1. Μαθηματικά τεχνολογικής και θετικής κατεύθυνσης Γ λυκείου
Σχολικό έτος 2013-2014
4ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΚΥΡΑΣ
●
●
Ανακεφαλαιωτικό μονόωρο διαγώνισμα στο κεφάλαιο 1
Οριο-συνέχεια συνάρτησης
Δίδονται κάποιες γραφικές παραστάσεις πρώτον για αξιολόγηση
της κατανόησης των μαθηματικών εννοιών του κεφαλαίου και
δεύτερο για να γίνει προσαρμογή στο χρόνο εξέτασης μιας
διδακτικής ώρας
●
Οι απαντήσεις δίδονται στο τέλος
●
Αθηναίος Θεόδωρος μαθηματικός

2. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 (ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ )
Νο 1
4ο Γενικό λύκειο Κερκύρας 13-1-2014
Ονοματεπώνυμο.................................................................
Θέμα 1
ι) Να συμπληρωθούν τα κενά στις παρακάτω προτάσεις
α) Η γραφική παράσταση της -f είναι συμμετρική της γραφικής
παράστασης της f ως προς τον άξονα .......
Μ2
β) Αν 0<α<1 limx→+∞ αx =........
Μ2
γ) Αν f είναι μία συνάρτηση γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο
(α,β) το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό , είναι το διάστημα
(.... , ....) όπου Α=........... και Β=.............
Μ2
ιι) Ερωτήσεις
α) Πότε είναι δυνατή η σύνθεση δύο συναρτήσεων
Μ4
β) Πότε μια συνάρτηση είναι συνεχής στο [α,β]
Μ4
ιιι) Να δειχθεί οτι limx→0 συνx−1 =0
x
Μ11

3. Θεμα 2
Δίνετε η γραφική παράσταση της f(x)=4x3-12x2-x+3
α) Να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας της f(x), για όλες τίς
πραγματικές τιμές του x
Μ10
β) Να βρεθούν τα ακρότατα της f(x) σε μορφή (x,f(x)) και το είδος
των ακροτάτων
Μ10
(Οι απαντήσεις να δοθούν απο τη γραφική παράσταση της f(x)

4. Θέμα 2 γ ,δ ,ε
Να δοθούν αλγεβρικές λύσεις στα παρακάτω ερωτήματα
γ) Να δειχθεί ότι η f(x)=4x3-12x2-x+3 εχει ρίζα στο (-1,0 ) ,χωρίς να
λυθεί η εξίσωση
Μ8
δ) Να βρεθεί το πρόσημο της f(x) για όλες τις πραγματικές τιμές
του x
Μ8
ε) Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f(x)=α για όλες τις
πραγματικές τιμές του α
Μ14

5. Θέμα 3
α) Να βρεθούν οι τιμές του c έτσι της g(x)=x3+cx+4 ώστε η g(x)=0
να έχει τουλάχιστον μια λύση στο (-1, 1)
Μ10
Θέμα 4
Δίδετε η γραφική παράσταση της f(x)=x3+3x-3 , η f(x) είναι 1-1
α) Να λυθεί η εξίσωση f(x)=f -1(x)
Μ20

6. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 (ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ )
Νο 2
4ο Γενικό λύκειο Κερκύρας 13-1-2014
Ονοματεπώνυμο.................................................................
Θέμα 1
ι) Να συμπληρωθούν τα κενά στις παρακάτω προτάσεις
α) Η γραφική παράσταση της | f | είναι συμμετρική της γραφικής
παράστασης της f ως προς τον άξονα x'x όταν η f.....
Μ2
β) limx→o+ lnx=........
Μ2
γ) Mια συνάρτηση είναι συνεχής στο x0 οταν .........
Μ2
ιι) Ερωτήσεις
α) Πότε μια συνάρτηση f έχει αντίστροφο συνάρτηση
β) Αν |ημχ|≤|χ| τότε να δειχθεί ότι limx→0ημx=0
Μ4
Μ4
ιιι) Να δειχθεί ότι αν f συνεχής στο [α,β] και f(α)≠f(β) , για κάθε
αριθμό η μεταξύ f(α) και f(β), υπάρχει τουλάχιστον ενας x0ε(α,β)
τέτοιος ωστε f(x0)=η
Μ11

7. Θεμα 2
2
Δίνετε η γραφική παράσταση της f(x)= x 
x
2
α) Να βρεθούν τα διαστήματα μονοτονίας της f(x), για όλες τίς
πραγματικές τιμές του x
Μ10
β) Να βρεθεί τo ακρότατo της f(x) σε μορφή (x,f(x)) και το είδος του
ακροτάτου
Μ10
(Οι απαντήσεις να δοθούν απο τη γραφική παράσταση της f(x)

8. Θέμα 3
2
2
Δίνετε η συνάρτηση f(x)= x  x
Να δοθούν αλγεβρικές λύσεις στα παρακάτω ερωτήματα
Η γραφική παράσταση σας βοηθάει για επιβέβαιωση των
αλγεβρικών απαντήσεων
α) Να βρεθούν τα όρια της f(x) του x→±∞
β) Να βρεθούν τα όρια της f(x) i) του x→0+ ii)του x→0-
Μ6
Μ9
γ) Να εκτιμηθεί διάστημα (α , α+1) , α ακέραιος ,στο οποίο
βρίσκεται η ρίζα της f(x) , να δικαιολογηθεί η απάντηση σας Μ10
δ) Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f(x)=α για όλες τις
πραγματικές τιμές του α
Μ15

9. Θέμα 4
2
2
Δίδετε η συναρτηση f(x)= x  , για χ<0 η f(x) είναι 1-1
x
α) Να λυθεί η εξίσωση f(f(x))= -1, για τις τιμές του χ<0
Μ15
β) Να δειχθεί ότι αν c<0 τότε η g(x)=x3+cx+4 δεν είναι 1-1
Μ10

10. Θέμα 1
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Νο 1
1α) x'x
Μ2
1β) 0
Μ2
1γ) (.Β... , .Α...) όπου
Α=.limx→α-.f(x).. και Β=limx→β+.f(x). Μ2
1δ) Αν Α πεδίο ορισμού της f και Β πεδίο ορισμού της g για να
υπάρχει η f(g(x)) πρέπει f(A)∩Β≠Ø
Μ4
1ε) Η f είναι συνεχής στο (α ,β) , αν είναι συνεχής σε κάθε
εσωτερικό σημείο x του (α,β) και limx→α-f(x)=f(α) και
limx→β+.f(x)=f(β)
Μ4
Το ιιι) ερώτημα είναι θεωρία του βιβλίου

11. Θεμα 2 απαντήσεις 2α και 2β
2α) Τα διαστήματα μονοτονίας
της f(x)=4x3-12x2-x+3 δίδονται
απο τον πινακα
X
(-∞ 0]
[0
2]
f(x)
αύξουσα
φθίνουσα
[2
+∞)
Αύξουσα
2β) Γραφικές λύσεις Τοπικό μέγιστο το (0,3) ,Τοπικό ελάχιστο το (2,-15)
.Αλγεβρικές λύσεις (-0.04, 3.02) και (2.04 ,-15.02) περίπου
Θέμα 2 απαντήσεις 2γ, 2δ
2γ) Η f(x) είναι συνεχής στο [-1,0] και f(-1)=-12 , f(0)=3 ,
f(1)f(0)<0 σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ενα
x0ε(-1,0) τέτοιο ώστε f(x0)=0
2δ) 4x3-12x2-x+3=0 <=> 4x2(x-3)-(x-3)=0 <=> (4x2-1)(x-3)=0<=> x=3 η
x=½ η x=-½
Πίνακας προσήμου της f(x)
x
Επιλεγμενος
αριθμός
f(x0)
πρόσημο
(-∞
-½) (-½
½) (½
3) (3
+∞ )
-1
0
1
4
-12
3
-6
63
-
+
-
+

12. Θέμα 2
X
(-∞
Απάντηση 2ε ,την
αύξουσα
άσκηση την λύνουμε f(x)
με βάση τις γραφικές
Πεδίο τιμών (-∞
λύσεις
της f(x)
0] [0
φθίνουσα
3] [-15
2] [2
+∞)
Αύξουσα
3] [-15
+∞)
Εφαρμόζουμε το θεώρημα των ενδιάμεσων τιμών σε καθένα απο τα
διαστήματα στα οποία η f(x), είναι αύξουσα η φθίνουσα ,γεγονός το οποίο
εξασφαλίζει ακτιβώς μία λύση σε αυτά τα διαστήματα .Η f(x) είναι
συνεχής ως πολυωνυμική στο R.
ι) Αν α<-15 , f(x): (-∞ 0] →(-∞ 3] , το αε(-∞ 3] άρα υπάρχει
ακριβώς ενα x1ε(-∞ 0) ,διότι f(x) αύξουσα στο x1ε(-∞ 0) , με f(x1)=α αρα
μια ρίζα
ιι) Αν α=-15 , f(x): (-∞ 0] →(-∞ 3] , το -15 ε(-∞ 3] .άρα υπάρχει
ακριβώς ενα x1ε(-∞ 0) ,διότι f(x) αύξουσα στο x1ε(-∞ 0) , με f(x1)=-15 μια
ρίζα και f(2)=-15 αρα η f(x)=-15 έχει δύο ρίζες ( ή τρείς με μία διπλή )
ιιι) Αν -15<α<3 η f(x)=α έχει τρείς ρίζες x1ε(-∞ 0) , x2ε(0 2) και την
x3ε (2 +∞)
ιv) Aν α>3 η f(x)=α έχει μια ρίζα x1ε(2 +∞)
v) Αν α=3 η f(x)=3 έχει δύο ρίζες μια x1ε(2 +∞) και την f(0)=3 (ή τρείς με
μία διπλή )

13. Θέμα 3 απάντηση
Η g(x) είναι συνεχής στο (-1, 1) ως πολυωνυμική
g(-1)=-c+3 g(1)=c+5 για να έχει μία τουλάχιστον λύση στο (-1, 1)
Η g(x) σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano πρέπει g(-1)g(1)<0
<=> (-c+3)(c+5)<0 δηλαδή c>3 η c<-5
Θέμα 4 απάντηση
Η f(x)=x3+3x-3 επειδή είναι 1-1 αντιστρέφεται με αντίστροφη την
x=y3+3y-3 η οποία δεν λύνεται ως προς y
Οι λύσεις της f(x)=f-1(x) βρίσκονται πάνω στην ευθεία y=x .
Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x) ,f-1(x) και y=x
διέρχονται απο το ίδιο σημείο επομένως η εξίσωση f(x)=f -1(x) είναι
ισοδύναμη με την f(x)=x
Λύνουμε την εξίσωση f(x)=x <=> x3+3x-3=x <=>x3+2x-3=0 <=>
(x-1)(x2+x+3)=0 <=>x=1 και η x2+x+3=0 είναι αδύνατη

14. Θέμα 1( Απαντήσεις )
1α) Αν f<0
AΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ Νο 2 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ
Μ2
1β) limx→o+ lnx= -∞
Μ2
1γ) limx→x0f(x) =f(x0)
Μ2
Ii a) Μια συνάρτηση έχει αντίστροφο όταν είναι 1-1
Μ4
Ii β) Θεωρία βιβλίου
Ιιι ) θεώρημα ενδιάμεσων τιμών
Μ4
Μ11

15. Θεμα 2 απαντήσεις 2α και 2β
2α) Τα διαστήματα μονοτονίας της f(x) δίδονται απο τον πινακα
X
(-∞
f(x)
0) (0
φθίνουσα
φθίνουσα
1] [1
+∞)
Αύξουσα
2β) Τοπικό ελάχιστο (1,3)
Θέμα 3 απαντήσεις 3α, 3β, 3γ
3α) lim x→+∞(x3+2)/x= lim x→+∞( x3/x)=lim x→+∞(x2)=+∞
3α) lim x→-∞(x3+2)/x= lim x→-∞( x3/x)=lim x→-∞(x2)=+∞
3β) lim x→0+( x 2 2 )=0+2/0+ =+∞ 3β) lim x→0-(x 2 2 )=0+2/0- =-∞
x
x
3γ) Φαίνεται και απο την γραφική παράσταση ότι η f(x) έχει μια ρίζα
στο (-2,-1) η f(χ) είναι συνεχής στο [-2, -1] ,f(-2)f(-1)=3*(-1)=-3<0
σύμφωνα με το θ,Bolzano η f(x) θα έχει ακριβώς μία λύση στο
(-2,-1) διότι στο διάστημα αυτό η f(x) είναι γνησίως φθίνουσα

16. Θέμα 3
απαντήσεις
δ
X
f(x)
Πεδίο τιμών της
(-∞
0) (0
φθίνουσα
f(x) (-∞
+∞)
1]
[1
+∞)
φθίνουσα
Αύξουσα
[3 +∞ ]
[3
+∞)
Εφαρμόζουμε το θεώρημα των ενδιάμεσων τιμών σε καθένα απο τα
διαστήματα στα οποία η f(x) είναι αύξουσα η φθίνουσα ,γεγονός το οποίο
εξασφαλίζει ακτιβώς μία λύση της f(x) σε αυτά τα διαστήματα . Η f(x)
είναι συνεχής στο R-{0}.
ι) Αν α<3 τότε η f(x):(-∞ 0) → (-∞ +∞) , το α βρίσκεται στο (-∞ +∞) ,
υπάρχει ακριβώς ένα x1ε(-∞ 0) διότι η f(x) είναι φθίνουσα με f(x1)=α .Μια
ρίζα .
ιι) Αν α=3 τότε η f(χ):(-∞ 0) → (-∞ +∞) , το 3 βρίσκεται στο (-∞ +∞) ,
υπάρχει ακριβώς ένα x1ε(-∞ 0) διότι η f(x) είναι φθίνουσα με f(x1)=3 με
x1ε(-∞ 0) και την f(1)=3 ,δύο ρίζες (ή τρείς με μια διπλή ).
ιιι) Αν α>3 εφαρμόζουμε το θ.ενδιάμεσων τιμών στα τρία διατήματα
f(χ):(-∞ 0) → (-∞ +∞) η f(x)=α έχει μία ριζα x1ε(-∞ 0) ,
f(χ):(0, 1) → (3 +∞) η f(x)=α έχει μία ριζα x2ε(0 1) και
f(χ):(0, +∞ ) → (3 +∞) η f(x)=α έχει μία ριζα x3ε (1 +∞) , όταν α>3 έχει
τρείς ρίζες .

17. Θεμα 4 απαντήσεις 4α και 4β
Λύνουμε την εξίσωση f(x)=-1
2
x  =−1 <=>x3+x+2=0 <=> (x+1)(x2-x+2)=0 <=> x=-1 και η
x
2
(x2-x+2)=0 είναι αδύνατη , άρα f(-1)=-1
f(f(x)=-1 <=>f(f(x))=f(-1) επειδή 1-1 για χ<0 <=> f(x)=-1<=> x=-1
Aπάντηση 4β
Θεωρούμε την συνάρτηση f(x)=x3+cx η f(x) δεν είναι 1-1 διότι τέμνει
τον άξονα xx' σε τρία σημεία, διότι αν λύσουμε την εξίσωση x3+cx=0
x(x2+c)=0 <=> x=0 , x=√-c ,x=-√-c ,οι δύο τελευταίες ρίζες επειδή c<0
είναι πραγματικοί αριθμοί .
Η f(x) δεν είναι 1-1 σύμφωνα με το κριτήριο της οριζόντιας
τέμνουσας ,επομένως δεν θα είναι 1-1 και η g(x)=f(x)+4=x3+cx+4