Kapita Selekta 4

1. Assalamualaikum
Warrahmatullahi
Wabarrakatuh
Sebelum Kita mulai materinya
alangkah baiknya kita awali dengan
bacaan Basmallah bersama-sama

2. Kelompok 3
Mata Kuliah Kapita Selekta 4
HildaRohyani (1908105163)
Luthfiana (1908105169)
Allifah (1908105183)

3. PROGRAM LINEAR
Program Linier merupakan suatu metode untuk memecahkan suatu
permasalahan tertentu dimana model matematikanya terdiri atas
beberapa pertidaksamaan linier yang mempunyai banyak
penyelesaian.
Program linier dapat digunakan dalam kehidupan sehari-hari, seperti
menghitung keuntungan maksimum dari suatu usaha, pengeluaran
minimum yang dibelanjakan atau dikeluarkan, dan sebagainya.

4. Pokok Bahasan
Sistem
Pertidaksamaan
Model matemtaika
Nilai Optimum
Objektif
01
03
02
04
Menyelesaikan
Permasalahan
Program Linear

5. WHAT!
Himpunan penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan
linier dua peubah merupakan himpunan pasangan
bilangan (x, y) yang memenuhi sistem
pertidaksamaan linier tersebut.
Himpunan penyelesaian PtLDV berupa suatu daerah
yang dibatasi garis pada sistem koordinat Kartesius
Sistem
Pertidaksamaan
Linear

6. Misal diberikan : 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 ≤ 𝑐
 Gambarlah grafik garis 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 ≤ 𝑐
Jika tanda ketaksamaan berupa ≤ atau ≥ maka garis pembatas digambar penuh.
Jika tanda ketaksamaan berupa < atau > maka garis pembatas digambar putus putus.
 Uji titik
Ambil suatu titik sembarang, misal 𝑥1,𝑦1 yang tidak terletak pada garis 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 ≤ 𝑐.
Substitusikan titik tersebut ke dalam pertidaksamaan ax + by ≤ c. Ada dua
kemungkinan sebagai berikut:
a. Apabila pertidaksamaan 𝑎𝑥1 + 𝑏𝑦1 ≤ 𝑐 bernilai benar, maka daerah
himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik 𝑥1,𝑦1 dengan
batas garis 𝑎𝑥1 + 𝑏𝑦1 ≤ 𝑐
b. Apabila pertidaksamaan bernilai salah, maka daerah himpunan penyelesaiannya
adalah daerah yang tidak memuat titik 𝑥1,𝑦1 dengan batas garis 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 ≤ 𝑐
a
Untuk mencari daerah penyelesaian
suatu PtLDV bisa digunakan cara
sebagai berikut Daerah himpunan penyelesaian suatu
PtLDV dapat dicari menggunakan
metode uji titik

7. Daerah himpunan penyelesaian PtLDV dapat ditentukan berada di kanan atau kiri garis pembatas
dengan cara memperhatikan tanda ketaksamaan. Berikut ini Langkah-langkahnya.
1) Pastikan koefisien x dari PtLDV tersebut positif. Jika tidak positif, kalikan PtLDV dengan -1.
2) Jika koefisien x dari PtLDV sudah positif, perhatikan tanda ketaksamaan.
Jika tanda ketaksamaan ≤ maka daerah penyelesaian terletak di sebelah kiri garis pembatas.
Jika tanda ketaksamaan ≥ maka daerah penyelesaian terletak di sebelah kanan garis pembatas.
b
Daerah himpunan penyelesaian
suatu PtLDV juga dapat dicari
menggunakan cara berikut.

8. Contoh
Gambarlah daerah himpunan penyelesaian pada
bidang cartesius, dari pertidaksamaan-
pertidaksamaan berikut dengan mengarsir
daerah yang bukan HP.
1). 𝑥 ≥ 2, 𝑥∈ 𝑅
2) 2𝑥 + 𝑦 ≤ 6, x > 1, 𝑦 ≥ 0, untuk 𝑥, 𝑦 ∈𝑅

9. 1). 𝑥 ≥ 2, 𝑥∈ 𝑅
Jawab:
Gambarkan garis x = 2 kemudian arsirlah daerah yang
bukan merupakan Himpunan Penyelesaian, dengan kata
lain daerah yang bersi atau tidak diarsir adalah daerah
Himpunan Penyelesaian

10. 2) 2𝑥 + 𝑦 ≤ 6, x > 1, 𝑦 ≥ 0, untuk 𝑥, 𝑦 ∈𝑅
Jawaban:
 Untuk menggambarkan garis 2𝑥 + 𝑦 ≤ 6, buatlah dua titik
bantu dengan cara mengambil nilai x = 0 maka y =... dan
nilai y = 0 maka x =…
Jadi titik bantunya adalah (0,6) dan (3,0) selanjutnya
gambarkan di bidang Cartesius Untuk menentukan Daerah
Himpunan Penyelesaiannya Uji salah satu titik yang tidak
terletak pada garis 2𝑥 + 𝑦 = 6
 Misal titik (0,0) → artinya nilai x = 0 dan
y = 0, substitusi ke 2𝑥 + 𝑦 ≤ 6, 2(0) + (0)
≤ 6 → 0 ≤ 6 (Benar), maka daerah
Himpunan Penyelesaiannya di bawah
garis 2𝑥 + 𝑦 = 6, dan arsirlah daerah yang
bukan daerah penyelesaiannya.
 Gambar garis x = 1, Buat garis lurus pada
sumbu X di absix x = 1
Gambar garis y = 0
Buat garis lurus pada sumbu Y di ordinat y = 0
(berimpit dengan sumbu X)
Gambar Grafik Cartesiusnya adalah:

11. Pernyataan Pertidaksamaan Dinotasikan
x tidak kurang dari 10 x = 10atau x > 10 x 10
x tidak lebih dari 12 x = 12 atau x < 12 x 12
Model Matematika
Model Matematika adalah suatu cara untuk memandang suatu permasalahan
atau suatu persoalan dengan menggunakan sistem pertidaksamaan
Matematika. Masalah–masalah yang akan diselesaikan dengan kaidah
program linear biasanya memenuhi beberapa syarat untuk dipenuhi oleh
variable•variabelnya.
Untuk menyusun suatu model matematika diperlukan pemahaman
tentang implikasi dari suatu pernyataan yang memenuhi
syarat•syarat tertentu, misalnya:

12. Contoh
Buatlah model matematika dari masalah verbal berikut:
Pengusaha perumahan akan membangun dua macam tipe
rumah. Untuk tipe 21 luas tanah yang diperlukan 60 𝑚2
dan
tipe 36 luas tanah 90 𝑚2
. Jika banyaknya rumah yang akan
dibangun tidak lebih dari 800 unit dan luas tanah yang tersedia
adalah 54.000 𝑚2

13. Jawab
Misalkan : Tipe 21 = x
Tipe 36 = y
Maka permasalahan di atas dapat
dituangkan dalam rabel sebagai
berikut :
Tipe 21 Tipe 36 Batasan
Luas tanah 60 90 54.000
Jml rumah 1 1 800
Maka terjadi hubungan :
Kebutuhan luas tanah : 60 𝑥 + 90𝑦 ≤ 54.000

2𝑥 + 3𝑦 ≤ 1800
Jumlah rumah : x + y 800  x + y 800
Karena x dan y menyatakan banyaknya rumah, maka harus berlaku (x,y)Cacah dan (x,y)
0. Jadi model matematikanya adalah : 2x + 3y 1800 ; x + y 800 ;x 0 ; y 0 dan
(x,y)Cacah.

14. Titik Optimum dan Nilai Optimum
fungsi obyektif
03
Titik optimum adalah suatu titik dimana fungsi obyektif bernilai optimum.
Titik optimum terletak pada salah satu titik ekstrim (titik sudut) daerah
penyelesaian. Nilai optimum ditentukan dengan cara memasukan nilai
variabel (x dan y) yang merupakan penyelesaian yang layak ke fungsi
obyektif:

15. Langkah-langkah penentuan nilai optimum :
Q W
A
Z
E
S
X
R
D
C
T
F
V
Y
G
B
U
H
N
I
J
M
K
1 2 3 4 5 6 7 8 0
P
O
9
L
menentukan nilai optimum dari fungsi obyektif
menentukan daerah penyelesaiannya
menggambar grafik
mengubah soal verbal ke dalam bentuk model matematika

16. Contoh
Tentukan fungsi obyektif, fungsi kendala dan nilai optimum
dari masalah program linear berikut:
Seorang pengrajin patung akan membuat patung Dewi Sri dan patung Ganesha. Sebuah
patung Dewi Sri membutuhkan 2 gram emas dan 2 gram perak untuk lapisan luarnya.
Sedangkan sebuah patung Ganesha membutuhkan 3 gram emas dan 1 gram perak untuk
lapisan luarnya. Persediaan emas dan perak pengrajin masing-masing 12 gram dan 8
gram. Jika patung Dewi Sri akan dijual dengan harga Rp 5.000.000 perbuah dan untuk
patung Ganesha Rp 4.500.000 perbuah, berapa banyak masing-masing jenis patung
yang harus dibuat agar pengrajin memperoleh pendapatan sebanyak-banyaknya?

17. Jawab
Misalkan : patung dewi sri = x dan patung ganesha = y, maka
permasalahan di atas dapat dituangkan dalam tabel sebagai
berikut :
Kebutuhan Patung dewi sri Patung ganesha Batasan
Emas 2 3 12
Perak 2 1 8
sehingga terjadi hubungan :
Kebutuhan emas :2𝑥 + 3𝑦 ≤ 12
Kebutuhan perak :2𝑥 + 𝑦 ≤ 8

18. Lanjutan
gambar daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan di atas
dengan bantuan tabel berikut :
2𝑥 + 3𝑦 = 12 2𝑥 + 3𝑦 = 12
𝑥 0 6 0 4
𝑦 4 0 8 0
y
8
4
3
2
1
x
1 2
3
4 6
Titik potong garis 2x + 3y = 12
dengan garis 2x + y = 8,
yaitu titik (3,2)

19. Lanjutan
Titik-titik ekstrim daerah penyelesaiannya adalah: {(0,0), (0,4), (4,0), (3,2)}
Masukkan nilai variabel x dan y pada titik ekstrim ke fungsi obyektif:
(𝑥, 𝑦) 𝑧 = 5.000.000𝑥 + 4.500.000𝑦
(0,0) 0
(0,4) 18.000.000
(4,0) 20.000.000
(3,2) 24.000.000
Dari tabel dapat disimpulkan bahwa nilai optimum 24.000.000 diperoleh pada titik
optimum (3,2). Artinya pendapatan maksimum sebesar Rp 24.000.000 akan
diperoleh pengrajin jika membuat 3 buah patung Dewi Sri dan 2 buah patung
Ganesha.

20. Penyelesaian permasalahan program linear
03
Langkah-langkah untuk menyelesaikan soal program Linier adalah sebagai berikut:
Ubahlah soalnya ke dalam bahasa
matematika dan buatlah model
matematika yang terdiri atas sistem
pertidaksamaan, dan fungsi objektif ax
+ by yang harus dimaksimumkan atau
diminimumkan
Gambar daerah himpunan
penyelesaian pada diagram cartesius
Menetukan titik titik sudut daerah
Himpunan Penyelesaian kemudian
menentukan nilai optimumnya baik
dengan tabel maupun dengan garis
selidik.
Selesai

21. Contoh
Seorang pedagang sepatu merencanakan akan menbeli tidak lebih dari 100 pasang
sepatu wanita dan pria untuk di jual. Harga beli sepasang sepatu pria Rp 20.000 dan
sepasang sepatu wanita Rp.30.000. Modal yang tersedia Rp.2.400.000. Keuntungan
untuk sepasang sepatu pria Rp. 4.000 dan sepasang sepatu wanita Rp. 5.000.
a. Buatlah model matematikanya!
b. Gambar daerah himpunan penyelesaiannya!
c. Berapa pasang masing-masing jenis yang harus dibeli
dan dijual agar diperoleh keuntungan maksimum?
d. Berapa keuntungan maksimumnya?

22. Jawab
a. Model Matematika
Misal:
Sepatu pria = x
Sepatu wanita = y
Model matematikanya
Bentuk objektif: F(x,y) = 4.000x + 5.000y
Kendala/Syarat : x + y ≤100 (i)
20.000x + 300.000y ≤ 2.400.000
(kedua ruas dibagi dengan 10.000)
2x + 3y ≤ 240 (ii)
x ≥ 0 (iii)
y ≥ 0 (iv)
b.Gambar daerah himpunan penyelesaiannya
 Menggambar garis x + y = 100
untuk membuat garis x + y = 100, buatlah dua titik bant
dengan cara mengambil nilai x = 0 maka y =…..
dan nilai y = 0 maka x =…
Lihat tabel berikut :
x 0 100
y 100 0
Jadi titik bantunya adalah (0,100) dan (100,0), selanjutnya
gambarkan di bidang Cartesius
Untuk menentukan daerah himpunan penyelesaiannya uji salah satu
titik yang tidak terletak pada garis x + y = 100,
Misal titik (0,0) →artinya nilai x = 0 dan y = 0,
substitusi ke 𝑥 + 𝑦 ≤ 100 maka (0) + (0) ≤ 100 → 0 ≤ 100 (Benar),
maka daerah himpunan penyelesaiannya di bawah garis 𝑥 + 𝑦 =100,
dan arsirlah daerah yang bukan daerah penyelesaiannya.

23. Lnjutan
 Menggambar garis 2x + 3y = 240
Untuk membuat garis x + y = 100, buatlah dua titik bantu
dengan cara mengambil nilai x = 0 maka y =….
dan nilai y = 0 maka x =…
Lihat table berikut:
x 0 120
y 80 0
Jadi titik bantunya adalah (0, 80) dan (120,0),
selanjutnya gambarkan di bidang Cartesius
Y
(0,100)
(0,80) C
B
HP
Untuk menentukan Daerah Himpunan Penyelesaiannya Uji salah
satu titik yang tidak terletak pada garis 2x + 3y = 240,
Misal titik (0,0) → artinya nilai x = 0 dan y = 0,
substitusi ke 2𝑥 + 3𝑦 ≤ 240 maka 2(0) + 3(0) ≤ 240 → 0 ≤ 240 (Benar),
maka daerah Himpunan Penyelesaiannya di bawah garis 2𝑥 + 3𝑦 = 240,
dan arsirlah daerah yang bukan daerah penyelesaiannya

24. Lnjutan
c. Berapa pasang masing-masing jenis yang harus
dibeli dan dijual agar diperoleh keuntungan
maksimum
Berdasarkan gambar di atas, maka titik-titik sudut nya adalah :
Titik O(0,0), titik A (100,0), titik C (0,80) dan titik B yang
diperoleh dari titik potong garis x + y = 100 dengan garis 2x +
3y = 240, untuk mencari titik B gunakan oleh kalian metode
elemninasi dan substitusi.
3𝑥 = 3𝑥 + 3𝑦 = 300
𝑥1 = 2𝑥 + 3𝑦 = 240 −
𝑥 + 𝑦 = 100
2𝑥 + 3𝑦 = 240 −
𝑥3 3𝑥 + 3𝑦 = 300
𝑥1 2𝑥 + 3𝑦 = 240 −
Type equation here.
𝑥 + 𝑦 = 100
2𝑥 + 3𝑦 = 240 −
𝑥3 3𝑥 + 3𝑦 = 300
𝑥1 2𝑥 + 3𝑦 = 240 −
Type equation here.
𝑥+𝑦=100
2𝑥+3𝑦
=240
−
𝑥3
3𝑥+3𝑦=300
𝑥1
2𝑥+3𝑦=240
−
Type
equati
o
n
here.
substitusi nilai x = 60 ke persamaan x + y = 100
sehingga diperoleh 60 + y = 100, makanilai y = 100 – 60 = 40,
jadi titik B adalah (60,40)
untuk memperoleh nilai maksimum lakukan uji titik
sudut terhadap fungsi obyektiff(x,y) = 4.000x + 5.000y
Titik O(0,0) maka f(0,0) = 4.000(0) + 5.000(0) = 0 + 0 = 0
Titik A(100,0) maka f(100,0) = 4.000(100) + 5.000(0) = 400.000
+ 0 = 400.000
Titik B (60,40) maka f(60,40) = 4.000(60) + 5.000(40) = 240.000
+ 200.000= 440.000
Titik C(0,80) maka f(0,80) = 4.000(0) + 5.000(80) = 0 + 400.000
= 400.000

25. Lanjutan
Berdasarkan hasil uji titik tersebut, maka kalian dapat melihat nilai maksimumnya
adalah Rp.440.000,00 yang diperoleh dari nilai x = 60 dan nilai y = 40.
Kesimpulannya adalah banyak sepatu pria (x) = 60, dan sepatu wanita (y) = 40
d. Berapakah keuntungan maksimum yang diperoleh
keuntungan maksimumnya adalah Rp.440.000,00

26. —Kelompok 3
“Semoga Dapat di pahami dengan
baik, jika ada yang belum paham
silahkan untuk bertanya”

27. Credits: This presentation template was created by
Slidesgo, including icons by Flaticon, and infographics &
images by Freepik
THANKS!
Terimakasih yang telah berpartisipasi
Hilda Rohyani (1908105163)
Luthfiana (1908105169)
Allifah (1908105183)

28. Wassalamu’alaikum
warrahmatullahi
wabarraktuh