Barisan dan Bilangan Real) Latihan bagian 2.5Analisis Real (Barisan dan Bilangan Real) Latihan bagian 2.5
Analisis Real (Barisan dan Bilangan Real) Latihan bagian 2.5
 
relasi himpunan
relasi himpunanrelasi himpunan
relasi himpunan
 
Matematika Diskrit part 2
Matematika Diskrit part 2Matematika Diskrit part 2
Matematika Diskrit part 2
 
Supremum dan infimum
Supremum dan infimum  Supremum dan infimum
Supremum dan infimum
 
Bilangan kompleks
Bilangan kompleksBilangan kompleks
Bilangan kompleks
 
Rangkuman materi Isometri
Rangkuman materi IsometriRangkuman materi Isometri
Rangkuman materi Isometri
 
Modul 7 basis dan dimensi
Modul 7 basis dan dimensiModul 7 basis dan dimensi
Modul 7 basis dan dimensi
 
Basis dan Dimensi
Basis dan DimensiBasis dan Dimensi
Basis dan Dimensi
 
ANALISIS REAL
ANALISIS REALANALISIS REAL
ANALISIS REAL
 
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3
Analisis Real (Barisan Bilangan Real) Latihan bagian 2.3
 

Similar to Merentang (Spanning) Tugas Matrikulasi Aljabar Linear

Pertemuan12
Pertemuan12Pertemuan12
Pertemuan12
33335
 

Similar to Merentang (Spanning) Tugas Matrikulasi Aljabar Linear (20)

Bab 7
Bab 7Bab 7
Bab 7
 
Interpolasi Linear cubic_spline.pptx
Interpolasi Linear cubic_spline.pptxInterpolasi Linear cubic_spline.pptx
Interpolasi Linear cubic_spline.pptx
 
Grup permutasi
Grup permutasiGrup permutasi
Grup permutasi
 
Cheguzam rngnthn t2
Cheguzam rngnthn t2Cheguzam rngnthn t2
Cheguzam rngnthn t2
 
Rngnthn t2
Rngnthn t2Rngnthn t2
Rngnthn t2
 
Linear Algebra - Finite Dimensional Vector Spaces
Linear Algebra - Finite Dimensional Vector SpacesLinear Algebra - Finite Dimensional Vector Spaces
Linear Algebra - Finite Dimensional Vector Spaces
 
Pertemuan12
Pertemuan12Pertemuan12
Pertemuan12
 
Ppt himpunan
Ppt himpunanPpt himpunan
Ppt himpunan
 
Pertemuan 14 ok
Pertemuan 14 okPertemuan 14 ok
Pertemuan 14 ok
 
persamaan linier dan pertidaksamaan linier
persamaan linier dan pertidaksamaan linier persamaan linier dan pertidaksamaan linier
persamaan linier dan pertidaksamaan linier
 
Himpunan
HimpunanHimpunan
Himpunan
 
Matriks 120302115248-phpapp02
Matriks 120302115248-phpapp02Matriks 120302115248-phpapp02
Matriks 120302115248-phpapp02
 
Pertemuan ii himpunan
Pertemuan ii himpunanPertemuan ii himpunan
Pertemuan ii himpunan
 
Pertemuan ii himpunan
Pertemuan ii himpunanPertemuan ii himpunan
Pertemuan ii himpunan
 
persamaan linier dan pertidaksamaan linier
 persamaan linier dan pertidaksamaan linier  persamaan linier dan pertidaksamaan linier
persamaan linier dan pertidaksamaan linier
 
himpunan vektor resiprokal dan hasil kali triple
himpunan vektor resiprokal dan hasil kali triple himpunan vektor resiprokal dan hasil kali triple
himpunan vektor resiprokal dan hasil kali triple
 
Matematika diskrit adiwijaya
Matematika diskrit adiwijayaMatematika diskrit adiwijaya
Matematika diskrit adiwijaya
 
Chapter 1. himpunan (3)
Chapter 1. himpunan (3)Chapter 1. himpunan (3)
Chapter 1. himpunan (3)
 
R5 g kel 5 allin2 1
R5 g kel 5 allin2 1R5 g kel 5 allin2 1
R5 g kel 5 allin2 1
 
Himpunan
HimpunanHimpunan
Himpunan
 

More from Muhammad Alfiansyah Alfi

Pencegahan-dan-Penanganan-Kekerasan-di-Lingkungan-Sekolah.pdf
Pencegahan-dan-Penanganan-Kekerasan-di-Lingkungan-Sekolah.pdfPencegahan-dan-Penanganan-Kekerasan-di-Lingkungan-Sekolah.pdf
Pencegahan-dan-Penanganan-Kekerasan-di-Lingkungan-Sekolah.pdf
Muhammad Alfiansyah Alfi
 

More from Muhammad Alfiansyah Alfi (20)

Pencegahan-dan-Penanganan-Kekerasan-di-Lingkungan-Sekolah.pdf
Pencegahan-dan-Penanganan-Kekerasan-di-Lingkungan-Sekolah.pdfPencegahan-dan-Penanganan-Kekerasan-di-Lingkungan-Sekolah.pdf
Pencegahan-dan-Penanganan-Kekerasan-di-Lingkungan-Sekolah.pdf
 
Infografis Laporan Aktualisasi.pdf
Infografis Laporan Aktualisasi.pdfInfografis Laporan Aktualisasi.pdf
Infografis Laporan Aktualisasi.pdf
 
Laporan Aktualisasi "Pelita Mabit" dengan Penerapan Nilai-nilai Dasar BerAKHL...
Laporan Aktualisasi "Pelita Mabit" dengan Penerapan Nilai-nilai Dasar BerAKHL...Laporan Aktualisasi "Pelita Mabit" dengan Penerapan Nilai-nilai Dasar BerAKHL...
Laporan Aktualisasi "Pelita Mabit" dengan Penerapan Nilai-nilai Dasar BerAKHL...
 
ANALISIS KKM
ANALISIS KKMANALISIS KKM
ANALISIS KKM
 
PROGRAM SEMESTER KELAS 8
PROGRAM SEMESTER KELAS 8PROGRAM SEMESTER KELAS 8
PROGRAM SEMESTER KELAS 8
 
PROGRAM TAHUNAN KELAS 8
PROGRAM TAHUNAN KELAS 8PROGRAM TAHUNAN KELAS 8
PROGRAM TAHUNAN KELAS 8
 
SILABUS MATEMATIKA KELAS 8
SILABUS MATEMATIKA KELAS 8SILABUS MATEMATIKA KELAS 8
SILABUS MATEMATIKA KELAS 8
 
Bab v 2. perbandingan dua besaran dengan satuan yang berbeda
Bab v   2. perbandingan dua besaran dengan satuan yang berbedaBab v   2. perbandingan dua besaran dengan satuan yang berbeda
Bab v 2. perbandingan dua besaran dengan satuan yang berbeda
 
Bab v 1. perbandingan dua besaran
Bab v   1. perbandingan dua besaranBab v   1. perbandingan dua besaran
Bab v 1. perbandingan dua besaran
 
Bab iv 8. remedial dan pengayaan ke-4
Bab iv   8. remedial dan pengayaan ke-4Bab iv   8. remedial dan pengayaan ke-4
Bab iv 8. remedial dan pengayaan ke-4
 
Bab iv 7. ujian harian ke-4
Bab iv   7. ujian harian ke-4Bab iv   7. ujian harian ke-4
Bab iv 7. ujian harian ke-4
 
Bab iv 6. tugas projek ke-4
Bab iv   6. tugas projek ke-4Bab iv   6. tugas projek ke-4
Bab iv 6. tugas projek ke-4
 
Bab iv 5. menyelesaikan masalah pt lsv
Bab iv   5. menyelesaikan masalah pt lsvBab iv   5. menyelesaikan masalah pt lsv
Bab iv 5. menyelesaikan masalah pt lsv
 
Bab iv 4. konsep pt lsv
Bab iv   4. konsep pt lsvBab iv   4. konsep pt lsv
Bab iv 4. konsep pt lsv
 
Bab iv 3. menyelesaikan persamaan menggunakan perkalian dan pembagian
Bab iv   3. menyelesaikan persamaan menggunakan perkalian dan pembagianBab iv   3. menyelesaikan persamaan menggunakan perkalian dan pembagian
Bab iv 3. menyelesaikan persamaan menggunakan perkalian dan pembagian
 
Bab iv 2. menyelesaikan persamaan menggunakan penjumlahan dan pengurangan
Bab iv   2. menyelesaikan persamaan menggunakan penjumlahan dan penguranganBab iv   2. menyelesaikan persamaan menggunakan penjumlahan dan pengurangan
Bab iv 2. menyelesaikan persamaan menggunakan penjumlahan dan pengurangan
 
Bab iv 1. konsep plsv
Bab iv   1. konsep plsvBab iv   1. konsep plsv
Bab iv 1. konsep plsv
 
Bab iii 8. remedial dan pengayaan ke-3
Bab iii   8. remedial dan pengayaan ke-3Bab iii   8. remedial dan pengayaan ke-3
Bab iii 8. remedial dan pengayaan ke-3
 
Bab iii 7. ujian harian ke-3
Bab iii   7. ujian harian ke-3Bab iii   7. ujian harian ke-3
Bab iii 7. ujian harian ke-3
 
Bab iii 6. tugas projek ke-3
Bab iii   6. tugas projek ke-3Bab iii   6. tugas projek ke-3
Bab iii 6. tugas projek ke-3
 

Recently uploaded

MOTIVASI PRILAKU MANUSIA DALAM BERTINDAK.docx
MOTIVASI PRILAKU MANUSIA DALAM BERTINDAK.docxMOTIVASI PRILAKU MANUSIA DALAM BERTINDAK.docx
MOTIVASI PRILAKU MANUSIA DALAM BERTINDAK.docx
sukman241
 
PETUNJUK TEKNIS PPDB JATIM 2024-sign.pdf
PETUNJUK TEKNIS PPDB JATIM 2024-sign.pdfPETUNJUK TEKNIS PPDB JATIM 2024-sign.pdf
PETUNJUK TEKNIS PPDB JATIM 2024-sign.pdf
Hernowo Subiantoro
 
Umpan Balik Memahami perbedaan individual peserta Didik.docx
Umpan Balik Memahami perbedaan individual peserta Didik.docxUmpan Balik Memahami perbedaan individual peserta Didik.docx
Umpan Balik Memahami perbedaan individual peserta Didik.docx
sapudin2
 
noun clause powerpointnoun clause powerpoint
noun clause powerpointnoun clause powerpointnoun clause powerpointnoun clause powerpoint
noun clause powerpointnoun clause powerpoint
akunoppoa31rhn
 

Recently uploaded (20)

MODUL AJAR PENDIDIKAN PANCASILA (PPKN) KELAS 1 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR PENDIDIKAN PANCASILA (PPKN) KELAS 1 KURIKULUM MERDEKA.pdfMODUL AJAR PENDIDIKAN PANCASILA (PPKN) KELAS 1 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL AJAR PENDIDIKAN PANCASILA (PPKN) KELAS 1 KURIKULUM MERDEKA.pdf
 
Repi jayanti_2021 B_Analsis Kritis Jurnal
Repi jayanti_2021 B_Analsis Kritis JurnalRepi jayanti_2021 B_Analsis Kritis Jurnal
Repi jayanti_2021 B_Analsis Kritis Jurnal
 
MOTIVASI PRILAKU MANUSIA DALAM BERTINDAK.docx
MOTIVASI PRILAKU MANUSIA DALAM BERTINDAK.docxMOTIVASI PRILAKU MANUSIA DALAM BERTINDAK.docx
MOTIVASI PRILAKU MANUSIA DALAM BERTINDAK.docx
 
Najwa Qarina_2021 B_Analisis Kritis Jurnal.pdf
Najwa Qarina_2021 B_Analisis Kritis Jurnal.pdfNajwa Qarina_2021 B_Analisis Kritis Jurnal.pdf
Najwa Qarina_2021 B_Analisis Kritis Jurnal.pdf
 
Konflik dan Negosiasi dalam perilaku organisai
Konflik dan Negosiasi dalam perilaku organisaiKonflik dan Negosiasi dalam perilaku organisai
Konflik dan Negosiasi dalam perilaku organisai
 
PETUNJUK TEKNIS PPDB JATIM 2024-sign.pdf
PETUNJUK TEKNIS PPDB JATIM 2024-sign.pdfPETUNJUK TEKNIS PPDB JATIM 2024-sign.pdf
PETUNJUK TEKNIS PPDB JATIM 2024-sign.pdf
 
Sapawarga - Manual Guide PPDB Tahun 2024.pdf
Sapawarga - Manual Guide PPDB Tahun 2024.pdfSapawarga - Manual Guide PPDB Tahun 2024.pdf
Sapawarga - Manual Guide PPDB Tahun 2024.pdf
 
Form B8 Rubrik Refleksi Program Pengembangan Kompetensi Guru -1.docx
Form B8 Rubrik Refleksi Program Pengembangan Kompetensi Guru -1.docxForm B8 Rubrik Refleksi Program Pengembangan Kompetensi Guru -1.docx
Form B8 Rubrik Refleksi Program Pengembangan Kompetensi Guru -1.docx
 
Bukti dukung E kinerja kepala sekolah.pdf
Bukti dukung E kinerja  kepala sekolah.pdfBukti dukung E kinerja  kepala sekolah.pdf
Bukti dukung E kinerja kepala sekolah.pdf
 
Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 2 Fase A Kurikulum Merdeka - abdiera.com
Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 2 Fase A Kurikulum Merdeka - abdiera.comModul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 2 Fase A Kurikulum Merdeka - abdiera.com
Modul Ajar Bahasa Indonesia Kelas 2 Fase A Kurikulum Merdeka - abdiera.com
 
1. Standar Operasional Prosedur PPDB Pada paud
1. Standar Operasional Prosedur PPDB Pada paud1. Standar Operasional Prosedur PPDB Pada paud
1. Standar Operasional Prosedur PPDB Pada paud
 
Umpan Balik Memahami perbedaan individual peserta Didik.docx
Umpan Balik Memahami perbedaan individual peserta Didik.docxUmpan Balik Memahami perbedaan individual peserta Didik.docx
Umpan Balik Memahami perbedaan individual peserta Didik.docx
 
Seminar: Sekolah Alkitab Liburan (SAL) 2024
Seminar: Sekolah Alkitab Liburan (SAL) 2024Seminar: Sekolah Alkitab Liburan (SAL) 2024
Seminar: Sekolah Alkitab Liburan (SAL) 2024
 
Dokumen Rangkuman Kehadiran Guru ini dipergunakan sebagai bukti dukung yang w...
Dokumen Rangkuman Kehadiran Guru ini dipergunakan sebagai bukti dukung yang w...Dokumen Rangkuman Kehadiran Guru ini dipergunakan sebagai bukti dukung yang w...
Dokumen Rangkuman Kehadiran Guru ini dipergunakan sebagai bukti dukung yang w...
 
RUBRIK OBSERVASI KINERJA KEPALA SEKOLAH.docx
RUBRIK OBSERVASI KINERJA KEPALA SEKOLAH.docxRUBRIK OBSERVASI KINERJA KEPALA SEKOLAH.docx
RUBRIK OBSERVASI KINERJA KEPALA SEKOLAH.docx
 
AKSI NYATA PENYEBARAN PEMAHAMAN MERDEKA BELAJAR
AKSI NYATA PENYEBARAN PEMAHAMAN MERDEKA BELAJARAKSI NYATA PENYEBARAN PEMAHAMAN MERDEKA BELAJAR
AKSI NYATA PENYEBARAN PEMAHAMAN MERDEKA BELAJAR
 
Sosialisme Kapitalis Karl Marx (Dosen Pengampu: Khoirin Nisai Shalihati)
Sosialisme Kapitalis Karl Marx (Dosen Pengampu: Khoirin Nisai Shalihati)Sosialisme Kapitalis Karl Marx (Dosen Pengampu: Khoirin Nisai Shalihati)
Sosialisme Kapitalis Karl Marx (Dosen Pengampu: Khoirin Nisai Shalihati)
 
MODUL AJAR BAHASA INGGRIS KELAS 2 KURIKULUM MERDEKA
MODUL AJAR BAHASA INGGRIS KELAS 2 KURIKULUM MERDEKAMODUL AJAR BAHASA INGGRIS KELAS 2 KURIKULUM MERDEKA
MODUL AJAR BAHASA INGGRIS KELAS 2 KURIKULUM MERDEKA
 
noun clause powerpointnoun clause powerpoint
noun clause powerpointnoun clause powerpointnoun clause powerpointnoun clause powerpoint
noun clause powerpointnoun clause powerpoint
 
Arlianda_2021 B_Analisis Kritis Jurnal.pdf
Arlianda_2021 B_Analisis Kritis Jurnal.pdfArlianda_2021 B_Analisis Kritis Jurnal.pdf
Arlianda_2021 B_Analisis Kritis Jurnal.pdf
 

Merentang (Spanning) Tugas Matrikulasi Aljabar Linear

  • 1. 1 TUGAS MATRIKULASI ALJABAR LINEAR MERENTANG (SPANNING) (Disusun dalam rangka memenuhi tugas akhir matrikulasi mata kuliah Aljabar Linear di Universitas Negeri Makassar) Disusun Oleh: Kelompok I Kelas E/05 1. MUH. ALFIANSYAH 2. SUHARYADI SUWAKBUR 3. IWAN SETIAWAN 4. ASMAUN 5. DARWAN 6. FITRI NUR ANINGSIH PENDIDIKAN MATEMATIKA PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS NEGERI MAKASSAR MAKASSAR 2016
  • 2. 2 MERENTANG (SPANNING) A. Definisi Definisi 1 Misalkan adalah ruang vektor di dan adalah subset dari . merentang suatu himpunan di jika setiap vektor di dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor di . Hal ini disebut merentang ( spans . Definisi 2 Misalkan adalah ruang vektor di dan adalah subset dari . Ruang yang direntang dari adalah himpunan semua kombinasi linear dari vektor-vektor di (misalkan himpunan tersebut adalah ). ( 1. Rentang dinotasikan oleh ( atau 2. Jika ( maka dikatakan sebagai ruang yang direntang oleh atau merentang . Definisi 3 Jika adalah himpunan vektor-vektor pada suatu ruang vektor , maka subruang dari yang terdiri dari semua kombinasi linear vektor- vektor pada disebut sebagai ruang yang direntang (space spanned) oleh , dan merentang (span) . Untuk menyatakan adalah ruang yang direntang oleh vektor-vektor pada himpunan di kita menuliskan: (
  • 3. 3 B. Contoh 1. Himpunan vektor yang merentang di Contoh soal: a. ( ( b. ( ( Solusi: a. Misalkan ̅ ( ̅ ( Misalkan ̅ ̅ Ambil sebarang skalar Ambil sebarang ̅ Pandang ̅ ( Akan dibuktikan merentang Untuk membuktikan merentang harus ditunjukkan bahwa ̅ ̅ ̅ ̅ membentuk kombinasi linear. Dengan menyatakan persamannnya dalam bentuk komponen- komponennya diperoleh: ( ( ( ( ( ( Dengan menyetarakan komponen-komponen yang bersesuaian diperoleh ... (i) ... (ii)  Dari persamaan (ii) diperoleh  Subtitusi ke persamaan (i) ( Diperoleh dan ( tunggal atau konsisten, sedemikian sehingga ( ( [ ( ] ( Membentuk kombinasi liner, artinya merentang
  • 4. 4 b. Misalkan ̅ ( ̅ ( Misalkan ̅ ̅ Ambil sebarang skalar Ambil sebarang ̅ Pandang ̅ ( Akan dibuktikan merentang Untuk membuktikan merentang harus ditunjukkan bahwa ̅ ̅ ̅ ̅ membentuk kombinasi linear. Dengan menyatakan persamannnya dalam bentuk komponen- komponennya diperoleh: ( ( ( ( ( ( Dengan menyetarakan komponen-komponen yang bersesuaian diperoleh ... (i) ... (ii)  Dari persamaan (ii) diperoleh ... (iii)  Subtitusi ke persamaan (i) ( (  Subtitusi ( ke persamaan (iii) [ ( ] Diperoleh dan ( tunggal atau konsisten, sedemikian sehingga ( ( ) ( [ ( ] ( Membentuk kombinasi liner, artinya merentang
  • 5. 5 2. Himpunan vektor yang merentang di Contoh soal: a. (1,0,0), (2,2,0), (3,3,3) b. (3,1,-4), (2,5,6), (7,4,8) Solusi: a. Misalkan ̅ ( ̅ ( ̅ ( Misalkan ̅ ̅ ̅ Ambil sebarang skalar Ambil sebarang ̅ Pandang ̅ ( Akan dibuktikan merentang Untuk membuktikan merentang harus ditunjukkan bahwa ̅ ̅ ̅ ̅ membentuk kombinasi linear. Dengan menyatakan persamannnya dalam bentuk komponen- komponennya diperoleh: ( ( ( ( ( ( ( ( Dengan menyetarakan komponen-komponen yang bersesuaian diperoleh ... (i) ... (ii) ... (iii)  Dari persamaan (iii) diperoleh  Subtitusi ke persamaan (ii) ( ) (  Subtitusi ( dan ke persamaan (i) [ ( ] [ ]
  • 6. 6 Diperoleh , ( dan tunggal atau konsisten, sedemikian sehingga ( ( ( [ ( ] ( ( ) ( Membentuk kombinasi liner, artinya merentang b. Misalkan ̅ ( ̅ ( ̅ ( Misalkan ̅ ̅ ̅ Ambil sebarang skalar Ambil sebarang ̅ Pandang ̅ ( Akan dibuktikan merentang Untuk membuktikan merentang harus ditunjukkan bahwa ̅ ̅ ̅ ̅ membentuk kombinasi linear. Dengan menyatakan persamannnya dalam bentuk komponen- komponennya diperoleh: ( ( ( ( ( ( ( ( Dengan menyetarakan komponen-komponen yang bersesuaian diperoleh ... (i) ... (ii) ... (iii) Akan diselesaikan menggunakan OBE (eliminasi gauss) ( ) ( ) ( ) Dengan menyetarakan komponen-komponen yang bersesuaian diperoleh ... (i) ... (ii) ... (iii)
  • 7. 7  Dari persamaan (iii) diperoleh  Subtitusi ke persamaan (ii) ( )  Subtitusi dan ke persamaan (i) ( ) ( ) Diperoleh , dan tunggal atau konsisten, sedemikian sehingga ( ( ) ( ( ) ( ( ) ( Membentuk kombinasi liner, artinya merentang 3. Himpunan polinomial yang merentang di Contoh soal: a. b. Solusi: a. Misalkan ̅ ̅ ̅ Misalkan ̅ ̅ ̅ Ambil sebarang skalar Ambil sebarang ̅ Pandang ̅ Akan dibuktikan merentang
  • 8. 8 Untuk membuktikan merentang harus ditunjukkan bahwa ̅ ̅ ̅ ̅ membentuk kombinasi linear. Dengan menyatakan persamannnya dalam bentuk komponen- komponennya diperoleh: ( ( ( ( ( ( ( ( Dengan menyetarakan komponen-komponen yang bersesuaian diperoleh ... (i) ... (ii) ... (iii)  Dari persamaan (i) diperoleh  Subtitusi ke persamaan (ii)  Subtitusi dan ke persamaan (iii) Diperoleh , dan tunggal atau konsisten, sedemikian sehingga ( ( ( ( ( ( Membentuk kombinasi liner, artinya merentang 4. Matriks yang merentang Contoh Soal: ( ) ( ) ( ) ( ) Solusi: Misalkan: ( ) ( ) ( ) ( ) Misalkan Ambil sebarang skalar Ambil sebarang
  • 9. 9 Pandang ( ) Akan dibuktikan merentang Untuk membuktikan merentang harus ditunjukkan bahwa membentuk kombinasi linear. Dengan menyatakan persamannnya dalam bentuk komponen-komponennya diperoleh: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Dengan menyetarakan komponen-komponen yang bersesuaian diperoleh ... (i) ... (ii) ... (iii) ... (iv) Akan diselesaikan menggunakan OBE ( ) ( ) ( ) ( ) Diperoleh: ... (i) ... (ii) ... (iii) ... (iv)  Dari persamaan (iii) diperoleh (
  • 10. 10  Dari persamaan (iv) diperoleh (  Subtitusi ( & ( ke persamaan (ii) [ ( ] [ ( ]  Subtitusi ( ke persamaan (i) ( Diperoleh , , ( dan ( tunggal atau konsisten, sedemikian sehingga ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Membentuk kombinasi liner, artinya merentang C. Bukan Contoh 1. Himpunan vektor yang tidak merentang di Contoh soal: a. ( ( b. ( ( Solusi: 2. Himpunan vektor yang tidak merentang di Contoh soal: a. (2,-3,1), (4,1,1), (0,-7,1) b. (1,6,4), (2,4,-1), (-1,2,5) Solusi: 3. Himpunan polinomial yang tidak merentang di Contoh soal: a.
  • 11. 11 b. Solusi: b. Misalkan ̅ ̅ ̅ Misalkan ̅ ̅ ̅ Ambil sebarang skalar Ambil sebarang ̅ Pandang ̅ Akan dibuktikan merentang Untuk membuktikan merentang harus ditunjukkan bahwa ̅ ̅ ̅ ̅ membentuk kombinasi linear. Dengan menyatakan persamannnya dalam bentuk komponen- komponennya diperoleh: ( ( ( ( ( ( ( ( Dengan menyetarakan komponen-komponen yang bersesuaian diperoleh ... (i) ... (ii) ... (iii) matriks koefisiennya adalah ( ) Akan ditentukan determinannya menggunakan OBE | | | | ( ( ( Diperoleh determinan matriks koefisiennya adalah 0 akibatnya tidak merentang di . 4. Matriks yang tidak merentang Contoh Soal: ( ) ( ) ( ) Solusi:
  • 12. 12 D. Teorema Jika dan adalah dua himpunan vektor- vektor pada suatu ruang vektor , maka Jika dan hanya jika setiap vektor pada adalah suatu kombinasi linear dari vektor-vektor pada dan setiap vektor pada adalah suatu kombinasi linear dari vektor-vektor pada . Proof: Diketahui: ruang vektor, dan dan sehinggga akan ditunjukkkan adalah suatu kombinasi linear dari vektor-vektor pada dan setiap vektor pada adalah suatu kombinasi linear dari vektor-vektor pada . Bukti : Berdasarkan definisi merentang yakni: karena maka akibatnya ( Hal tersebut menunjukkan bahwa setiap vektor pada dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor pada .
  • 13. 13 Begitupun sebaliknya ( Hal tersebut menunjukkan bahwa setiap vektor pada dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor pada . Jadi, Jika maka setiap vektor pada adalah suatu kombinasi linear dari vektor-vektor pada dan setiap vektor pada adalah suatu kombinasi linear dari vektor-vektor pada .... terbukti. Diketahui: ruang vektor, dan dan sehinggga adalah suatu kombinasi linear dari vektor-vektor pada dan setiap vektor pada adalah suatu kombinasi linear dari vektor-vektor pada . akan ditunjukkkan Bukti : Jika setiap vektor adalah suatu kombinasi linear dari vektor-vektor pada maka ( ( dan setiap vektor pada adalah suatu kombinasi linear dari vektor-vektor pada . Maka ( ( dan akibatnya ( ( Akan ditunjukkan menggunakan kontradiksi Misalkan setiap vektor di tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor di , sedemikian sehinggga Jika maka ( tetapi ( akibatnya ( ( oleh sebab itu jika
  • 14. 14 maka harus ( dan ( sedemikian sehingga ( ( begitupun sebaliknya Misalkan setiap vektor di tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor di , sedemikian sehinggga Jika maka ( tetapi ( akibatnya ( ( oleh sebab itu jika maka harus ( dan ( sedemikian sehingga ( ( . Jadi, jika setiap vektor pada adalah suatu kombinasi linear dari vektor- vektor pada dan setiap vektor pada adalah suatu kombinasi linear dari vektor-vektor pada maka .... terbukti. Jadi, Jika dan adalah dua himpunan vektor-vektor pada suatu ruang vektor , maka Jika dan hanya jika setiap vektor pada adalah suatu kombinasi linear dari vektor-vektor pada dan setiap vektor pada adalah suatu kombinasi linear dari vektor-vektor pada .