Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.
Kelompok 8
Pendidikan Matematika 1 B
Andina Aulia Rachma
1113017000054
Aenul Huspiah
1113017000046
Adinda Rizzalti
1113017000034
HarunMustofa
1113017000033
PERSAMAAN
TRIGONOMETRI
PERSAMAAN TRIGONOMETRI
Persamaan Trigonometri yaitu persamaan yang mengandung
fungsi-fungsi trigonometri dari sudut-sudut ...
Contoh
a. sin x csc x = 1 adalahidentitas,
Karenadipenuhiolehsemuanilaix,
dimanacscx terdefinisi
b. sin x = 0
adalahpersam...
Bentuk Dasar Persamaan Trigonometri
Persamaan yang mengandung Jumlah
Perbandingan Trigonometri
Persamaan Kuadrat Perbandin...
Sebelum kita menggunakan rumus ..
Yuk kita latih dulu kemampuan kita…!
Tentukan penyelesaian dari persamaan trigonometri s...
1. Pada bagian sebelumnya kita dapatkan bahwa fungsi sinus bernilai positif
di kuadran I dan II serta periode dasarnya ada...
3. Fungsi tangen bernilai positif di kuadran I dan kuadran III, dan periode
dasarnya adalah 180’, sehingga penyelesaian da...
11
12
Contoh soal
Tentukan Penyelesaian dari Persamaan berikut,
untuk 00  x  3600 :
a. sin xo = 3
2
1
 b. sin (x+30)o – ...
Contoh soal
b. sin (x+30)o – 1 = 0
Jawab
b. sin (x+30)-1 = 0
sin (x+30) = 1
sin (x+30) = sin 90
x1 =  + k. 3600
X1+30= 90...
14
Jika Cos xo = Cos o (xR)
Maka : x1 =  + k. 3600 atau
x2 = (– ) + k. 3600
k  Bilangan Bulat
2.
Contoh soal:
Tentuka...
15
Jika tan xo = tan o (x R)
Maka : x1.2 =  + k. 180
k  Bilangan Bulat
3.
Contoh Soal :
TentukanHimpunanPenyelesaianny...
Persamaan yang mengandung Jumlah Perbandingan
Trigonometri
Pada bagian ini kita akan menggunakan rumus sinus dan kosinus
j...
Selanjutnya pada bagian sebeumnya kita memperoleh :
cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b ......(3)
cos (a - b) = cos a ...
Rumus trigonometri untuk perkalian sinus dan kosinus yang telah kita
dapatkan tadi, dapat pula kita gunakan pada hal sebal...
2 sin α cos β = sin (α + β) + sin (α ̶ β)
2 cos α sin β = sin (α + β) ̶ sin (α ̶ β)
2 cos α cos β = cos (α + β) + cos (α –...
Contoh
1. 2 cos 75 cos 15 = cos (75+15) + cos (75-15)
= cos 90 + cos 60
= 0 + ½
= ½
2. Cos 105 cos 15 = ½ cos (105+15) +
½...
0
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan sin 5x + sin 3x = 0, dalam interval
0≤ x ≤ 360°.
Jawab:
Sin 5x + ...
Persamaan Kuadrat Perbandingan
Trigonometri
Persamaan kuadrat dalam sinus dan kosinus, dan tangen.
Persamaan kuadrat dalam...
Persamaan trigonometri dalam bentuk persamaan kuadrat dapat diselesaikan
menggunakan langkah-langkah sebagai berikut:
1. N...
Contoh 1:
Tentukan Hp dari persamaan 2 sin²x = 3 sin x - 1, dengan 0≤ x ≤ 360°
Jawab !
2 sin²x = 3 sin x - 1
2 sin²x – 3 s...
Contoh.2
Jika x memenuhi 2 sin²x – 7 sin x + 3 =0 dan 0≤ x ≤90°, maka cos x adalah……..
Jawab !
2 sin²x – 7 sin x + 3 =0
⇔2...
Tentukan Himpunan Penyelesaian persamaan cos2 2x + sin 2x -1 = 0
untuk 0o ≤ x ≤ 180o
Penyelesaian :
Cos2 2x + sin 2x – 1 =...
Tentukan himpunan penyelesaian dari : 3 cos2 2x + 2 cos 2x = 8
Missal cos 2x = q
3q2 + 2q – 8 = 0
(3q-4) (q+2)
q = 4/3 ata...
Untuk mengubah suatu persamaan trigonometri menjadi persamaan kuadrat
Dalam sinus, cosinus dan tangen kita dapat menggunak...
Persamaan berbentuk : a cos x + b sin
x = c
Bentuk a cos x + b sin x dapat diarahkan ke bentuk k cos (x-α).
Perlu diketahu...
Contoh 1 :
Nilai x yang memenuhi persamaan
-√2 cosx° + √2 sinx° = 1 untuk 0 ≤ x ≤ 360 adalah…
jawab:
a = -√2 dan b = √2
k ...
Contoh 2:
Himpunan penyelesaian persamaan
2√3 cos2x° - 4sinxcosx = 2 untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah….
jawab:
▪ 2√3cos2x – 2.2sinx...
▪ 2x – 330°= 60° + k.360°
2x = 390° + k.360°
x = 195° + k.180°
k = -1 → x = 15° → x =
k = 0 → x = 195°→ x =
▪ 2x – 330° = ...
Thankyou…..
persamaan trigonometri
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

persamaan trigonometri

  • Login to see the comments

persamaan trigonometri

  1. 1. Kelompok 8 Pendidikan Matematika 1 B
  2. 2. Andina Aulia Rachma 1113017000054 Aenul Huspiah 1113017000046 Adinda Rizzalti 1113017000034 HarunMustofa 1113017000033
  3. 3. PERSAMAAN TRIGONOMETRI
  4. 4. PERSAMAAN TRIGONOMETRI Persamaan Trigonometri yaitu persamaan yang mengandung fungsi-fungsi trigonometri dari sudut-sudut yang tidak diketahui, dibagi menjadi 2, yaitu: a) Persamaan Identik atau identitas, jika persamaan ini dipenuhi oleh semua nilai dari sudut-sudut yang tidak diketahui dimana fungsi-fungsi tersebut terdefinisi. b) Persamaan bersyarat, atau persamaan, jika persamaan ini hanya dipenuhi oleh bebrapa nilai dari sudut-sudut yang tidak diketahui.
  5. 5. Contoh a. sin x csc x = 1 adalahidentitas, Karenadipenuhiolehsemuanilaix, dimanacscx terdefinisi b. sin x = 0 adalahpersamaanbersyaratkarenatid akdipenuhiolehx = 1 4∏ atau½∏ Dalam bahasan ini kita akan menggunakan “persamaan” bukan “persamaan identik”
  6. 6. Bentuk Dasar Persamaan Trigonometri Persamaan yang mengandung Jumlah Perbandingan Trigonometri Persamaan Kuadrat Perbandingan Trigonometri Persamaan berbentuk : a cos x + b sin x = c
  7. 7. Sebelum kita menggunakan rumus .. Yuk kita latih dulu kemampuan kita…! Tentukan penyelesaian dari persamaan trigonometri sederhana berikut ini : 2 sin x = 1 untuk 0 < x < 360o Jawab: 2 sin x = 1 sin x = ½ sin x = sin 30o sudut x adalah sudut istimewa dan jelas x = 30o adalah penyelesaiannya. Karena sin x juga positif di kuadran II, maka x = 180 – 30 = 150 juga merupakan solusi persamaan diatas . Jadi , solusinya adalah 30o dan 150o. Bentuk Dasar Persamaan Trigonometri
  8. 8. 1. Pada bagian sebelumnya kita dapatkan bahwa fungsi sinus bernilai positif di kuadran I dan II serta periode dasarnya adalah 360’. Dengan demikian, penyelesaian dari persamaan sin x = sin a adalah…. atau Dengaan k = 0, ± 1, ± 2, …. K € bilangan bulat 2. Fungsi kosinus bernilai positif di kuadran I dan IV serta mempunyai periode dasar 360o , sehingga penyelesaian dari cos x = cos a adalah…. atau Dengan k = 0, ± 1, ± 2, ….. K € bilangan bulat x = a + k. 360o x = (180-a) + k. 360o x = a + k. 360o x = (-a) + k. 360o
  9. 9. 3. Fungsi tangen bernilai positif di kuadran I dan kuadran III, dan periode dasarnya adalah 180’, sehingga penyelesaian dari tan x = tan a adalah…. Dengaan k = 0, ± 1, ± 2, …. K € bilangan bulat x = a + k. 180o
  10. 10. 11
  11. 11. 12 Contoh soal Tentukan Penyelesaian dari Persamaan berikut, untuk 00  x  3600 : a. sin xo = 3 2 1  b. sin (x+30)o – 1 = 0 Jawab a. sin xo = 3 2 1  sin x = - sin 600 x1 = (– 600 )+ k. 3600 atau x2 = 2400 + k. 3600 Jadi, Harga x yang memenuhi adalah 240o atau 300o x2 = 1800 –(– 600 )+ k. 3600 x1 =  + k. 3600 K = 0  x = -600 K = 1  x = 3000 K = 2  x = 6600 x2 = (1800– ) + k. 3600 K = 0  x = 2400 K = 1  x = 6000
  12. 12. Contoh soal b. sin (x+30)o – 1 = 0 Jawab b. sin (x+30)-1 = 0 sin (x+30) = 1 sin (x+30) = sin 90 x1 =  + k. 3600 X1+30= 90+k. 3600 K = 0  x = 600 K = 1  x = 4200 atau x2 = (1800 – ) + k. 3600 X2+30 = (1800 – 90) + k.3600 X+30 = 90 + k. 3600 K = 0 x = 60 K = 1  x = 420 Jadi, Harga x yang memenuhi adalah 60o
  13. 13. 14 Jika Cos xo = Cos o (xR) Maka : x1 =  + k. 3600 atau x2 = (– ) + k. 3600 k  Bilangan Bulat 2. Contoh soal: TentukanHimpunanPenyelesaiannya: cos 3xo = 1 2 3untuk 00 x  3600 Jawab: cos3xo = 1 2 3 cos 3x = cos 300 3x1 = 300 + k. 3600 x1 = 100 + k. 1200 k = 0  x =100 k = 1  x = 1300 k = 2  x = 2500 3x2 = –300 + k. 360 x2 = –100 + k. 1200 K = 0  x = -100 K = 1  x = 1100 K = 2  x = 2300 K = 3  x = 3500 atau Jadi, Himpunan Penyelesaiannya adalah = {100 , 1100 , 1300 , 2300, 2500, 3500 }
  14. 14. 15 Jika tan xo = tan o (x R) Maka : x1.2 =  + k. 180 k  Bilangan Bulat 3. Contoh Soal : TentukanHimpunanPenyelesaiannya: tan2xo = 3 untuk00  x  3600 Jawab: tan2xo = 3 tan 2x = tan 600 2x1.2 = 600 + k. 1800 x1.2 = 300 + k. 900 k= 0  x = 300 k = 1 x = 1200 k = 2  x = 2100 k = 3  x = 3000 k = 4  x = 3900 Jadi, Himpunan Penyelesaiannya adalah = {300 , 1200 , 2100 , 3000 }
  15. 15. Persamaan yang mengandung Jumlah Perbandingan Trigonometri Pada bagian ini kita akan menggunakan rumus sinus dan kosinus jumlah dan selisih dua sudut untuk memperoleh rumus perkalian sinus dan kosinus. Pada bagian sebelumnya kita memperoleh : Sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b ......... (1) Sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b ..........(2) Penjumlahan kedua persamaan di atas menghasilkan : * 2 sin a cos b = Sin (a + b) + Sin (a - b) Pengurangan persamaan 1 oleh persamaan 2 menghasilkan : * 2 cos a sin b = Sin (a + b) - Sin (a - b)
  16. 16. Selanjutnya pada bagian sebeumnya kita memperoleh : cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b ......(3) cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b ......(4) Penjumlahan kedua persamaan di atas menghasilkan : *2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a - b) Pengurangan persamaan 3 oleh persamaan 4 menghasilkan : * -2 sin a sin b = cos (a + b) - cos (a - b) Identitas yang kita peroleh di atas di sebut sebagai “rumus trigonometri untuk perkalian sinus dan kosinus “ dan kita rangkum sebagai berikut: 2 sin α cos β = sin (α + β) + sin (α ̶ β) 2 cos α sin β = sin (α + β) ̶ sin (α ̶ β) 2 cos α cos β = cos (α + β) + cos (α – β) 2 sin α sin β = ̶ cos (α + β) + cos (α – β)
  17. 17. Rumus trigonometri untuk perkalian sinus dan kosinus yang telah kita dapatkan tadi, dapat pula kita gunakan pada hal sebaliknya yaitu menyatakan jumlah atau selisih sinus dan kosinus sebagai perkalian sinus dan kosinus. Untuk hal tersebut kita lakukan sebagai berikut: Misal a + b = A dan a - b= B, maka ½ (A + B) = ½ (a + b + a - b) = ½ (2a) = a ½ (A - B) = ½ (a + b – a - b) = ½ (2b) = b Jika hasil di atas kita substitusikan ke rumus trigonometri untuk perkalian sinus dan kosinus yang telah kita dapatkan tadi maka diperoleh : sin A + sin B = 2 sin ½ (A + B) cos ½ (A ̶ B) sin A ̶ sin B = 2 cos ½ (A + B) cin ½ (A ̶ B) cos A + cos B = 2 cos ½ (A + B) cos ½ (A ̶ B) cos A ̶ cos B = ̶ 2 sin ½ (A + B) sin ½ (A ̶ B)
  18. 18. 2 sin α cos β = sin (α + β) + sin (α ̶ β) 2 cos α sin β = sin (α + β) ̶ sin (α ̶ β) 2 cos α cos β = cos (α + β) + cos (α – β) 2 sin α sin β = ̶ cos (α + β) + cos (α – β) RUMUS JUMLAH DAN SELISIH PADA SINUS DAN KOSINUS sin A + sin B = 2 sin ½ (A + B) cos ½ (A ̶ B) sin A ̶ sin B = 2 cos ½ (A + B) cin ½ (A ̶ B) cos A + cos B = 2 cos ½ (A + B) cos ½ (A ̶ B) cos A ̶ cos B = ̶ 2 sin ½ (A + B) sin ½ (A ̶ B) RUMUS UNTUK 2 SIN α COS β DAN 2 COS α SIN β Untuk menyelesaikan Persamaan trigonometri yang memuat jumlah , selisih sinus atau kosinus. Maka kita dapat menggunakan rumus jumlah dan selisih dalam trigonometri. Untuk lebih jelas perhatikan contoh berikut….
  19. 19. Contoh 1. 2 cos 75 cos 15 = cos (75+15) + cos (75-15) = cos 90 + cos 60 = 0 + ½ = ½ 2. Cos 105 cos 15 = ½ cos (105+15) + ½ cos (105-15) = ½ cos 120 + ½ cos 90 = ½ (-½) + 0 = -¼
  20. 20. 0 Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan sin 5x + sin 3x = 0, dalam interval 0≤ x ≤ 360°. Jawab: Sin 5x + sin 3x = 0 ⇔ 2 sin ½ (5x + 3x) cos ½ (5x ̶ 3x) ⇔2 sin 4x cos x = 0 sin 4x cos x = 0/2 sin 4x cos x = 0 ⇔ sin 4x = 0 atau cos x = 0 Dari persamaan itu diperoleh : sin 4x = 0 = sin 0° ⇔ 4x = k × 360° atau 4x = 180° + k. 360° ⇔ x = k × 90° atau x = 45° + k. 90° ⇔ untuk k = 0, x = 0° atau x = 45° k = 1, x = 90° atau x = 135° k = 2, x = 180° atau x = 215° k = 3, x = 270° atau x = 315° k = 4, x = 360° atau x = 405° Jadi Hp = {0°,45°,90°, 180°, 135°, 215°, 270° ,315°, 360°} Dari persamaan itu diperoleh : Cos x = 0 = cos 90° ⇔ x = ± 90° + k . 360° ⇔ x = 90° +k . 360° atau x = - 90° +k . 360° ⇔ untuk k = 0 x = 90° atau x = - 90° k = 1, x = 470° atau x = 270°
  21. 21. Persamaan Kuadrat Perbandingan Trigonometri Persamaan kuadrat dalam sinus dan kosinus, dan tangen. Persamaan kuadrat dalam sinus, cosinus dan tangen akar-akarnya dapat ditentukan dengan cara: 1.Dengan memfaktorkan 2.Dengan melengkapi kuadrat sempurna 3.Dengan menggunakan rumus ABC
  22. 22. Persamaan trigonometri dalam bentuk persamaan kuadrat dapat diselesaikan menggunakan langkah-langkah sebagai berikut: 1. Nyatakan persamaan trigonometri dalam bentuk persamaan kuadrat umum. 2. Tentukan akar-akarnya menggunakan salah cara yang telah ditentukan 3. Akar-akar yang telah ditentukan harus memenuhi syarat-syarat sebagai berikut. a. Nilai sin x, cos x dan tan x, haruslah bilangan real, sehingga D ≥ 0 (D=b²- 4ac) b. Nilai sin x = {– 1 ≤ sin ≤ 1}, cos x = {– 1 ≤ cos ≤ 1}. Jika salah satu syarat diantara kedua itu tidak dipenuhi, maka persamaan tersebut tidak memiliki penyelesaian atau himpunan penyelesaianya adalah ∅ (Himpunan kosong).
  23. 23. Contoh 1: Tentukan Hp dari persamaan 2 sin²x = 3 sin x - 1, dengan 0≤ x ≤ 360° Jawab ! 2 sin²x = 3 sin x - 1 2 sin²x – 3 sin x + 1 = 0 2p² - 3p + 1 = 0 (2p- 1) (p -1) = 0 p = ½ p = 1 a. Dari persamaan diperoleh sin x = ½ sin x = sin 30° x = 30° + k . 360° x = (180°- 30°) + k . 360° k=0  x = 30° k = 0  x = 150° k=1  x= 390° k = 1  x = 510° b. Dari persamaan diperoleh sin x =1 sin x = sin 90° x= 90 + k . 360° atau x = (180 – 90) ° + k.360 ° k= 0  x = 90° k= 0  x = 90o k= 1  x = 450° k=1  x = 450o misal sin x = p Maka Hp = {30°, 90°,150°}
  24. 24. Contoh.2 Jika x memenuhi 2 sin²x – 7 sin x + 3 =0 dan 0≤ x ≤90°, maka cos x adalah…….. Jawab ! 2 sin²x – 7 sin x + 3 =0 ⇔2p² - 7xp+3 = 0 ⇔ (2p – 1)(p – 3)=0 ⇔ p = ½ atau p = 3 (ditolak) Maka, sin x =½ dan sin x = 3 Sin x = ½ = sin 30° x = 30° + k . 360° atau x = 150° + k . 360° Untuk k = 0, maka x = 30° atau x = 150° dalam interval 0 ≤ x ≤ 90° dipenuhi oleh x = 30°
  25. 25. Tentukan Himpunan Penyelesaian persamaan cos2 2x + sin 2x -1 = 0 untuk 0o ≤ x ≤ 180o Penyelesaian : Cos2 2x + sin 2x – 1 = 0 (1-sin2 2x) + sin 2x – 1 = 0 - sin2 2x + sin 2x = 0 Sin2 2x – sin 2x = 0 Sin 2x (sin 2x - 1) = 0 Sin 2x = 0 atau sin 2x = 1 a. Sin 2x = 0 = sin 0o b. Sin 2x = 1 = sin 90o Penyelesaiannya : Penyelesaiannya : 1. 2x = 0o + k.360 2x = 90o + k.360o x = 0o + k.360 x = 45o + k.180 k = 0 --> x = 0o k = 0 --> x = 45o k = 1 --> x = 360o 2. 2x = 180o + k . 360 x = 90o + k . 180o k = 0 --> x = 90o k = 1 --> x = 270o Jadi, Harga x yang memenuhi adalah 0o 45o 90o 180o
  26. 26. Tentukan himpunan penyelesaian dari : 3 cos2 2x + 2 cos 2x = 8 Missal cos 2x = q 3q2 + 2q – 8 = 0 (3q-4) (q+2) q = 4/3 atau q = -2 syarat akar-akar yang ditentukan : D ≥ 0 D = b2 – 4ac D = 22 – (4.3.-8) D = 4 – (-96) D = 100  Memenuhi Nilai cos x = {– 1 ≤ cos ≤ 1} q1 = 4/3 > 1 q2 = -2 < -1 Keduanya tidak memenuhi Karna salah satu syarat tidak terpenuhi maka HP = { }
  27. 27. Untuk mengubah suatu persamaan trigonometri menjadi persamaan kuadrat Dalam sinus, cosinus dan tangen kita dapat menggunakan rumus-rumus sudut rangkap, dan rumus trigonometri sudut pertengahan. Perhatikan contoh dibawah ini. 1.Tentukan penyelesaian dari persamaan cos 2x – 10 sin x = - 11 dalam interval 0 ≤ x ≤ 360° solusi ! Cos 2x – 10 sin x = -11 ⇔1- 2 sin²x – 10 sin x = -11 ⇔ 2 sin²x + 5 sin x – 6 = 0 ⇔(sin x + 6)(sin x – 1)=0 ⇔sin x = -6(ditolak) atau sin x = 1(diterima) ⇔sin x = 1 = 90° x = 90° + k . 360° Untuk k = 0 maka x = 90° Jadi penyelesaianya adalah 90° Ingat cos 2x = 1 – 2sin²x Persamaan trigonometri yang dapat diubah menjadi persamaan kuadrat dalam Sinus, cosinus dan tangen.
  28. 28. Persamaan berbentuk : a cos x + b sin x = c Bentuk a cos x + b sin x dapat diarahkan ke bentuk k cos (x-α). Perlu diketahui bahwa cos (x-α) = cos x cos α + sin x sinα Sehingga a cos x + b sin x = k. cos ( x – α ) = k (cos x cos α + sin x sin α) = ( k.cos α ) cos x + ( k.sin α ) sin x Hal ini sama artinya dengan a = k cos α dan b = k sin α Ingat! Oleh sebab itu, a2 + b 2 = (k.cos α) 2 + (k.sin α) 2 = k2 (cos 2 α + sin2 α) = k2 Dengan syarat k2 ≥ c 2 Cos 2α + sin2α = 1 a 2 + b 2 = k 2
  29. 29. Contoh 1 : Nilai x yang memenuhi persamaan -√2 cosx° + √2 sinx° = 1 untuk 0 ≤ x ≤ 360 adalah… jawab: a = -√2 dan b = √2 k = tanα = → α = 135 → cos(x – 135) = ½ ▪ 2cos(x – 135) = 1 x – 135 = -60 + k.360 → cos(x – 135) = ½ x = 75 + k.360 x – 135 = 60 + k.360 k = 0 → x = 75 x = 195 + k.360 k = 0 → x = 195 22 )2()2(  222  II)kuadrandi(1 2 2   Jadi, Harga x yang memenuhi adalah 75 o atau 195 o
  30. 30. Contoh 2: Himpunan penyelesaian persamaan 2√3 cos2x° - 4sinxcosx = 2 untuk 0 ≤ x ≤ 2π adalah…. jawab: ▪ 2√3cos2x – 2.2sinxcosx = 2 2√3cos2x – 2.sin2x = 2 √3cos2x – sin2x = 1 ▪ √3cos2x – sin2x = 1 a = √3, b = -1 → k = = 2 tan α = α = 360° – 30° = 330° ▪ 2cos(2x - 330°) = 1 cos(2x – 330°) = ½ 2x – 330 = 60 + k.360 22 1)3(  IV)kuadrandiα(3 3 1 3 1  
  31. 31. ▪ 2x – 330°= 60° + k.360° 2x = 390° + k.360° x = 195° + k.180° k = -1 → x = 15° → x = k = 0 → x = 195°→ x = ▪ 2x – 330° = -60° + k.360° 2x = 270° + k.360° x = 135° + k.180° k = 0 → x = 135° → x = k = 1 → x = 315° → x = Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah 12 1 12 13 4 3 4 7   4 7 12 13 4 3 12 1 ,,,
  32. 32. Thankyou…..

×