Dokumen tersebut membahas tentang menentukan nilai optimum dari sistem pertidaksamaan linier dengan menggunakan uji titik pojok. Langkah-langkahnya adalah mengubah masalah ke model matematika, tentukan himpunan penyelesaian, cari titik pojok, hitung nilai fungsi objektif di setiap titik pojok, dan nilai maksimum atau minimum ditetapkan. Diberikan contoh soal untuk menerapkan langkah tersebut.

1. 1
B. MENENTUKAN NILAI OPTIMUM
DARI SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINIER
Nilai Optimum Fungsi Sasaran dari Daerah Sistem Pertidaksamaan Linier
Hal terpenting dalam masalah program linier adalah mengubah persoalan verbal ke dalam
bentuk model matematika (persamaan atau pertidaksamaan) yang merupakan penyajian
dari bahasa sehari-hari ke dalam bahasa matematika yang lebih sederhana dan mudah
dimengerti.
Pada pembahasan dalam buku ini hanya menyajikan model matematika sederhana yang
hanya melibatkan dua variabel dan penentuan nilai optimum ditempuh dengan
menggunakan uji titik pojok. Langkah-langkah yang ditempuh untuk menentukan nilai
optimum adalah sebagai berikut :
a) Ubahlah persoalan verbal ke dalam model matematika (dalam bentuk sistem
pertidaksamaan linier);
b) Tentukan Himpunan Penyelesaian;
c) Tentukan semua titik pojok pada daerah himpunan penyelesaian tersebut;
d) Hitung nilai dari fungsi objektif untuk setiap titik pojok dalam daerah himpunan
penyelesaian;
e) Dari hasil pada langkah di atas, nilai maksimum atau minimum dapat ditetapkan.
Contoh Soal 1
Tentukan nilai maksimum dan minimum dari Z = 5 x + 3 y , dengan syarat :
x + 2 y ≤ 8;
x + y ≤ 6;
x ≥ 0;
y≥0
Jawab :
Dengan cara seperti pada bagian sebelumnya (bagian A. Grafik Himpunan Penyelesaian
Sistem Pertidaksamaan Linier), sistem pertidaksamaan tersebut mempunyai himpunan
penyelesaian seperti pada grafik di bawah ini (Tanpa arsiran).
Recreated by Heri Sudiana &
Published on http://www.matematika-pariwisata.moodlehub.com/

2. 2
Y
x+ y =6
6
C
x + 2y = 8
●
4
HP
● B(4, 2)
A ●
6
0
8
X
Himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan berupa segi empat dengan titik pojok O, A,
B, dan C). Titik B yaitu titik potong antara 2 buah garis, yang dapat dicari dengan cara
eliminasi/substitusi antara garis x + y = 6 dan x + 2 y = 8 , diperoleh nilai x = 4 dan y = 2,
sehingga titik B(4, 2).
Kemudian diuji titik-titik pojoknya yang ditunjukkan pada tabel berikut ini.
x
y
5x + 3 y
O(0, 0)
0
0
0
A(6, 0)
6
0
30
B(4, 2)
4
2
26
C(0, 4)
0
12
12
Titik Pojok
Dari tabel di atas, nilai maksimum adalah 30, terjadi untuk x = 6 dan y = 0. Sedangkan
nilai minimum sama dengan 0 untuk x = 0 dan y = 0.
Contoh Soal 2
Tentukan nilai maksimum dan minimum Z = 2 x + 3 y dari daerah yang ditunjukkan pada
grafik di bawah ini.
Y
(3, 5)
3
0
(7, 3)
HP
2
5
X
Recreated by Heri Sudiana &
Published on http://www.matematika-pariwisata.moodlehub.com/

3. 3
Jawab :
Dengan menggunakan uji titik pojok, nilai maksimum dan minimum dapat dicari seperti
ditunjukkan pada table di bawah ini :
x
y
2x + 3 y
(2, 0)
2
0
4
(5, 0)
5
0
10
(7, 3)
7
3
23
(3, 5)
3
5
21
(0, 3)
0
3
9
Titik Pojok
Dari tabel terlihat bahwa nilai maksimum adalah 23, yang terjadi pada titik (7, 3) dan nilai
minimum adalah 4, yang terjadi pada titik (2, 0).
Contoh Soal 3
Sebuah pesawat terbang mempunyai kapasitas tempat duduk tidak lebih dari 48 orang.
Setiap penumpang kelas utama dapat membawa bagasi seberat 60 kg dan kelas ekonomi
20 kg, sedangkan pesawat tersebut mempunyai kapasitas bagasi tidak lebih dari 1.440 kg.
apabila harga tiket untuk kelas utama dan ekonomi masing-masing adalah Rp. 1.000.000,dan Rp. 500.000,- per orang, tentukan banyaknya penumpang setiap kelas agar penjualan
tiket maksimum.
Jawab :
Model matematika disusun dengan memisalkan banyak penumpang kelas utama = x orang
dan banyak penumpang kelas ekonomi = y orang.
Variabel
Penumpang
Bagasi
Harga tiket
Kelas utama (x)
Kelas ekonomi (y)
Persediaan
x
y
48
60
20
1.440
1.000.000
500.000
Recreated by Heri Sudiana &
Published on http://www.matematika-pariwisata.moodlehub.com/

4. 4
Maksimalkan Z = 1.000.000 x + 500.000 y .
Syarat daya tampung :
x + y ≤ 48
Syarat kapasitas :
60 x + 20 y ≤ 1440
x≥0
y≥0
Dari model matematika di atas dapat dibuat grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaan
linier seperti terlihat pada gambar di bawah ini.
Y
72
x + y = 48
48●
C ● B(12, 36)
60 x + 20 y = 1440
HP
0
●A
24
48
X
Dari model matematika di atas dan grafik yang dihasilkan diperoleh titik pojok daerah
Himpunan Penyelesaian yaitu titik O, A,B, dan C dengan titik B adalah titik potong antara
garis x + y = 48 dan 60 x + 20 y = 48 .
Titik potong B adapat dicari dengan cara
subsitusi/eliminasi, sehingga diperoleh titik potong B(12, 36).
Uji titik pojok O, A, B, dan C seperti terlihat pada tabel dibawah ini.
x
y
1.000.000 + 500.000 y
O(0, 0)
0
0
0
A(24, 0)
24
0
24.000.000
B(12, 36)
12
36
30.000.000
C(0, 48)
0
48
24.000.000
Titik Pojok
Nilai maksimum Z adalah Rp. 30.000.000,- dipenuhi oleh x = 12 dan y = 36, atau dengan
kata lain penjualan tiket akan maksimum jika banyaknya penumpang kelas utama
sebanyak 12 orang dan kelas ekonomi sebanyak 36 orang.
Recreated by Heri Sudiana &
Published on http://www.matematika-pariwisata.moodlehub.com/