Dokumen tersebut membahas tentang program linier yang mencakup metode grafik dan metode simplex untuk memecahkan masalah optimalisasi linier dengan kendala-kendala tertentu.

1. ASSALAMU’ALAIKUM WR
PROGRAM LINIER
30 MARET 2012
WB

2. Buku Sumber
 Bazara Mokhtar S. 1977. Linier Programing And
Network. John Willey.
 Gass, SI. 1975. Linier Programing Methods and
Aplications. Tokyo: Mc. Graw-Hill International
Book Company.

3. Deskripsi
 Pemahaman pengambilan keputusan secara
kuantitabilitas bagi masalah-masalah yang
memenuhi persyaratan model optimalisasi linier.

4. 1. Metode Grafik
2. Metode
Simplex

5. Metode Grafik
Materi
Prasyarat

6. Persamaan garis
x
y
3
x = 3

7. y
5 Y=5
x

8. y
x
3
3x + 5y = 15
5

9. y
x
b
bx + ay = ab
a

10. 5
Perpotongan dua buah garis
3
4
Persamaan I & ii di eliminasi:
5x + 3y =15
2x + 3y = 12
3x = 3
6
y
x
5x + 3y =
15
4x + 6y =
24
2x + 3y =
12
…i
…ii
x = 1
2.1 + 3y = 12
3y = 10
Y = 10/3

11. Perpotongan dua buah garis
5
3
4
6
3.6 (5-4)
5.6-4.3
3.6 . 1
X = = 1
18
y
X =
y =
x
4.5 (6 –
53.6) - 4.3
Y =
4.5.3
18
= 10/3

12. Pertidaksamaan
y
x
X=0
Y=0
X ≥
0

13. y
x
X ≤
0

14. y
Y = 0 x
Y ≤ 0

15. Tentukan HP dari 5x + 2y ≥ 10
Jawab:
y
x
5
5x + 2y ≥
10
2
5x + 2y = 10
Langkah :
1. Gambar garis 5x + 2y = 10
i. TP sb x maka y = 0
(2,0)
ii. TP sb y maka x = 0
(0,5)
2. Tentukan daerah Penyelesaian:
Uji titik
Ambil titik (3,0)
5.3 +2.0 ≥ 10
15 ≥ 10 (B)

16. y
x
Tentukan
model
matematika
dari gambar
berikut!
-3
9
HP
Langkah :
1. Tentukan persamaan
garis
9x - 3y = 9.(-3)
3x – y = -9
2. Tentukan
pertidaksamaan dg uji
titik.
ambil titik (0,7)
3.0 – 7…. -9
-7 ≥ -9
Maka pertidaksamaan:
3x – y ≥ -9

17. Cara menentukan HP
 ax + by ≥ c
b > 0
b < 0
 ax + by ≤ c
b > 0
b < 0
HP diatas garis
HP dibawah garis
HP dibawah
gHaPri dsiatas garis

18. Atas garis

19. Bawah garis

20. Atas garis
Bawah garis

21. 1. Gambar daerah pemecahan pertidaksamaan, jika x dan y bilangan
bulat.
(i) x - y ≤ 6
(ii) 2x - 5y ≤10
(iii) x ≥ 0 dan y ≥ 0
y
x
Penyelesaian :
x - y ≤ 6
x-y =6
(0,-6) (6,0)
2x-5y=10
(0,-2) (5,0)
-6
5 6
-2
x - y =6
2x-5y=10

22. 1. Gambar daerah pemecahan pertidaksamaan, jika x dan y bilangan
bulat.
(i) x - y ≤ 6
(ii) 2x - 5y ≤10
y
(iii) x ≥ 0 dan y ≥ 0
x
Penyelesaian :
x - y ≤ 6
x-y =6
(0,-6) (6,0)
2x-5y=10
(0,-2) (5,0)
-6
5 6
-2
x - y =6
2x-5y=10 HP

23. Tentukan pertidaksamaa dari daerah tang diarsir di bawah!
5
2
3
7
y
x
5x+2y=10
3x+7y=21
Y=0
(i) 5x+2y=10
b=+, HP diatas garis maka tanda ≥
5x+2y≥10
(ii) 3x+7y=21
b=+, HP dibawah garis, maka
tanda ≤
3x+7y≤21
(iii)HP diatas sb x maka y≥0
Jadi
pertidaksamaannya
adalah:
5x+2y≥10
3x+7y≤21
y≥0

24. Gambarlah daerah penyelesaian
dari |x + 3| < 4 dan |y + 3| < 4 !

25. perhitungan kembang gula dengan label baru akan lebih laku jika
memuat paling sedikit 4 kg coklat, paling sedikit 6 kg karamel,
dan paling sedikit 6 kg gula. Harga jenis A adalah Rp 100.000,00
per kg dan jenis B Rp 150.000,00 per kg. Berapa banyak dari tiap
jenis harus dicampur supaya biaya serendah-rendahnya?
Buatlah model matematika dari masalah di atas.

26. Banyaknya coklat yang dipergunakan untuk
membuat kembang gula adalah .Coklat
tersedia lebih dari 4 kg. Dengan demikian
diperoleh hubungan ≥ 4 atau 20x + 20y ≥
400 atau x + y ≥ 20
20x  20y
100
20x  20y
100
Banyaknya karamel yang dipergunakan untuk
membuat kembang gula 20x  60y
adalah . Karamel
100
tersedia paling sedikit 6 kg. Dengan demikian
diperoleh 20x  60y
hubungan ≥ 6 atau 20x + 60y ≥
100
600 atau x + 3y ≥ 30

27. 60x  20y
100
Banyaknya gula yang dipergunakan untuk
membuat kembang gula adalah .
Gula tersedia paling sedikit 6 kg.
60x  20y
Dengan demikian diperoleh hubungan
100
≥ 6 atau 60x + 20y ≥ 600 atau 3x
+ y ≥ 30

28. Karena yang dibuat adalah kembang gula maka
x dan y bilangan bulat dan tak mungkin
negatif. Dengan demikian x ≥ 0 dan y ≥ 0
Tujuan dari membuat permen adalah agar
biaya 100.000x + 150.000y paling kecil atau
minimum.

29. Dengan demikian model matematika dari masalah di atas
adalah:
Carilah x dan y sehingga meminimumkan f = 100.000x +
150.000 y,
dengan kendala :
x + y ≥ 20
x+3y ≥ 30
3x + y ≥ 30
x ≥ 0
y ≥ 0
f = 100.000x + 150.000 y disebut fungsi tujuan atau fungsi
obyektif juga sering disebut fungsi sasaran.

30. Ibu akan membuat roti spiku dan roti
donat . Untuk membuat roti spiku
dibutuhkan 200 gram tepung dan 25
gram mentega, sedangkan roti donat
dibutuhkan 100 gram tepung dan 50
gram mentega. Ibu ingin membuat
roti sebayak-banyaknya, tetapi ibu
hanya mempunyai 4 kg tepung dan
1,2 kg mentega. Berapa roti spiku
dan roti donat yang harus dibuat ibu
agar diperoleh roti sebanyak-banyaknya?
Buatlah model matematikanya.

31. Nilai Optimum
Untuk memperoleh nilai optimum
(maksimum atau minimum) dari fungsi
obyektif dengan kendala-kendala tertentu
dapat kita lakukan dengan menggambar
daerah penyelesaian layak yaitu daerah yang
titik-titiknya merupakan himpunan
penyelesaian dari sistem pertidaksamaan
linier.

32. Example :
Tentukan nilai maksimum dari permasalahan
yang model matematikanya sebagai berikut.
Mencari x1 dan x2 yang memaksimumkan f = 4x1 + 3x2,
dengan kendala
3x1 + 4x2 ≤12
7x1 + 2x2 ≤ 14
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0

33. 3x1 + 4x2 =12
(0,3) (4,0)
7x1 + 2x2 = 14
(0,7) (2,0) 7
3
2 4
H
P
X=
2. 4 (7 – 3)
28 - 6
X = 2. 4. 4
22
X = 16/11
Y = 21 . 2
22
Y = 21/11
x1
F(0,3)= 4.0+3.3= 9
F(0.0) = 4.0+3.0=0
F(2,0)= 4.2+3.0 = 8
F(16/11, 21/11)= 4.16/11 + 3. 21/11=127/11
Jadi nilai maksimum = 127/11 di
X1 = 16/11 dan x2 = 21/11
x2

34. Sebuah pesawat terbang mempunyai kapasitas tempat duduk
tidak lebih dari 48 orang. Setiap penumpang kelas utama dapat
membawa bagasi seberat 60 kg dan kelas ekonomi 20 kg,
sedangkan pesawat tersebut mempunyai kapasitas bagasi tidak
lebih dari 1440 kg. Apabila harga tiket untuk kelas utama Rp
100.000,00 sedang untuk kelas ekonomi Rp 50.000,00 per
orangnya, tentukan banyak penumpang disetiap kelas agar hasil
penjualan tiket maksimum?
Penyelesaian :
Misal kelas utama : x
kelas ekonomi: y
Model matematika
x + y ≤ 48………..i
60x + 20y ≤ 1440
: 20
3x + y ≤ 72………ii
x≥0 , y≥0 …………iii
Dengan tujuan
f = 100.000x +
50.000y

35. x + y = 48
(0,48) (48,0)
3x + y = 72
(0,72) (24,0)
HP
y
72
24
48
48
Titik potong kedua garis
x + y = 48
3x + y = 72
-2x = -24
x = 12
12 + y = 48
y = 36
Tp (12,36)
A
B
C
3x + y =
72
f (x,y) = 100.000x + 50.000y
x + y =
48
f(0,48)=100.000 (0) + 50.000(48)
F(12,36)=100.000(12) + 50.000(36)
F(24,0) = 100.000(24) + 50.000 (0)
=2.400.00
0=
3=. 02.0400.00.00000
x
(Maksimu
m)
Penghasilan maksimum sebesar Rp 3.000.000,00
dicapai jika diisi 12 penumpang kelas utama dan 36
kelas ekonomi

36. Sebuah rumah sakit memerlukan 150 unit kalori
dan 130 unit protein untuk setiap pasien
perharinya. Apabila setiap kg daging sapi
mengandung 500 unit kalori dan 200 unit protein,
sedang 1 kg ikan basah mengandung 300 unit kalori
dan 400 unit protein dengan harga masing-masing
per kg nya Rp 2.500,00 dan Rp 2.000,00. Tentukan
biaya minimal untuk kebutuhan 100 pasien rumah
sakit tersebut setiap harinya?
Kalori Protein Harga /kg
Penyelesaian :
Daging (x) 500 200 2.500
Ikan basah
(y)
300 400 2.000
Jumlah 15.000 13.000

37. Model Matematika :
Kendala :
500x + 300Y ≥ 15.000
5x + 3y ≥ 150 ……………i
200x + 400y ≥ 13.000
2x + 4y ≥ 130 …………..ii
X ≥ 0 , y ≥ 0 ………..iii
Fungsi tujuan
F = 2.500x + 2.000y
y
50
3
0
32,5
65
A
B
C x
Menggambar grafik
5x + 3y = 150
(0,50) (30,0)
2x + 4y = 130
(0,32 ½) (65,0)
(15,25)
5x + 3y =
150
2x + 4y =
130
HP
(0,50)
(65,0)
Nilai minimum akan dicapai :
F = 2.500x + 2.000y
F(0,50) = 2.500(0)+ 2.000(50)=100.000
F(15,25)= 2.500(15) + 2.000(25)= 87.500
F(65,0) = 2.500(65) + 2.000(0) = 162.500
(Minimum)
Nilai minimum dicapai dititik B
sejumlah Rp 87.500,00 untuk
pembelian 15 kg daging dan 25
kg ikan basah.

38. Seorang alumni SMA mendapat jatah merakit sepeda
dan sepeda motor. Karena jumlah pekerja terbatas,
alumni SMA hanya dapat merakit sepeda paling banyak
120 unit tiap bulan dan sepeda motor paling sedikit 10
unit dan paling banyak 60 unit. Pendapatan dari tiap unit
sepeda sebesar Rp. 40.000,00 dan tiap unit sepeda
motor Rp. 268.000,00. Berapa pendapatan maksimum
tiap bulan kalau kapasitas produksi dua jenis 160 unit.
a) Rumuskan fungsi obyektif!
b) Rumuskan kendala
c) Gambarlah daerah layaknya

39. Misal banyaknya sepeda yang dirakit adalah x buah
banyaknya sepeda motor yang dirakit adalah y
• Fungsi obyektifnya adalah f = 40.000x + 268.000y
Kendala
• 10≤ y ≤ 60
•0 ≤ x ≤ 120
•x + y ≤ 160
• x ≥ 0, y ≥ 0

40. •10≤ y ≤ 60
•0 ≤ x ≤ 120
•x + y ≤ 160
• x ≥ 0, y ≥ 0
Y=6
0
Y=10
C
X=120
160
160 x
y
X+y=160
E D
H
P
A B

41. Gambar daerah pemecahan sistem pertidaksamaan, Diperoleh daerah tertutup
ABCDE dengan A(0,10), B(120,10), C(120,40), D(100,60) dan E(0,60)
Untuk titik A(0,10) diperoleh f = 2.680.000
Untuk titik B(120,10) diperoleh f = 7.480.000
Untuk titik C(120,40) diperoleh f = 15.520.000
Untuk titik D(100,60) diperoleh f = 20.080.000

42. Garis selidik

43. Tentukan nilai x
dan y yang
memaksimumkan f
= 4x + 3y dengan
kendala
3x + 4y ≤12
7x + 2y ≤ 14
x ≥ 0
y ≥ 0
3
4
7
2
•
•
• x
y
7x + 2y = 14 3x + 4y =12

44. Program Linier Bulat
Menentukan nilai optimum (maksimum atau
minimum) dari fungsi obyektif dengan kendala-kendala
tertentu dapat dilakukan dengan
bantuan garis selidik atau menentukan titik sudut
dalam daerah penyelesaian. Adakalanya
pengganti variabel harus bernilai bulat,
bagaimana cara menyelesaikan?

45. Example:
Setiap semester sebuah agen mobil
memesan dagangan dari pusat berupa
mobil sedan dan van. Kantor pusat
mengharuskan agen untuk memesan sedan
paling sedikit 20% dari seluruh pesanan.
Ditempat agen, luas ruang pamer (show
room) dan gudang hanya cukup untuk 10
mobil sedan saja atau 15 mobil van saja.
Dari hasil penjualan , satu mobil sedan dan
satu mobil van berturut-turut memberikan
keuntungan 5 juta rupiah dan 3,5 juta
rupiah. Jika dalam 1 semester mobilyang
dipesan agen habis terjual, berapakah
banyak mobil yang sebaiknya dipesan agen

46. Penyelesaian:
Misal banyak mobil sedan : S
banyak mobil van : V
Syarat dari pusat dapat ditulis
S ≥ 1/5 (s + v)
4s – v ≥ 0
atau
Untuk merumuskan kendala luas tempat, misalkan
L = luas ruang pamer
L= luas lantai bagi 1 unit S
s L= luas lantai bagi 1 unit V
v Terdapat hubungan
L=10 Ls
L= 1/10
s L = 15 L= 1/15
v
v Luas total yang diperlukan L
:
SL+ VL≤ L
s v 3S + 2V ≤ 30
Laba total yang harus dimaksimumkan adalah:
5S + 3,5V (dalam jutaan rupiah)
LL

47. Perumusan masalah yang terjadi
Mencari S dan V yang memenuhi:
4S – V ≥ 0
3S + 2V ≤ 30
S ≥ 0
V ≥ 0
Dan memaksimumkan
F = 5S + 3,5V

48. (0,15
)
(10,0)
•
• •
•
• • •
• • • • •
•
•
•
• •
• •
•
•
• • • • • •
•
•
•
• •
• •
•
•
•
• • •
•
•
•
• • •
•
•
•
•
•
V
• • • • • • • • • • S
3S + 2V =
4S – V =
0

49. Selanjutnya… ?
Gampaaanng!,
Berani latihan !
Nantikan materi
berikutnya…!