1. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
Tujuan : Mewujudkan kompetensi dasar dengan ditunjukkan dengan hasil belajar
a.
Dapat menggunakan persamaan dan pertidaksamaan dan implikasinya
dalam memecahkan masalah kususnya kesehatan masyarakat
b.
Dapat Menggunakan persamaan dan pertidaksamaan dalam menarik
kesimpulan dan pembuktian dalam penulisan ilmiah
Waktu : 2 x 50 Menit
Metode : - Ceramah
- Lat soal dan Tanya jawab
A. Persamaan
Persamaan adalah “Adanya kalimat matematika yang belum mempunyai nilai
kebenaran (B atau S). Dalam menyelesaikan suatu persamaan harus dicari suatu
bilangan sehingga persamaan tersebut menjadi proposisi benar. Jika bilangan yang
menyebabkan persamaan itu menjadi proposisi benar disebut jawab (selesaian)
persamaan tersebut. Himpunan itu disebut himpunan selesaian. Jika, x + 2 = 5
maka himpunan selesaian { 3 }.
Berikut ini merupakan beberapa contoh persamaan.
1.
2x – 3 = 7 yang himpunan selesaiannya { 5 }
2.
3x + 5 = 6x – 1 yang himpunan selesaianya { 2 }
3.
2x + 3y = 7 yang himpunan selesaiannya { (2,1) } = { (x,y) : x = 2, y = 1}
4.
x2 + 5 x + 6 = 0 yang himpunan selesaiannya { -2, -3 }
Suatu persamaan yang mengandung satu peubah dan berpangkat satu disebut
persamaan linear satu peubah. Bentuk umum persamaan linear satu peubah ialah
ax + b = c dengan a, b dan c bilangan real dan a ≠ 0.
Teknik Penyelasaian
ax + b = c, a ≠ 0
diketahui
ax + b – b = c – b
p=q⇒p–r=q–r
ax
a
p=q⇒p
r
c–b
a
60
q
r

2. c–b
c-b
x=
Himpunan selesaian
a
a
Contoh
Tentukan himpuna selesaian
(a) x + 6 = 7
(b) 2x – 7 = 5
(c) 3 (x + 2 ) + 2 (x + 1) = 4x + 1
Jawab
(a) x + 6 = 7
x+6–6=7–6
Himpunan penyelesaian {1}
x=1
Pemeriksaan, 1 + 6 = 7. Benar.
(b) 2x – 7 = 5
2x – 7 + 7 = 5 + 7
2x = 12
2x
2
12
2
x = 6 Himpunan penyelesaian {6}
Pemeriksaan, 2.6 – 7 = 5. Benar.
(c) 3 (x +2) + 2 (x + 1) = 4x + 1
3x +6 + 2x + 2 = 4x + 1
5x – 8 + 8 = 4x + 1 +-8
5x – 4x = 4x – 4x -7
x = -7
Himpunan penyelesaian {-7}
Pemeriksaan 3 (5-2) + 2 (5+1) = 4.5 + 1
33 + 2.6 = 21
21 = 21. Benar.
Contoh
Tentukan himpunan selesaian dari persamaan berikut.
61

3. 2x – 1
3x – 2
+
1
=7
3
2
3
Jawab
Bila kedua ruas persamaan tersebut dikalikan dengan 6,
22
2 (2x – 1) + 3 (3x – 2) = 6
3
4x – 2 + 9x – 6 = 44
13x – 8 = 44
13x = 44 + 8
13x = 52
1
1
13x =
13
52
13
x = 4 Himpunan selesaian {4}
Periksalah kebenaran selesaian tersebut
Contoh
Jika suatu bilangan ditambah dua kali bilangan itu menghasilkan 12, tentukan
bilangan tersebut.
Jawab
Misalnya bilangan yang ditanyakan x.
x + 2x = 12 (persamaan linear satu peubah yang disebut juga model matematika)
3x = 12
3x
12
=
3
3
x = 4 Bilangan yang dinyatakan adalah 4.
Contoh
Dua bilangan asli berurutan jumlahnya 19. tentukan masing – masing bilangan
itu.
Jawab
62

4. Misalnya dua bilangan berurutan itu n dan (n + 1)
Maka n + (n + 1) = 19
2n + 1 = 19
2n + 1 – 1 = 19 – 1
2n = 18
½. 2n = ½. 18 n = 9
Jadi dua bilangan berurutan itu 9 dan 10
Contoh
Ani pergi ke pasar untuk membeli apel dan rambutan. Harga 1 kg apel 3 kali harga
1 kg rambutan. Ani membeli 2 kg apel dan 3 kg rambutan dengan harga Rp.
9.000,00. Berapa masing – masing harga apel dan rambutan setiap kg ?
Jawab
Misalnya harga 1 kg rambutan x rupiah. Karena itu harga 1 kg apel 3 x rupiah.
Harga 3 kg rambutan adalah 3 x rupiah dan 2 kg apel adalah 6 x rupiah.
Maka
3x + 6x = 9000,9x = 9000,x = 1000,-
Jadi harga 1 kg rambutan Rp. 1.000,00 dan 1 kg apel Rp. 3.000,00
B. Pertidaksamaan
Suatu kalimat matematika yang mengandung satu atau lebih peubah dan relasi
≤, < ≥, atau > disebut suatu pertidaksamaan.
1. x + 6 > 3
2. x – 5 ≤ 7 + 2x
3. x + y < 2
4. x2 – 5x + 6 ≥ 0
5. x2 + y2 > 4
Bila pertidaksamaan hanya mengandung satu peubah dan berpangkat satu maka
pertidaksamaan
tersebut dinamakan
63
pertidaksamaan
linear
satu peubah.

5. Selanjutnya bila dikatakan pertidaksamaan, maka yang dimaksud adalah
pertidaksamaan linear satu peubah.
Contoh 1 dan 2 merupakan suatu pertidaksamaan linear satu peubah sedang
contoh 3, 4 dan 5 bukan.
Bentuk umum pertidaksamaan linear satu peubah adalah ax + b ≤ 0, ax + b < 0, ax
+ b ≥ 0, ax + b > 0 dengan a, b bilangan real dan a ≠ 0.
Seperti halnya persamaan, menyelesaikan suatu pertidaksamaan merupakan suatu
proses mendapatkan suatu bilangan sehingga pertidaksamaan tersebut menjadi
proposisi benar.
Bilangan yang memperoleh tersebut merupakan selesaian pertidaksamaan
tersebut.
Himpunan semua selesaian suatu pertidaksamaan disebut himpunan selesaian.
Teknik Penyelesaian
Seperti halnya teknik penyelesaian persamaan, kita juga menggunakan sifat – sifat
antara lain sebagai berikut.
1. Jika a, b, c bilangan real
(a) a ≤ b maka a + c ≤ b + c
(b) a ≥ b maka a + c ≥ b + c
2. a, b dan c bilangan real
(a) Untuk c > 0. Jika a > b maka ac > bc
Jika a < b maka ac < bc
(b) Untuk c < 0. Jika a > b maka ac < bc
Jika a < b maka ac > bc
Contoh
Tentukan himpunan selesaian
(a)
2x + 5 > 9
(b)
–x + 2 < 3
(c)
3x + 2 ≥ 5x – 2
Jawab
(a) 2x + 5 > 9
2x + 5 – 5 > 9 – 5
64

6. 2x > 4
2x
4
>
Mengapa tanda > tetap ?
2
2
x>2
Ini berarti setiap bilangan x yang lebih dari 2 memenuhi pertidaksamaan tersebut
sehingga himpunan selesaiannya adalah { x : x > 2 }. Himpunan selesaian dapat di
gambarkan pada garis bilangan berikut.
0
1
2
Gambar 2.1
(b) -x + 2 < 3
-x + 2 – 2 < 3 – 2
-x < 1
x > -1
(-1) (-x) > (-1). 1 Mengapa tanda < berubah menjadi > ?
Himpunan selesaian {x : x > 1} dapat digambarkan sebagai garis bilangan berikut.
-2 -1
0
Gambar 2.2
(c) 3x + 2 ≥ 5x - 2
3x + 2 2 ≥ 5x - 2 - 2
3x ≥ 5x - 4
3x - 5 x ≥ 5x - 4 - 5x
-2x ≥ -4
-2x
-4
≥
-2
Mengapa tanda ≥ berubah menjadi ≤ ?
-2
x≤2
Himpunan selesaian {x : x ≤ 2 } yang dapat digambarkan sebagai garis bilangan
berikut.
65

7. -3 -2 -1
0
1
2
3
Gambar 2.3
Garis bilangan dapat memudahkan untuk mencari selesaian pertidaksamaan.
Contoh
Tentukan himpunan selesaian
(a) -2x + 4 ≤ x + 3 dan 2x – 3 < x - 1
(b) x + 5 < 5 atau 3x + 4 > 10
(d) 4 < -x + 4dan –x < x –4
Jawab
(a) -2x + 4 ≤ -x + 3
dan
2x –3 < x –1
-2x + 4 – 4 ≤ -x + 3 – 4
2x – 3 + 3 < x –1 + 3
-2x ≤ -x – 1
2x < x + 2
-2x + x ≤ -1
2x – x < x – x + 2
-x ≤ -1
2x – x < x – x + 2
x≥1
x<2
-1
0
1
2
3
-1
0
1
Bila harus memenuhi kedua – duanya karena konjungsi dan
-1
0
1
2
3
-1
0
1
2
3
Gambar 2.4
Himpunan selesaian {x : 1≤ x < 2 }
66
2
3

8. 3
Pemeriksaan, x =
3
,2
2
3
3
+4≤2
3
+ 3 dan 2.
2
–3<
2
-1
2
3
1
1≤
dan 0 <
2
Benar
2
dan benar ⇒ Benar
x = 0, -2.0 + 4 ≤ -0 + 3
dan 2.0 –3 < -0 –1
4≤3
dan -3 < -1
Salah
dan Benar ⇒ Salah
(b) x + 5 < 5
atau
3x + 4 > 10
x+5–5<5–5
3x + 4 – 4 > 10 – 4
x < 10
3x > 6
3x
6
>
3
3
x>2
-2 -1 0
1 2
-1
0 1 2
3
Bila harus memenuhi salah satu atau kedua-duanya (disjungsi atau) maka
himpunan selesaiannya {x : x < 0 atau x > 2}
-2 -1
0
1
2
Periksalah kebenaran dari selesaian tersebut.
67
3

9. (c) 4 < -x + 4
dan
-x < x – 4
4 – 4 < -x + 4 – 4
-x + x < x – 4 – x
0 < -x
-2x < -4
-2x
-x > 0
-4
>
-2
x<0
-3 -2 -1 0
-2
x>2
1
2
3
-1 0
1
2
3
4
Bila memnuhi kedua – duanya karena konjungsi dan
-3 -2 -1
-1 0
1
0
1
2
2
3
3
4
Gambar 2.4
Himpunan selesaian Ø
Ternyata tidak ada pengganti x yang memenuhi kedua-duanya.
Contoh 2.7
Untuk membangun rumah tipe A1 dan A2 Akhmad meminta imbalan berturut turut Rp. 5.000.000,00 dan Rp. 4.000.000,00.
Berapa imbalan yang diminta oleh Akhmad untuk membangun sebuah rumah tipe
A3
agar rata - rata imbalan ketiga tipe yang diperoleh melebihi imbalan
membangun sebuah rumah tipe A1.
Jawab
Misalnya Akhmad minta imbalan x rupiah
5.000.000,00 + 4.000.000,00 + x
Maka
> 5.000.000,00
3
68

10. 9.000.000,00 + x
> 5.000.000,00
3
9.000.000,00 + x > 3 x 5.000.000,00
x > 6.000.000,00
Jadi imbalan yang diminta Akhmad ongkos borongan lebih dari Rp. 6.000.000,00
Latihan 2.1
1.
Tentukan himpunan selesaian persamaan berikut.
x–3
(a)
x–5=7
(d)
2x + 3
=
2
3
2x - 1
(b)
2x + 3 = 9
(e)
=5
3
x-1
(c)
3x – 1 = 2x + 1
2x -3
(f)
+
=1
2
3
2. Tentukan himpunan selesaian pertidaksamaan berikut.
x–3
(a)
x–5>7
(d)
2x + 3
≤
2
3
2x - 1
(b)
2x + 3 < 9
(e)
>5
3
x-1
(c)
3x – 1 ≥ 2x + 1
(f)
2
69
2x -3
+
<1
3