Bab 3 membahas rumus-rumus trigonometri jumlah, selisih, dan sudut ganda serta cara membuktikan identitas trigonometri. Kompetensi dasarnya adalah menggunakan rumus-rumus tersebut dan menurunkan rumus-rumus baru seperti perkalian sinus dan kosinus.
2. Standar Kompetensi:
Menurunkan rumus trigonometri dan penggunaannya.
Kompetensi Dasar:
Menggunakan rumus sinus dan kosinus jumlah dua sudut,
selisih dua sudut, dan sudut ganda untuk menghitung sinus dan
kosinus sudut tertentu.
Menurunkan rumus jumlah dan selisih sinus dan kosinus.
Menggunakan rumus jumlah dan selisih sinus dan kosinus.
4. 1. Rumus untuk cos ( )
X
Y
C(cos( + ), sin ( + )
B(cos , sin )
D(cos , sin )
A(1,0)
0
AC2 = {cos ( + ) 1}2 + {sin ( + ) 0}2
= cos2 ( + ) 2 cos ( + ) +1 + sin2 ( + )
= {cos2 ( + ) + sin2 ( + )} +1 2 cos ( + )
= 1
AC2 = 2 2 cos ( + )
a. Rumus untuk cos ( + )
2
5. BD2 = (cos cos )2 + (sin sin )2
= cos2 2 cos cos + cos2 + sin2 + 2 sin sin + sin2
= (cos2 + sin2 ) + (cos2 cos + sin2 ) 2 cos cos + 2 sin
AC2 = BD2
2 2 cos ( + ) = 2 2 cos cos + 2 sin sin .
cos ( + ) = cos cos sin sin .
cos ( + ) = cos cos sin sin
3
6. b. Rumus untuk cos ( )
cos ( ) = cos ( + ())
= cos cos () sin sin ()
= cos cos sin (sin )
= cos cos + sin sin
cos ( ) = cos cos + sin sin
Catatan:
cos () = cos
Sin () = sin
4
7. a. Rumus untuk sin ( + )
sin ( + ) = cos ( ( + )2
= cos (( ) )2
= cos ( ) cos + sin ( ) sin .2
2
sin cos
sin ( + ) = sin cos + cos sin
b. Rumus untuk sin ( )
sin ( ) = sin cos cos sin
2. Rumus untuk sin ( )
5
8. a. Rumus untuk tan ( + )
tan ( + ) =
sin ( + )
cos ( + )
sin cos + cos sin
cos cos sin sin
=
cos cos
1
cos cos
1
sin
cos cos
sin
+
=
1
sin
cos cos
sin
b. Rumus untuk tan ( )
tan ( ) = tan tan
1 + tan tan
tan =
sin
cos
3. Rumus untuk tan ( )
tan ( + ) =
tan + tan
1 tan tan
6
10. a. Rumus untuk sin 2
sin ( + ) = sin cos + cos sin
sin ( + ) = sin cos + cos sin
sin 2 = sin cos + sin cos (ingat cos sin = sin cos )
sin 2 = 2 sin cos
Jadi, rumus untuk sin 2 adalah
b. Rumus untuk cos 2
cos ( + ) = cos cos sin sin
cos 2 = cos2 sin2
Jadi, rumus untuk cos 2 adalah
cos 2 = cos2 1
sin 2 = 2 sin cos
cos 2 = cos2 sin2
cos 2 = 1 2 sin2
8
11. c. Rumus untuk tan 2
tan ( + ) =
tan + tan
1 tan tan
tan ( + ) =
tan + tan
1 tan tan
tan ( + ) =
2 tan
1 tan2
Jadi, rumus untuk tan 2 adalah
tan 2 = 2 tan
1 tan2
9
12. 1
2d. Rumus untuk sin
1
2
cos 2 = 1 2 sin2
2 sin2 = 1 cos 2
sin2 =
1 cos 2
2
sin2 =
1 cos 2
2
= 1
2
sin = 1
2
1 cos 2
2
Jadi, rumus untuk sin adalah
sin =
1
2
1 cos 2
2
13. e. Rumus untuk cos 1
2
cos = 1
2
1 + cos
2
f. Rumus untuk tan 1
2
tan = 1
2
1 cos
1 + cos
tan = 1
2
1 cos
sin
tan = 1
2
sin
1 + cos
atau
11
14. RUMUS PERKALIAN
SINUS DAN KOSINUS
Rumus untuk 2 sin cos
Rumus untuk 2 cos sin
Rumus untuk 2 cos cos
Rumus untuk 2 sin sin
12
15. a. Rumus untuk 2 sin cos
sin ( + ) = sin cos + cos sin
sin ( ) = sin cos cos sin
sin ( + ) + sin ( ) = 2 sin cos
+
Jadi,
b. Rumus untuk 2 cos sin
sin ( + ) = sin cos + cos sin
sin ( ) = sin cos cos sin
sin ( + ) sin ( ) = 2 cos sin
Jadi, 2 cos sin = sin ( + ) sin ( ).
2 cos sin = sin ( + ) sin ( ).
2 sin cos = sin ( + ) + sin ( ).
16. c. Rumus untuk 2 cos cos
cos ( + ) = cos cos sin sin
cos ( ) = cos cos + sin sin
cos ( + ) + cos ( ) = 2 cos cos
+
Jadi,
d. Rumus untuk 2 sin sin
cos ( + ) = cos cos sin sin
cos ( ) = cos cos + sin sin
cos ( + ) cos ( ) = 2 sin sin
Jadi,
2 cos cos = cos ( + ) + cos ( )
2 cos cos = cos ( + ) + cos ( ).
17. RUMUS JUMLAH DAN SELISIH
PADA SINUS DAN KOSINUS
sin A + sin B = 2 sin (A + B) cos (A B)1
2
1
2
sin A sin B = 2 cos (A + B) sin (A B)1
2
1
2
cos A + cos B = 2 cos (A + B) cos (A B)1
2
1
2
cos A cos B = 2 cos (A + B) sin (A B)1
2
1
2
15
18. IDENTITAS TRIGONOMETRI
Cara-cara membuktikan kebenaran suatu identitas
trigonometri dengan menggunakan kembali rumus-
rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut,
rumus trigonometri sudut ganda, dan rumus
trigonometri untuk sudut .1
2
16
19. Selain itu, rumus-rumus trigonometri dasar yang akan sering digunakan
adalah:
• Rumus-rumus kebalikan:
• Rumus-rumus perbandingan:
• Rumus-rumus pythagoras:
• Rumus-rumus trigonometri untuk sudut-sudut berelasi.
sec = cosec tan , dan1
cos
, =
1
sin
1
cot
.
tan = cot sin
cos
dan = cos
sin
.
sin2 + cos2 = 1,1 + tan2 , dan 1 + cot2 = cosec2
17
